请修集团 “度量的毕达哥拉斯性质”

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依然是 物理2010年01月25日 星期一 16:16
一.时间和空间的状态
德国哲学家伊曼纽尔 康德(1724-1804)在他的具有革命性意义的著作>(1781)中深入研究了认识的临界极限问题.他详细阐述了空间和时间不能独立于我们的意识而存在的观点.
他认为这是我们大脑能够感知空间和时间的先决条件.
这意味着空间和时间也许并不像牛顿认为的那样是绝对的实体,因此就像我们将要看到的那样,康德的时空观和爱因斯坦的更为接近.
然而,在爱因斯坦之前,物理学家们的主流哲学思想都是继承伊萨克 牛顿(1643-1727)爵士的观点


二.牛顿的经典物理学定律
牛顿是一位颇具争议的最伟大的物理学家.他对光学做出了重大贡献,提出了牛顿第三运动定律,并独立于来布尼兹(1646-1796)发展了微积分学.但对于我们理解爱因斯坦的相对论而言,他的万有引力定律是最重要的.
约翰内斯 开普勒(1571-1630)在牛顿之前,天空中的行星运动被认为是脱离现实世界的神秘事件
开普勒发现了行星运动定律,但是牛顿认为他发现的只是经验定律,缺少理论解释.
这是一个著名但不真实的故事:当牛顿坐在一棵苹果树下时,他突然发现了万有引力.
掉到地上的苹果受到了某种力的作用,这个"我发现了"的故事恰好说明了牛顿在思维上做出了惊人的跳跃.
牛顿万有引力定律的特别重要之处在于:他只用一种理论把几种现象联系起来加以解释.这种对单一统一理论的寻求将成为20世纪和21世纪物理学家发展的推动力量.


三.万有引力定律
牛顿的万有引力定律描述了两个质量分别为m　Ｍ的物体之间的引力为：
　　　　　　　　　　　Ｆ＝Ｇ*mM/r方
　　　这里r是两个物体之间的距离，Ｇ是牛顿常数．因为引力非常弱，所以Ｇ很小．万有引力定律至少有两个推论：
　　　　　　第一，开普勒行星运动定律的数学推导－－万有引力提供了这些定律原本缺少的理论解释．
　　　　　　第二，牛顿的定律准确地给出了一个结果：行星是沿着椭圆轨道而不是圆形轨道运行．
　　　在牛顿的理论中有几件事被看成是理所当然的．自从尼古拉斯　哥白尼（１４７３－１５４３）之后,在很多科学家眼中地球不再是宇宙的中心了,那时也是这样.牛顿假定了空间和时间是截然不同的东西,而且它们是绝对的,不变的.
因此,对于牛顿和他的追随者们而言,空间和时间是绝对的,永恒的舞台,宇宙中的物质在这个舞台上尽情的表演.
直到爱因斯坦才有了把空间和时间这两个看起来不同的概念统一起来的思想,这点我们将会在后面讨论


四.麦克斯韦的电磁理论
在爱因斯坦之后,理论物理学已经取得了重大进展.特别是詹姆斯 克拉克 麦克斯韦(1831-1879)把磁忽然电统一起来建立了电磁学.
他认为在他建立电磁学之前,电和磁的各种行为看起来似乎是互不相干的现象.故而地球的磁场没有和雷电风暴或者太阳发出的光联系起来.
麦克斯韦用四个方程解释了所有的电和磁的不同行为--从光的辐射及电流到地球的磁场.麦克斯韦方程组把电场和磁场彼此联系起来,阐明了它们的任何一个不同行为作为一般理论的一个特例是如何发生的.
没有电场时可以存在简单的磁场(反之亦然).
但一般说来,如果电场随时间变化的话,将会产生磁场;反过来如果磁场随时间变化的话,也会产生电场.
光即如此,光是由在时空中以光速传播的震荡的电场和磁场组成的.
麦克斯韦所得到的统一理论和牛顿的统一理论在思想上是相似的,尽管牛顿意识到的作用在苹果的力和使地球环绕云顶的力是相同的



五.经典物理学中存在的问题.
我们发现了许多问题.其中一个就是引力问题.牛顿的万有引力理论准确地预言了行星是沿着椭圆形轨道运动的.
他还预言了近日点--轨道上离太阳最近的点,在空间上是固定不动的.
但若仔细地观察水星的轨道,就会发现它的近日点每次都会有一点微小的移动



六.原子之谜
院子问题是让科学家头疼的另一难题.早20世纪初,关于原子核的主流思想是认为原子是由带正电的原子核和环绕原子核的质量很小的电子组成的.由于原子核与电子之间带不同电荷的引力作用,如果电子不是直接坍缩到原子核上,它们必须是环绕原子核轨道运行的.
电子大体上是沿着圆形轨道绕原子核运行的,所以我们的速度越来越快.
为什么会这样呢?
这就和汽车在转弯时速度加快是一个道理,根据牛顿第二定律,加速意味着存在力的作用.



七.主要困惑
根据麦克斯韦的理论,大家都知道加速的电荷会发出光(或不同频率的电磁辐射),光的能量依赖于加速度的大小.但是,如果电子由于发光而损失能量,它们就会向内旋转并且在万分之一秒内坍缩到中心原子核上!
尼尔斯 玻尔:而事实上,我们观察到在几十亿年的时间尺度上原子都是稳定的.这是一个主要的困惑
马克斯 普朗克:这还需要引入量子力学来解释.



八.时代背景
现在我们对于在1905年时的物理学状况有了一个大概的了解,就在那时阿尔伯特 爱因斯坦(1897-1955)发表了他的狭义相对论.爱因斯坦的理论并不是凭空想像出来的.
他继承了牛顿的物理学传统,既包括牛顿的进步之处,也包括牛顿的不足之处.因此,爱因斯坦出现在世界格局的一个特定时刻,一个特殊的"智慧思潮"中,这为他的发现提供了环境



九.决定性事件
1901年维多利亚女王的去世标志着一段相对稳定时期的结束,同时,也标志着20世纪能量急速释放和革新加速出现的开始,所有这些我们热闹现在都称为"现代".一个危险的新世界从两个重大事件崛起了.第一件事是从1914到1918年的第一次世界大战.
第二件事是1917年俄国十月革命建立了苏维埃共产主义联盟.共产主义和来自美国以及西欧的反共产主义使得世界在政治上陷入了"冷战"时期,整个世界在20世纪下半叶都处于冷战之中.
对于爱因斯坦来说,1945年在广岛和长崎投下的原子弹极为残酷地证明了E=mc方



十.运动的时代
　　通过很多其他重大时间可以看出20世纪是个充满活力的世纪,是个动荡不安的时代.莱特兄弟奥维尔(1871-1948)威尔伯(1867-1912)在1903年制造了第一架动力飞机.
他们为旅行提供了革命性意义的新方式
亨利 福特(1863-1947)于1912年为数百万人带来了流水线大规模生产的T型车.
帕伯罗 毕加索(1881-1973)在1907年开创了革命性的立体派图画艺术,乔治 布拉克(1882-1963)发展了该艺术.在1910-1913年期间,英国哲学家伯兰特 罗素(1872-1907)和怀特海(1861-1947)创作了令人望而生畏的>,这本书试图在严密的逻辑基础之上对数学进行重新思考.
而爱因斯坦在1916年发表了相对论的广义理论,为物理学做出了另一个贡献.
我们先简单概括一下狭义相对论的实质,然后,我们把重点放在理解广义相对论的复杂性上.



十一.洛仑兹变换
爱因斯坦是一个具有DIY精神的思想家,他善于利用一些通常被别人忽略的发现.洛仑兹(1853-1928)的工作就是一个很好的例子.
爱因斯坦认为,洛仑兹变换是通向他的狭义相对论的必经之路.
想像一下,你在那里不动,我以一定的速度V向前运动.
可以看出,光速C对我们来说是相同的,且你和我在空间和时间中测得的距离也是一样的,或者说是没有变化的.(具体公式和时空图可在网上寻找 我实在没办法打出那些古怪的字符 实在不好意思)
当一个人的运动速度接近光速(约为300,000公里/小时)时,我们通常的关于相对运动的直觉是错误的,这是狭义相对论的一个重要结论.在爱因斯坦的理论中,光速是一个不依赖于观察者速度的基本常量.
爱因斯坦认为当运动速度接近光速时所观察到的长度,时间和能量都会变得完全不同了.这后来也得到证实.
注意:狭义相对论适用于任何没有引力和加速度的情况.
PS:1. 在不同的惯性座标系内，物理定律有相同的形式。
原本只限定於 牛顿力学内 ，现在则推广包含电磁现象。
2. 相对於不同的惯性座标系观察者，所观测到真空中的光速都是相同的相对於不同的惯性座标系观察者所观察到 物体的速度会不相同.但是所 测量到 真空中的光速皆相同。
以上是狭义相对论基于的两个基础,可以如下:
1.在不同的惯性参考系中,一切物理规律都是相同的.---爱因斯坦相对性原理.
2.真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的.---光速不变原理.
上两条以及其结论,构成了狭义相对论的基本概念.
再次注意:狭义相对论适用于任何没有引力和加速度的情况!



十二.长度收缩效应
例子:假设两个人A,B
A和B的相对运动速度为常数V,那么A看到的B是什么样的?
B手中拿着尺子运动,尺子在B的运动方向的测量长度为L.
由于他们的相对运动,A实际上看到了尺子的长度缩短了.
LA=LB*根号下L-V方/C方
A看到的长度比B看到的短。



十三.时间膨胀
与之相似，我们发现对于A和B彼此相对运动的观察者而言时间流逝的速率也是不同的。但是运动越快，时间是变慢了还是变快了？
B的钟显示的时间相对A的而言是TB=TA/根号下1-V方/C方
当B的运动速度越来越接近光速时，我的钟相对A的会逐渐变慢。
然而，就算B的时间流逝速率达到A的速率的一半，他的运动速度必须约为 光速的86%。这对于地球上的日常生活是不可能的。但是，实际上时间膨胀已经被观察到，这点我们将在后面谈到。



十四.观察μ介子
从外太空传来的宇宙射线以接近光速撞击地球大气,碰撞后产生的μ介子(一种类似于重的电子的奇怪粒子)也可以接近光速的速度飞行.
μ介子是不稳定的,对于和他们一起运动的观察者而言,它们的寿命只有百万分之二秒.这个时间太短了,难以解释实验观察事实,在海平面上每平方米每秒钟可以探测到180个μ介子.
那是因为,当计入由于μ介子的高速运动引起的时间膨胀时,我们会发现μ介子的寿命比原来增长了近29倍,这就是我们所观察到的这些的介子就有足够的时间到达海平面了..



十五.能量即是质量,质能
爱因斯坦的著名的质能关系式是:E=MC方.这里的M是"静止质量",指的是一个物体静止时的质量.这个表达式说明质量可以转化为巨大的能量.但当一个物体快速运动时它门的关系是什么样的呢?这时它也有动(或运动)能.实际上完整形式的爱因斯坦方程为:
E方=M方*C的4次方+P方*C方
E是一个动量为P的粒子的能量.记住在经典情况下动量P=M*V,这里V是物体的运动速度.
当粒子没有动能,静止的时候,我们有E方=M方*C的4次方,后写成大家熟悉的形式E=MC方.能量即是质量,质量即是能量.
但是假如我们考虑没有质量的粒子,比如说光子.爱因斯坦的公式说明它们仍然携带能量:E=PC,这是光的粒子理论.然而,光也可以被理解为一种波:E=HF,这里H是普朗克常数,F(频率)=C/λ,这里λ是光的波长,我们最后得到E=HC/λ来描述光的动量P.
光是粒子吗?还是波?
光子的波长越短,动量就越大.紫外光比可见光或红外光的波长短,或者说频率高.这就是为什么紫外光会引起皮肤癌.
但普朗克常数H是什么?


十六.普朗克常数H和量子效应
H=0.000 000 000 000 000 000 000 000 006 626
普朗克常数H是一个非常小的数,但是它决定了量子效应的尺度.
量子效应发生在非常小的尺度上,大约等于或小于原子的尺度,但不存在于我们日常生活的世界中,我们日常生活的世界用牛顿的经典物理学就可以很好地描述了.
量子尺度的例子之一就是粒子不仅表现为"粒子"(小的局域的能量块),而且表现为一种波(就像水波一样).这种波粒二象性是光,电子以及所有其他物质相互作用所共有的属性.
另一个例子是势垒穿透效应.
在经典物理学中,如果你朝墙壁仍一个网球,网球总会弹回来,它没有足够的能量穿透墙壁.
在量子尺度上,网球的微观对应物如电子就有可能奇迹般地出现在墙的另一侧!这可以解释放射性衰变的许多方面的问题.



十七.量子物理学与经典物理学
如果H为0,我们的宇宙中将不再存在量子效应.
如果它很大的话,量子效应就会主宰我们的日常生活.举例来说,用牛顿运动定律来描述汽车运动就不合适了.
光速C和牛顿引力常数G是经典物理学常数,在这个意义上它们与量子效应没有任何关系.如果光速非常小,比如说10M/S,狭义相对论一定早就被发现了.这是为什么呢?因为每个人都能觉察到时间膨胀和长度缩短效应.
反过来,如果光速是无穷大,狭义相对论就没有存在的意义了.
与之类似,如果牛顿常数G很大,则引力效应将变得非常强.
但如果G=0,也就不会形成行星或恒星,宇宙将会变成一个非常奇怪的所在.



十八.狄拉克的反物质思想
　　　　让我们再回到爱因斯坦Ｅ方=M方C的4次方,是否存在某种情况,在这种情况下E方(而不是E)很重要?当然存在.保罗 狄拉克(1902-1984)注意到当我们作开方运算得到E时,在数学上有两个解.这不难理解,2*2=4,(-2)*(-2)=4.取负号的根就能得到负能量.基于这一点(和大量严密的分析),狄拉克提出了具有负能量的反物质理论.
1932年,反电子的发现证实了他这一在纯粹数学推理的基础上提出的激进的主张.


十九.迈克尔逊-莫雷实验
1881年,阿尔伯特 迈克尔逊(1852-1931)设计了一个实验去检验地球的运转对光速是否有影响.1887年,迈克尔逊和莫雷(1838-1923)做了一个高精度实验,发现光的传播速度并不依赖与它的传播方向与地球转动的方向是相同还是相反.
这就完全不同于我们平日的直觉:合成速度只是简单的加减.
两条光束到达探测器上的时间因该有细微的差别.
然而我们发现光并不遵循这一原则,因而我们得出下面这一假定....



二十.光速的不变性
真空中的光速C的大小不依赖于观察者.这一假定是狭义相对论最为重要的原理之一.
爱因斯坦的光速不变假定代替了牛顿的绝对的时空观.
举例来说,假定两个观察者以0.99C的速度相向运动.如果A用手电筒照B.然后B可以观测到光的速度为C.


二十一.同时性问题
就像题目所提示的那样,相对论隐含着我们不能把我们的四维世界唯一的,绝对的划分为空间和时间.这是什么意思呢?如果时间被唯一地定义了,我们就可以用大家都能认可的方式来描述同时性的概念.为什么还存在同时性的认可问题呢?
假使A和B以很快的速度相对运动.
在B的前方有1和2两盏灯.
A看到两个闪光同时从1和2发出来.
那B会看到什么呢?



二十二.不同的时空分割
我们设想B在从1和2的直线上运动,再进一步假设当两个灯泡熄灭时(就A而言)B正好经过A身边;由于B正向2点运动,并且光速在所有的坐标系中的传播速度都是相同的,B会先看到2发出的光,然后看到1发出的光,因为当闪光到达他的位置时,他离2点近一些.
尽管对他来说两个闪光是同时的,但对我来说不是同时的.我们将会从几何学上看到,事实上你和A把四维的时空分割为三维的空间和一维的时间,并且你们的分割是不同的.



二十三.广义相对论的必要性
我们现在讨论一下狭义相对论一个著名的佯谬，这个佯谬促使广义相对论理论的产生。假设有一对双胞胎，其中一个乘坐火箭离开地球，另一个留在地球上，火箭加速到接近光速飞向一个距离地球10光年远的星球。
1光年是光1年中所经过的距离--一个非常遥远的距离！
假定V=0.995C，那么根据时间膨胀公式，火箭上的时间比地球上的时间慢10倍.
往返于地球与那个星球之间的履行,对火箭上的那个孪生子而言花了两年时间,但是对地球上的那个孪生子而言似乎花了20年的时间.



二十四.另一个观点
什么是佯谬呢?地球上的那个孪生子也可以热为火箭是静止的,实际上是地球以接近光速的速度在运动(和太阳系一起).在这种情况下,地球上的那个孪生子应该看到时钟变慢了,而火箭上的那个孪生子看到时间仍以正常速度流逝.别忘了,这正是相对论的意义.
当我们坐在汽车内以一个恒定的速度前进的话,如果我们愿意,难道我们不能认为是地球的其他部分在运动?而我们是静止的吗?
是的,从物理学的观点来看,它们对我们研究身边的物理是同样有效的方法.


二十五.走出僵局
孪生子佯谬似乎使我们陷入了僵局,这个问题似乎存在对称性.即使我们把孪生子交换一下,物理上看来还是一样的,但结果火箭上的那个孪生子回到地球所花的时间就完全变了.
稍微想一下就会发现这个问题,两个孪生子情况和观点真的可以互换吗?
如果火箭上的那个孪生子以恒定的速度V=0.995C飞行,她们就可以互换.
但是之前他们都是待在地球上的.显然他的那个孪生姐姐(妹妹)必须加速到0.995C,而他自己却不需要.



二十六.解决加速问题
这就打破了双胞胎之间的对称性,说明他们的观点不能互换.我们已经很清楚狭义相对论不能应用到存在加速问题的系统中.
因此为了完全解决这个问题,爱因斯坦需要拓展他的狭义相对论,使之包括加速问题.
这一探索使得爱因斯坦在1916年完成了他的广义相对论.这是对人类最伟大的个人智力贡献之一,尽管对此仍有争议.


二十七.广义相对论的基石
现在让我们来讨论一下广义相对论所需要的基本的概念基础.从1905-1915年爱因斯坦花了10年时间把这些概念基础整理清楚,因此我们也应该给自己足够时间去做同一件事......
在我们开始之前,我们需要接受约翰 梵 诺伊曼(1903-1957)的一条有用的哲理:
人们永远无法理解数学,只能去习惯它.--诺伊曼
处理奇怪的相对论的概念的时候,先接受它是很重要的.比如说,时空是四维的----三维空间和一维时间.然而我们受到三维空间的限制,我们无法真正看到四维空间,但有办法可以帮助我们感知它.


二十八.无穷维数
　　　　　首先，当一个科学家谈及四维 五维，甚至无穷维时。他的大脑思想到的是什么呢?为了回答这个问题,让我们来想想地球的表面吧.表面本身是两维的----也就是说为了确定你在地球上的位置,我们需要两个数:你的经度和纬度.
通过说你在北纬40度47分西经73度51分,我就知道你在纽约
如果你是在约翰内斯堡附近的地下矿井深处,你就需要给我另外一个数,你在地下的深度,然后我就可以指出你的精确位置了.
波恩哈德 黎曼
因为我们需要三个数字去确定地球内部的任意点的位置,所以地球作为一个立体的实体它是三维的.
我们可以简单地概括一下这一基本思想.如果你需要5个数来唯一确定你在一个空间中的位置,那么这个空间就是五维的.如果你需要25个数字来唯一确定一点,则相应的空间就是25维的.
与之相似,有些外部空间需要无穷多个数字,因此就被称为"无穷维的".
这对量子力学的表示很重要.
现在,需要认识到的一个关键点就是:这些空间不需要和我们生活的空间有任何联系,实际上一般也没什么联系.


二十九.一个思想实验
为了帮助我们理解,让我们来想想古希腊哲学家柏拉图(前428-前347).他认为我们所感知到的所有客体是仅存于我们思维中的完美的实体的影子.
柏拉图认为: 一个完美的圆仅存在于你的思想中,在现实生活中看到的只是些不完美的近似物.
但是他的学生问:但是如果你接受这个观点,你为什么还要相信我们大脑中的所有概念在现实世界中一定都有对应物呢?
就像我们前面所做的那样,你当然可以想像三十五维空间,并且那个空间不需要在现实世界中有任何对应物.
为了拓展这个思想,想想下面的思想实验.假定你想建立一个空间,这一空间是基于20世纪中每一个时刻的威尼斯的里奥托桥下的水位高度.
水位的高度相对于我的固定的参照点只是一个数字,时间也只是一个数字.因此我可以建立一个两维的空间,并且这个空间包含了在20世纪期间任意时刻所有可能达到的水位的高度.
这是一个存在于数学上的而不是物理上的抽象的空间,且是把我们自身世界的束缚中解放出来的关键一步


三十.无穷和位形空间
让我们进一步讨论一些关于无穷复杂性的有趣问题.就像我们将要看见的那样,宇宙学观察结果或许说明我们是生活在无穷的宇宙中的.在这种情况下,宇宙中的物质数量是无穷的,原子的数目也是无穷的.
我们如何建立一个空间,它能让我们纪录下宇宙的历程中所有时刻所有单个原子的位置?
对于每个原子,我们需要4个数:空间位置----3个数,时间----一个数.因此,每个原子需要一个四维空间,那么5个原子就需要4*5=20维的空间.



三十一.时空分割
然而这个例子中有无数个原子,因此完整的空间是无穷维的(4*无穷=无穷维).我们需要无穷多个数字去唯一纪录所有原子的位置.尽管我们不需要这个空间,因为它给出了系统的位形,在力学中被称为位形空间.
在思考空间问题的时候尽量不要拘泥于细节,不要只看到他们的某个部分,抽象思考空间的概念.
一个有用的方法是考虑它们的"切片".但是直观地看到它们通常是有用的.
我们可以把时空(四维)切分为我们能够看到的三维切片.


三十二．如何看待时空
　　　　抽象就是抛开想要看到事物图像的想法（就像在我们的世界中看到的事物一样）．它的一个很大的优越性在于:如果一些空间处于更大的空间内部时,我们能够不必迫切地,不停地去思考它们是什么样子的.
比如说,我们通常把一张纸看成是一个位于三维空间中的两维空间.
因此,当人们听说宇宙在膨胀,他们很自然地就会问膨胀到什么地方去了?
从一般的观点来看,这是一个很自然的问题,但是从我们新的观点来看,并非如此.我们新的观点把一个空间看成是完全独立于其他任何空间而存在的.因此宇宙学家们通常把宇宙膨胀仅仅看成时空自身的一种属性,也就是说时空中的任意点之间的距离是越来越大的.



三十三.同时性是相对的
不同于牛顿的引力论,相对论的一个重要组成部分是把空间和时间统一于一个四维空间中,这个空间像一块面包一样,可以按不同的方法把它分割成"空间"和"时间".但却不存在某种唯一的或更好的时空分割方法,这实际撒谎能够是我们理解前面所看到的同时性缺失的一种几何方法.
A和B按照不同的方法去分割时空.
B看到两个闪光不是同时发出的.
A看到两次闪光,从1,2同时发出.
那么B呢?
A站着不动.B跑向2
时间顺序:
1.B看到光2
2.A同时看到光1和2
3.B看到光1
现在我们已经做好准备要继续循着爱因斯坦的足迹走向广义相对论.


三十四.爱因斯坦的工作
在1904-1905年岁末之间,爱因斯坦发表了6篇论文,这些论文都隶属于20世纪最重要的论文之列.其中两篇奠定了狭义相对论的基础.但是现在他所面临的问题是如何在两个方向上拓展他的狭义相对论.
第一,允许观察者加速,而不是以恒定的速度运动.
第二,让狭义相对论和牛顿的引力论相协调一致.
乍看起来,这些似乎是很难的工作.但是爱因斯坦敏锐的洞察力使他意识到它们是同一问题的两个方面.现在我们来讨论一下爱因斯坦所采取的推理过程,这个推理过程后来被爱因斯坦称为"我一生中最快乐的思考过程".



三十五.悬浮时的引力
如果你从一个窗户上掉下来,在撞击地面之前你会有什么感觉(除了空气阻力以外)?你向地面加速并且感觉失重了.这就是宇航员为太空飞行做训练的方法----坐在飞机上,让飞机垂直下降飞行几分种.
当他跌落时,如果他把锤子仍了,锤子就会与我以同样的速率下降.
对他来说,锤子看起来是静止不动的.
这使得爱因斯坦提出,引力效应在很短的时间和近距离内会像变魔术般的消失了.在上面这种情况下,这很短的时间就是在你和锤子一起跌落的刹那.



三十五.等效原理
现在我们把这一思路进一步拓展一下吧!假如你现在戴上眼罩,躺在一个没有窗户的房间的地面附近.这个房间不受到任何力的作用在太空漂移.你处于完全失重状态.突然你撞向"地面",并且被束缚在那儿不动.
发生了什么事?
是一个大的行星突然接近他,从而它的引力把他拉向地板的吗?
还是一个连接在这个房间上的火箭突然启动,拖着房间朝着束缚我的地面相反的方向加速?
和爱因斯坦一样,也许你的直觉会让你怀疑你说不出这两者的区别.这两个表面上似乎简单的观察就是我们现在所知道的等效原理的两个不同方面.等效原理是理论物理学上的一个明珠.通过这个简单的思想实验,爱因斯坦对于如何扩充狭义相对论使之包括加速问题和引力已经是了然于胸了.


三十六.引力质量和惯性质量
稍微想一下就会发现,等效原理的意思是,我们以前所思考的拓展狭义相对论的两个挑战(包括观察者加速和引力作用)归结为同样一个问题:一个观察者无法回答他是由于引力还是其他什么使他加速的.
与这一原理相关的一个结果是:出现在牛顿万有引力定律中的引力质量F=GMm/r的平方和出现在牛顿第二运动定律F=MA中的惯性质量是相同的!
"爱因斯坦的房间"中的物质将会让人们了解他们是受到引力作用还是被火箭加速的.这一点被精确地检验了,但对于一些奇异的物质不应该是这样的.



三十七.牛顿第一定律的拓展
我们已经知道当在一个引力场中下落的话你会感到失重,就像没有力作用在你身上.这使得爱因斯坦产生了一个激进的想法,那就是引力不同于其他力.但是我们如何把这点和最基本的经典定律----牛顿第一定律协调起来呢?牛顿第一定律是在伽利略(1564-1642)的工作基础上建立的,它认为一个物体如果不受到力的作用,它将在空中沿直线运动.
我们当然知道由于地球的引力作用,月亮是在环绕地球的椭圆轨道上运行的.因此为了解释引力作用,我们需要对他的第一定律做点修改.
对这一问题的解决是如此的完美,因此成为物理学史上对一个理论的修改中最漂亮的例子之一.
地球不是平坦的,太空也不是!
爱因斯坦所修改的牛顿第一定律是:
物体在不受力的情况下将沿着时空中距离最短的曲线运动.但这显然没什么用,我们都知道两点之间距离最短的"曲线"是直线.
是吗?
在一般的空间中两点间距离最短的并不总是直线!
问题在于我们通常都把自己局限于平坦的空间中,局限于欧几里得(BC300)几何学的传统中.但是我们都知道地球不是平坦的.我们为什么要局限地认为时空应该是平坦的呢?是牛顿提出了这一假说,他是个天才......在那个时代这似乎是个合理的假设!
实际上当空间是弯曲的时候,这一空间中任意点之间距离最短,并且完全位于这个空间中的曲线不是一条直线段.举一个简单的例子:地球.
地球表面从墨西哥市到牛津的最短的路径是什么曲线呢?完美的球面上的距离最短的曲线是一个"大圆".
大圆的例子有赤道以及各条经线.实际上地球的表面并不存在直线.



三十八.一个难题
这些思想的另一个例子是一个古老的难题:一只蚂蚁应该选择什么路线,以最快的方式从火柴盒里的一角到达另一个斜对角呢?
通常中圈套的都会回答:"先下去然后沿着对角线穿过去."
解决这一问题的一个巧妙的方法是把火柴盒打开展平.
因为现在现在是平坦空间了,一条直线段确实给出了最短距离路径,这就使得蚂蚁要沿着一条不是靠直觉判断得出来的路线前进.



三十九.测地线
距离最短的曲线在相对论中的专业术语是测地线.因此,为了想要知道当存在引力相互作用时物体是如何运动的.我们需要做的是计算适当的测地线,在没有其他力的情况下,比如说火箭拉着它穿过太空或者电场作用,物体将沿着测地线运动.这点是准确无误的.



四十.类空,类光,类时
但是我们还有点迷惑不解.在对牛顿第一定律做修改时时间又在哪里呢?从墨西哥市到牛津的最短路径可以一直标注在地球的表面上(忽略大陆漂移),但是我们对牛顿第一定律的修改讨论的是物体随时间沿测地线运动,这肯定没有任何意义.
这就使得接下来由于我们有空间维数和时间维数,我们需要引入三种不同类型的测地线.
如果你在测地线上运动,你的运动速率大致就是你自己的速度.从狭义相对论我们知道光速C在这里应该起作用.别忘了,我们在努力试图拓展狭义相对论使之包含引力相互作用.
在时空中加入时间,我们就得到事件的光锥.
事实上,相应于速度为小于C,等于C和大于C的三种测地线分别被称为类时测地线,类光测地线和类空测地线.
狭义相对论隐含了所有物体的运动速度必须小于或等于光速,V小于等于C.
或者按我们新的术语,物体必须在类时和类光测地线上运动.
我们从墨西哥市到牛津的大圆使一条特殊的类空测地线----在它上面运动需要无穷大的速度,因为一个人同时出现在这条曲线的所有地方!最终得到的爱因斯坦修正的第一定律是:
如果不受到引力之外的其他力的作用,所有物体都在类时或类光测地线上运动.
因此,这也包含了狭义相对论的基础:没有物体运动速度超过光速.


四十一.测量距离
但是通常测地线是非常难计算的.想像一下要测量一个充满了小山,山谷,山脉和平原的复杂地形,你如何计算早这崎岖不平的地形上的距离最短的路径?
现在想像一下在四维空间中做这件事!
为了找到测地线,我们需要介绍距离的测量.让我们从上面的地形出发.
找到测地线的方法是使用这个地区的地形图.
然后当乌鸦在地图上的任意两点之间飞行,我们就得到了这个距离.
这是有毕达哥拉斯定理ds2=dx2+dy2得到的距离,对它我们很熟悉.
这里dx和dy分别是我们所关注的地图上两点在X坐标和Y坐标上的距离



四十二.测地线和度规
但是别忘了测地线必须是定义在位于空间本身中的曲线.因此,乌鸦可能得选择在很深的峡谷中飞行.有的乌鸦则可能选择绕过山谷,艰苦跋涉穿越这一地形,因此所行的距离可能比在峡谷中一上一下短的多.
为了找到测地线,我们除了仅有的额平坦的地图上的距离之外,还需要知道更多的信息.我们需要的是所在空间中的距离----在这个例子中是地面上的距离.
用一个数学量把平坦地图上的距离转化为我们的曲率空间(这里指的是地形)中的距离,这个数学量称为这个空间的度规,度规在这个空间中是唯一的,我们将用"g"来表示．
　　　度规的思想对我们来说很普通，它是一种把一般的距离（平坦空间中的距离)转化为曲率空间中的距离的方法.就像一个出租车的计价器把一定量的时间和路程转化为乘客的费用.
夜间15分钟4公里的路程比白天同样时间和路程的费用要多(国外)."出租车度规"依赖于一天中的时间.
类似的,如果你在伦敦乘坐出租车,将比你在印度乘坐出租马车的花费高很多,即使你花的时间和行进的路程是一样的."出租车度规"也依赖于你的空间位置.


四十三.找出度规
同样情形可以用到我们所举的地形例子中.非常崎岖不平的地区的距离和平坦的牧场上的距离有很大的差别.事实上,地形越是崎岖不平,实际的距离和平坦地图上距离差别就越大.因此,越平坦的地形,实际的距离就越接近普遍的毕达哥拉斯定理给出的距离,测地线也就越接近直线.
因此,我们猜想接近平坦的几何体系的测地线接近直线.虽然这不是很精确,但这说明测地线是一种能够说明空间是否弯曲的很好的方法.



四十四.度规
但什么是度规呢?恩,如果我们再考虑可靠的圆柱和球的例子我们就会对此有所了解.圆柱是在一个方向上弯曲的,但在纵向不是弯曲的,而球在南北方向和东西方向都是弯曲的.显然,如果度规能够给出空间曲率的所有信息,它在空间中的每个点上就不可能只有一个数,否则它怎么能区别出圆柱和球呢?
每个点上用两个数,我们就可以唯一确定一个曲面的曲率.大致说来,它们给出两个相互垂直的方向的曲率.
两个数都是度规的一部分,有点像一辆自行车有两个轮子一样.
好的系好安全带,就要驶向一个崎岖不平的地方了,让我们进一步看一下超过两维情况下度规的组成.
我们需要多少个数来构成度规呢?
一个?两个?还是三个？
这依赖于时空的维数吗?


四十五.四维空间的度规
我们将指定两个数GXX和GYY代表度规,它们分别和我们的坐标系(实际上是任意的)中的X方向和Y方向的曲率相关.现在,在四维情况下,问题变得更加复杂,因为四维空间可以向四个不同的方向弯曲.
因此,我们需要超过两个数来唯一确定任意点的曲率.
实际上,我们需要10个数!因此如果我们把度规想像成一辆自行车,那它现在就有10个轮子了.
因此,如果我们在地图上的X,Y方向上分别取小的步长DX和DY,我们就可以用度规计算出曲率空间中的距离为下面的和:
(DX)方=GXX(DX)方+GYY(DY)方
因此,知道了空间(时空)度规,我们就可以用一些先进的技术来找到测地线----或者至少我们可以写出测地线所满足的方程.但是,像神秘的魔法一样,解这些方程是异常的困难,只能通过计算机近似求解.


四十六.时空测地线
到目前为止,我们都可以用日常生活中的类比物来讨论曲率空间测地线.但现在我们必须放弃这些类比,深入一个时空中测地线的奇异世界.即使在相对论中,空间和时间也不是完全等价的.
这是理所当然的,因为在空中我们可以来回移动,但在时间中不行.
时间使得测地线的讨论变得奇怪,即使在平坦的时空中,它都改变了简洁的毕达哥拉斯定理.
在空间中毕达哥拉斯定理表示为DS方=DX方+DY方+DZ方(在三维空间中),那么时空中的两个事件(T,X,Y,Z)和(T1,X1,Y1,Z1)之间的距离是什么样的呢?
时间如何折合到距离计算中去呢?
结果最有用的包含时间的方法是通过黎曼几何.
乔治.弗雷德里希.波恩哈德.黎曼(1826-1866)和牛顿,高斯(1777-1855)一起被称为历史上最伟大的数学家.在费马大定理被证明之后,黎曼关于素数性质的假设成为数学中未被证明的最大猜想.克雷悬赏一百万奖金给证明出该假设是正确的人(如果证伪了则没有).


四十七.包含时间
爱因斯坦在建立广义相对论时借用了很多黎曼发展的几何技巧.在黎曼几何中,两点之间的距离不一定都是正的,可以是零或者是负的.
因此,当时间被包括进来后,我们必须把毕达哥拉斯定理改为洛仑兹定理,回忆一下在十一提到的洛仑兹变换,我们现在将得到:
DS方=C方DT方+DX方+DY方+DZ方
这里DT=T1-T是两个事件的时间差.
我们先前把测地线分为类时,类光和类空,现在我们对应于DS方的值分别为负数,零和正数.
测地线:类时DS方 类光DS方=0
类空DS方>0
类光测地线相应于像光子那样的无质量粒子的运动.
爱因斯坦认为在四维空间中,光子实际的传播距离为零DS方=0
尽管如此,光子在空间中显然可以传播很远的距离.


四十八.龙的尾巴
因此我们将会看到关于牛顿万有引力的许多漂亮的和激进的拓展都隐含在从牛顿第一定律到爱因斯坦修正的过渡中.这只是需要我们改几个字.由于广义相对论异常惊人的功效与简洁,这使得前苏联著名的物理学家列夫.朗道(1908-1968)宣称对广义相对论的深深的敬畏与欣赏是成为一个理论物理学家的先决条件.
爱因斯坦对牛顿第一定律的关于测地线的修正,只解决了问题的一半.
这是龙的尾巴.
如果你稍微考虑一下,你就会发现少了很大一部分,这部分是完成我们的目标的基础.我们的目标是建立与相对论一致的引力理论来代替牛顿引力理论.


四十九.缺少的部分
缺少的部分包含在这个问题中:"时空怎么知道如何弯曲从而给出正确的测地线,让月亮在绕着地球的椭圆轨道上运行?"
但从狭义相对论和E方=M方C的4次方+P方C方可以知道动量就是能量,能量就是质量.
因此,宇宙中的任何能量都将会引起时空弯曲,这似乎很合理.


五十.龙咬自己的尾巴
因而,简洁的说法就是:物质决定了几何弯曲,而几何限制了物质如何运动.
但是如果我们还不知道物质在哪里,我们怎么计算几何?
如果我们不知道物质在哪里运动,我们怎么知道时空是如何弯曲的呢?
这种鸡生蛋,还是蛋生鸡的状况是广义相对论中的复杂性的根源.我们或许可以想像成是一条龙咬住自己的尾巴


五十一.张量
为了明白爱因斯坦是怎么建立他的理论的,我们需要引入一个被称作张量的数学概念.它只是由一些数字组合起来的.
0阶张量只是个简单的数:比如说,数字"2".
1阶张量是4个数字组成的一串数(在四维空间中).
比如说,A=(1 0 -1 3.14)是一阶张量或者说只是一个"矢量",矢量在时空中也是一列数.
我们经常把矢量记做Ai.
这里i=1,2,3或4,所以A1=1,A2=0等等.电场和磁场就是用这种方法描述的.
二阶张量是一个矩阵或者说是一个4*4=16个数字组成的数字块,它可以用Bij来表示.两个下标i和j说明它是一个数字块:
Bij={2 1 2.34 17
-29 2 0 42
34 -1.4 23 1000
-1 -1 -1 0}
这里B的下脚标i表示行数,j表示列数.因此,B11=2,B12=1,B31=34,以此类推.
注意,括号中的实际数字是不重要的,它们可以是任何数.
三阶张量是一个三维的数字块,它可以用三个下标来表示.比如,Cijk,这里的i,j和k可以是1,2,3,4中的任何一个.
因为这个数字块是三维的,要想看到它很困难 .
你可以想象一个数字魔方的一个角被拿了下去,所露出的三个平面.



五十二.爱因斯坦的场方程
张量是可以描述空间曲率的方法。既然我们已经介绍了张量，我们可以写出爱因斯坦的场方程。但在此之前我们还得补充一点。
如果我们记Cij=Bij，那么对于所有的i和j，意思是C11=B11,C12=B12,C22=B22,等等。
现在我们可以写出爱因斯坦的广义相对论的方程为：
Gij=8兀GTij+Agij
这里G是牛顿的引力常数、派约等于3.14、A被称为“宇宙学常数”，这个后面将要用到。我们知道爱因斯坦的方程实际上是16个方程，因此，用张量来表示非常简洁、有效。
在这些方程中Gij被称为爱因斯坦张量。gij是一个二阶的度规张量。Tij被称为应力能量张量，它完全是由在我们所关注的点上的物质所决定的。
特别地，如果在某个特定的点（x，y，z，t）上没有物质（真空态），则Tij（x，y，z，t）=0.
从爱因斯坦方程可知，这意味着在点（x，y，z，t）处，Gij=Agij。但很重要一点是：即使A=0，这并不意味这点（x，y，z）处的空间是平坦的。
这一点很重要，因为从我们日常经验可知，尽管在太阳和地球之间几乎是完全真空，地球仍然绕着太阳转。
因此，尽管在太阳和地球之间没有物质，但那儿的时空仍然是弯曲的。
一般说来Tij（x，y，z，t）不等于零，我们必须同时求解这16个方程，这是一个非常困难的工作，科学家们仍然在试图找出一般解。
为了更深一步，我们必须仔细研究一些不同类型的空间曲率----内禀曲率和外部曲率。



五十三.曲率类型
我们已经推出了爱因斯坦方程，现在让我们更好地掌握不同类型的曲率吧，这是我们应该做到的，因为在后面将会证明这很有用。首先，我们来想一下两维的表面情况，比如说地球表面成一张纸。
显然，地球是弯曲的，但是它的曲率和马鞍的曲率是一样的吗？
不，这两种曲率是不同的。
我们可以通过总结平行线的概念来研究这个问题。
欧几里德奠定了几何学的基础。
这在直觉上似乎很显然，但他无法证明这一点。
最终，欧几里德不得不把它作为一条公设----公理。这是因为这并不总是对的。
实际上，只有当你所画的平行线所在的空间是平坦的，这才是对的。故而，欧几里德几何学研究的是平面几何。



五十四.正曲率
为了看到平行线是能够相交的，我们需要在曲率空间给它一个适当的定义。现在欧几里德几何中的两条平行线的一般定义中我们可以用“测地线”来代替“直线”。
如果两条测地线在某一点上是平行的，那么我们就可以说这两条测地线是平行的。
这就是说，它们和第三条测地线的交角是相等的。
所有的经线和赤道都是测地线----它们是些“大圆”。所有的经线在赤道处都是平行的，因为它们和赤道的交角都是直角。但是所有的经线都在南北极相交。
因而，平行线是可以相交的！在这种情况下，我们可以说这一空间有正曲率。


2008-7-23 04:57 　 回复此发言


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宇筠锋 2010年01月31日 星期日 17:23 | 回复 很有些庞杂啊！
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