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最小势能与最小作用量原理(2010-04-25 09:09:03)
标签：教育 分类：工作篇
最小势能原理
最小势能原理就是说当一个体系的势能最小时，系统会处于稳定平衡状态。举个例子来说，一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统就会趋向于稳定平衡。
势能最小原理与虚功原理本质上是一致的。宇宙万物，如果其势能未达到“最小”（局部概念），它总要设法变化到其“相对”最小的势能位置。举个例子：一个物体置于高山上，它相对于地面来说有正的势能（非最小），因而它总有向地面运动的“能力”（向地面“跃迁”）（其力学本质是其处于一种不稳平衡状态）。因此，它试图（也只有）向下运动，才能保证其达到一个相对平稳的状态。
最小势能原理是势能驻值原理在线弹性范围里的特殊情况。对于一般性问题：真实位移状态使结构的势能取驻值（一阶变分为零），在线弹性问题中取最小值。
形象的说，当你在一百米高的钢丝绳上走的时候你总是希望尽早回到地上，但其实只要你不动你也是平衡的，因为驻值也可以是极大值（此时称为随遇平衡）。而当你在一百米高的大楼里的办公室里时，你并不害怕，因为周围的物体的势能均不比你小，此时驻值取的是极小值而不是最小值。
最小作用量原理
原理简略描述
作为研究光线的反射和折射的结果，费尔马曾得出这样的结论：“自然界总是通过最短的途径发生作用的。”此后，莫培督在其1744年的一片著名论文中宣布了一个原理，他称之为“最小作用量原理。”他用这样几句话说明了这个原理：“自然界总是通过最简单的方法产生起作用的。如果一个物体必须没有任何阻碍地从这一点到另一点——自然界就利用最短的途径和最快的速度来引导它。”（原先也一直不能并存的自然界各种规律现在就一致起来了。《科学院的报告》，1744年4月15日，第421页）简单地说这意味着任何不受影响的动力学系统在发生变化时，其变化方式总是使有关的作用量为最小。在对物理实在（现象）的观察中，科学家们相信，对于不同的观察者物理实在可以不同，但其物理实在的结构（规律）必定是相同的。物理学中描述物理实在结构的方法之一就是作用量方法。这种方法从功能角度去考察和比较客体一切可能的运动（经历），认为客体的实际运动（经历）可以由作用量求极值得出，是其中作用量最小的那个。这个原理称为最小作用量原理。
动力学中的一个变分原理。由保守系统的动力方程可以导出这个原理，也可自这原理导出动力方程。这原理可表述为：对于定常保守系统,作用量Tdt的积分的全变分为零。即 (1)
式中T为动能;t为时间；Δ为全变分记号。Δ与变分记号δ不同之处是：δt＝0，而Δt厵0。将Δ与δ施于同一变量时，有关系式： Δqi=δqi+妜iΔt。
因此Δ和δ两符号有关系式： 。
最小作用量原理还可详述为：对于定常保守系统，在广义坐标qi和时间t的联合空间(q1,q2,…,qN;t)里,对于机械能E保持不变（即δE＝0)的各条路径中,如果路径的端点（包括始点和终点）的全变分为零,则积分对于真实运动的路径和邻近的旁路比较，真实路径的积分是驻值。在一般实际情况中，式(1)确定的积分为极小值，最小作用量原理即由此得名。
对于一个质点，，因此式（1）成为
上式是1744年由 P.-L.M.de马保梯最先提出的一个最小作用量原理。他研究这个问题的目的是想配合光学中的费马原则,说明光是一种高速运动着的微粒。L.-V.德布罗意和E.薛定谔等所创立的波动力学（现在都称它为量子力学）也受到力学中的最小作用量原理和光学中的费马原理的许多类似之处的启发。后来L.欧拉证明这原理对于一个质点在有心力场中的运动也是成立的。 J.-L.拉格朗日把这原理推广到N个自由度的保守系统并给予严格证明，所以这原理称为马保梯－拉格朗日最小作用量原理。
数学描述
principle of least action
机械能守恒系统[1]在位形空间真实轨道上运动时所遵循的一个基本原理。二倍动能T对时间dt的积分 称为拉格朗日作用量 2Tdt。
在N 维位形空间(q1，q2，…，qN)中， 表示点沿着具有相同机械能的端点的真实路径上的作用量和沿邻近的可能路径上的作用量比较，沿真实路径的作用量取驻值(包括极值)。考虑在N 维q空间自始点A(q10，q20，…，qN0)出发的两条运动的真实路径，这两条路径是相邻的，只是出发的方向略有不同。这两条路径除 A外可能还有其他交点，若B是靠近A的第一个交点(见图)。当两条路径的出发方向趋于一致时，B的极限点称为动焦点。当代表点的路径长超过时，作用量积分既非极小也非极大。长度不超过始点和第一个动焦点之间的路径长时，真实路径的作用量是极小值。
拉格朗日作用量S＝ 2Tdt同哈密顿作用量w＝ Ldt（见哈密顿原理）的关系式为
w＝S-H(t2-t1)，
H为哈密顿函数。在空间运动的质点的作用量为
S＝ 2Tdt＝ мv2dt＝ мvds。
于是质点运动的最小作用量原理可用变分表示为
δ vds＝0。
上式是 P.-L.M.de莫培督在1744年提出来的最小作用量原理的表示式。他是受到17世纪时期所建立的费马原理启发，用微粒说来解释光在空间的行进规律。L.欧拉认为这个原理很有价值，在1744年用力学方法证明它在辏力场中成立。对质点系的最小作用量原理的证明是J.L.拉格朗日在1760年得出的。在物理学上，微粒和波动的对偶关系是L.V.德布罗意在1923年提出物质波后，再经过C.J.戴维孙和L.H.革末于1927～1928年的实验所证实，才得到公认的。德布罗意就是在费马原理和最小作用量原理的启发下发展了物质波理论。
近代发展
莫佩尔蒂于1744年发表了最小作用量原理。这原理阐明，对于所有的自然现象，作用量趋向于最小值。他定义作用量为物体的质量，移动距离，与移动速度的乘积。
1741年，莫佩尔蒂在巴黎科学院发表了一篇论文，"Loi du repos des corps" ，（静止物体定律）。他表明，在一个系统里，所有呈静止状态的物体，假若有任何变化，产生的运动，趋向于作用量的最小改变。
在另一篇于1744年，在巴黎科学院发表的论文中，他提出了 "Accord de plusieurs lois naturelles qui avaient paru jusqu'ici incompatibles" （几种以前互不相容的自然定律的合一论)：光折射的路径，从一种介质到另一种介质，是作用量的最小值。
1746年，莫佩尔蒂更进一步地在伯林科学院发表了论文，"Loix du mouvement et du repos" （运动与静止定律）。他表明，质点的运动也趋向于最小作用量。为了便于分析，物体的全部质量可以被视为集中于一点，称这一点为质点。在十八世纪前期，关于质点经碰撞后的可能发生状况，有很大的争论。笛卡儿派与牛顿派物理学家认为，在碰撞下，几个质点的总动量与相对速度是恒定的。莱布尼茨派则认为活力 (vis viva) 也是恒定的。由于两个原因，这论点是笛卡儿派与牛顿派无法接受的:
1. 活力恒定不能应用于硬物体（不能压缩的物体）。
2. 活力的数学定义是质量与速度平方的乘积。为什么速度在活力这数量里出现两次？
莱布尼茨派辩明，理由很简单，任何物质对于运动都有一种自然的趋向。在静止状态，物体里含有一个内在的速度。当物体开始移动时，对应于实际的运动，又产生了第二个速度项目。
笛卡儿派与牛顿派则认为这辩理简直是胡言。对于中古学者，运动的内在趋向这句话，具有一种奥秘的性质；这中古学者的偏爱，必须毫无反顾地抗拒。今天，硬物体的概念已被完全地否定了。至于质量与速度平方的乘积，这数量则是动能的两倍。现代力学给予了活力一个很重要的角色。
对于莫佩尔蒂而言，硬物体的概念是很重要的。他提出的最小作用量原理有一个很特别的优点：这原理可以应用于硬物体与弹性物体。又可以应用于静止状态的物体与光，似乎，这原理可以广泛的应用于宇宙的每一个角落。
莫佩尔蒂又从宇宙论的观点来论述：最小作用量好像一个经济原理；在经济学里，大概就是精省资源的意思。这论述的瑕疵是，并没有任何理由，能够解释，为什么作用量趋向最小值，而不是最大值。事实上，莱布尼茨证明过，在大自然现象中，这物理量有可能趋向最小值，也有同样的可能趋向最大值。假若，我们解释最小作用量为大自然的精省资源，那么，我们又怎么解释最大作用量呢？在量子力学的发展中，作用量的不连续性不以其最初的假定方式保持下来。这种不连续性使解释量子力学的数量关系成为可能，但却没有去找这种解释。这样，不连续性就以终极概念的身份出现了。作用量不连续在日后推广为相对论的量子论中可以得到因果性的解释。看来这种推广的尝试对作用量概念本身带来某些新的认识，就像时空网格数的概念那样，用普朗克常数去除作用量的表象没有被排除，嬗变过程就在此网格中发生，在宏观的近似中网格可以作为自身同一的基本粒子的世界线而加以研究。此时世界线的概率就同爱丁顿所说的那种数量关系的作用量联系在一起，于是最小作用量原理就成为最大概率原理。
1819年，高斯在题为《论新的力学普遍原理》一书中，提出了作为更为普遍原理的结论，无摩擦的约束系统在任意力作用下将这样运动：来自约束的对系统的拘束和施加于约束上的压力均取极小值。高斯用以下方式阐述了他的最小拘束原理。“倘若质点是自由的，那么对以任何方式联系起来的，受任意影响的质点系来说，它在每一时刻的运动都要完全或只是有可能完全依照这些质点本来就有的方式进行活动，也就是说运动要以尽可能小的拘束进行。如果在无限小的瞬间，对每一质点的质量和该质点现在的位置的偏离量的平方之积取和，这个和则可作为对拘束的量度高斯观念的发展是1892——1893年赫兹提出的最直路径原理。这个原理同时延续了雅考毕的思路，即对全部变分原理和动力学加以几何化。这一问题在众所周知，赫兹不用力的概念而要建立起力学的尝试中得到阐明。这个尝试是在《力学原理》这本书上讲的（1892）。[
罗素的某些看法。根据质量和能量的相对论的数量关系，罗素推出把质量和时间之积当成作用量的可能性。但是，引力质量还有与其相等的惯性质量可以由距离代表，这时作用量就是长度和时间的乘积了。用这种观点来看待普朗克常量，罗素说：要是把作用量取作物理学的基本概念，我们或许能建立起来全是原子论的，极适于检验的物理学。罗素接着指出：相对论中时间空间间隔的不变性和作用量的意义（即在微观世界中的作用量）之间的联系是意味深长的。与上述类似的一些设想并不能引起物理知识的实际的进展，不过却很值得提出来，因为此后推广量子力学时要用作用量来表征近代物理的特征和风格。
在相对论以及现代量子力学中的应用
相对论运用时空事件的四维世界把最小作用量原理解释为能够从可能的世界线中挑选出实际的世界线的原理。在这种情况下相对论并没有给最小作用原理添加进新的物理内容。这种物理内容可以为量子物理所引入。只有作出某种把相对论和微观世界联系在一起的解释的情况下，根据更为一般的设想，相对论或许有“推出”最小作用原理的可能。在建立广义相对论时爱因斯坦用过最小作用原理。此时作用量的概念得到某些新的解释。如所周知，在决定空间和时间的曲率时借助于四个恒等式，并且力求排除表征空间时间特性但不表征曲率的多余的参量。这些恒等式按其物理意义而言表示不同坐标系中空间和时间曲率的同一性，曲率张量取决于能量冲量张量。在研究此问题时，爱因斯坦指出，上述四个恒等式有物理意义，也就是具有守恒定律的意义，并且表示了空间时间的特性。然而，现在当我们谈能量冲量张量时，空间的首要特性，即其均匀性对应于冲量分量守恒；而时间的均匀性对应于能量守恒。这样，守恒定律就对应于曲率张量之间恒等的数量关系，作为与这种或那种坐标表示无关的物理特性的曲率对应于作用量。爱丁顿提出在广义相对论中对作用量这一概念意义的极为精细、深刻的说法。他指出：对时空连续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上所扮演的角色。在四维世界里，作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度。我们顺便指出：在叙述魏尔的统一场论时爱丁顿曾顺带提到对作用量的一种很有益的解释。爱丁顿说，可能作用量就是概率的函数，然而当把一些概率连乘，则作用量就相加，从而作用量可以认为是概率的对数。由于概率的对数是负数，所以作用量就要看成是概率的对数再加上负号，此时最小作用原理则表示实际实现的运动的最大概率。
在现代量子力学中最小作用量原理起着重要作用。不但如此，对于作用量概念的思考也激起对现存理论进行总结的尝试。表征微观世界之基本量，即作用量子和引入到宏观力学的基本数量关系中的量，即由能量按时间积分，这两个量的量纲一致，促使近代理论家在一系列设想上尽管没有引出什么具体的物理理论，但是却引出一些看来是很有前途的物理理论。
哈密顿的向量（算子）数学是值得研究的。
“1834年，哈密顿发表了历史性论文“一种动力学的普遍方法”(On a general method in dynamics)，成为动力学发展过程中的新里程碑．文中的观点主要是从光学研究中抽象出来的．他的研究工作涉及不少领域，成果最大的是光学、力学和四元数．他研究的光学是几何光学，具有数学性质；力学则是列出动力学方程及求解；因此哈密顿主要是数学家．但在科学史中影响最大的却是他对力学的贡献．哈密顿量是现代物理最重要的量，当我们得到哈密顿量，就意味着得到了全部。
哈密顿量是系统的能量算符，所谓哈密顿量的对角化就是解一个本征值问题(在线性代数中就是特征值和特征向量)。你对角化哈密顿量的过程就是一个找能量本征值的过程（找到这个系统可能存在的能量）。或者是一个去耦合的过程（比如说两个弹簧振子振动时存在耦合，可以写成一个哈密顿量的形势，对角化后，找到了弹簧真子的简振模，就去耦合了）
不知道我说得你能不能明白，可能你没有学过量子力学不太懂。但是这个对角化非常有用。他的物理含义概括来说，就是找到一个能量系统中的可能能量（一般来说这些能量都是分立的，这就是量子力学的精髓之一）
在势场V（x）中的粒子，其经典哈密顿量H=T+V的算符表示成 Hamilton算符=动能算符+势能，势能是与位置X相关的量，没有相应的算符表示，而动能算符表示为 （动量算符的平方/两倍的质量）。 动量算符的表达形式在计算自由粒子动量平均值的过程中通过自由粒子在坐标和动量表象下的波函数变换求出。具体的公式推导可以去看量子力学。
薛定谔方程的表达形式就是哈密顿量本征函数的形式。”
[ 本帖最后由 李炳铁lbttbl 于 2009-9-30 11:47 编辑 ]
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8# 大 中 小 发表于 2009-9-30 11:51 只看该作者 哈密顿算子,数学符号为▽,读作Nabla.
▽≡i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz
运算规则:
一、▽A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)A=i*dA/dx+j*dA/dy+k*dA/dz
这样标量场A通过▽的这个运算就形成了一个矢量场，该矢量场反应了标量场A的分布。
二、▽·A=(i*d/dx+j*d/dy+k*d/dz)·(Ax*i+Ay*j+Az*k)=dAx/dx+dAy/dy+dAz/dz
三、▽×A=(dAz/dy-dAy/dz)*i+(dAx/dz-dAz/dx)*j+(dAy/dx-dAx/dy)*k
由此可见：数量场的梯度与矢量场的散度和旋度可表示为：
gradA=▽u,divA=▽·A,rotA=▽×A
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9# 大 中 小 发表于 2009-9-30 11:58 只看该作者 哈密顿力学 哈密尔顿力学是哈密尔顿于1833年建立的经典力学的重新表述。它由拉格朗日力学演变而来，那是经典力学的另一表述，由拉格朗日于1788年建立。但它可以使用辛空间不依赖于拉格朗日力学表述。关于这点请参看其数学表述。
适合用哈密顿力学表述的动力系统称为哈密顿系统。
哈密顿系统可以理解为时间R上的一个纤维丛E,其纤维Et, t ∈ R是位置空间。拉格朗日量则是E上的jet丛(射流丛)J上的函数；取拉格朗日量的纤维内的勒让德变换就产生了一个时间上的对偶丛的函数，其在t的纤维是余切空间T*Et，它有一个自然的辛形式，而这个函数就是哈密顿量。
任何辛流形上的光滑实值函数H可以用来定义一个哈密顿系统。函数H称为哈密顿量或者能量函数。该辛流形则称为相空间。哈密顿量在辛流形上导出一个特殊的向量场，称为辛向量场。
该辛向量场，称为哈密顿向量场，导出一个流形上的哈密顿流。该向量场的一个积分曲线是一个流形的变换的单参数族；该曲线的参数通常称为时间。该时间的演变由辛同胚给出。根据刘维尔定理每个辛同胚保持相空间的体积形式不变。由哈密顿流到处的辛同胚的族通常称为哈密顿系统的哈密顿力学。
哈密顿向量场也导出一个特殊的操作，泊松括号。泊松括号作用于辛流形上的函数，给了流形上的函数空间一个李代数的结构。
当余度量是退化的时，它不是可逆的。在这个情况下，这不是一个黎曼流形，因为它没有一个度量。但是，哈密顿量依然存在。这个情况下，在流形Q的每一点q余度量是退化的，因此余度量的阶小于流行Q的维度，因而是一个亚黎曼流形。
这种情况下的哈密顿量称为亚黎曼哈密顿量。每个这样的哈密顿量唯一的决定余度量，反过来也是一样。这意味着每个亚黎曼流形由其亚黎曼哈密顿量唯一的决定，而其逆命题也为真：每个亚黎曼流形有唯一的亚黎曼哈密顿量。亚黎曼测地线的存在性由Chow-Rashevskii定理给出。
哈密尔顿系统可以几种方式推广。如果不仅简单的利用辛流形上的光滑函数的结合代数，哈密尔顿系统可以用更一般的交换酉实泊松代数表述。一个状态是一个（装备了恰当的拓扑结构的）泊松代数上的连续线形泛函，使得对于代数中的每个元素A，A2映射到非负实数。
进一步的推广由Nambu动力学给出.
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10# 大 中 小 发表于 2009-9-30 11:58 只看该作者 哈密顿回路 天文学家哈密顿(William Rowan Hamilton) 提出，在一个有多个城市的地图网络中，
寻找一条从给定的起点到给定的终点沿 途恰好经过所有其他城市一次的路径。
这个问题和著名的过桥问题的不同之处在于，某些城市之间的旅行不 一定是双向的。比如A→B,但B→A是不允许的。
换一种说法，对于一个给定的网络，确定起点和终点后，如果存在一条路径，穿过这个网络，我们就说这个网络存在哈密顿路径。哈密顿路径问题在上世纪七十年代初，终于被证明是“NP完备”的。据说具有这样性质的问题，难于找到一个有效的算法。实际上对于某些顶点数不到100的网络，利用现有最好的算法和计算机也需要比较荒唐的时间（比如几百年）才能确定其是否存在一条这样的路径。
从图中的任意一点出发，路途中经过图中每一个结点当且仅当一次，则成为哈密顿回路。
要满足两个条件：
1.封闭的环
2.是一个连通图，且图中任意两点可达
经过图（有向图或无向图）中所有顶点一次且仅一次的通路称为哈密顿通路。
经过图中所有顶点一次且仅一次的回路称为哈密顿回路。
具有哈密顿回路的图称为哈密顿图，具有哈密顿通路但不具有哈密顿回路的图称为半哈密顿图。
平凡图是哈密顿图。
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11# 大 中 小 发表于 2009-9-30 11:59 只看该作者 哈密顿变换 哈密顿
Hamilton，William Rowan
（1805～1865）英国数学家，物理学家1805年8月3日（一说4日）生于爱尔兰都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。1823年考入都柏林的三一学院，1827年聘任为三一学院的天文学教授，同时获得了爱尔兰皇家天文学家的称号。1827年定居在都柏林附近的敦辛克天文台，从此潜心钻研数理科学 。1835年获得爵位。1837年被选为爱尔兰皇家科学院院长。他还是英国皇家学会会员、法国科学院院士和彼得堡科学院通讯院士。
哈密顿于1827年建立了光学的数学理论 。后来又把这种理论移植到动力学中去，提出哈密顿原理，把广义坐标和广义动量作为典型变量来建立动力学方程，推动了变分法和微分方程理论的进一步研究，并在现代理论物理中得到了广泛的应用。
哈密顿在数学上的主要贡献是发现了“四元数”，并建立了四元数的运算法则。四元数的发现为向量代数和向量分析的建立奠定了基础，而四元数系又构成了以实数域为系数域的有限维可除代数。因此，四元数的产生对代数学的发展具有十分重要的意义。
哈密顿原理
Hamilton principle
适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。W.R.哈密顿于1834年发表。其数学表达式为：
，
式中L＝T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。
http://ftp.haie.edu.cn/Resource/GZ/GZWL/WLBL/WLS00001/5450_SR.htm
http://info.datang.net/H/H0057.HTM
http://bbs.uqc.cn/forum/thread-3431-1-33.html
这涉及到变分法，就算你上了大学，不是数学系也很难学到的啊，上面的两种符号都是变分算符，其中三角的那个是全变分，那个积分表示的是泛函，它的变分等于0，指的是泛函取得极值，其实变分就相当于微分。但你要注意什么是泛函，它的自变量是一类函数，而因变量是一个数值。它取极值时就对应了一个使它取极值的函数，这就是它（哈密顿原理）为什么可以决定运动！说它是力学最高原理是绝对没错的，任何力学定律都可以由它导出，包括牛二定律！如果你想知道变分法，如下：
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12# 大 中 小 发表于 2009-9-30 12:00 只看该作者 哈密顿图 哈密顿图
h哈密顿通路(回路)与哈密顿图 通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，就是哈密顿通路(回路). 存在哈密顿回路的图就是哈密顿图.
判断哈密顿图是较为困难的.
h哈密顿图的充分条件和必要条件
(1) 在无向简单图G=
(2) 有向完全图D＝
(3) 设无向图G=
若此条件不满足，即$V1ÌV，使得P(G－V!)>½V1½,则G一定不是哈密顿图(非哈密顿图的充分条件).
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13# 大 中 小 发表于 2009-9-30 12:00 只看该作者 哈密顿函数 量子力学和波动力学在数学上来说是完全等价的！事实上，我们追寻它们各自的家族史，发现它们都是从经典的哈密顿函数而来，只不过一个是从粒子的运动方程出发，一个是从波动方程出发罢了。而光学和运动学，早就已经在哈密顿本人的努力下被联系在了一起，这当真叫做“本是同根生”了。
广义坐标和广义动量的函数，起着系统特征函数的作用。以H表示，其定义是(公式略)：其中q。、q0分别是系统的广义动量和广义速度，L是系统的拉格朗日函数。在经典力学中，将哈密顿函数代入正则方程，可得到力学系统的动力学规律，并可将该函数表示为H＝T2一TO＋V。式中的T2和TO分别为系统动能表示式中广义速度的二次项和零次项。哈密顿函数具有能量的量纲，但不一定就是系统的机械能。通常在反映约束条件的约束方程中不合时间的情况下，哈密顿函数具有机械能的意义，表示为H＝T2十V。如果哈密顿函数不含时间，它本身就是一个守恒量。如果哈密顿函数不含某个广义坐标，与这个广义坐标对应的广义动量是守恒量。
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14# 大 中 小 发表于 2009-9-30 12:01 只看该作者 哈密顿原理 哈密顿原理
Hamilton principle
适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。威廉·卢云·哈密顿于1834年发表。其数学表达式为：
式中L＝T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。哈密顿原理[1]可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。
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15# 大 中 小 发表于 2009-9-30 12:01 只看该作者 哈密顿系统 哈密顿系统
Hamilton's system
又称典型系统、（微）正则系统或哈密顿典型系统。其方程组为
（i=1,2,…,n）（1）其中H＝H（p1，…，pn；q1，…，qn；t）是哈密顿函数，是英国科学家W.R.哈密顿于1835年引进的。广泛应用于力学、物理学等，p＝（p1，…，pn）叫广义冲量（动量），q＝（q1，…，qn）是广义坐标，q所在空间叫构形空间，（p ，q）所在的空间叫相空间。当t不明显地出现于（1）中时，即（用向量形式）
(2)此时，故H（p，q）＝C是首次积分。若T代表动能，V代表势能，则H＝T＋V＝C表示能量守恒定律。卡姆理论是关于哈密顿系统方程组的稳定性理论，由A.柯尔莫戈罗夫、V.I.阿诺德J莫泽创立。这时，q均为2维的，q为角坐标。在对映射函数适当的要求之下，证明了2维点映射不变闭曲线存在，从而得到太阳系是稳定的结论，这是非常重要的成就。
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16# 大 中 小 发表于 2009-9-30 12:03 只看该作者 作用量 在物理学里，作用量是一个很特别，很抽象的物理量。它表示著一个动力物理系统内在的演化趋向。虽然与微分方程方法大不相同，我们也可以用作用量来分析物理系统的运动，所得到的答案是相同的。我们只需要设定系统在两个点的状态，初始状态与最终状态。然后，经过求解作用量的极值，我们可以得到系统在两个点之间每个点的状态。
历史
费马于 1662年发表了费马原理。这原理阐明：光传播的正确路径，所需的时间必定是极值。这原理在物理学界造成了很大的震撼。不同于牛顿运动定律的机械性，现今，一个物理系统的运动拥有了展望与目标。
莱布尼茨不同意费马的理论。他认为光应该选择最容易传播的路径。他于1682年发表了他的理论：光传播的正确路径应该是阻碍最小的路径；更精确地说，阻碍与径长的乘积是最小值的路径。这理论有一个难题，如果要符合实验的结果，玻璃的阻碍必须小于空气的阻碍；但是，玻璃的密度大于空气，应该玻璃的阻碍会大于空气的阻碍。莱布尼茨为此提供了一个令人百思的辩解。较大的阻碍使得光较不容易扩散；因此，光被约束在一个很窄的路径内。假若，河道变窄，水的流速会增加；同样地，光的路径变窄，所以光的速度变快了。
1744年，皮埃尔·路易·莫佩尔蒂在一篇论文 《The agreement between the different laws of Nature that had, until now,seemed incompatiable》 中，发表了最小作用量原理：光选择的传播路径，作用量最小。他定义作用量为移动速度与移动距离的乘积。用这原理，他证明了费马原理：光传播的正确路径，所需的时间是极值； 他也计算出光在反射与同介质传播时的正确路径。1747年，莫佩尔蒂在另一篇论文 《On the laws of motion and of rest》 中，应用这原理于碰撞，正确地分析了弹性碰撞与非弹性碰撞；这两种碰撞不再需要用不同的理论来解释。
莱昂哈德·欧拉在同年发表了一篇论文 《Method for finding curves having a minimal or maximal property or solutions to isoperimetric problems in the broadest accepted sense》 ；其中，他表明物体的运动遵守某种物理量极值定律，而这物理量是 。应用这理论，欧拉成功的计算出，当粒子受到有心力作用时，正确的抛射体运动。
在此以后，许多物理学家，包括拉格朗日、哈密顿、理查德·费曼、等等，对于作用量都有很不同的见解。这些见解对于物理学的发展贡献甚多。
[编辑本段]概念
微分方程时常被用来表述物理定律。微分方程指定出，随着极小的时间、位置、或其他变量的变化，一个物理变量如何改变。总合这些极小的改变，再加上这物理变量在某些点的已知数值或已知导数值，就能求得物理变量在任何点的数值。
作用量方法是一种全然不同的方法．它能够描述物理系统的运动，而且只需要设定物理变量在两点的数值，称为初始值与最终值。经过作用量极值的演算，我们可以得到，此变量在这两点之间任何点的数值。而且，作用量方法与微分方程方法所得到的答案完全相同。
哈密顿原理阐明了这两种方法在物理学价位的等价：描述物理系统运动的微分方程，也可以用一个等价的积分方程来描述。无论是关于经典力学中的一个单独粒子、关于经典场像电磁场或引力场，这描述都是正确的。更加地，哈密顿原理已经延伸至量子力学与量子场论了。
用变分法数学语言来描述，求解一个物理系统作用量的极值（通常是最小值）,可以得到这系统随时间的演化（就是说，系统怎样从一个状态演化到另外一个状态）。更广义地，系统的正确演化对于任何微扰必须是稳定的。这要求导致出描述正确演化的微分方程。
[编辑本段]作用量形式
在经典物理里，作用量这术语至少有七种不同的意义。每一种不同的意义有它不同的表达形式。
作用量 (泛函)
最常见的作用量是一个泛函 ，输入值是时间与空间的函数，输出值是一个标量。在经典力学里，输入函数是物理系统在两个时间点 ， 之间广义坐标 的演变。
作用量 定义为，在两个时间点之间，系统的拉格朗日量 随时间的积分：
。 根据哈密顿原理，正确的演化 要求平稳的作用量 （最小值、最大值、鞍值）。经过运算，结果就是拉格朗日方程。
简略作用量 (泛函)
简略作用量也是一个泛涵，通常标记为 。这里，输入函数是物理系统移动的一条路径，完全不考虑时间参数。举例而言，一个行星轨道的路径是个椭圆，一个粒子在均匀引力场的路径是抛物线；在这两种状况，路径都不相依于粒子的移动的速度。简略作用量 定义为广义动量 延著路径的积分：
； 其中， 是广义坐标．根据莫佩尔蒂原理，正确路径的简略作用量 是平稳的。
哈密顿主函数
主条目：哈密顿主函数。 哈密顿主函数是由哈密顿-雅可比方程定义的。哈密顿-雅可比方程是经典力学地另一种表述。哈密顿主函数 与泛涵 有密切的关系。固定住初始时间 和其对应的坐标点 ；而准许时间上限 和其对应的坐标点 的改变。取 和 为函数 的参数。换句话说，作用量函数 是拉格朗日量随时间的不定积分：
。 更加地，我们可以证明 是某常数矢量 。所以，
。
哈密顿特征函数
主条目：哈密顿特征函数。 假若，哈密顿量 是守恒的；
； 其中， 是常数。
设定哈密顿特征函数 为
。 则哈密顿特征函数 是一个作用量。
更加地，
。 随时间积分：
。 这正是简略作用量的方程。
哈密顿-雅可比方程解答
主条目：哈密顿-雅可比方程。 哈密顿-雅可比方程是经典力学的一种表述。假若，哈密顿-雅可比方程是完全可分的；则哈密顿主函数 分出的每一个项目 也称为"作用量"。
作用量-角度坐标
主条目：作用量-角度坐标。 思考一个作用量-角度坐标的广义动量变量 ，定义为在相空间内，关于转动运动或振荡运动，广义动量的闭路径积分：
。 这变量 称为广义坐标 的作用量；相应的正则坐标是角度 。不同于前面简略作用量泛函地用点积来积分矢量；这里，只有一个标量变量 被用来积分。作用量 等于， 随着 沿着闭路径， 的改变。应用于几个有趣的物理系统， 或者是常数，或者改变非常地慢。因此， 时常应用于微扰理论与缓渐不变量的研究。
] 哈密顿流作用量
参阅 重言1形式。
[编辑本段]数学导引
哈密顿原理阐明，如果一个物理系统在两个时间点 、 的运动是正确运动，则作用量泛函 的一次变分 为零。用数学方程表示，定义作用量为
。 其中， 是系统的拉格朗日函数，广义坐标 是时间的函数。
假若， 乃系统的正确运动，则 。
从哈密顿原理可以导引出拉格朗日方程．假设 是系统的正确运动，让 成为一个微扰 ；微扰在轨道两个端点的值是零：
。 取至 的一阶微扰，作用量泛函的一次变分为
。 这里，我们将拉格朗日量 展开至 的一阶微扰。
应用分部积分法于最右边项目，
。 边界条件 使第一个项目归零。所以，
。 要求作用量泛函 平稳。这意味着，对于正确运动的任意微扰 ，一次变分 必须等于零：
。 请注意，我们还没有对广义坐标 做任何要求。现在，我们要求所有的广义坐标都互相无关（完整限制）。这样，根据变分法基本引理，可以得到拉格朗日方程：
。 在各个物理学领域，拉格朗日方程都被认为是非常重要的方程，能够用来精确地理论分析许多物理系统。
对应于广义坐标 的广义动量 ，又称为正则动量，或称为共轭动量，定义为
。 当 不显性地相依于广义坐标 时，
， 则广义动量 是常数。在此种状况，坐标 称为循环坐标。举例而言，如果我们用极坐标系 来描述一个粒子的平面运动，而 与 无关，则广义动量是守恒的角动量。
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17# 大 中 小 发表于 2009-9-30 12:05 只看该作者 【相空间解释】
在数学与物理学中，相空间(phase space)是一个用以表示出一系统所有可能状态的空间；系统每个可能的状态都有一相对应的相空间的点。
相空间是一个六维假想空间，其中动量和空间各占三维。每个相格投影到px-x平面上后面积总是h。尽管相格的形状如图所示可能十分任意，但我们可以把它们想象为方的或长方的。
系统的相空间通常具有极大的维数[1]，其中每一点代表了包括系统所有细节的整个物理态（系统每个粒子的位置和动量坐标）。
作为一个巨大维数的空间，它上面的每个点代表我们考虑的系统全部可能的态。
[编辑本段]【想象经典系统的演化】
哈密顿方程的形式允许我们以一种非常强而有力的一般方式去“摹想”经典系统的演化。想象一个多维“空间”，每一维对应于一个坐标x1,x2，…p1，p2，…（数学空间的维数，通常比3大得多。）此空间称之为相空间。对于n个无约束的粒子。相空间就有6n维（每个粒子有三个位置坐标和三个动量坐标）。读者或许会担心，甚至只要有一个单独粒子，其维数就是他或她通常所能摹想的二倍！不必为此沮丧！尽管六维的确是比能明了画出的更多的维数，但是即使我们真的把它画出也无太多用处。仅仅就一满屋子的气体，其相空间的维数大约就有10,000,000,000,000,000,000,000,000,000
去准确地摹想这么大的空间是没有什么希望的！既然这样，秘诀是甚至对于一个粒子的相空间都不企图去这样做。只要想想某种含糊的三维（或者甚至就只有二维）的区域，再看看图就可以了。
[编辑本段]【如何按照相空间摹想哈密顿方程】
我们如何按照相空间来摹想哈密顿方程呢？首先，我们要记住相空间的单独的点Q实际代表什么。它代表所有位置坐标x1，x2，…和所有动量坐标p1，p2，…的一种特别的值。也就是说，Q表示我们整个物理系统，指明组成它的所有单独粒子的特定的运动状态。当我们知道它们现在的值时，哈密顿方程告诉我们所有这些坐标的变化率是多少；亦即它控制所有单独的粒子如何移动。翻译成相空间语言，该方程告诉我们，如果给定单独的点Q在相空间的现在位置的话，它将会如何移动。为了描述我们整个系统随时间的变化，我们在相空间的每一点都有一个小箭头??更准确地讲，一个矢量??它告诉我们Q移动的方式。这整体箭头的排列构成了所谓的矢量场。哈密顿方程就这样地在相空间中定义了一个矢量场。
[编辑本段]【解释物理的决定论】
我们看看如何按照相空间来解释物理的决定论。对于时间t=0的初始数据，我们有了一族指明所有位置和动量坐标的特定值；也就是说，我们在相空间特别选定了一点Q。为了找出此系统随时间的变化，我们就跟着箭头走好了，这样，不管一个系统如何复杂，该系统随时间的整个演化在相空间中仅仅被描述成一点沿着它所遭遇到的特定的箭头移动。“长”的箭头表明Q移动得快，而“短”的箭头表明Q的运动停滞。只要看看Q以这种方式随着箭头在时间t移动到何处，即能知道我们物理系统在该时刻的状态。很清楚，这是一个决定性的过程。Q移动的方式由哈密顿矢量场所完全决定。
[编辑本段]【可计算性】
关于可计算性又如何呢？如果我们从相空间中的一个可计算的点（亦即从一个其位置和动量坐标都为可计算数的点）出发，并且等待可计算的时间t，那么一定会终结于从t和初始数据计算得出的某一点吗？答案肯定是依赖于哈密顿函数H的选择。实际上，在H中会出现一些物理常数，诸如牛顿的引力常数或光速--这些量的准确值视单位的选定而被决定，但其他的量可以是纯粹数字--并且，如果人们希望得到肯定答案的话，则必须保证这些常数是可计算的数。如果假定是这种情形，那我的猜想是，答案会是肯定的。这仅仅是一个猜测。然而，这是一个有趣的问题，我希望以后能进一步考察之。
另一方面，由于类似于我在讨论有关撞球世界时简要提出的理由，对我来说，这似乎不完全是相关的问题。为了使一个相空间的点是不可计算的断言有意义，它要求无限精确的坐标??亦即它的所有小数位！（一个由有限小数描述的数总是可以计算的。）一个数的小数展开的有限段不能告诉我们任何关于这个数整个展开的可计算性。但是，所有物理测量的精度都是有限的，只能给出有限位小数点的信息。在进行物理测量时，这是否使“可计算数”的整个概念化成泡影？”
的确，一个以任何有用的方式利用某些物理定律中（假想的）不可计算因素的仪器不应依赖于无限精确的测量。也许我在这里有些过分苛刻了。假定我们有一台物理仪器，为了已知的理论原因，模拟某种有趣的非算法的数学过程。如果此仪器的行为总可以被精密地确定的话，则它的行为就会给一系列数学上有趣的没有算法的是非问题以正确答案。任何给定的算法都会到某个阶段失效。而在那个阶段，该仪器会告诉我们某些新的东西。该仪器也许的确能把某些物理常数测量到越来越高的精度。而为了研究一系列越来越深入的问题，这是需要的。然而，在该仪器的有限的精度阶段，至少直到我们对这系列问题找到一个改善的算法之前，我们得到某些新的东西。然而，为了得到某些使用改善了的算法也不能告诉我们的东西，就必须乞求更高的精度。
[编辑本段]【提高物理常数的精度】
尽管如此，不断提高物理常数的精度看来仍是一个棘手和不尽人意的信息编码的方法。以一种分立（或“数字”）形式得到信息则好得多。如果考察越来越多的分立单元，也可重复考察分立单元的固定集合，使得所需的无限的信息散开在越来越长的时间间隔里，因此能够回答越来越深入的问题。（我们可以将这些分立单元想象成由许多部分组成，每一部分有“开”和“关”两种状态，正如在第二章描述的图灵机的0和1状态一样。）为此看来我们需要某种仪器，它能够（可区别地）接纳分立态，并在系统按照动力学定律演化后，又能再次接纳一个分立态集合中的一个态。如果事情是这样的话，则我们可以不必在任意高的精度上考察每一台仪器。
[编辑本段]【哈密顿系统的行为】
那么，哈密顿系统的行为确实如此吗？某种行为的稳定性是必须的，这样才能清晰地确定我们的仪器实际上处于何种分立态。一旦它处于某状态，我们就要它停在那里（至少一段相当长的时间），并且不能从此状态滑到另一状态。不但如此，如果该系统不是很准确地到达这些状态，我们不要让这种不准确性累积起来；我们十分需要这种不准确性随时间越变越小。我们现在设想的仪器必须由粒子（或其他子元件）所构成。需要以连续参数来描述粒子，而每一个可区别的“分立”态覆盖连续参数的某个范围。（例如，让粒子停留在二个盒子中的一个便是一种表达分立双态的方法。为了指明该粒子确实是在某一个盒子中，我们必须断定其位置坐标在某个范围之内。）用相空间的语言讲，这表明我们的每一个“分立”的态必须对应于相空间的一个“区域”，同一区域的相空间点就对应于我们仪器的这些可选择的同一态。
现在假定仪器在开始时的态对应于它的相空间中的某一个范围R0。我们想象R0随着时间沿着哈密顿矢量场被拖动，到时刻t该区域变成Rt。在画图时，我们同时想象对应于同一选择的所有可能的态的时间演化。关于稳定性的问题（在我们感兴趣的意义上讲）是，当t增加时区域Rt是否仍然是定域性的，或者它是否会向相空间散开去。如果这样的区域在时间推进时仍是定域性的，我们对此系统就有了稳定性的量度。在相空间中相互靠近的点（这样它们对应于相互类似的系统的细致的物理态）将继续靠得很近，给定的态的不准确性不随时间而放大。任何不正常的弥散都会导致系统行为的等效的非预测性。
[编辑本段]【法国数学家的定律】
我们对于哈密顿系统可以一般地说什么呢？相空间的区域究竟是否随时间散开呢？似乎对于一个如此广泛的问题，很少有什么可说的。然而，人们发现了一个非常漂亮的定理，它要归功于杰出的法国数学家约瑟夫•刘维尔（1809--1882）。该定律讲，相空间中的任何区域的体积在任何哈密顿演化下必须保持常数。（当然，由于我们的相空间是高维的，所以“体积”必须是在相应高维意义上来说的。）这样，每一个R1的体积必须和原先的R0的体积一样。初看起来，这给了我们的稳定性问题以肯定的答案。在相空间体积的这层意义上，我们区域的尺度不能变大，好像我们的区域在相空间中不会散开似的。
然而，这是使人误解的。我们在深思熟虑之后就会感到，很可能情况刚好与此相反！我想表示人们一般预料到的那种行为。我们可以将初始区域R0想象成一个小的、“合理的”，亦即较圆的而不是细长的形状。这表明属于R0的态在某种方面不必赋予不合情理的精确性。然而，随着时间的发展，区域R1开始变形并拉长--初看起来有点像变形虫，然后伸长到相空间中很远的地方，并以非常复杂的方式纠缠得乱七八糟。体积的确是保持不变，但这个同样小的体积会变得非常细，再发散到相空间的巨大区域中去。这和将一小滴墨水放到一大盆水中的情形有点类似。虽然墨水物质的实际体积不变，它最终被稀释到整个容器的容积中去。区域Rt在相空间中的行为与此很类似。它可能不在全部相空间中散开（那是称之为“爱哥狄克”的极端情况），但很可能散开到比原先大得极多的区域去。（可参阅戴维斯（1974）的进一步讨论。）
[编辑本段]【其中的麻烦】
麻烦在于保持体积并不意味就保持形状：小区域会被变形，这种变形在大距离下被放大。由于在高维时存在区域可以散开去的多得多的“方向”，所以这问题比在低维下严重得多。事实上，刘维尔定理远非“帮助”我们将区域Rt控制住，而是向我们提出了一个基本问题！若无刘维尔定理，我们可以摹想相空间中区域的毫无疑义的发散趋势可由整个空间的缩小而补偿。然而，这一个定律告诉我们这是不可能的，而我们必须面对这个惊人的含义——这个所有正常类型的经典动力学（哈密顿）系统的普适的特征9！
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鉴于这种发散到整个相空间去的行为，我们会问，经典力学怎么可能作出预言？这的确是一个好问题。这种弥散所告诉我们的是，不管我们多么精确地（在某一合理的极限内）知道系统的初始态，其不确定性将随着时间而不断增大，而我们原始的信息几乎会变得毫无用处。在这个意义上讲，经典力学基本上是不可预言的。（回想前面考虑过的“混沌”概念）
[编辑本段]【牛顿动力学为何如此成功】
那么，何以迄今为止牛顿动力学显得如此之成功呢？在天体力学中（亦即在引力作用下的天体）其原因在于，第一，有关的凝聚的物体数目相对很少（太阳、行星和月亮），这些物体的质量相差悬殊?这样在估量近似值时，可以不必管质量更小物体的微扰效应，而处理更大的物体时，仅仅需要考虑它们相互作用的影响--第二，可以看到，适用于构成这些物体的个别粒子的动力学定律，也可以在这些物体本身上的水平上适用--这使得在非常好的近似下，太阳、行星和月亮实际上可以当作粒子来处理，我们不必去为构成天体的单独粒子的运动的微小细节去担忧10。我们再次只要考虑“很少”的物体，其在相空间中的弥散不重要。
除了天体力学和投掷物行为（它其实是天体力学的一个特例）之外，只牵涉到小数目的粒子的简单系统的研究，牛顿力学所用的主要方法是根本不管这些细节的“可决定性地预言的”方面。相反地，人们利用一般的牛顿理论做模型，从这些模型可以推导出整体行为。某些诸如能量、动量和角动量守恒定律的准确推论的确在任何尺度下都有效。此外，存在可与制约单独粒子的动力学规律相结合的统计性质，它能对有关的行为作总体预言。（参阅第七章关于热力学的讨论；我们刚讨论过的相空间弥散效应和热力学第二定律有紧密的关系。我们只要相当仔细，便可利用这些观念作预言。）牛顿本人所做的空气声速的计算（1个世纪后拉普拉斯进行了微小的修正）便是一个好例子。然而，牛顿（或更笼统来说，哈密顿）动力学中固有的决定性在实际上适用的机会非常稀少。
[编辑本段]【相空间弥散效应的惊人含义】
相空间弥散效应还有一个惊人的含义。它告诉我们，经典力学不能真正地描述我们的世界！我说得有点过分了一些，但是并不太过分。经典力学可以很好地适用于流体--特别是气体的行为，在很大的程度上适用于液体--此处人们只关心粒子系统的“平均”性质，但是在对固体作计算时就出了毛病，这里要求知道更细节的组织结构。固体由亿万颗点状的粒子所组成，由于相空间弥散其排列的有序性应不断地降低，何以保持其形状大致不变呢？正如我们已经知道的，量子力学在理解固体的实在结构时是不可或缺的。量子效应可多多少少防止相空间的弥散。
这也和制造“计算机器”的问题相关。相空间弥散是某种必须控制的东西。相空间中对应于一个电脑的“分立”态的区域（例如前述的R0）不应允许其过度弥散开来。我们记得，甚至弗列得钦--托弗里“撞球电脑”需要某种外围的固体墙才能工作。包括许多粒子的物体的“刚性”正是需要量子力学起作用的某种东西。
以相空间重构理论为基础，采用Takens定理重构语音信号相空间并提取相似序列重复度(RPT)特征参数，利用清浊音RPT参数的差异，提出并实现了一种采用BP神经网络进行非线性清浊音判决的方法，得到了明显优于传统算法的结果，本文方法为语音特征提取和识别研究提供了新的途径。
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19# 大 中 小 发表于 2009-9-30 12:06 只看该作者 广义冲量 又称典型系统或正则系统或哈密顿典型系统(方程)，常简记为H.S.。指如下形式的一阶微分方程系统
或简写为
是由英国科学家W.R.哈密顿于1835年引进，广泛应用于力学、物理学,形成了一整套的理论。上式中的p称为广义冲量（或动量），q称为广义坐标，(p,q)称为共轭变量，也称为典型变量，q空间称为构形空间，(p,q)空间称为相空间，H 则称为哈密顿函数。
如H 中不含t，则(*)称保守系统；此时，
h=C
为系统的一个初积分，例如，T为动能，V为势能,则h=T+V=C表能量守恒定律。如H 中含t，取t=qn+1，并取,即可得到不含t的啛 的H.S.：
，
，
，。
所以，H 中不含t的哈密顿系统具有一定的广泛性。
（J.-）H.庞加莱曾在他的名著《天体力学新方法》(1892～1899)中暗示许多力学中的微分方程系统都可化成H.S.,但他只举出一些例子,没有证明。后来P.A.M.狄喇克证明下述结果(1935)，对庞加莱的暗示作了很好的补充。设有,令即得H.S.:，。因此，研究H.S.理论就是研究一般的一阶正规型微分方程系统，只是引进了余切空间(y1,y2,…,yn)而已。
当H=H0(p)，即只含p时，称为可积系统。因为,而，从而，当q为角变量时，积分曲线在p＝p0环面上。
典型变换 如果变换(p，q)凮(P，Q)把H.S.: 变为 H.S.:，即方程(*)的形式不变,则此变换称典型变换。使用这种变换目的在于简化原来的系统，使K(P,Q,t)较之h(p,q,t)为简单,最简单的情况是使之变成,则P=C1，Q=C2为其解，再从(P,Q)→(p,q)便得到原来H.S.的解。
给定函数ƒ(w,夵,t),w可以是向量函数,,则所对应的欧拉-拉格朗日方程(见变分法)为：。令ƒ=p妜-h(p,q,t),w=(p,q),则所对应的欧拉-拉格朗日方程恰为 。如果作变换（p,q)凮（P,Q）使 pdq-PdQ =dφ，则这个变换就是一个典型变换。而对应的欧拉－拉格朗日方程是，仍是哈密顿系统。同理，若使pdq+QdP=pdq-PdQ+d(PQ)=dφ,则(p,q)凮(P,Q)仍是一个典型变换，因pdq-PdQ=d(φ-PQ)。假定p, q都是P,Q,t的函数，如果特别取,则,从而,所以。新的哈密顿系统是。若能选取S,使K=0，即，即S(q,P,t)要满足哈密顿-雅可比方程。如果S不含,若H又不含t，则K(P,Q)=h［p(P,Q),q(P,Q)］。
卡姆 (KAM)理论 关于哈密顿系统方程组的解的稳定性理论。是由A.H.柯尔莫哥洛夫，Β.И.阿尔诺德和J.K.莫泽三人共同建立的(1954、1963)，因而得名。他们严格证明了拟周期解的存在性，即几乎可积系统，有填满不变环的拟周期解存在。这是哈密顿系统，特别是它的定性理论的近代发展中的最重要的成就。
1889年由庞加莱所开创的哈密顿系统的定性理论中最深刻的结果是限制性三体问题中近圆形轨道的稳定性，这个结果的证明即来自KAM理论，从而使P.-S.拉普拉斯提出的,已历时200年的太阳系稳定性问题得到重要的突破。无论从微分方程方面，或从天体力学方面来看，这都是重大的贡献，得到广泛重视。
KAM理论很复杂，它的思想略述如下。
设有几乎可积系统： ， 充分小， 可取所有的正负整数值。KAM理论证明，在一定条件下,可选定一系列的典型变换：，使, 即最终得到的 H.S.为, ，即可积系统。其积分为。这表明积分曲线在一族环面上。
把变换倒过来，(P,Q)→…→(p,q)，在一定条件下，有些环面只是被扭曲了，但并没有破裂。积分曲线中有的还在被扭曲了的环面上。特别，当环面是三维空间的环面，则积分曲线被围困在两相邻环面之间，无法逸出，显示出运动的拉格朗日稳定性。
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20# 大 中 小 发表于 2009-9-30 12:38 只看该作者 向量子球面波，就是向量子向空间场态转化的过程。
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张建军
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21# 大 中 小 发表于 2009-10-1 20:13 只看该作者 引用:
原帖由 李炳铁lbttbl 于 2009-9-30 10:22 发表
现代物理学是否将整个科学体系带入了歧途？
现代物理学过分的倚重数学及其逻辑表述，甚至出现了严重违背物理常理的死解，也不能够醒悟，这才是一种奇怪的现象和危险的信号。甚至诸如量子力学的一些公式，也得不到合 ... 确实是领错路了。
首要的解决是时空观的确立。
时空绝对，互不相关，超距作用。
这样，爱因斯坦的相对论服从牛顿的经典时空观，而量子论则使用经过牛顿经典时空观修正的相对性的钟尺观（时空观）来解决。
使用绝对时空观念则可以解决爱因斯坦的一切疑问；而使用对涨缩修正的钟尺观和超距作用可以解决一切量子问题！[color=red][size=6][b]myore[/size][/color][/b]
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光速不变牛爱因子牛爱变换。相对论量子论统一场适应于绝对时空。能量生灭、永动机的理论和实验方案。静力学温标和静力学。物理四公理。磁单极子和电磁对称理论。牛爱校钟法牛爱偏折仪牛爱一统。[/color][/size]
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22# 大 中 小 发表于 2009-10-2 08:16 只看该作者 以上7#——19#是转载的网络搜索。
从哈密顿的研究来看，虽然也同拓变论的基本假设一致，但是我们又似乎看到了，“向”比“量”更加重要。甚至我现在开始认为，所谓的“量”应该就是“向”的多少或大小，这样似乎更能够体现“量”的量子性方面，因为量子性指的是“一份一份的性质”。
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23# 大 中 小 发表于 2009-10-2 08:27 只看该作者 引用:
原帖由 张建军 于 2009-10-1 20:13 发表
确实是领错路了。
首要的解决是时空观的确立。
时空绝对，互不相关，超距作用。
这样，爱因斯坦的相对论服从牛顿的经典时空观，而量子论则使用经过牛顿经典时空观修正的相对性的钟尺观（时空观）来解决。
使用 ... 牛顿的绝对时空观，必须要从两个方面来认识。一是牛顿的绝对时空观，并非是客观存在，它只具有参照系的作用。二是牛顿绝对时空观，包含了对空间和时间的错误认识，是必须要加以批判的，但是它作为参照系的作用，又是无论在数学上，还是在物理上都是必要的。这样选择之下的相对论问题，才能够更加明确相对性的时间问题与时间的同时性问题，才能够既有分别又有联系。而绝对的空间问题，也同样是一个数学化的逻辑虚拟，绝对时间也同样是数学化的逻辑虚拟，然后在此基础之上，再来认识相对的时间过程和空间的客观存在，才是厘清物理和数学问题的关键。
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24# 大 中 小 发表于 2009-10-2 08:43 只看该作者 时空观问题，是有两个截然不同的方面的。一是作为人的认识所依赖的参照系问题，我们需要一个这样在逻辑上虚拟的数学的绝对的空间和时间概念，来作为参照系。二是除了作为参照系作用的时间和空间概念之外，空间和时间又真实的存在着，这个作为客观存在的时间与空间，就是物理时间和物理空间，因此前者那个作为参照系的虚拟的绝对时间和空间，就应该叫做数学的或逻辑的时间和空间概念。
事实上，我们只有分清后的上述时空观，是不够的，因为这是一个残缺的观念。作为与空间同时并立存在的客观存在，还有物质与能量，它们也有存在过程。因此物质、能量和空间的并列，就都具有时间过程问题。也就是说，时间过程问题是一个普遍性的问题，上述对时间的区分，又是可以直接用于物质、能量和空间并立过程的，只是不再是时空观了，空间与时间放到一起，被称为时空观，则就变得狭隘了。因为不但有时空观问题，同时还应该有物质和能量的时间过程问题。
[ 本帖最后由 李炳铁lbttbl 于 2009-10-2 08:46 编辑 ]
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25# 大 中 小 发表于 2009-10-2 08:50 只看该作者 在现有的物理学上，暂时还没有这种关于物质、能量和空间，同时并列存在过程的观念和参照系问题的明确概念。时间与物质、能量和空间联系起来，这很自然就能够完成，整个宇宙也有一个整体过程，这也是很自然的事情。但是要将物质、能量和空间一同囊括到一个参照系下，而不是单纯的时空观念，则是要重新另立参照系的。这也就是拓变论所要首先完成的使命。
[ 本帖最后由 李炳铁lbttbl 于 2009-10-2 08:55 编辑 ]
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26# 大 中 小 发表于 2009-10-2 09:00 只看该作者 当拓变论研究宇宙本原问题，将目标锁定在向量上面的时候，一个统一而完整的向量参照系就摆在我们的面前了。这似乎使得这个问题变得简单起来，也就是我们只需要建立一个向量参照系或坐标系，就可以完成此事了。由此时间问题和空间问题，是自然而然的就已经包括在里面了，而且由此还明确了时间过程的向量性，以及空间的向量性，是如此的自然而然地与事实完全的吻合。与此同时，物质和能量的向量性，也就可以被包含近来了，这种进步都来自于拓变论对宇宙本原的认识，能量并不是简单的标量量子性，更重要的是其向量性，物质也只不过是向量平衡而已。物质的向心聚集状态，既可以达到自平衡，有对空间离心散发状态有所牵制作用，空间本身的势场性，也决定了空间不可能是无限的，而是空间是有限的，也决定了宇宙是有限的。而其他诸如电磁等能势问题，也都是方向性问题，只是趋势方向的形态有所分别。如物质的向心聚集状态，空间的离心分散状态和空间势场的有核心的存在状态，以及涡旋转动的趋势动向状态，能量的动荡性就已经包含其中了。以及运动的问题，也是如此的自然而然与事实相符合，运动与能量、作用力的关系问题，也就更加清晰起来了。作用与联系的关系问题所派生出来的作用力和信息联系的问题，也都是向量的问题，这同样是自然而然的与事实相符合的。
由此看来物质的核心稳定作用（包括了物质的质量惯性），空间场所性的容纳和统整作用，以及能量的动态变化作用，而使得宇宙有一个整体联系与作用关系和谐演变的过程。
[ 本帖最后由 李炳铁lbttbl 于 2009-10-2 09:31 编辑 ]
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27# 大 中 小 发表于 2009-10-5 03:39 只看该作者 引用:
原帖由 李炳铁lbttbl 于 2009-10-2 08:27 发表
牛顿的绝对时空观，必须要从两个方面来认识。一是牛顿的绝对时空观，并非是客观存在，它只具有参照系的作用。二是牛顿绝对时空观，包含了对空间和时间的错误认识，是必须要加以批判的，但是它作为参照系的作用， ... 这里就不再详细讨论了。
牛顿时空观是经过实验严格证明的，是从相对论的阴影下经过大量的实验证明的。
有时间，建议您看一看myore的博客书《静力学和永动机》第三版。
对大量的实验进行了分析，用实验证明牛顿时空观的正确性，因为是运用相对论的错误来证明的，因此称为《牛爱时空观》《牛爱钟尺观》。[color=red][size=6][b]myore[/size][/color][/b]
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28# 大 中 小 发表于 2009-10-5 09:05 只看该作者 现在牛顿运动定律只剩下一个问题，那就是所谓的“匀速直线运动”的问题，才是真正值得深究的问题。
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29# 大 中 小 发表于 2010-1-5 23:03 只看该作者 物理学由于其是最基础的科学体系之最重要的之一，它必然要冲锋陷阵，走在科学的最前沿。
但是只要我们看看物理学的发展历史，就会看到物理学总是在逻辑与事实、发明与发现的交替缠绵中，在统一的实践领域，挣扎着苦苦的艰难的行进。
以往的以伽利略为正式开端，以牛顿和麦克斯韦为中坚，直至普朗克为终结的经典物理学。基本都属于宏观上人类可以借助一般的仪器，可以直接感知的宏观物理学。
而以普朗克后，开始的以量子力学和相对论，乃至宇宙学的理论，使得现代物理学进入到了微观和宇观两个境界。然而人们对这两个境界的感知，乃至利用仪器的感知，都进入到了难以确证的境地。
泡利、玻尔、爱因斯坦、狄拉克、薛定谔、海森堡、哈勃、霍金等人，他们也都在逻辑与事实、发明与发现的交替中，扮演了重要的角色。以致于他们同时道出了他们近乎一致的看法“以后物理学的事情，就剩下了理解和解释的一些工作了”，这与当初开尔文的宣布又一次的何其相象，但是却留下了明显的遗憾，则是要比上一次那两朵乌云严重得多的疑惑。科学究竟应该是理解和解释在先，还是逻辑发明创造在先，而后再来解释的问题，对于一个实证科学而言，似乎有些荒谬。
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30# 大 中 小 发表于 2010-1-5 23:23 只看该作者 当普朗克的量子论基本假设，保持其原有初始形态的时候，即“一份一份”的属性。不连续性的事实打破了联系性的成见之后，物理学进入了全新的时代，而数学作为逻辑工具，还依然保持着它以往的逻辑和方式。粒子性和量子性，因“一份一份”的属性而统一起来，而空间的存在形态也有着实质的内容，其连续性问题也与空间进入物理学范畴一起，而需要接受挑战。因此空间问题，就出现了两个方面的问题，这是空间的特殊地位所造成的，而不象粒子和量子那样，只是具有连续或不连续的问题。空间除了具有连续与不连续的问题之外，还具有着没有空的空间存在的问题。因此空间问题就成了不连续下的连续问题了。
[ 本帖最后由 李炳铁 于 2010-1-6 09:10 编辑 ]
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31# 大 中 小 发表于 2010-1-8 10:38 只看该作者 然后我们再继续上文，“因此空间问题就成了不连续下的连续问题了。”来继续讨论这个问题。
首先我们将这个问题分析一下，它有这样的几种可能性。
1若空间是以不连续为根本或基础，形成的没有空的排列形式，而形成的所谓的连续。首先有构成物质的粒子性和构成能量的量子性，已经具有了“个体性”，那么我们就可以用反证法推断，本原若不具有个体性的话，由本原形成的粒子和量子的个体性，就不能够存在，因此我们推断本原本身就具有个体性。然后我们再看空间，空间也是由本原所构成的，因此空间的构成要素也一定是有个体性的。所以个体性构成群体性，而具有内在的联系。这样空间就应该是不连续性为本质，连续性为现象。
2若空间是以连续性为根本或基础，然后再形成不连续性，则空间的存在形态，会是什么样子？而从其根本上讲，本原具有个体性，而由本原所构成的空间，当然也具有个体性，然后个体再构成群体，而形成不连续性为本质，连续性为现象。
3否则，只有再回到空间是独立于与宇宙并立，为宇宙存在的前提条件。但是另外的矛盾又随之产生了，这方面的论述已经论述过了，这是不可能的。
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32# 大 中 小 发表于 2010-1-28 22:37 只看该作者 物理学同样和西医一样头痛医头脚痛医脚，而不是由精确的概念出发。别看它运用了现代数学，可它的基本概念是经不起推敲的。民科们就是从这里做文章。
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33# 大 中 小 发表于 2010-1-29 10:10 只看该作者 有些事情是不能够全怪罪到物理学身上的，物理学的绝大部分还是科学的，甚至是科学的标志。
但是只有现代物理学中的一部分理论物理，虽然其发展方向有一定的趋势性代表，也就是一个以实验和实证为基础的科学学科，不但要坚持实验和实证这个基础，还要适当的做一些理论的和抽象的探讨，这一发展方向也是必要的。但是其假说性，还是不可忽视的，最为显著的问题，就出现在某些数学物理方程的数学解，及其对待方式上面，这才是其引导现代科学误入歧途的可能和方面。
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34# 大 中 小 发表于 2010-1-29 10:16 只看该作者 还需要看到的应该是，所有带有思维逻辑工具性的东西都具有双刃性，数学就是带有思维逻辑工具性的东西，尽管其是自然逻辑的反映，但是反映的同时也会有假象同时存在。思维逻辑本身就具有真假性，自然逻辑只具有最大可能性而成为必然性，而思维逻辑的可能性，暂时还达不到完全正确反映事实对象，需要去伪存真的事实和实践的检验过程。
[ 本帖最后由 李炳铁 于 2010-1-29 10:20 编辑 ]
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函蔚峥 见习用户
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35# 大 中 小 发表于 2010-1-29 17:51 只看该作者 提示: 该帖被管理员或版主屏蔽
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务为 正式用户
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36# 大 中 小 发表于 2010-1-30 07:17 只看该作者 现代的弦理论等研究方向是无奈的投机选择。没有任何基础，绝对是凭空想象。它不会找到实验基础的。浪费人才。
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37# 大 中 小 发表于 2010-3-13 09:22 只看该作者 本人为什么要总结科学的必要性——事实性、实践性、逻辑性、信息性和境界性等。原因就在于这些衡量或度量标准性的事情，虽然没有在主流科学体系或科学共同体中，被明确地认识和规定下来，但是在实际的思想和行为中，却处处体现这样的标准和准则。
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38# 大 中 小 发表于 2010-4-14 09:15 只看该作者 现代科学家们，误入了怎样的歧途？
定性研究，定量研究和定义研究，就象生产力，生产关系和经济基础，以及经济基础与上层建筑的关系一样。定性研究和定量研究也具有相互作用，相互促进、相互阻碍的相互制约的关系。而现代物理科学却单方面的追求定量关系，似乎没有定量关系的研究就不是科学。我们只能够说定量关系的研究类似上层建筑，是科学表现的高级境界，但是没有了定性研究的基础，定量研究也就由事实基础和实践，自然逻辑和自然信息的对象属性研究，走向了单纯的思维逻辑，而导致无法解释和检验的理论，而使科学进程失去了平衡研究，成单腿蹦跳的研究方式，科学还怎么能够稳健地发展下去呢，其只能够是走进思维逻辑的随意性怪圈，而迷失了正确的发展方式和方向。
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姜放 一级用户
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39# 大 中 小 发表于 2010-5-13 20:56 只看该作者 讲的太好了!早些说这些,我会将之写进我的书里(引用),
看看我的书吧,就知道什么叫物理学的统一!
这本书恰恰就是诸位思想的逐一解释和证明!!!!
http://www.zhizhen.com/book/sear ... %85%83&type=all
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40# 大 中 小 发表于 2010-5-14 08:42 只看该作者 有时间一定拜读。
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41# 大 中 小 发表于 2010-5-14 08:54 只看该作者 关于“以太”的问题
任何事物在人类这里，都具有最起码的两重性。一是概念性，二是存在性。为什么要把概念性，放在第一位？原因是对于人类而言，任何被注意到的事物，都必须首先形成一定的概念，哪怕对此事物一无所识，但是只要是被人类所感知到的，就一定会有所反应。反应是人类与自然接轨的必由路径，是基本反应，然后才有反映。无论是反映还是反应，基础都是反应，只是到了反映这步，已经是反应的间接过程和结果了。因此就反应而言，人类思维还没有上升到显意识状态，也未形成理性认识的抽象反映。有了对对象的反应，人体的变化一定是有了的，只要人再注意到了，最初级的反映就已经形成了。但是在反应这个层面上，起码人类的身体已经留下了对对象作用的印痕，这从广义的概念上讲，已经是形成了概念了。
但是对于人类而言，并不是所有的概念，都是有客观存在对象的，有些概念还只是一种纯粹的意念而已。所谓的纯粹的意念，就是那些没有客观存在对象存在的纯粹意在的事情，这对人类有意义，而对于客观存在则间接太远。
因此存在与概念的关系就是，存在未必在人类这里都有所感知或知道，有知道和不知道的两种情态。因此从这个角度来看，存在的集合并不全等于人类概念的集合。同样有概念意在，也未必都是有客观存在对象的，而其中也有只有在主观中才存在的概念。因此从这样两个角度来看存在与对象的关系，只能够说存在与概念有一定的交集，而不是全同的集合关系。
然后我们再说“以太”问题，其实以太问题，也正是如此。一方面以太这个概念，并不是没有客观存在对象的，我们先不管这个概念的对与错，我们只从这个概念发生的根源说起。首先空间是真实的，这是我们能够基本确认的事情。但是空间作为这个宇宙存在的一部分，无论我们怎么认识它，它都是客观存在的事实是不能够被改变的。
因此空间是客观实在，这一点我们是应该没有任何疑义的。那么至于我们应该怎样认识空间，什么是空间的问题，我们会通过存在的事实，已经证明了什么是空间，无论我们怎样认识和描述，反正就是有这个事物存在那里，有什么就是什么，我们还可以用一个符号来表示它，这应该是最明知之举了。如我们用S或U来代表空间，至于它又是什么的问题，我们则另做回答。只不过是我们所要做的事情，对任何什么是什么的问题的回答，是具有共通性的。回答这类问题，我们也可以用符号逻辑手段，来进行表述，如：A是B吗？或分解为1A=B？和2A？=B。要是回答前者是什么的问题，就是回答1的问题，要是回答后者是什么的问题，就是回答2的问题。对于空间而言，也就是要回答1空间是什么的问题，和回答2什么是空间的问题
作用量泛函 平稳。这意味着，对于正确运动的任意微扰 ，一次变分 必须等于零
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