清华 牛顿方程本身是一个矢量方程，F和a都是矢量，因此我们最好建立一个坐标系在每一点提供一组线性无关的基矢量将牛顿方程投影在这

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纸上乱弹物理学——Classical Life
唔，好久没有写这个系列了。似乎上次发狠“量子噩梦”写的太长了，很长时间缓不过来。趁着今天考完试，写着么一篇换换心情。以前的文章主要是讲很多概念尽可能地讲清楚。不过这一次，呵呵，把一个大家很熟悉的东西讲得面目全非似乎也挺有意思的。玩笑^_^，其实这一篇是想尽量介绍一些数学物理学家（mathematical physicist）的工作，他们的工作不一定是直接描述世界的模型，但是却帮助这些模型更好的描述了世界。

从《自然哲学之数学原理》出版（1686年）开始，经典力学已经走过了风风雨雨的三百多个年头。在这三百多年中，经典力学不停的改变着我们的生活，最终成为了日常的一部分。于此同时，经典力学本身的结构也在不停的进化，不停的获得更加普适的形式，不停的显露出更新的对称性。虽然在进入20世纪之后，由于相对论和量子力学的诞生，经典力学不再被当成描述精确世界的模型（这里稍微要澄清一点，有些时候人们会把相对论也归于经典物理的部分从而和量子物理区分，虽然大部分时候我喜欢这种划分，这里我还是将经典力学限制为非相对论的牛顿力学），令人惊讶的是经典力学在发展过程中得到的各种结构、框架仍然活跃于理论物理（原谅我用这个词）的最前沿，没有一点过时的迹象。

以上算是一个相当平凡的开场白，几乎和我们所知道的经典力学一样平凡了，毕竟我们从初中就开始知道惯性定律，高中就开始和各种质点系统打交道，到了大学物理一上来还是牛顿方程，只是要用到微积分。从使用的角度来说，这确实是经典力学的全部，因为三百多年来经典力学的发展都和牛顿定律等价。不过，从理论结构的角度来看，牛顿力学只是冰山一角。全清华的学生大概都知道牛顿方程，不过估计只有少数几个系的人知道拉格朗日量和拉格朗日方程，要是再说哈密顿方程的话估计只有数学系和物理系的人明白了。泊松括号，Hamilton-Jacobi equation基本上是物理系的人自娱自乐的东西。Dirac bracket？哦，大部分物理系的学生只会告诉你Bra和Ket。看到这里，你是否感到经典力学变得完全陌生了呢？

我们还是从熟悉的F=ma开始，这是从高一就开始折磨我们的Newton方程。不过在写下这个方程的时候，我们应该明确两个概念：参考系和坐标系。首先运动都是相对的，所有的量都必须相对于某一个基准来定义，参考系是用来描述运动的基础。更重要的是，牛顿定律只在惯性参考系中成立（我们这里暂且不考虑如果定义惯性系的问题）。其次，牛顿方程本身是一个矢量方程，F和a都是矢量，因此我们最好建立一个坐标系在每一点提供一组线性无关的基矢量将牛顿方程投影在这个坐标系之下，也就是牛顿方程的分量形式。一般我们会选择固定在惯性系上的直角坐标系，牛顿方程变成熟悉的F_x=ma_x的形式。不过，这并不是唯一的选择。事实上，参考系和坐标系是独立的。我们一样可以选择将F和a投影到一个相对某参考系运动甚至转动的坐标系S_ep之下。此时，因为参考系没有变，牛顿方程本身仍然不变，但是，因为我们EP的选了一个复杂的坐标系，牛顿方程在该坐标系下的分量形式可能非常复杂。我们当然也可以选则一个现对于S_ep静止的参考系，这样F和a的分量形式又会变得比较好写，可是此时我们并不是在惯性系之下，牛顿方程本身不成立。很多时候我们容易将参考系和坐标系等同起来，但是在研究转动问题的时候，要将两者区分开来比较好理解。一个类比是曲线论里面的活动标架法，在这里曲线所浸入的空间可以看成是参考系，而曲线的活动标架可以看成是运动的坐标系，所有的向量可以在活动标价上分解（呃，似乎这个类比反倒让问题复杂了也说不定）

在大部分时候，固定于参考系的直角坐标系并不是最适合描述问题的坐标系，因此我们需要考虑牛顿方程在不同坐标系之间的变换。而坐标系变换正式牛顿力学最大的弱点。牛顿力学有时候也被称为矢量力学，因为它的基础全是建立在矢量方程F=ma之上的。但是在坐标变化下，矢量的变换非常复杂甚至可能和位置相关（大家可以试试把直角坐标中(0,0,0)点处的矢量(1,0,0)和(1,1,1)点处的矢量(1,0,0)写在极坐标系下）。有没有能够绕过这一弱点的方法呢？

在18世纪中叶，物理学家们得到了和牛顿定律等价的“最小作用量原理”——任何物体在运动的时候都会选择使作用量S最小的轨迹。作用量S是拉格朗日量（Lagrangian）L对时间的积分，而拉格朗日量是系统动能和势能的差：L=T-V。也就是说，最小作用量原理认为，物体的[B]真实运动轨迹[/B]总是无数可能轨迹之中平均动能和平均势能最为接近的那一条。这个原理的类比是光学中的费马原理——光线在介质中的轨迹总是光程最短的那一条（其实它们本质是一样的）。牛顿时代的数学家们就已经发明了解决这类问题的工具——变分法（由某个伯努利在另一个伯努利向全世界数学家挑战的问题中发明）。变分法告诉我们，使作用量S最小的轨迹满足下面的拉格朗日方程（Lagrangian Equation）：

这里q是用来描述系统的广义坐标。

最小作用量原理和牛顿定律是等价的，但是它的形式带给了我们更多的内容。无论是作用量S还是拉氏量L都是标量，也就是说，它们在坐标变换下是不变的。更重要的是拉格朗日方程的形式在坐标变换下也是不变的。也就是说，即使我们换到了坐标系q'，S和L的值仍然和坐标系q中一样，拉格朗日方程也仍然是上面的样子。如果我们想写出系统的运动方程，只要在一组合适的坐标下写出系统的动能和势能，然后写出L，套入方程就可以得到我们需要的运动方程。虽然和直接用牛顿定律得到的方程是一样的，但是我们跳过了复杂的受力分析和运动分解的过程（还记得高中时候痛苦的寻找加速度之间的关系么）。事实上，在最小作用量原理的体系下，我们不需要“力”的概念，也根本不用画受力分析图。拉格朗日抛弃了矢量力学中的几何部分，将力学转化成了纯分析问题。他本人也在《分析力学》中自豪的宣称：“从此，力学成为了分析的一个分支”而且在书中没画一张图（我所知的第二少的例子是只花了四张图）。不过，拉格朗日那个时代力学和几何本身的发展还是太过浅显。50年后哈密顿重新建立了力学和几何的联系，只不过那时的几何也不需要画图了。。。（另，其实拉格朗日表述本身就是流形上的切从——感谢clover的补充）

最小作用量原理第一次在物理学中明确引入了“广义协变性”的概念——运动方程应该与坐标系的选择无关。不过这一原则一直到1916年才被广义相对论发扬光大。另一方面，最小作用量原理似乎赋予了物体一种“灵性”，好像没有意识的物体似乎都回自动的寻找作用量最小的道路。有些人认为这样的理解相当自然，但是也有很多人讨厌这种“目的论”似的解释。这个问题一直到20世纪中叶费曼建立路径积分才有了很好的解释。

虽然在使用上拉格朗日体系和牛顿定律是等价的，但是因为拉格朗日体系中的基本概念比牛顿体系中少（没有力），拉格朗日体系有着更强的可推广性。最小作用量原理只需要定义好作用量S，就可以通过变分原理给出运动方程。实际上对于广义坐标的选择，系统所处的时空结构等等完全没有任何限制。牛顿力学中的坐标是一组数，我们可以把广义坐标选成场。牛顿力学建立在伽利略时空中，我们可以把背景时空换成闵式的，任意维数的，甚至是弯曲的。只要选择合适的作用量，我们都可以自动得到运动方程。而写下满足某些对称性的作用量比直接写满足某些对称性的运动方程容易得多！目前几乎所有的基本理论都可以从某个合适的作用量得到，无论是Maxwell电磁理论，还是广义相对论，我们都可以找到合适的作用量，唯一的例外是Type IIB超引力（需要在作用量之外补充一个条件）。作用量原理甚至将拓扑引入了物理之中，不过谈这个就扯的太远了，我们还是回来谈经典力学。

无论牛顿方程还是拉格朗日方程，都是坐标空间（或者拽一点，位形空间（configuration space））中的二阶微分方程组（我们需要给定坐标和速度才能完全描述系统接下来的行为）。而数学里面对于一阶微分方程组研究的更为透彻。虽然给定任意一个二阶方程组，我们总可以将它转化为一阶方程组。但是，有没有办法像得到拉氏方程一样能直接得到一阶的运动方程呢？哈密顿在1833年提出的新体系解决了这个问题。哈密顿放弃了在坐标（位形）空间中用坐标和速度（q和dq/dt）描述系统的做法，转而将坐标和动量（q和p）看成是独立的变量来描述系统的运动。这样，原来N维位形空间中的N个拉格朗日方程变成了2N维空间中的2N个一阶哈密顿方程：

这里H被称作哈密顿量（Hamiltonian），可以从拉氏量L得到，从L到H的变换叫做Legendre变换（以此人名字命名的某函数可能给大家印象更深些）。一般情况下，哈密顿量就是系统的能量。在哈密顿体系下，我们可以直接应用很多一阶微分方程的数学结论。

不过，更有意思的是，哈密顿体系比以前的体系显示出了更多的几何结构，只不过这种几何结构并不是拉格朗日所想的欧式几何。相空间本身是个辛流形（Symplectic Manifold），拥有辛几何结构。哈密顿方程本身定义了相空间中的一个变换g，相空间中的每一点（q，p）在一定时刻dt之后都会映射到相空间中的另一点（q',p'），整个相空间会映射到它自身。我们知道三维空间中的转动变换保持任意两点之间的距离不变。在相空间中，变换g不会保持距离不变（相空间里面也没有“距离”的概念），而是保持相空间的辛结构不变。系统的运动变成了相空间中一系列辛变换的叠加！

在相空间中还可以定义一个叫做Poisson括号的运算：{F,G}。利用Poisson括号哈密顿方程可以写成：

Poisson括号的具体形式并不重要，重要的是Poisson括号满足反交换律，Jacobi恒等式等运算性质——实际上就是李代数的运算性质以及{q,p}=1的结果。因此我们同样可以抛弃经典力学里面Poisson括号的定义，将它换成我们需要的定义，只要我们能保证和经典力学里面有同样的运算性质和{q,p}=1，我们就能用Poisson括号得到运动方程（就像我们将作用量换成别的形式之后就能得到广义相对论的方程一样）。这一推广的直接结果就是量子力学，或者严格地说海森伯的矩阵力学。当初海森伯在建立矩阵力学的时候，就是将坐标和动量看成矩阵，将Poisson括号替换成矩阵的对易子，哈密顿方程就变成了矩阵的方程。这个过程和做小作用量原理的推广类似，抽象的代数和几何结构并没有变，仅仅是换了这些结构的具体表示，我们就从经典力学走到了新物理。

哈密顿体系中还有另一个重要的概念——相空间之间的正则变换（canonical transformation）。正则变换将一个相空间变成另一个相空间，保持辛结构不变，但是哈密顿量可能变化。实际上，系统的运动也可以看成一种特殊的正则变换。正则变换可以给系统的运动提供类似曲线论中的活动标架法的描述。想法其实很简单：如果我本人一动不动的坐在一辆运动的汽车中，那么知道了汽车的运动，就可以知道我的运动。将这个想法推广一下：如果我们能描述一个坐标系的运动，而且在这个坐标系看来，我们要描述的系统始终是静止的，我们也就等于找到了系统运动的描述。因此解运动方程变成了寻找一个适当的活动的坐标系（当然是空间中的）。这个看上去更加费事的方法将2N个一阶常微分方程（哈密顿方程）变成了一个有2N+1个变量（N个p，N个q再加一个时间）的一阶偏微分方程——Hamilton-Jacobi方程。事实上解H-J方程要比解Hamilton方程复杂的多，但是H-J方程的重要性在于：只要稍作变换就可以变成量子力学中的Schrodinger方程（在前面一篇“量子噩梦”中我提到过量子力学的推广更多是运动学的而非动力学的）。在哈密顿表述中，几何概念和物理概念总是交缠出现，互相推广，这一点是当初拉格朗日本人所没有想到的。

进入20世纪后，由于相对论和量子力学的冲击，人们的注意力逐渐从经典力学移开。但有趣的是，经典力学的工作有时候仍然可以指导我们如何量子化。Dirac在50年前后给出了Poisson括号在约束系统下的推广——Dirac括号（Dirac Brackets）。这是一个纯经典力学的结果，但是更多的用在了规范场的正则量子化上而不是用于解经典力学的方程。Dirac在做出这个工作之后实在是太高兴了，感觉自己的地位足以与拉格朗日、哈密顿等人并列，因此他将Dirac bracket看成是他一生最重要的贡献（而不是通常误解的bra和ket）。正则变换则在1983年重出江湖，在Batalin和Vilkovisky给出的antifield formalism中，field和antifield有着同样的辛结构，而这时，正则变换将把经典的作用量变成量子化的作用量(BV formalism对于大部分物理学家没有任何用，只是在string theory和string field theory中大显身手。另，圈子里对Batalin和Vilkovisky的评价是：无论多简单的东西，他们都能整的无限复杂）。

实际上，上面所说的所有经典力学的体系并不能帮我们更快更准确的解出运动方程（实际上，拉格朗日表述还是哈密顿表述得到的方程最终都是一样的，H-J方程比它们还难解）。这些工作的目的其实是为了逐渐抛弃掉力学之中各种具体的概念，将方程之后的代数和几何结构显示出来，后很多方法在很多年之后可能才被人意识到它的强大。不过话又说回来了，数学物理学家追求更普遍的结构，至于有没有用，他们恐怕也不care吧。

所有跟帖： 

• 固定于参考系的直角坐标系并不是最适合描述问题的坐标系，因此我们需要考虑牛顿方程在不同坐标系之间的变换 (图) -marketreflections- ♂ (1151 bytes) () 05/21/2010 postreply 16:00:16

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• 完整约束下保守系的拉格朗日方程，并举例应用 -marketreflections- ♂ (371 bytes) () 05/22/2010 postreply 07:08:31

• 哈密顿系统、天上的混沌和量子世界的混沌 -marketreflections- ♂ (3203 bytes) () 05/21/2010 postreply 20:28:18

• 在量子力学中，微粒可能具有的每一位置，都是所有位置的集合中的一种交换组合，其权重为复数。于是，我们得到了一个关于位置的复函数，即 -marketreflections- ♂ (3402 bytes) () 05/21/2010 postreply 20:31:34

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• 得到系统的哈密顿量是非常重要的,这点在经典物理和量子物理中都是. ... 其实在本质上是一致的, -marketreflections- ♂ (286 bytes) () 05/21/2010 postreply 20:39:23

• H（p，q），哈密顿量是具有n个自由度的保守系统中的总能量：这里的变分号δ表示，t是一个独立变量，并且所有的变化路径像实际路径一 -marketreflections- ♂ (248 bytes) () 05/21/2010 postreply 20:44:52

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• 必须先计算哈密尔顿量，用共轭动量来表达每个广义坐标 -marketreflections- ♂ (421 bytes) () 05/24/2010 postreply 08:22:02

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• 作用量泛函 平稳。这意味着，对于正确运动的任意微扰 ，一次变分 必须等于零 -marketreflections- ♂ (63737 bytes) () 05/25/2010 postreply 16:40:09

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• 作用量 一个动力物理系统内在的演化趋向 用用相空间描述，相变 -marketreflections- ♂ (4021 bytes) () 05/25/2010 postreply 16:52:54

• 矩阵力学的基本假定 个物理系统的哈密顿函数 是广义坐标矩阵 及其共轭动量矩阵 的函数。 -marketreflections- ♂ (404 bytes) () 05/24/2010 postreply 08:33:54

• 位形空间广义坐标与动量（相）空间共轭矩阵，动量场与物质场相联系, 薛函数还是位形空间的 -marketreflections- ♂ (169 bytes) () 05/25/2010 postreply 16:01:40

• vλ=c v等于1时，λ等于c，这就是说坐标有3×10的10次方cm的误差 -marketreflections- ♂ (3869 bytes) () 05/26/2010 postreply 06:00:09

• vλ=c v等于1时，λ等于c, picture -marketreflections- ♂ (57 bytes) () 05/26/2010 postreply 06:09:06

• 媒质中的光速v=c/n 能量为h即频率v为1的“光子”的脉动范围达3×10的10次方cm -marketreflections- ♂ (74 bytes) () 05/26/2010 postreply 06:21:16

• 类似地股市一个局部也是光的大范围，必须通过分析力学的方法，把系统定性定量，FA， TA； -marketreflections- ♂ (165 bytes) () 05/26/2010 postreply 11:30:39

• http://202.114.36.12/fxlx/Mechanics/ -marketreflections- ♂ (1479 bytes) () 05/24/2010 postreply 08:48:13

• 第2章多体系统动力学基本理论 -marketreflections- ♂ (57 bytes) () 05/24/2010 postreply 08:55:30

• 相空间的“正则共轭坐标”不仅刻划质点的位置，而且刻划质点的运动状态。这样，以广义坐标为未知函数的拉格朗日方程就代之以以正则共轭坐 -marketreflections- ♂ (318 bytes) () 05/24/2010 postreply 08:58:47

• 变分原理 在所有满足一定条件的物质运动状态中，真实的运动状态应对某物理量取极值，以使对应体系的作用量满足定量因果原理 -marketreflections- ♂ (547 bytes) () 05/24/2010 postreply 09:02:45

• 非对称分量被作为“不稳定性的起因”而忽略不计，并且以牛顿力学的作用力大小等于反作用力而为对称性提供理论解释。 -marketreflections- ♂ (2261 bytes) () 05/24/2010 postreply 13:14:09

• The rally to new highs in late April failed to move about the60 -marketreflections- ♂ (987 bytes) () 05/24/2010 postreply 14:48:16

• 梁立孚 变分原理及其应用 -marketreflections- ♂ (16 bytes) () 05/24/2010 postreply 14:54:03

• 量子力学的变分法 对于束缚定态，它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性，通过求能量的极值得到能量 -marketreflections- ♂ (1119 bytes) () 05/24/2010 postreply 15:05:47

• 我看狄拉克方程、薛定諤方程、與海森堡不確定原理 -marketreflections- ♂ (20745 bytes) () 05/25/2010 postreply 15:39:51

• 变分原理在物理学中尤其是在力学中有广泛应用，如著名的虚功原理、最小位能原理、余能原理和哈密顿原理等 -marketreflections- ♂ (887 bytes) () 05/24/2010 postreply 15:06:38

• '变分原理'是物理学的一条基本原理 根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。这种表示 -marketreflections- ♂ (1690 bytes) () 05/24/2010 postreply 15:09:03

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• 时不变薛定谔方程 HΨE = EΨE 其中H是哈密尔顿算子，一个二阶微分算子而ΨE是波函数，对应于特征值E的特征函数，该值可以 -marketreflections- ♂ (16376 bytes) () 05/23/2010 postreply 19:48:59

• 特征平面 以特征平面，金融上的鞅（期望空间，有效市场）来定价不规矩的向量 -marketreflections- ♂ (327 bytes) () 05/23/2010 postreply 19:54:28

• 光入人眼，构成一个底场，背景场，坐标系；光照物体，产生反射光线，再如人眼，在背景场上成象；左右眼，两个背景场，坐标系，交叉工作， -marketreflections- ♂ (1439 bytes) () 05/23/2010 postreply 20:48:27

• 根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。这种表示也被说成是埃尔米特的，描述了在埃尔米 -marketreflections- ♂ (1379 bytes) () 05/24/2010 postreply 15:11:31

• 曲率概念● 基于微分定义在2维曲线和3维曲面上● 与坐标系的选取（旋转平移）无关● 是衡量曲线曲面局部弯曲程度的特征量 -marketreflections- ♂ (16728 bytes) () 05/24/2010 postreply 15:32:16

• 矢量算法与场量初步文档信息 -marketreflections- ♂ (69 bytes) () 05/23/2010 postreply 20:02:05

• 定域规范变换：因为我们的场论以及我们对世界的观察都是局域的，这时拉氏量会对对于某种变换是不变的，这也意味着有些量是局域不可观测的 -marketreflections- ♂ (1977 bytes) () 11/18/2010 postreply 16:57:11

• 分子对称性与群论初步 直积与直积的特征标 很多人都熟悉矩阵的“内积”，它与普通的代数乘法规则极不相同. 矩阵还有另一种独特的乘法 -marketreflections- ♂ (2993 bytes) () 05/23/2010 postreply 17:42:10

• 神经细胞由细胞体，树突，轴突和轴突末梢组成。细胞体接受树突的信号并相加，当信号总和大于阈值时细胞会兴奋，并且通过轴突发出电信号， -marketreflections- ♂ (247 bytes) () 05/25/2010 postreply 12:54:48

• 流形的博客 -marketreflections- ♂ (34 bytes) () 05/25/2010 postreply 13:06:53

• 路径积分和密度矩阵实际同样可以反推出态叠加，或者说得更直接一点，路径积分是在dirac 的系统上发展起来的，而且也包含了线性算符 -marketreflections- ♂ (7954 bytes) () 06/12/2010 postreply 14:43:38

• 张永德 电磁场真空态的能量和Casimir效应 真空涨落的平均值为零 均方值并不为零 -marketreflections- ♂ (2855 bytes) () 06/05/2010 postreply 18:48:00

• Casimir效应(2)：本质及经典类比 [ witten1 ] -marketreflections- ♂ (4183 bytes) () 06/05/2010 postreply 22:26:27

• 经典力学 矢量力学 非零尺寸的物体比虚构的点粒子有更复杂的行为，这是因为自由度的增加 -marketreflections- ♂ (928 bytes) () 06/06/2010 postreply 11:07:44

• 此公式显示出，這粒子的速度是随着时间指数式递减到 0 -marketreflections- ♂ (381 bytes) () 06/06/2010 postreply 11:15:27

• 有一类特殊的力，称为保守力，可以表达为一个标量函数的梯度，该函数称为势能 -marketreflections- ♂ (712 bytes) () 06/06/2010 postreply 11:18:15

• 牛顿第二定律方程式完全相同。我們可以观察出，拉格朗日表述与牛顿表述的功能相等 -marketreflections- ♂ (100 bytes) () 06/06/2010 postreply 11:25:36

• 牛頓的定律为复合物体提供了很多重要的结果。在这方面，牛頓定律延伸成为歐拉定律 -marketreflections- ♂ (302 bytes) () 06/06/2010 postreply 11:31:56

• 在广义相对论里物理规律是在每一个local点定义的，这样，最后两个体系其实建立起各自的每时每刻的局域惯性系 -marketreflections- ♂ (1370 bytes) () 06/06/2010 postreply 17:39:47

• “微分几何场理论”:物质运动的唯象学表现是宏观位形的变化，而其物理学的内在表现是能量的变化。 -marketreflections- ♂ (2218 bytes) () 06/09/2010 postreply 16:01:17

• 在广义相对论中，万有引力确实不是“力”，而是时空的弯曲。 -marketreflections- ♂ (1233 bytes) () 06/09/2010 postreply 16:07:57

• 时空的物质化：在广义相对论中，万有引力确实不是“力”，而是时空的弯曲。 -marketreflections- ♂ (4133 bytes) () 06/09/2010 postreply 17:07:13

• 物质的几何化;另一方面，对自由运动物体，动量P是由某种更深层次的运动决定的。动量P是一个独立的物理基本量，而不是速度。一旦否定了 -marketreflections- ♂ (5333 bytes) () 06/09/2010 postreply 17:11:24

• 引力能量不能在单独一个点上被谈及,因为时空中的一个点不考虑它的邻域无法谈它是否弯曲; 但几何学家一定不同意。 因为时空是否平坦， -marketreflections- ♂ (269 bytes) () 06/10/2010 postreply 09:24:42

• Gauss时代的几何，总是把曲线曲面嵌入到外部的高维空间进行研究。但宇宙没有外面，于是，相对论天然的要求一个研究内禀几何性质的R -marketreflections- ♂ (174 bytes) () 06/10/2010 postreply 09:28:43

• 假定2个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905年发现的 -marketreflections- ♂ (139 bytes) () 06/10/2010 postreply 09:37:44

• 1898年汤母逊发现了电子后。这个理论开始一次又一次经受了实验的验证。但是麦克斯韦的方程写成四个一组的方程组，很多人会觉得有点美 -marketreflections- ♂ (366 bytes) () 06/10/2010 postreply 09:54:04

• 苍蝇的世界线是螺旋上升的一条曲线，不是测地线 -marketreflections- ♂ (1744 bytes) () 06/10/2010 postreply 10:04:15

• 伦德勒（W.Rindler）曾经研究过平直闵可夫斯基时空中的一个坐标变换。该变换对应的是匀加速直线运动的参考系。（; 安鲁（W. -marketreflections- ♂ (4201 bytes) () 06/10/2010 postreply 10:17:53

• 妹妹的世界线是Minkowski时空里的测地线，而姐姐穿越大气层再回来她肯定不是惯性运动所以她的世界线不是测地线。而世界线的长度 -marketreflections- ♂ (558 bytes) () 06/10/2010 postreply 10:25:18

• 假定2个事件之间的时空间隔是一个不变量，那么时间必然与空间联系在一起，构成一个整体去描述那个不变量。这是爱因斯坦1905年发现的 -marketreflections- ♂ (748 bytes) () 06/10/2010 postreply 10:28:55

• 几何的道理是说，一个人无论怎么化妆换衣服，都无法变成另一个人。而微分流形常常告诉我们如何选择最合身的衣服。黎曼几何也差不多，以微 -marketreflections- ♂ (1459 bytes) () 06/10/2010 postreply 13:28:51

• 曲面的曲率和挠率,分别表示弯曲程度和扭转程度;庞加莱Poincare的几何思想是,研究变换中的不变量 -marketreflections- ♂ (2161 bytes) () 06/10/2010 postreply 13:43:35

• 度 量 → 仿射联络,射影特性,(惯性场) ; 保形特性,(因果结构) -marketreflections- ♂ (3499 bytes) () 06/10/2010 postreply 14:38:25

• 赫姆霍兹和李所探讨的问题，简单地说，就是利用刚体的自由运动性和两个定向旗（oriented flag）来刻画齐性黎曼空间 -marketreflections- ♂ (532 bytes) () 06/10/2010 postreply 18:23:17

• 在度量几何中，“度量的本质”，即带有确定符号差的二次标准型，是先验的、不变的；随意变化的只是各点度量式相对于标准型的一个线性变换 -marketreflections- ♂ (805 bytes) () 06/10/2010 postreply 19:07:13

• 请修集团 “度量的毕达哥拉斯性质” -marketreflections- ♂ (33029 bytes) () 06/10/2010 postreply 20:38:02

• 所有的二次项构成一个非负二次型。如果所有的二次项皆为正，并且在高阶项退化的情形下，我们就得到“毕达哥拉斯性质”的ds2。黎曼还假 -marketreflections- ♂ (532 bytes) () 06/10/2010 postreply 14:52:28

• 时空几何是动态的。虽然在原则上容易掌握，这却是广义相对论中最难了解的概念:物理上唯一要紧的讯息是时空中不同事件彼此间的关系 -marketreflections- ♂ (60268 bytes) () 06/10/2010 postreply 16:25:54

• 引力场和其他物质场不同，它是以时空的曲率来体现的，物质使时空弯曲，而时空又是物质的载体，脱离物质的时空曲率即是引力波;广义相对论 -marketreflections- ♂ (514 bytes) () 06/10/2010 postreply 16:32:33

• 广义相对论认为，除了引力场之外，都是物质;广义相对论以太就可以在想象中变为洛仑兹以太 -marketreflections- ♂ (1053 bytes) () 06/10/2010 postreply 16:37:22

• HΨ = i∂tΨ -marketreflections- ♂ (653 bytes) () 06/10/2010 postreply 16:40:51

• 吴忠超 牛顿的万有引力认为是以无限速度传递 电磁波是以有限速度传播 -marketreflections- ♂ (6575 bytes) () 06/10/2010 postreply 17:02:32

• 在牛顿的绝对空间、绝对时间以及伽利略的旧的相对性原理框架中,只有以无限速度运动的物体，在相对匀速运动的坐标系中才具有相同的速度 -marketreflections- ♂ (268 bytes) () 06/10/2010 postreply 17:04:41

• 引力场和其他物质场不同，它是以时空的曲率来体现的，物质使时空弯曲，而时空又是物质的载体，脱离物质的时空曲率即是引力波 -marketreflections- ♂ (1006 bytes) () 06/10/2010 postreply 17:08:10

• Born的墓碑上的不对易关系其实就“海森堡不对易关系”。这个关系是量子物理区别于经典物理的关键之处。（当然Dirac后来认为，关 -marketreflections- ♂ (12458 bytes) () 06/10/2010 postreply 11:32:27

• 所谓的相位一般是波矢与时空坐标的内积，因此平面波的相角事实上是依赖于坐标系的选取的，从这个意义上来讲，它不是一个好的可观测量，但 -marketreflections- ♂ (12311 bytes) () 06/10/2010 postreply 11:34:51

• 任何物理量无量纲的组合就能作为位相。比如动量与位移的乘积，能量与时间的乘积，角动量与角度的乘积，等等，都能作为相位，还有一些相位 -marketreflections- ♂ (2125 bytes) () 06/10/2010 postreply 12:33:42

• 在一个固定点上，如果dx2+dy2+dz2=0，则ds2= -c2dt2。按广义相对论，它也是一种运动（延续性的特殊运动）。在哲 -marketreflections- ♂ (4917 bytes) () 06/09/2010 postreply 16:15:17

• 閔可夫斯基時空中的正交歸一基底(orthonormal basis)必然包含一個類時與三個類空的單位向量。若希望以非正交歸一基底 -marketreflections- ♂ (15453 bytes) () 06/09/2010 postreply 17:00:42

• 食物中的各种各样的微观分子在较高温度下会导致化学键的断裂并生成新的分子，这样的过程在量子力学过程中无非对应的就是“重组过程”（具 -marketreflections- ♂ (1766 bytes) () 06/06/2010 postreply 17:44:29

• 如果粒子状态是“确定”的动量算符的本征态，则为完全平面波； -marketreflections- ♂ (1054 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:06:54

• “维度”的数目——z，这个很重要，因为这一项本身就代表了体系的anisotropy的程度 -marketreflections- ♂ (1928 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:22:02

• 电子同时穿过双缝，这没什么好说的，因为这时候电子是波，可是如果我们想测量电子在哪，这时候我们就能完全预测电子究竟是从哪个缝出来的 -marketreflections- ♂ (1448 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:37:54

• 所以实际上只要不把光源发射的光看成局域的粒子，而把它看成只不过是一个特定频率和功率的光脉冲，所有的问题都可以迎刃而解。这样的自然 -marketreflections- ♂ (12263 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:43:08

• 如果我们想无限精确的知道动量，那电子将遍布整个宇宙 -marketreflections- ♂ (2607 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:48:10

• 纯态（波函数）是物理的，混态（不能写成纯态）是非物理的（尽管有可能有时候会包含一些物理信息）。 -marketreflections- ♂ (721 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:12:49

• 如果不凑巧那个时刻它不是任何一个力学量的本征态，那我们每一次的测量得到的是一个随机collapse到被测力学量相应的某一个本征态 -marketreflections- ♂ (5517 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:16:34

• 混态其实从本质上说只是一种数学描述手段 -marketreflections- ♂ (233 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:33:31

• 希尔伯特旅馆 代码ABC -marketreflections- ♂ (381 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:51:20

• Hilbert的那个旅馆的客房数虽是无穷，却是稀疏的无穷。 -marketreflections- ♂ (222 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:54:35

• room # multiplied by 2 -marketreflections- ♂ (16 bytes) () 06/06/2010 postreply 18:57:55

• 。“pointer states”是指由系统哈密顿量与系统与环境相互作用量共同决定的一类态 -marketreflections- ♂ (931 bytes) () 06/07/2010 postreply 08:14:22

• 析万物之理 -marketreflections- ♂ (36 bytes) () 06/07/2010 postreply 08:20:51

• 诺伊曼看来，波函数可以看作希尔伯特空间中的一个矢量，而“坍缩”则是它在某个方向上的投影 -marketreflections- ♂ (10145 bytes) () 06/07/2010 postreply 08:30:30

• 飞思特物理网 玻尔 楼的人不能永远跳楼,存在一个地面-----你不能跳到地下室里去。这个地面就是能级里的"基态",比基态能量低的 -marketreflections- ♂ (12324 bytes) () 06/07/2010 postreply 08:37:12

• 飞思特物理网 原子中，电子的圆周轨道是不可观测 因为电子的波长很短，比可见光波长要短好几个数量级，所以，光照上去以后，就好象一个 -marketreflections- ♂ (12121 bytes) () 06/07/2010 postreply 08:46:09

• 新繁星客栈 » 琢玉坊 一个电子轨道，就可以被那些不同的矩阵元所对应的光谱频率所叠加出来（这个是海森堡的创意！）， -marketreflections- ♂ (159 bytes) () 06/07/2010 postreply 08:50:53

• 原子总是要吸收和补充能量，而光是带能量的，所以原子要吸收光（说复杂一点，就是这个世界基本上所有的物理量都存在一个最小的数值，叫做 -marketreflections- ♂ (12020 bytes) () 06/07/2010 postreply 09:00:32

• 从原子物理的观点来看，共振吸收是因原子由基态到低激发态的跃迁而产生的。量子力学的计算表明，这种跃迁的概率系数比其他跃迁的概率系数 -marketreflections- ♂ (450 bytes) () 06/07/2010 postreply 09:24:26

• 正则系统，哈密顿（总能量）表达为总动能+总势能，前者是广义动量的平方项之和，后者是广义坐标的平方项之和以及另外的势能的总和 -marketreflections- ♂ (1667 bytes) () 06/07/2010 postreply 15:26:54

• 光子根本就不需要速度的概念！任何经典的思维在光子层次上都是要慎重的 -marketreflections- ♂ (1488 bytes) () 06/07/2010 postreply 16:01:20

• 任春年 光子根本就不需要速度的概念！任何经典的思维在光子层次上都是要慎重的 -marketreflections- ♂ (39 bytes) () 06/07/2010 postreply 16:05:29

• 第八講 量子論 高溫氣態物質在背景光弱時放出一定的譜線，但在低溫時也會吸收較強的背景光中的相同譜線；這種不連續的譜線，其分佈與強 -marketreflections- ♂ (23473 bytes) () 06/08/2010 postreply 14:33:42

• 庫倫的電荷太大 培之電流一秒中的累計量為一「庫倫」，9×109牛頓，相當於九十萬公噸的重力 -marketreflections- ♂ (2020 bytes) () 06/08/2010 postreply 14:40:53

• 引力比其他三种力都弱得多。它是如此之弱，以致于若不是它具有两个特别的性质，我们根本就不可能注意到它。这就是，它会作用到非常大的距 -marketreflections- ♂ (1619 bytes) () 06/08/2010 postreply 15:53:02

• 电子的质量较轻，不需要擁有很大的動量，就會顯示出波動現象 -marketreflections- ♂ (1306 bytes) () 06/06/2010 postreply 11:35:46

• 动能由质量与速度共同决定。当两种频率不等时表明粒子速度相当高了，不能不考虑相对论了，粒子速度增大将导致其质量增大，越是接近光速， -marketreflections- ♂ (1918 bytes) () 06/06/2010 postreply 11:42:12