时空几何是动态的。虽然在原则上容易掌握，这却是广义相对论中最难了解的概念:物理上唯一要紧的讯息是时空中不同事件彼此间的关系

来源: marketreflections 于 2010-06-10 16:25:54 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (60268 bytes)

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时空几何是动态的。虽然在原则上容易掌握，这却是广义相对论中最难了解的概念，而且它所带来的结果是相当深远的，也没完全地探索完，即使仅就古典层级而言。就某种程度而言，广义相对论可以视作是一种关系理论，在这样的理论中，物理上唯一要紧的讯息是时空中不同事件彼此间的关系

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yttyt默认分类 2007-01-03 10:54:08 阅读32 评论0 字号：大中小
量 子 场 论

量子场论起源于探索场的量子理论的思想。它结合了现代物理中三个主要的概念：量子理论，场的观念和相对论性原理。在量子场论的框架下，人们构造了标准模型去描述基本粒子之间的三种相互作用。正规化和重整化是量子场论的一个十分重要的成功。作为现代量子场论的一个重要进展，威尔逊提出了有效场论的概念，作为有效理论，可重整性这个要求并不是必要的。但作为基本量子场论，可重整性仍然是一个重要的判据条件。规范等级问题和大统一提供了存在超对称的线索。然而,预计将于2007年开始运行的加速器LHC无论是否发现超对称伙伴粒子都将会对物理学家提出挑战。尽管标准模型取得了极大的成功，但是夸克禁闭和引力的量子化仍然是我们必须面对的两个谜。目前，弦理论作为描述量子引力的一个候选者，成为现代量子场论研究的重要方向之一，不管正确与否，都有可能启发我们最终寻找到一个超大统一理论。关键词：量子场论，正规化和重整化，标准模型, 超对称,引力量子化，弦理论。科学进步的原动力常常来自于原有理论与新的实验发现相违背或者是原有的理论相互之间有着不可调和的矛盾。回顾过往，二十世纪物理学有两个最重要的发现，即相对论和量子力学。这也是现代物理学所依赖的两大支柱。同时我们认识到主宰着我们这个世界的基本相互作用有四类：电磁相互作用，弱相互作用，强相互作用和引力相互作用。相对论包括狭义和广义相对论。狭义相对论是一个运动学原理，而广义相对论是一个描述时空演化的一个动力学理论，是我们已知的描述引力相互作用的最成功的理论并且为我们从大尺度认识宇宙提供了基本的理论框架。而量子力学是我们了解微观世界的基本工具。从历史上讲，在量子力学建立之后仅仅两年就有人试图研究量子场论。量子场论的研究以狄拉克将辐射量子化以及写下电子的相对论方程为开端，到费曼，施温格和朝永振一郎的量子电动力学及温伯格，萨拉姆和格拉肖的标准模型为高潮，而以威尔逊的量子场论重正化群及有效量子场论作为重要的进展和应用，渗透到统计物理和凝聚态等许多领域。以现代的观点来看，描述粒子物理三种基本相互作用的量子场论是狭义相对论和量子力学相结合的产物。薛定谔在写下他的量子力学方程时“遗忘”了一个十分重要的东西，那就是狭义相对论。但是物理学家很快发现，狭义相对论对于一个正确的量子力学框架来说是很重要的。这是因为微观世界的行为让我们看到能量是可以有多种表现形式的。这个观念根源于狭义相对论的质能关系。忽略了狭义相对论也就忽略了物质，能量以及运动之间的重要关系。质能关系甚至允许不同种类的粒子在满足一些必要的条件下是可以相互转换。比如一对正负电子对可以湮灭成光子。量子场论中基本的物理自由度是以粒子能量和运动的形式出现，它把波粒二象性统一起来描述。通常观念中的粒子可以解释为这些量子场所对应的能量量子，至少在微扰量子场论中是这样的。因此要描述一种粒子及其相互作用我们就要相应地引入一种量子场。这些粒子的特性是按照洛伦兹群和内禀对称性来分类的。按照相应的自旋这些粒子分为费米子和玻色子，它们分别具有半整数和整数自旋。鉴于因果率，费米子系统满足费米-狄拉克统计，而玻色子系统满足玻色-爱因斯坦统计。在定域量子场论的框架下，各种相互作用都不是瞬时发生的，而是通过一些传播子来传递。更为漂亮的是自然界的这四类相互作用都由一定的对称性来决定。这些对称性常常用一些规范群来刻画。基于规范理论，温伯格，萨拉姆和格拉肖建立了弱电统一模型，即成功地统一了电磁相互作用和弱相互作用。在包括了强作用后称其为标准模型。标准模型的规范群是SU(3)*SU(2)*U(1)。标准模型与二十多年来所做的各种实验相一致。这也是称之为标准模型的一个重要理由。电磁相互作用，弱相互作用和强相互作用分别由光子，弱作用规范玻色子（W,Z）和胶子来传递。其中弱作用的规范对称性在低能下由黑格斯场的真空自发破缺而发生破缺，因此弱作用规范玻色子是有静止质量的，而光子和胶子是没有静止质量的。当然在远高于弱作用规范玻色子质量的能标下，弱作用规范玻色子的质量可以忽略，这时弱作用规范对称性又恢复了。然而引力还没有能够成功的纳入量子场论的框架下。但是经典的爱因斯坦引力理论仍然是由广义等效原理来决定的，具有广义坐标变换不变性。在后面我们还将认真的讨论引力的量子性质问题。在这里要进一步问的一个问题是：在标准模型和广义相对论中的对称性的起源是什么？一个可能的回答是：一个静止质量为零自旋为一的量子场如果不是按照规范不变的方式来耦合，那么这个场的量子理论会破坏洛伦兹对称性;而静止质量为零自旋为二的量子场如果不是按照满足等效原理的方式来耦合，那么这个场的量子理论也会破坏洛伦兹对称性。从这个意义上讲，洛伦兹不变性要求描述自然的理论必须是具有规范对称性的理论。在微扰量子场论的费曼图中，相互作用总是发生在一些点上。对于任何一个洛伦兹观测者而言相互作用都是发生在时空中一个确定的点上。量子力学告诉我们无限小的距离意味着无穷大的能量。这常常就会让我们在计算物理量时得到无穷大的结果。但是物理中的可观测量必须是有限的。这个困难曾一度使得量子场论几乎被抛弃了。为了克服这个紫外发散的困难，人们发展了正规化和重整化理论。可以说重整化理论是量子场论的一个关键性的成功。是否是可重整的曾经成为判断所构造的量子场论是否是合理的重要判据之一。杨-米尔斯规范场理论也是在特霍夫特和沃特曼证明了是可重整的之后才被广泛使用的。他们也因此获得了诺贝尔物理学奖。在现代量子场论中，随着威尔逊有效量子场论的兴起，可重整性就变得不是那么重要了。但作为基本量子场论，可重整性仍然是一个重要的判据条件。有效场论的一个基本的观点是我们在构造一个量子场论时并不一定要求这个量子场论是可重整的。而有效的概念就在于这样的量子场论只能刻画一定能标以下的物理，或者说这样的量子场论在一定的能标下是有效的。如果我们正在探讨一个基本理论而不仅仅是一个有效理论的时候，我们需要考虑满足对称性要求的所有可能的项。但是在有效场论中，那些不可重整的项的效应总是被所关心的能标和一些基本能标之比的因子压低了。然而尽管对任意给定的能标，有效理论都可以达到一个给定的精确度，但是当我们要求有效理论的精度或者能标不断增加的时候，我们需要考虑越来越多的压低项，这也就要求我们对高能标的物理有越来越多的了解。甚至在有效场论的意义下，没有任何理由让我们过分严肃地把爱因斯坦的广义相对论看作是一个量子引力理论。那些曲率的高次项和更高阶导数项应当是可以出现的，只是这些项被普朗克能量的指数次幂压低了。当然这些项在远低于普朗克能量的能标下的效应是可以忽略的。当我们仔细考察忽略了引力的标准模型的高能行为时候，我们发现存在一个十分严重的微调问题。标准模型的幺正性要求黑格斯粒子的质量不能超过大约1Tev。如果我们相信我们写下的标准模型在普朗克能标以下是有效的，那么黑格斯粒子的质量的量子修正远远大于其物理观测到的值。这需要我们要对标准模型里的参数做极为精细地调节—精确到千万分之一。这是很不自然的。超对称极大的改变了这种状况。超对称预言任何玻色子都有其相对应的伙伴费米子。而玻色子和其相应的伙伴费米子有相互抵消量子涨落的效应。另一个支持存在超对称的理由来自于大统一的思想。标准模型中除引力外的三种相互作用包含了三个独立的耦合常数。它们本来的强度的变化范围相差太大了。但是乔基和格拉肖证明在大约比普朗克能标小四个数量级的能标下，这三种相互作用的强度大约是一样的。然而更细致的研究表明：这三种相互作用在微观尺度上几乎是统一的，相等的，但又留下一点点差别。大多数物理学家都感到这太难以相信了。而超对称亦可以解决这个问题。然而我们从没有发现过已知粒子的超对称伙伴粒子。但是相信超对称的大多数物理学家认为那是因为超对称伙伴粒子太重的缘故，超出了我们现在的实验探测能标。现在物理学家还在瑞士日内瓦制造庞大的大型强子对撞机，人们期待能在这个对撞机上发现超对称伙伴粒子。此对撞机计划在2007年运行，到时候不管能否找到超对称粒子，都会给理论提出挑战。在谈了标准模型的高能部分后，我们也要谈一谈它的低能部分中一个很重要的现象。标准模型中描述强相互作用的规范对称群是SU(3)，称为量子色动力学。在标准模型的框架下强相互作用的耦合常数在高能标下趋于零，而在低能标下趋于一个比较大的数，这时强相互作用是强耦合的。在低能下自然界是色单态的，即存在所谓的色禁闭。然而我们总是过分的依赖微扰展开的办法，这种办法在强耦合的情况下失效了。如何定量的解释色禁闭成了本世纪一个需要解决的重要问题。目前这方面最重要的进展是塞勃格和威顿在1994年做出的。他们证明在四维时空中N=2超对称规范理论确实存在色禁闭。当然就算现实世界存在超对称，那它也一定发生了一定程度的破缺。然而，如何在没有超对称的理论中定量地解释色禁闭仍然是一个难题。这个问题被评为本世纪七大难题之一，解决这个问题的奖金是一百万美金。毫无疑问地，架构在现代量子场理论基础之上的描述除引力以外的其他三种相互作用的标准模型是极为成功的。但是我们不要遗忘引力这种很早人类就认识到的一种相互作用。事实上，我们还完全没有理解引力的量子理论。也许人们可以反驳说我们让标准模型和爱因斯坦引力理论在各自的传统领域里面工作就可以了。但是宇宙学的发展却不可避免的将他们联系起来。比如极早期宇宙尺度很小，从而有很明显的量子效应出现，而且当时宇宙的密度又很大，因而引力效应也相当显著。爱因斯坦引力理论告诉我们时空必然因宇宙中存在的能量而变得弯曲了。然而我们却没有能够严格地在弯曲的背景时空中建立起量子场论。一个简单的例子是在弯曲时空中量子场论的S矩阵没有很好的定义。而S矩阵是量子场论的可观测量。而且更为严重的是广义相对论的核心原理—光滑的空间几何的概念--被小尺度上的量子世界的涨落给破坏了。甚至一些物理学家深信，广义相对论和量子力学这两块现代物理的基石根本上就是搭配不起来的，而不仅仅是在极小尺度上才暴露出来。他们认为这个矛盾指出了我们对物理宇宙认识的根本缺陷。这种看法源于一个深入人心的世界观：如果在最深最基本的水平上认识宇宙，宇宙应当能以一个各部分和谐统一，逻辑上连贯一致的理论来描述。大多数物理学家很难相信我们对宇宙最深层的认识的理论基础是由两个虽然有力然而却搭配不起来的数学框架拼接起来的。英国牛津大学数学教授彭罗斯指出：“毫无疑问地，量子理论对小尺度上的物理提供了一个十分精确的描述，但是却不能给我们一个正确的描述宇宙的图景。理论中所包含的佯谬似的解释表明量子理论在大尺度上的失败也许是不可调和的，必须有革命性的改变才能构造起一个合理的框架。”为了能让这两个理论协调起来，终于，超弦理论来了。弦有很多不同的简谐振动模式，而不同的振动模式就对应着不同的基本粒子。在弦的这些振动模式中自然存在一个自旋为二，静止质量为零的状态，这就是引力子。因此威顿就曾骄傲的宣布，弦理论已经做出了激动人心而且实验证实了的预言：“弦理论具有一个令人瞩目的性质，它预言了引力。”牛顿和爱因斯坦都是因为他们对世界的观察表明存在着引力需要一个准确而和谐的解释才去创立他们的引力理论的；然而研究弦理论的物理学家即使一点也不懂广义相对论，也会不可避免地在弦的引导下走向它。超弦理论是具有超对称性的弦理论。超对称是超弦理论的一个自然要求。如果超对称伙伴粒子真的发现了，那对超弦理论来讲无疑将是一个强有力的令人振奋的间接证据。超弦理论不仅包含了量子场论中的内容，更重要的是它极有可能是一个在量子上也完全自恰的理论。超弦理论是量子场论的一个自然延伸，也是成功描写量子引力理论的最有希望的候选者。特霍夫特今年在德国林岛诺贝尔奖获得者大会上就做了一个以超弦理论为主旨的报告。他认为现代物理学家应当十分严肃地来看待超弦理论。回想二十世纪八十年代，当弦理论刚刚闪亮登场的时候，哈佛大学的诺贝尔奖得者格拉肖和当时也在哈佛的另一个物理学家金斯帕格就曾公开批评弦理论没有实验检验的可能：“超弦理论追求的不是传统的理论与实验的统一，而是一种内在的和谐，以精密，独特和优美来决定真理。这个理论的存在，靠的是一些魔术般的巧合，无限大在这里奇迹般地消失了，看似毫无关联（也可能尚未发现）的数学领域也奇迹般地联系起来了。难道这些性质能成为我们把超弦当成实在的理由吗？难道数学和美学就这样完全替代并超越实验了吗？”。尽管众说纷纭，在过去的十年间，对弦理论的批评还是慢慢地平息了。在1997年12月28日的谈话中，格拉肖说：“弦理论学家们曾狂热而野心勃勃地宣扬他们很快回答物理学的所有问题。现在，他们谨慎多了，我在八十年代的许多批评没有意义了。” 2003年10月，数学家彭罗斯说：“弦理论及其相关的思想，比如超对称和更高维时空，尽管依然缺乏观测的支持，但却是基于合理的物理和数学所渴望的。研究它们所延伸出来的内涵是有基础性的推动力的。”百年以后，超弦理论该是什么样子，恐怕就算是今天走在最前头的研究者们也看不出来。但是我们还是可以满怀信心地认为我们生活在人类历史上的一个转折点。1998年3月4日威顿就曾讲到：“我觉得我们离弦理论很近了—在我最乐观的时候—我想会有那么一天，理论的最终形式会从天上掉下来落在某个人的头上。但是更现实地讲，我觉得我们今天正在构造一个比以往任何东西都更深刻的理论，这个过程将延续到二十一世纪，那时我就太老了，不可能还有什么有用的思想；年轻的物理学家将去决定，我们是不是真的找到了最后的理论。”弦理论打开了一幅宇宙波澜壮阔的图画，但是还有许多重大的困难和细节需要二十一世纪的弦理论家用心去思索。弦理论可看作是现代量子场论发展的重要方向之一, 不管正确与否，都有可能启发我们最终寻找到一个超大统一理论。 参考文献：1.Brian Greene, The Elegant Universe;2. Steven Weinberg, What is quantum field theory and what did we think it is?, hep-th/9702027 (Talk presented at the coference : “Historical and Philosophical Reflections on the Foundations of Quantum Field Theory”, at Boston University, March 1996.);3. Steven Weinberg, The Quantum Theory of Fields.4. Edward Witten, Comments on string theory, hep-th/0212247 (Based on a lecture presented at the Sackler Colloquium on Challenges to the Standard Paradigm);5. Joseph Polchinski, M Theory: Uncertainty and Unification, hep-th/0209105;6. Edward Witten, “Reflections on the Fate of Spacetime”, Physics Today, April 1996, Page. 24;7. Sheldon Glashow and Paul Ginsparg, Desperatedly Seeking Superstring?, Physics Today, May, 1986, Page 7;8.Roger Penrose, Fashion, Faith and Fantasy in the New Physics of the Universe.狭义相对论在宏观世界里无疑是一个成功的理论，他用简洁优美的公式统一了低速和高速世界，发现高速世界的景象并不是我们常识中的东西。量子论在微观世界也无疑是一个成功的理论，它发现了一个全新的微观世界，原子并不是我们想象中的那样是一个宏观物体的缩小，它会干涉、衍射，还会跃迁、坍缩。然而狭义相对论进入微观领域就有些力不从心了，虽然质能方程仍然普遍成立，虽然微观世界也不存在超光速信号，但微观粒子既然连轨道的概念都不存在，又怎么会受到相对论力学的束缚呢？同样，量子论中的薛定鄂方程也不满足相对性原理，所以在处理高速问题时肯定会有麻烦。即使是氢原子，它也无法解释精细结构，需要相对论修正，更何况还要引入一个看上去毫无道理的电子自旋概念。所以自然的想法就是找到一个新的理论，既满足相对性原理，又可以在低速近似下退化为薛定谔方程。通过探索，学者们找到了两条路。其中一条路上走着的是克莱茵和狄拉克，他们的思路是找到一个新的满足相对论的波动方程。于是分别建立了KG方程和狄拉克方程。狄拉克求出了氢原子的严格解，并且自然的预言了电子自旋。同时，相对论方程预言了反物质的存在。现在我们去第二条路上看看。 爱因斯坦认为，法拉第最大的贡献不是电磁感应定律，而是他的力线。法拉第为了理解磁现象，首先提出了场的概念。简单地说，场是弥散在空间中的一个区域，或者说是空间的一种紧张状态，它代表了一种施力的可能性，而且场可以独立的存在。麦克斯韦关于电磁场的场方程组一直是物理美的典范，爱因斯坦广义相对论也是一种经典场论。量子场论的核心是，万物都是由场构成的，而且仅仅由场构成。场具有能量，因此有质量。实物粒子都是场的状态，粒子是场的中心。 1926年，玻恩、海森伯、约当提出了电磁场的量子理论，量子场论从此诞生。在这个理论里，电磁场本身是一个同时满足量子力学原理和相对性原理的系统，从而建立起描述这个系统的场方程。它实际上就是描述电磁场本身运动的“薛定谔”方程，如同电子的Ψ场一样，描述了电磁场的Ψ场。更确切的说，它预言了在空间某点处发现电磁场有不同强度的概率。薛定谔方程预言粒子能量量子化，同样，电磁场的量子场论预言电磁场会量子化为各种频率的能量包，这些能包就是光子。新的理论解释了光子存在的理由，而爱因斯坦的光量子假说只是假设光子存在，并没有更基本的理由。 量子场论的思想是：从场论出发，然后将场量子化，从而导出与场相联系的粒子，这些粒子是场的量子，它以分立的能包形式（粒子）显示自身的存在。 1929年，海森伯和泡利将量子场论思想应用到实物粒子，对电子的Ψ场进行了量子化。这种电子场遵从量子论原理和相对性原理。他们发现，量子化后的电子场会以分立能包的形式显示自身，只是这个能包不再是光子，而是电子。或更确切的说，量子场论预言了电子的存在。推而广之，自然界中所有的粒子都有对应的场，都是这个场的量子，如质子场、中子场、中微子场、μ子场……因为自然界是由场构成的，而量子化后的场以粒子的形式显示自身，所以我们看到的自然界由粒子构成。 有了量子场，我们可以描述单个电子和单个光子的行为了，但自然界中一个最基本的过程：光电效应或康普敦散射我们如何理解呢？爱因斯坦光电效应方程和康普敦散射的推导只用到了能量（以及动量）守恒这一普遍原理，并没有揭示相互作用的细节。1947年，费曼和施温格分别以不同的方式建立了电子与光子相互作用的理论：量子电动力学。量子电动力学是目前为止最精确的理论，它精确预言了兰姆移位和电子反常磁矩。费曼发现，为了使量子场符合相对性原理，必须存在一个时间上逆行的电子。而这个在时间的反方向上运动的电子其可观测效应与另一个带正电的电子在时间正方向上完全相同。这就是正电子。早在1928年，狄拉克就利用他的相对论波动方程预言了正电子的存在。现在已经有很多学者改变了他们对反物质的看法，放弃了狄拉克的真空负能海，转而认为，反物质就是在时间上逆行的物质。 引用一位化学家的名言：世上没有废物，只有被放错地方的财富。 可是如果我们不了解光子，又怎么能指望会将它放对地方呢？一、引言

量子场论 (Quantum Field Theory) [1] 是目前唯一能满足特殊相对论及量子力学原理的理论架构。但它不可能是最终的理论 (Final Theory) [2]。因为它一定会在很高能量(即很短距离)时不能自恰 (self-consistent)。因此、量子场论可以看成是某基本理论在低能量之有效场论(Effective Low-Energy Field Theory)。重点是，不管这个基本理论究竟是超弦理论(Superstring Theory) 或其它未知的最终理论，它在低能量之有效场论必然是量子场论。故此，推导出量子场论之理论预测及其与实验结果的比较，是所有(高能)物理学家一致努力的目标，尤其是具有规范对称之量子场论，例如描述夸克与轻子之间(电磁、强、弱)交互作用之标准模型(Standard Model)。在标准模型中、描述夸克与胶子之间强交互作用之规范场论是量子色动力学(Quantum Chromodynamics , QCD)。原则上、强子及原子核之一切特性及其间之强作用力都可由QCD推导出。很不幸的是、任何四维量子场论(除了自由场之外)都没有精确解 (exact solution)。而弱耦合微扰理论(weak couplng perturbation theory)在强交互作用中又不适用。故此如何得出标准模型(或任何四维量子场论)之非微扰解(nonperturbative solution)，一直是理论物理中最重要及最困难的课题。如果这个技术性问题不获得有效的解决，我们不能判定高能实验结果中一些(稀有)独特事件与理论预测之误差究竟象征了新的物理、或者只是标准模型中的非微扰效应。值得注意的是，真正的非微扰效应是不能从Feynman图的计算而得，不管你算了多少个Feynman图，也可能得不出正确的答案。

在1974年，Kenneth G. Wilson提出格点规范场论 (Lattice Gauge Theory) [3]，把连续时空暂时变为一个有限的四维格点，而定义在格点上之量子场论(路径积分量子化之后)则等价于一个统计力学系统，故此可以用Monte Carlo simulation求得其非微扰数值解。格点QCD是目前研究强交互作用理论中唯一最成功的之非微扰规限法。但是、如何把费米场放在时空格点上而保存其在连续场论中之一切特性、一直是最困难的理论课题。

二、格点费米场之手则对称

在连续场论中、无质量费米场具有手则对称 (chiral symmetry)。在QCD中，手则对称扮演着重要的角色，它不允许可加性的夸克质量重整化，而其自发性破坏提供了近似Goldstone玻色子以及其交互作用。因此，当我们要建立一个格点QCD理论时，保存手则对称是非常关键的一步。然而我们一定会遇到Nielson-Ninomiya 定理所综合的困难：在格点上之Dirac费米场作用量无法同时满足（i）局域性，（ii）没有费米子偶对，及（iii）手则对称。这是格点规范场论自1974年以来的重要难题。

过去23 年来，研究格点QCD的人员绝大多数都是采用Wilson Fermion 或Staggered Fermion 来处理格点费米子。但这两种方法都有其本身严重的缺点。 Wilson Fermion 所加入的 Wilson term 类似纯量场(scalar field)的作用而明显的破坏了手则对称，同时也引致各运算子的混合 (operator mixings) 而令计算出的物理量需要极复杂的重正化手续之后始能与实验值比较。另一方面，Staggered Fermion 虽然保留了部份之手则对称，却有残余的费米场 (species doubling)。只有当格点距离 (lattice spacing) 是零时(a →0)，Wilson Fermion 及Staggered Fermion才可以恢复手则对称。但是，一切实际的数值计算只能在有限格点距离之下进行。故此、怎样外推到恢复手则对称的范畴是一个未解决的难题。

过去五年来，理论物理学家对时空格点上之手则对称有了新的突破，可以在有限格点距离下，保存费米场的精确手则对称。基本架构是David B. Kaplan在1992年提出之格点畴壁费米场Lattice Domain-Wall Fermions (DWF)，承袭了V. Rubakov和 M. Shaposhnikov (1983) 及 C. Callan 和 J. Harvey (1985) 在连续场论中的构想。畴壁费米场的基本概念是使用无穷多个费米场(引进第五维的内在空间)，透过其质量之变化像一个阶梯函数 (step function), m(s) = mθ(s), 则在 s=0 (Domain-Wall) 处产生无质量且具手则对称之(左手或右手) Weyl费米场，故此可得到一个 4 维的手则规范场论。如果 m(s) 的值是一个紧密的集 (compact set), 则其边界条件一定会同时产生左手及右手的费米场，故此变成一个 4 维的向量规范场论。明显地，在五维格点上，必须要第五维之格点数 (Ns) 是无限大时，才有精确的手则对称，而其无质量夸克传递子可写成

(1)

及满足 。对格点 QCD 之数值计算而言，我们实际上只能使用有限个 Ns 费米场来产生 domain-wall，故此夸克场(在无质量极限下) 之手则对称也并非完全精确。如何去建立这Ns 个费米场之间的 coupling 而令到夸克场有最佳化的手则对称是一个重要的问题。在2002年，笔者证明了一般常用的DWF 在Ns有限时不具有最佳之手则对称，并且提出了一个经严格数学证明具有最佳手则对称之新费米场作用量，称为最佳化畴壁费米场(Optimal Domain-Wall Fermions) [4,5]，也证明了Optimal DWF 之4维有效 Dirac 运算子在平滑规范场中具指数减弱之局域性 (exponentially-local)。此外，其4维有效 Dirac运算子具有正确的拓扑特征，满足Atiyah-Singer 指针定理。并且，其轴畸异(axial anomaly)与规范场之拓扑荷密度相符合。故此 Optimal DWF 能够提供最佳的理论架构来探讨 QCD 之非微扰物理现象。

三、格点QCD

虽然格点向量规范场论之手则对称难题在原理上已经完全解决，但格点QCD之实际数值计算在技术上仍然面临巨大的挑战。首先、任何格点QCD的数值计算都受到因有限格点而引致之误差:(i)有限体积效应 (finite volume effect); 及(ii) 有限格点距离所产生之误差 (discretization error)。此外、强子质量 必须满足 , 其中 是空间任一维度的格点数目。否则、有限体积效应或有限格点距离所产生之误差会变得难估计。故此、在同一个晶格上，最重及最轻强子质量之比值必须小于 。事实上，到目前为止、任何格点QCD的数值计算都因为格点数目太少而显得不自然(unphysical)。例如、计算出的 介子与 介子的质量、及其质量之比值都大过实验值。一个可行的补救方法是利用手则微扰理论(chiral perturbation theory) 推导出之介子与夸克质量之关系式，然后用格点QCD的数值结果把这个关系式中的常数决定出来，再外插到自然的u(d)夸克质量而得出 介子与 介子质量之理论值。值得注意的是，如果格点QCD采用Wilson Fermion 或Staggered Fermion，则在有限格点距离时不能保存费米场的手则对称，那么手则微扰理论便不适用。由此可见，格点手则对称之实现，对格点QCD之发展，有决定性的影响。

原则上，所有强子(hadron)的质量及衰变常数(decay constant) 等一切特性都可以用上述的方法求得。但是、格点QCD还有一个巨大的挑战: 就是如何包括动态夸克之效应。到目前为止、大多数格点QCD的数值计算都忽略了动态夸克之效应，而把夸克之费米行列式设为常数，称为quenched approximation。原因是计算费米行列式之效应比计算夸克传递子之计算量多100 倍以上。从理论上估计，因忽略动态夸克之效应而引致之误差大约是15~20 % 左右。

明显地，格点QCD的研究，需要大量的数值计算。因此、研究高效率的算法是格点QCD的重要课题，尤其是动态夸克方面。另一方面，由于个人计算机之计算效能与价格比performance/price 迅速提升，使PC cluster成为研究格点QCD最有效的平台。笔者领导之格点QCD研究组于台大物理系自2001年起建造PC cluster，专供格点QCD的研究计算。现在(2003/11)已经完成64 nodes(每一个node包含Pentium 4、1 Gbyte 内存及120 G 硬盘等)。笔者的构想是希望建造一部超过 one Teraflops 的 PC cluster (256~512 nodes)，以便可以进行包括动态夸克之格点QCD的研究计算。



四、有限温度及化学位能之格点QCD

如果我们希望从QCD第一原理出发去了解早期的宇宙、及目前重离子实验中可能观察到的现象，例如、强子物质(hadronic matter) 与夸克胶子浆(quark-gluon plasma) 之间的相变，我们只能依赖格点QCD去求得其非微扰数值解。

上述温度为零 的格点QCD可以很容易便推广到有限温度 的情况。因为 ，其中 是时间维度的格点数目，故此只要令 便可达到目的。如果要考虑有限化学位能 ，则问题变得颇为困难。因为这时费米行列式变成复数，故此其有效作用量(effective action)也是复数而不能用Monte Carlo simulation求得其正确的规范场组态。另一方面，如果我们把费米行列式归入观察量，而只用纯规范场作用量所产生规范场组态来计算的话，则不能抽样到正确的规范场组态而引致结果错误。最近提出的一些方法[6]可以处理化学位能 不太大的情况。然而，对温度低及化学位能高之最令人感兴趣的个案，至今仍无可行之法。



五、格点超对称

除了QCD 中长久以来的重要物理难题如自发性手则对称破坏(spontaneous chiral symmetry breaking) 及色囚禁(colorconfinement) 等都必须要非微扰(或数值)解之外，在超弦、超对称及超重力等理论中有很多重要物理问题也会因非微扰数值解而获得更深一层的理解。故此、怎样把超对称制定在时空格点上是一项重要的研究课题。但这是一项非常困难的任务，因为在格点上没有无穷小的平移(infinitesimal translations)而明显的破坏了超对称。

最近提出的一个可行的方法[7]是设法在格点上保存部分的超对称，藉此禁止了一切破坏超对称的有关运算子(relevant operators)的出现，并且希望超对称可以在连续极限时以偶然对称(accidental symmetry) 的形式出现，而不须要微调各耦合常数。最近、Kaplan 等人根据这个概念已建构了一系列在各维度格点上之超对称模型[7]。但是、如何计算出这些格点超对称模型之非微扰数值解仍然是困难重重。首先、所有的场都必须是完全无质量(exactly massless)，而且我们不能忽略其动态费米场之效应。但是、其费米行列式不一定是正实数。因此我们不能用Monte Carlo simulation去求得其正确的场组态或任何物理量。明显地，如何计算出格点超对称场论之非微扰数值解是一项比计算格点QCD更巨大的挑战。



六、结语及展望

格点规范场论是目前探讨量子场论之非微扰(数值)解之唯一最成功的理论架构。随着过去数年来格点手则对称的突破性进展，格点QCD或任何格点向量规范场论在原理上已经完全解决。故此、我们可以展望在未来数年，格点QCD会随着计算机之计算效能与价格比performance/price 之迅速提升而对高能物理现象学及实验作出重要的贡献，例如、计算出B介子之衰变常数(decay constants) , 及混合参数 , 等。但是、包括动态夸克之计算仍然是技术上的极大的挑战。因此、我们要继续努力研究高效率的动态夸克算法。

在有限温度 及化学位能 之格点QCD方面，它的重要性是可以让我们从QCD第一原理出发去了解早期的宇宙、及预测目前重离子实验中可能观察到的现象，如强子物质与夸克胶子浆之间的相变及相关的物理量。因为费米行列式变成复数，故此我们不能用传统的Monte Carlo simulation来计算观察量。虽然最近提出的一些方法可以处理化学位能不太大的情况;，然而对温度低及化学位能高(最令人感兴趣)的领域，仍旧束手无策，极需要有突破性的进展。

如引言所述，量子场论一定是某基本理论在低能量之有效场论。但是、不管这个基本理论究竟是超弦理论或其它未知的最终理论，它在低能量之有效理论必然是规范场论(标准模型)。现在，大多数的理论物理学家都认为这个基本理论在很高能量时具有超对称。故此、如何计算出超对称模型之非微扰(数值) 解是一项重要的研究课题。虽然，最近已有一系列在各维度格点上之超对称模型[7]，然而、其数值解之可行性要视乎我们是否可以解决因费米行列式所产生之难题:(i)如何计算出包括动态费米场之有效作用量;及(ii)如何对非正实数之机率分布进行Monte Carlo simulation。很明显地，我们必须要在理论上或技术上有所突破。

参考数据：

[1]关于量子场论之基本概念， 读者可参阅教科书 A. Zee,“Quantum Field Theory”(Princeton University Press, 2003)

[2] S. Weinberg, “Dreams of a Final Theory” (Pantheon Books, 1992)

[3] 关于格点规范场论之基本原理及方法，读者可参阅: H.J. Rothe,“Lattice Gauge Field Theories, An Introduction”, Second edition (World Scientific, 1997); 及I. Montvay and G. Munster,“Quantum Fields on a Lattice”(Cambridge University Press, 1994).

[4] Ting-Wai Chiu (赵挺伟), Phys. Rev. Lett. 90, 071601 (2003); Phys. Lett. B 552, 97 (2003); hep-lat/0303008.

[5] 关于格点费米场之最近回顾，读者可参阅:Ting-Wai Chiu (赵挺伟),“Recent Development of Domain-Wall/Overlap Fermions for Lattice QCD”, Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0310043.

[6] 关于有限温度及化学能之格点QCD的最近回顾，读者可参阅: S. D. Katz, “Lattice QCD at

finite T and μ”, Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0310051.

[7] 关于格点超对称之最近回顾， 读者可参阅: David B. Kaplan, “Recent Developments in Lattice Supersymmetry”, Plenary talk at Lattice 2003, hep-lat/0309099.

量子场论是量子力学和经典场论相结合的物理理论，已被广泛的应用于粒子物理学和凝聚态物理学中。量子场论为描述多粒子系统，尤其是包含粒子产生和湮灭过程的系统，提供了有效的描述框架。非相对论性的量子场论主要被应用于凝聚态物理学，比如描述超导性的BCS理论。而相对论性的量子场论则是粒子物理学不可或缺的组成部分。自然界目前人类所知的有四种基本相互作用：强作用，电磁相互作用，弱作用，引力。除去引力，另三种相互作用都找到了合适满足特定对称性的量子场论来描述。强作用有量子色动力学（QCD，Quantum Chromodynamics)；电磁相互作用有量子电动力学（QED,Quantum Electrodynamics)，理论框架建立于1920到1950年间，主要的贡献者为保罗·狄拉克，弗拉迪米尔·福克，沃尔夫冈·泡利，朝永振一郎，施温格，理查德·费曼和迪森等；弱作用有费米点作用理论。后来弱作用和电磁相互作用实现了形式上的统一，通过希格斯机制（Higgs Mechanism）产生质量，建立了弱电统一的量子规范理论，即GWS（Glashow, Weinberg, Salam）模型。量子场论成为现代理论物理学的主流方法和工具。

所谓“量子场论”的学科是从狭义相对论和量子力学的观念的结合而产生的。它和标准（亦即非相对论性）的量子力学的差别在于，任何特殊种类的粒子的数目不必是常数。每一种粒子都有其反粒子（有时，诸如光子，反粒子和原先粒子是一样的）。一个有质量的粒子和它的反粒子可以湮灭而形成能量，并且这样的对子可由能量产生出来。的确，甚至粒子数也不必是确定的；因为不同粒子数的态的线性叠加是允许的。最高级的量子场论是“量子电动力学”--基本上是电子和光子的理论。该理论的预言具有令人印象深刻的精确性（例如，上一章已提到的电子的磁矩的精确值，参阅177页）。然而，它是一个没有整理好的理论--不是一个完全协调的理论--因为它一开始给出了没有意义的“无限的”答案，必须用称为“重正化”的步骤才能把这些无限消除。并不是所有量子场论都可以用重正化来补救的。即使是可行的话，其计算也是非常困难的。

使用“路径积分”是量子场论的一个受欢迎的方法。它是不仅把不同粒子态（通常的波函数）而且把物理行为的整个空间--时间历史的量子线性叠加而形成的（参阅费因曼1985年的通俗介绍）。但是，这个方法自身也有附加的无穷大，人们只有引进不同的“数学技巧”才能赋予意义。尽管量子场论勿庸置疑的威力和印象深刻的精确度（在那些理论能完全实现的很少情况），人们仍然觉得，必须有深刻的理解，才能相信它似乎是导向“任何物理实在的图像”。

狭义相对论和量子场论存在共同的出发点吗

陈蜀乔 发明与创新 2004.08

费曼路径积分思想的发展 郝刘祥 自然辩证法通讯 1998年03期

自旋为5/2的Bargmann-Wigner方程的严格解 黄时中 阮图南 吴宁 郑志鹏 物理学报 2001年08期

相对论类空方程 王安民 阮图南 高能物理与核物理 2000年06期

电子-光子-声子相互作用系统的量子场论描述 张鹏 谢诒成 北京工业大学学报 1999年02期

相对论量子力学的不自洽性 量子场论基本理论问题再探讨之一 李淮江 周祖珍
云南师范大学学报(自然科学版) 2000年06期

量子引力，又称量子重力，是描述对重力场进行量子化的理论，属于万有理论之一隅；主要尝试结合广义相对论与量子力学，为当前的物理学尚未解决的问题。当前主流尝试理论有：超弦理论、循环量子引力理论、声学类比模型。

背景
重力在古典描述下，是由爱因斯坦于1916年建立的广义相对论成功地描述，透过质量对于时空曲率的影响(爱因斯坦方程式)而对水星近日点岁差偏移、重力场下光线红移、光线弯折等三种问题提出了完满的解释，并且至今为止在天文学的观测上，实验数据与广义相对论预测值的相符程度远高于其他竞争理论。由广义相对论描述古典重力的正确性很少有人怀疑。

另一方面，量子力学从狄拉克建立了相对论性量子力学的狄拉克方程式开始，扩充成量子场论的各种形式。其中包括了量子电动力学与量子色动力学，成功地解释了四大基本力中的三者--电磁力、原子核的强力与弱力的量子行为。其中仅剩下重力的量子性尚未能用量子力学来描述。除了一方面对于重力粒子(引力子)的量子描述未能达成之外，两个成功的理论在根本架构上也有冲突之处：量子场论的架构是建构在狭义相对论的平坦时空下之基本力的粒子场上。如果要投过这种相同模式来对重力场进行量子化，则主要问题会发生在广义相对论的弯曲时空架构，无法一如以往透过重整化的数学技巧来达成量子化描述，亦即引力子会互相吸引，而当把所有反应加总常会得到许许多多的无限大值，没办法用数学技巧得到有意义的有限值；相对地，例如量子电动力学中对于光子的描述，虽然仍会出现一些无限大值，但为数较少可以透过重整化方法可以将之消除，而得到实验上可量到的、具有意义的有限值。

至于透过实验的检验，很遗憾的，量子引力所探讨的能量与尺度乃是目前实验室条件下无法观测得到的，有些学者提出一些观点可能可以透过天文学上的观测来检验，但仍属少数特例。因此希望从实验观测得到一些关于量子引力理论发展上的提示，现阶段仍属不可行。

推导量子引力理论的一般方法是假设这个等待发掘的理论会是简单优雅的，然后回头看看现前的理论，找寻对称性及提示以想办法优雅地合并它们成为一个更加普适的理论。这方法的一项问题是没人可以肯定量子引力是否会是一个简单优雅的理论。

需要这样理论的理由是为了要了解一些涉及庞大质量或能量以及很小尺度的空间的问题，例如黑洞的行为，以及宇宙的起源。

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历史上的观点
历史上，对于量子理论与要求背景独立的广义相对论两者明显的矛盾曾出现过两种反应。

第一种是广义相对论所采的几何诠释并非究竟，而只是一个未知的背景相依理论的近似表现。举例来说，这在史蒂芬·温伯格的经典教科书《重力与宇宙学》里面被明白表示过。

另外相抗衡的观点是背景独立是基础性质，而量子力学需要被一般化，改写成一个没有缺省特定时间的理论。这样的几何观点在米斯纳、惠勒与索恩三人合写的经典著作《重力论》中详述过。

由理论物理巨擘所写对于重力意义采相反看法的两本书，很有趣地几乎同时发表于1970年代早期。出现了这样的僵局使得理查·费因曼(其对于使量子引力获得了解曾做过重要的尝试)在1960年代早期给太太的一封信中，绝望地写道：“提醒我不要再参加任何一个重力会议。”

站在这两种论点的前缘，(时至2005年)一个发展出弦论，而另一个发展出循环量子引力理论。

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量子力学与广义相对论间的不兼容
时至目前为止，理论物理上最深奥的问题之一是调和广义相对论——描述重力并且在大尺度结构(恒星、行星、银河)上可以适用，以及量子力学——描述其他三种作用在微观尺度的基本力。

广义相对论中重要的一课教导了我们没有固定的时空背景，而在牛顿力学与狭义相对论则有出现；时空几何是动态的。虽然在原则上容易掌握，这却是广义相对论中最难了解的概念，而且它所带来的结果是相当深远的，也没完全地探索完，即使仅就古典层级而言。就某种程度而言，广义相对论可以视作是一种关系理论，在这样的理论中，物理上唯一要紧的讯息是时空中不同事件彼此间的关系。

另一方面，量子力学则有赖于固定背景，既然它是从固定背景(非动态的)结构中起家的。在量子力学中，时间是开始就给定而且非动态的，恰如牛顿的古典力学一般。在相对论性量子场论中，一如在古典场论中，闵可夫斯基时空是理论的固定背景。最后，弦论是从扩充量子场论出发的，其中点粒子代之以弦样物体，在固定时空背景中做传递。虽然弦论的起源是在夸克局束(quark confinement)研究方面而不是在量子引力方面，很快就发现弦的频谱包括了引力子，而且弦的几种特定振动模式的“凝聚”等价于对原始背景的修改。

处在弯曲(非闵可夫斯基式)背景下的量子场论，虽然并非重力的量子理论，亦显示了量子场论中的一些假设无法被延伸到弯曲时空中，完善的量子引力理论就更不用提了。特别地说，真空—当它存在时—被指出和观察者所经过的时空路径有相依性(见盎鲁效应)。此外，场概念看起来比粒子概念还要来得基本(粒子概念被认为是描述局域交互作用的方便法)。后者观点是有争议性的，和史蒂芬·温伯格的著作《量子场论》在闵可夫斯基空间中所发展出的量子场论相矛盾。

循环量子引力是建构背景独立量子理论的努力成果。拓朴量子场论提供了背景独立量子场论的一例，但其没有局域的自由度而仅有有限个全域自由度。如此要描述3+1维的重力则显得不足；按照广义相对论，即使在真空，重力也有局域自由度。然而在2+1维，重力就可以是拓朴场论，而其也被成功地透过多种方法进行量子化，包括自旋网络的方法。

此外尚有三处量子力学与广义相对论的拉锯战。首先，广义相对论预言了自己在奇点会失效，而量子力学在奇点附近则会和广义相对论格格不入。二者，对于该怎么决定一颗粒子的重力场并不清楚；既然在量子力学的海森堡不确定原理下，粒子的位置与速度无法同时确知。最后一处的拉锯战并非逻辑上的矛盾，其涉及了“量子力学造成贝尔不等式的违反”(暗示有超光速的影响)与“相对论中光速作为速限”这两者间的困境。前两点的解决之道可能出自对于广义相对论有更好的了解

现有为数不少的量子引力理论被提出来：
弦论/超弦/M理论
超重力
反得西特空间(AdS)/顺形场论(CFT)
惠勒-得卫特方程式
循环量子引力
欧几里得量子引力
非交换性几何
扭量
离散洛仑兹式量子引力
沙克哈洛夫式感应重力
Regge微积分
声学度规(声学类比模型)及其他的重力类比模型
过程物理学

量子化重力的“直接”方法有多项选择。

是否要如同霍金一样，采用对威克式旋转过的黎曼度规做泛函积分？参见欧几里得式路径积分方法。
我们有用协变Peierls bracket吗？
我们有用BRST/Batalin-Vilkovisky形式，或规范固定，或规范分解吗？
如果我们选择了正则量子化，我们有用爱因斯坦-希尔伯特作用量将度规仅当作是动态量，以得到惠勒-得卫特方程式吗？
抑或我们将度规与仿射联络各自处理？
抑或我们是否拥有整个庞加莱群以作为规范群，并以爱因斯坦-卡坦理论作为起点？
抑或我们有用移动参考系的卡坦方法以及帕拉丁尼作用量，以得到第二类约束?
我们有否消除掉第二类约束，利用阿许提卡变量来得到循环量子引力，或者我们要做其他方案？
旋量场的存在可能迫使我们要从事卡坦形式或其他相当者的研究。
又或许我们我们应该关注微分同胚群表象，一如韦格纳关注庞加莱群表象一样。温伯格-维腾定理
在量子场论中有则温伯格-维腾定理，对于复合重力/涌爱因斯坦因他的光子理论而获得诺贝尔物理学奖。其实爱因斯坦对相对论的贡献远为重要，但是诺贝尔评奖委员会对激进的相对论持谨慎的态度。事实上迄今诺贝尔奖从未为理论相对论家颁发过。引导爱因斯坦以及后代科学家生涯的最大动机，不是财富，不是名声，也不是别的更高尚的目标。他们的主要动机是科学的好奇心和科学的美学。

爱因斯坦是历史上继牛顿之后最伟大的科学家。他是狭义相对论的重要发现者，他对量子理论的创立具有重大的贡献，而广义相对论，亦即现代引力论的建立，则应全部归功于他。

十九世纪末期，麦克斯韦成功地把电学和磁学统一在他的电磁理论中，从他的方程推导出，电磁波在真空中传播的速度刚好是光速，于是他断定光波应是电磁波的一种。麦克斯韦因为家族遗传的疾病，只活了四十八岁，因此没有看到电磁波实验的成功。在牛顿的绝对空间、绝对时间以及伽利略的旧的相对性原理框架中，只有以无限速度运动的物体，在相对匀速运动的坐标系中才具有相同的速度，即无限速度。而牛顿的万有引力认为是以无限速度传递的，所以在麦克斯韦之前，牛顿物理学被认为是自洽的，而电磁波是以有限速度传播的，在旧的相对论框架中，它的速度会因坐标系的选取而改变，这样他的方程只能在一个特定的坐标系中成立，这个坐标系被认为是相对于一种称为以太的媒介静止。于是寻求以太的存在便成为科学的主题。迈克尔逊 —— 莫雷实验的结果否认了以太的存在。爱因斯坦在 1905 年发表了一篇题为 “ 运动物体的电动力学 ” 的论文，指出如果将时间和空间组成四维的时空，而在参考系进行相对匀速运动时，时空坐标遵照所谓的洛伦兹线性变换，则一切物理定律包括麦克斯韦方程都应采取相同的形式。这样一来，以太的存在便完全是多余的。爱因斯坦在发
表狭义相对论之前是否知悉迈克尔 —— 莫雷的实验仍是科学史上的一个悬案。

这篇论文抛弃了牛顿的绝对时空观，导致物理学上的一场革命。由洛伦兹变换导出的尺缩、钟慢以及双生子佯谬都和人们的直觉相抵触。而著名的质能等效公式则是核能乃至核武器的理论根据。

1900 年普朗克为了解决黑体辐射的紫外灾难问题，提出了辐射的量子理论，即是光辐射必须采取一种称作量子的波包形式。但是只有在爱因斯坦提出光子理论之后，人们才真正接受光可以粒子即光子的形式存在。普朗克曾经是爱因斯坦关于狭义相对论第一篇论文的审稿人。既然光波可以作为粒子而存在，那么电子等物质粒子能否以波动而存在呢？这是法国的一名研究生德 · 布罗依的设想，爱因斯坦得知后立即支持这一激进的假说。这些都是量子理论发现的前奏。爱因斯坦因他的光子理论而获得诺贝尔物理学奖。其实爱因斯坦对相对论的贡献远为重要，但是诺贝尔评奖委员会对激进的相对论持谨慎的态度。事实上迄今诺贝尔奖从未为理论相对论家颁发过。终其一生，爱因斯坦从未接受量子理论为终极理论，他认为量子力学只是一种唯象理论，而终极理论必须是决定性的。我们知道，就现状而言，量子力学并不自洽。它仍然在忍受着爱因斯坦 —— 罗逊 —— 帕多尔斯基佯谬的折磨。近年的一些研究似乎在一定程度上解脱了薛定谔猫佯谬对它的折磨。

狄拉克把狭义相对论和量子力学相结合，得到了极富成果的量子场论。量子场论是描述一切微观粒子的理论框架。从狄拉克方程可以场论。量子场论是描述一切微观粒子的理论框架。从狄拉克方程可以推导出反粒子的概念。量子电动力学可能描述电子、光子、正电子的
湮灭、创生和相互转变。人们由此进而发展出当代粒子物理学。

爱因斯坦说过，如果他不发表狭义相对论，则在五年之内必有他人发表。其实当时洛伦兹和彭加莱已经非常接近这个结果了。可惜洛伦兹无法挣脱旧的时空观，而彭加莱又主要是一位杰出的数学家，因此只有眼光敏锐、思维深邃的爱因斯坦担任这项历史任务。值得提到
的是，当时洛伦兹已是世界闻名的物理学家，彭加莱是法国首位数学家，而爱因斯坦大学毕业后，连中学教员的职务都找不到，借助朋友介绍才在伯尔尼专利局任一名职员。

他接着说，如果他不在 1915 年发表广义相对论，则人们至少得等待五十年。这个估计是非常合情理的。广义相对论是狭义相对论和引力论相结合的成果。它的一个实验基础是伽利略在比萨斜塔进行的自由落体实验，即引力质量和惯性质量的等效性。但是为了充分阐释其物理含义，人们等待了三百年之久，也就是等待到广义相对论的发现。所以若不是爱因斯坦，再等待五十年是很有可能的。我们在浏览爱因斯坦文集第六卷时，就可以看到他所进行的多次不成功尝试，这是人类理智的蹒跚学步。他认为引力场和其他物质场不同，它是以时空的曲率来体现的，物质使时空弯曲，而时空又是物质的载体，脱离物质的时空曲率即是引力波。所谓广义相对论原理即是，物理定律对任何坐标变换都采用相同的形式，而狭义相对论原理是，物理定律只对任坐标变换都采用相同的形式，而狭义相对论原理是，物理定律只对任何洛伦兹线性变换都采取相同的形式。引力场由所谓的爱因斯坦方程所制约。它是非线性的，有别于以往所有的场方程。所以物质的运动方程被爱因斯坦方程所隐含。引力场方程是二阶的，以时空为自变量，以度规为因变量的带有椭圆型约束的双曲型偏微分方程。其复杂而美妙对任何曾与之打交道的人都留下深刻的印象。

在广义相对论的框架内，爱因斯坦进行了引力红移、水星近日点进动以及光线受引力场折射等计算。而他关于光线在太阳引力场附近受到折射的预言在 1919 年西非日食的观测中得到证实。他的方程如此难解，以至于他在这些计算中，使用的只是一个近似解，所依赖的主要是他的无比的物理洞察力。而球面对称的准确解 —— 史瓦兹解是在此之后才找到的。

他首次用引力场方程来研究宇宙的整体，开创了理论宇宙学的新学科。可惜由于稳态宇宙的观念是如此根深蒂固，使他拒绝了演化宇宙的解，他还为此在场方程中引进一项宇宙常数，从而人类失去了一项重大的科学预言机遇！ 1929 年哈勃观察到星系光谱红移和距离的线性关系，即所谓哈勃定律。人们把红移归结于宇宙的膨胀，并断言宇宙是由于一百多亿年前的一次大爆炸产生的，这就是所谓的标准的大爆炸宇宙学。

他的场方程还得出紧致物体的引力坍缩的解，即史瓦兹解及其推广，这就是描述黑洞的解。但是爱因斯坦认为物质不可能如此紧致，并著文认为这是荒谬的。但是历史证明，黑洞是天体物理中最重要的物体，近年天文观测，使人们普遍认为在星系中心存在巨大质量的黑洞。事实上，宇宙本身和黑洞正是理论物理学最美妙的研究对象。如果撇开宇宙和黑洞，则物理学的光彩将会大为逊色！

爱因斯坦在布朗运动、作为激光机制的基础的辐射理论、玻色 —— 爱因斯坦统计及其凝聚现象都有关键性贡献。他和玻尔有关量子力学的论争是科学史上旷日持久的影响深远的事件。他坚信自然界中的一切相互作用都可统一成一种作用。统一场论是科学皇冠上的钻石！当代的超对称、超引力、超弦理论都是统一场论路途上的种种尝试。

相对论在近四十年来有了长足的进展，尤其经典相对论已成为成熟的学科。相对论在近世的进步，主要归功于彭罗斯和霍金。彭罗斯利用全局分析以及拓扑工具，赋予高深的相对论计算以鲜明的物理意义，以他命名的彭罗斯图对于时空犹如费因曼图对于粒子物理那样重要。霍金和彭罗斯一道证明了奇胜定理。他单独证明了黑洞面积定理以及黑洞视界面积代表黑洞的熵。他的黑洞蒸发理论把量子场论、广义相对论以及统计物理统一起来，其理论的瑰丽，犹如一道佛光，令人目眩神摇。而他的量子宇宙学的无边界假说，是研究宇宙创生的科学理论。

利用全局分析以及拓扑工具，赋予高深的相对论计算以鲜明的物理意。
笔者认为，引导爱因斯坦以及后代科学家生涯的最大动机，不是财富，不是名声，也不是别的更高尚的目标（尤其是财富和名声可以凭借其他更快捷的手段获取）。他们的主要动机是科学的好奇心和科学的美学。我们可以在历史中找到许多例子，有多少人恰恰是为了科学牺牲世俗中的健康、财富和名声。但是普天之下人们所拥有的一切除了科学发现和艺术创造的喜悦之外都是可能被剥夺的。人类对好奇和美的不懈追求将把人类带向更美妙的未来！
一. 量子时代的流浪儿
二十世纪理论物理学家说得最多的话之一也许就是： “广义相对论和量子理论是现代物理学的两大支柱”。两大支柱对于建一间屋子来说可能还太少，但对于物理学却已嫌多，二十世纪物理学家的一个很大的梦想就是把这两大支柱合而为一。

如今二十世纪已经走完，回过头来重新看看这两大支柱，在量子理论这根支柱上已经建起了十分宏伟的殿堂，物理学的绝大多数分支都在这座殿堂中搭起了自己的舞台。物理学中已知的四种基本相互作用有三种在这座殿堂内得到了一定程度的描述。可以说，物理学的万里河山量子理论已经十有其九。今天的物理学正处在一个不折不扣的量子时代。而这个辉煌的量子时代最大的缺憾就在于物理学的另一根支柱 - 广义相对论 - 还孤零零地游离在量子理论的殿堂之外。

广义相对论成了量子时代的流浪儿。

二. 引力为什么要量子化？

广义相对论和量子理论在各自的领域内都经受了无数的实验检验，迄今为止，还没有任何确切的实验观测与这两者之一矛盾。有段时候，人们甚至认为生在这么一个理论超前于实验的时代对于理论物理学家来说是一种不幸。 Einstein 曾经很怀念 Newton 时代，因为那是物理学的幸福童年时代，充满了生机； Einstein 之后也有一些理论物理学家很怀念 Einstein 时代，因为那是物理学的伟大变革时代，充满了挑战。

今天的理论物理学依然充满了挑战，但是与 Newton 和 Einstein 时代理论与实验的 “亲密接触” 相比，今天理论物理的挑战和发展更多地是来自于理论自身的要求，来自于物理学追求统一，追求完美的不懈努力。

量子引力理论就是一个很好的例子。

虽然量子引力理论的主要进展大都是在最近这十几年取得的，但是引力量子化的想法早在 1930 年就已经由 L. Rosenfeld 提出了。从某种意义上讲，在今天大多数的研究中量子理论与其说是一种具体的理论，不如说是一种理论框架，一种对具体的理论 - 比如描述某种相互作用的场论 - 进行量子化的理论框架。广义相对论作为一种描述引力相互作用的场论，在量子理论发展早期是除电磁场理论外唯一的基本相互作用场论。把它纳入量子理论的框架因此就成为继量子电动力学后一种很自然的想法。

但是引力量子化的道路却远比电磁场量子化来得艰辛。在经历了几代物理学家的努力却未获得实质性的进展后人们有理由重新审视追寻量子引力的理由。

广义相对论是一个很特殊的相互作用理论， 它把引力归结为时空本身的几何性质。 从某种意义上讲， 广义相对论所描述的是一种 “没有引力的引力”。 既然 “没有引力”， 是否还有必要进行量子化呢？ 描述这个世界的物理理论是否有可能只是一个以广义相对论时空为背景的量子理论呢？[注一] 也就是说， 广义相对论和量子理论是否有可能真的同时作为物理学的基础理论呢？

这些问题之所以被提出， 除了量子引力理论本身遭遇的困难外， 没有任何量子引力存在的实验证据也是一个重要原因。 但是种种迹象表明， 即使撇开由两个独立理论所带来的美学上的缺陷， 把广义相对论和量子理论的简单合并作为自然图景的完整描述仍然存在许多难以克服的困难。

问题首先在于广义相对论和量子理论彼此间并不相容。 我们知道一个量子系统的波函数由系统的 Schrödinger 方程

HΨ = i∂tΨ

所决定。 方程式左边的 H 称为系统的 Hamiltonian (哈密顿量)， 它是一个算符，包含了对系统有影响的各种外场的作用。 这个方程对于波函数 Ψ 是线性的， 也就是说如果 Ψ1 和 Ψ2 是方程的解， 那么它们的任何线性组合也同样是方程的解。 这被称为态迭加原理， 在量子理论的现代表述中作为公理出现， 是量子理论最基本的原理之一。 但是一旦引进体系内 (即不仅仅是外场) 的非量子化引力相互作用， 情况就不同了。 因为由波函数所描述的系统本身就是引力相互作用的源， 而引力相互作用又会反过来影响波函数， 这就在系统的演化中引进了非线性耦合， 从而破坏了量子理论的态迭加原理。 不仅如此， 进一步的分析还表明量子理论和广义相对论耦合体系的解有可能是不稳定的。

其次，广义相对论和量子理论在各自 “适用” 的领域中也都面临一些尖锐的问题。比如广义相对论所描述的时空在很多情况下 - 比如在黑洞的中心或宇宙的初始 - 存在所谓的 “奇点” (Singularity)。在这些奇点上时空曲率和物质密度都趋于无穷。这些无穷大的出现是理论被推广到其适用范围之外的强烈征兆。无独有偶，量子理论同样被无穷大所困扰，虽然由于所谓重整化方法的使用而暂得偏安一隅。但从理论结构的角度看，这些无穷大的出现预示着今天的量子理论很可能只是某种更基础的理论在低能区的 “有效理论” (Effective Theory)。因此广义相对论和量子理论不可能是物理理论的终结，寻求一个包含广义相对论和量子理论基本特点的更普遍的理论是一种合乎逻辑和经验的努力。

三. 黑洞熵的启示

迄今为止对量子引力理论最具体最直接的 “理论证据” 来自于对黑洞热力学的研究。一九七二年，Princeton 大学的研究生 J. D. Bekenstein 受黑洞动力学与经典热力学之间的相似性启发，提出了黑洞熵的概念，并估算出黑洞的熵正比于其视界 (Event Horizon) 面积。稍后，S. W. Hawking 研究了黑洞视界附近的量子过程，结果发现了著名的 Hawking 幅射，即黑洞会向外幅射粒子 (也称为黑洞蒸发)，从而表明黑洞是有温度的。由此出发 Hawking 也推导出了 Bekenstein 的黑洞熵公式，并确定了比例系数，这就是所谓的 Bekenstein-Hawking 公式：

S = k (A/Lp2) / 4

式中 k 为 Boltzmann 常数，它是熵的微观单位， A 为黑洞视界面积， Lp 为 Planck 长度，它是由广义相对论和量子理论的基本常数组合成的一个自然长度单位 (大约为 10-35 米)。

Hawking 对黑洞幅射的研究使用的正是以广义相对论时空为背景的量子理论，即所谓的半经典理论，但黑洞熵的存在却预示着对这一理论框架的突破。我们知道，从统计物理学的角度讲，熵是体系微观状态数目的体现，因而黑洞熵的存在表明黑洞并不象此前人们认为的那样简单，它含有数量十分惊人的微观状态。这在广义相对论的框架内是完全无法理解的，因为广义相对论有一个著名的 “黑洞无毛发定理” (No-Hair Theorem)，它表明黑洞的内部性质由其质量，电荷和角动量三个宏观参数所完全表示 (即使考虑到由 Yang-Mills 场等带来的额外参数，其数量也十分有限)，根本就不存在所谓微观状态。这表明黑洞熵的微观起源必须从别的理论中去寻找，这 “别的理论” 必须兼有广义相对论和量子理论的特点 (因为黑洞熵的推导用到了量子理论)。量子引力理论显然正是这样的理论。

在远离实验检验的情况下，黑洞熵目前已经成为量子引力理论研究中的一个很重要的理论判据。一个量子引力理论要想被物理学界所接受，必须跨越的重要 “位垒” 就是推导出与 Bekenstein-Hawking 熵公式相一致的微观状态数。

四. 引力量子化的早期尝试

引力量子化几乎是量子化方法的练兵场，早期的尝试几乎用遍了所有已知的场量子化方法。最主要的方案有两大类：协变量子化和正则量子化。它们共同发源于一九六七年 B. DeWitt 题为 "Quantum Theory of Gravity" 的系列论文。

协变量子化方法试图保持广义相对论的协变性，基本的做法是把度规张量 gμν 分解为背景部分 gμν 和涨落部份 hμν:

gμν = gμν + hμν

不同的文献对背景部份的选择不尽相同，有的取 Minkowski 背景度规 ημν，有的取量子有效作用量 (quantum effective action) 的解。这种方法和广义相对论领域中传统的弱场展开方法一脉相承，思路是把引力相互作用理解为在一个背景时空中引力子的相互作用。在低级近似下协变量子引力很自然地包含自旋为 2 的无质量粒子：引力子。

由于这种分解展开使用的主要是微扰方法，随着七十年代一些涉及理论重整化性质的重要定理被相继证明，人们对这一方向开始有了较系统的了解。只可惜这些结果基本上都是负面的。一九七四年，G. 't Hooft 和 M. Veltman 首先证明了在没有物质场的情况下量子引力在单圈图 (1-loop) 层次上是可重整的，但只要加上一个标量物质场理论立刻变得不可重整。十二年后 M. H. Goroff 和 A. Sagnotti 证明了量子引力在两圈图 (2-loop) 层次上是不可重整的。这一结果基本上结束了早期协变量子引力的生命。又过了十二年，Z. Bern 等人往这一已经冷落的方向又泼了一桶凉水，他们证明 - 除了 N = 8 的极端情形尚待确定外 - 量子超引力也是不可重整的，从而连超对称这根最后的救命稻草也被铲除了。[注二]

与协变量子化方法不同，正则量子化方法一开始就引进了时间轴，把四维时空流形分割为三维空间和一维时间 (所谓的 ADM 分解)，从而破坏了明显的广义协变性。[注三] 时间轴一旦选定，就可以定义系统的 Hamilton 量，并运用有约束场论中普遍使用的 Dirac 正则量子化方法。正则量子引力的一个很重要的结果是所谓的 Wheeler-DeWitt 方程，它是对量子引力波函数的约束条件。由于量子引力波函数描述的是三维空间度规场的分布，也就是空间几何的分布，它有时被称为宇宙波函数， Wheeler-DeWitt 方程也因而被一些物理学家视为量子宇宙学的基本方程。

与协变量子化方法一样，早期的正则量子化方法也遇到了大量的困难，这些困难既有数学上的，比如 Wheeler-DeWitt 方程别说求解，连给出一个数学上比较严格的定义都困难；也有物理上的，比如无法找到合适的可观测量和物理态。[注四]

引力量子化的这些早期尝试所遭遇的困难，特别是不同的量子化方法给出的结果大相径庭这一现象是具有一定启示性的。这些问题的存在反映了一个很基本的事实，那就是许多不同的量子理论可以具有同样的经典极限，因此对一个经典理论量子化的结果是不唯一的，原则上就不存在所谓唯一 “正确” 的量子化方法。其实不仅量子理论，经典理论本身也一样，比如经典 Newton 引力就有许多推广，以 Newton 引力为共同的弱场极限，广义相对论只是其中之一。在一个本质上是量子化的物理世界中，理想的做法应该是从量子理论出发，在量子效应可以忽略的情形下对理论作 “经典化”，而不是相反。从这个意义上讲，量子引力所遇到的困难其中一部份正是来源于我们不得不从经典理论出发，对其进行 “量子化” 这样一个无奈的事实。

五. Loop Quantum Gravity

传统的量子引力方案的共同特点是继承了经典广义相对论本身的表述方式，以度规场作为基本场量。一九八六年以来，A. Ashtekar 等物理学家借鉴了几年前 A. Sen 的研究工作，在正则量子化方案中引进了一种全新的表述方式，以自对偶自旋联络 (self-dual spin connection) 作为基本场量 (这组场量通常被称为 Ashtekar 变量)，由此为正则量子引力的研究开创了一番新的天地。同年 T. Jacobson 和 L. Smolin 发现 Ashtekar 变量的 Wilson loop 满足 Wheeler-DeWitt 方程。在此基础上 C. Rovelli 和 Smolin 提出把这种 Wilson loop 作为量子引力的基本态，从而形成了现代量子引力理论的一个重要方案: Loop Quantum Gravity。

Loop Quantum Gravity 完全避免使用度规场，从而也不再引进所谓的背景度规，因此被称为是一种背景无关 (background independent) 的量子引力理论。一些物理学家认为 Loop Quantum Gravity 的这种背景无关性是符合量子引力的物理本质的，因为广义相对论的一个最基本的结论就是时空度规本身由动力学规律所决定，因而量子引力理论是关于时空度规本身的量子理论。在这样的理论中经典的背景度规不应该有独立的存在，而只能作为量子场的期待值出现。

Loop Quantum Gravity 所采用的新的基本场量绝非只是一种巧妙的变量代换手段。因为从几何上讲，Yang-Mills 场的规范势本身就是纤维丛上的联络场，因此以联络作为引力理论的基本变量体现了将引力场视为规范场的物理思想。不仅如此，自旋联络对于研究引力与物质场 (尤其是旋量场) 的耦合几乎是必不可少的框架，因此以联络作为引力理论的基本变量也为进一步研究这种耦合提供了舞台。 Rovelli 和 Smolin 等人发现在 Loop Quantum Gravity 中由广义协变性 - 也称为微分同胚不变性 (diffeomophism invariance) - 所导致的约束条件与数学上的 “节理论” (knot theory) 有着密切的关联，从而使得约束条件的求解得到强有力的数学工具的支持。 Loop Quantum Gravity 与节理论之间的这种联系看似神秘，其实在概念上并不难理解，微分同胚不变性的存在使得 Wilson loop 中具有实质意义的信息具有拓扑不变性，而节理论正是研究 loop 拓扑不变性的数学理论。

经过十几年的发展，目前 Loop Quantum Gravity 已经具有了一个数学上相当严格的框架。除背景无关性之外，Loop Quantum Gravity 与其它量子引力理论相比还具有一个很重要的优势，那就是它的理论框架是非微扰的。迄今为止在 Loop Quantum Gravity 领域中取得的重要物理结果有两个：一个是在 Planck 尺度上的空间量子化，另一个是对黑洞熵的计算。

空间量子化曾经是许多物理学家的猜测，这不仅是因为量子化这一概念本身的广泛应用开启了人们的想象，而且也是因为一个连续的背景时空看来是量子场论中紫外发散的根源。一九七一年 R. Penrose 首先提出了一个具体的离散空间模型，其代数形式与自旋所满足的代数关系相似，被称为 spin network。一九九四年 Rovelli 和 Smolin 研究了 Loop Quantum Gravity 中的面积与体积算符的本征值，[注五] 结果发现这些本征值都是离散的，它们对应的本征态和 Penrose 的 spin network 存在密切的对应关系。以面积算符为例，其本征值为：

A = Lp2 ∑l [Jl (Jl + 1)]1/2

式中 Lp 为 Planck 长度，Jl 取半整数，是 spin network 上编号为 l 的边所携带的量子数，求和 ∑l 对所有穿过该面积的边进行。这是迄今为止有关 Planck 尺度物理学最具体的理论结果，如果被证实的话，或许也将成为物理学上最优美而意义深远的结果之一。 Loop Quantum Gravity 因此也被称为量子几何 (Quantum Geometry)。对 Loop Quantum Gravity 与物质场 (比如 Yang-Mills 场) 耦合体系的研究显示，具有空间量子化特征的 Loop Quantum Gravity 确实极有可能消除普通场论的紫外发散。

至于黑洞熵的计算，Loop Quantum Gravity 的基本思路是认为黑洞熵所对应的微观态由能够给出同一黑洞视界面积的各种不同的 spin network 位形组成的。[注六] 按照这一思路进行的计算最早由 K. Krasnov 和 Rovelli 分别完成，结果除去一个被称为 Immirzi 参数的常数因子外与 Bekenstein-Hawking 公式完全一致。[注七] 因此 Loop Quantum Gravity 与 Bekenstein-Hawking 公式是相容的。至于它为什么无法给出完全的常数因子以及这一不确定性究竟意味着什么，目前仍在讨论之中。

六. 超弦理论
量子引力的另一种极为流行的方案是超弦理论 (Superstring Theory)。与 Loop Quantum Gravity 相比，超弦理论是一个更雄心勃勃的理论，它的目标是统一自然界所有的相互作用，量子引力只不过是超弦理论的一个部份。超弦理论被许多人称为终极理论 (Theory of Everything - TOE)，这一称谓很恰当地反映了热衷于超弦理论的物理学家对它的厚望。

超弦理论的前身是二十世纪六十年代末七十年代初的一种强相互作用唯象理论。与今天超弦理论所具有的宏伟的理论目标及精深而优美的数学框架相比，它在物理学上的这种登场可算是相当低调。弦理论作为强相互作用的唯象理论很快便由于量子色动力学 (QCD) 的兴起而没落了。但是一九七四年 J.Scherk 和 J. H. Schwarz 发现弦理论的激发态中存在自旋为 2 的无质量粒子。由于早在二十世纪三十年代 M. Fierz 和 W. Pauli 就发现自旋为 2 的无质量粒子是量子化的线性广义相对论的基本激发态， J.Scherk 和 J. H. Schwarz 的这一结果立即改变了人们对弦理论的思考角度，弦理论从此渐渐走上了试图统一自然界所有相互作用的漫漫征途。十年之后，还是 J. H. Schwarz - 和 M. B. Green 等人一起 - 研究了超弦理论的反常消除 (anomaly cancellation) 问题，由此发现自洽的超弦理论只存在于十维时空中，而且只有五种形式，即：Type I, Type IIA, Type IIB, SO(32) Heterotic 及 E8 × E8 Heterotic。这就是著名的 “第一次超弦革命” (First Superstring Revolution)。又过了十年，随着各种对偶性及非微扰结果的发现，在微扰论的泥沼中踽踽而行的超弦理论迎来了 “第二次超弦革命” (Second Superstring Revolution)，其迅猛发展的势头持续至今。

从量子引力的角度来看，Loop Quantum Gravity 是正则量子化方案的发展，而超弦理论则通常被视为是协变量子化方案的发展。这是由于当年受困于不可重整性，人们曾经对协变量子化方法做过许多推广，比如引进超对称性，引进高阶微商项等，这些推广后来都殊途同归地出现在超弦理论的微扰表述中。因此虽然超弦理论本身的起源与量子引力无关，但它的形式体系在量子引力领域中通常被视为是协变量子化方案的发展。

超弦理论的发展及内容不是本文的主题，而且有许多不错的专著和讲义可供参考，就不赘述了。在这些年超弦理论取得的理论进展中，这里只介绍与量子引力最直接相关的一个，那就是利用 D-brane 对黑洞熵的计算，这是由 A. Strominger 和 G. Vafa 等人在一九九六年完成的，与 Loop Quantum Gravity 对黑洞熵的计算恰好在同一年。超弦理论对黑洞熵的计算利用了所谓的 “强弱对偶性” (strong-weak duality)，即在具有一定超对称的情形下，超弦理论中的某些 D-brane 状态数在耦合常数的强弱对偶变换下保持不变。利用这种对称性，处于强耦合下原本难于计算的黑洞熵可以在弱耦合极限下进行计算。在弱耦合极限下与原先黑洞的宏观性质相一致的对应状态被证明是由许多 D-brane 构成，对这些 D-brane 状态进行统计所得到的熵和 Bekenstein-Hawking 公式完全一致 - 甚至连 Loop Quantum Gravity 无法得到的常数因子也完全一致。这是超弦理论最具体的理论验证之一。美中不足的是，由于上述计算要求一定的超对称性，因此只适用于所谓的极端黑洞 (extremal black hole) 或接近极端条件的黑洞。[注八] 对于非极端黑洞，超弦理论虽然可以得到 Bekenstein-Hawking 公式中的正比关系，但与 Loop Quantum Gravity 一样无法给出其中的比例系数。

七. 结语

以上是七十几年来量子引力理论的发展以及近些年取得的若干主要进展的一个速写。除了 Loop Quantum Gravity 和超弦理论这两个主要的候选理论外还有许多其它理论，限于篇幅本文未做介绍。虽然如我们前面所见，这些理论各自取得了一些重要的进展，但距离构建一个完整量子引力理论的目标仍相当遥远。 Loop Quantum Gravity 的成果主要局限于理论的运动学方面，在动力学方面的研究却一直举步维艰，直到目前人们还不清楚 Loop Quantum Gravity 是否以广义相对论为弱场极限，或者说 Loop Quantum Gravity 对时空的描述在大尺度上是否能过渡为我们熟悉的广义相对论时空。按照定义，一个量子理论只有以广义相对论 (或其它经典引力理论) 为经典极限才能被称为量子引力理论。从这个意义上讲我们不仅不知道 Loop Quantum Gravity 是否是一个 “正确的” 量子引力理论，甚至于连它是不是一个量子引力理论都还不清楚！

超弦理论的情况又如何呢？在弱场下超弦理论包含广义相对论，因此它起码可以算是一个量子引力理论的候选者。超弦理论的微扰展开逐级有限，虽然级数本身不收敛，比起传统的量子理论来还是强了许多，算是大体上解决了传统量子场论中的发散困难。在广义相对论方面，超弦理论可以消除部分奇点问题 (但迄今尚无法解决最著名的黑洞和宇宙学奇点问题)。超弦理论在非微扰方面也取得了许多重要的进展。超弦理论具有非常出色的数学框架，以前当学生时曾经听过 B. Greene 的报告，有一句话印象至深， Greene 说：在超弦领域中，所有看上去正确的东西都是正确的！虽是半开玩笑，但很传神地说出了超弦理论的美与理论物理学家 (以及数学家) 的直觉高度一致这一特点。对于从事理论研究的人来说，这是一种令人心旷神怡的境界。但是从超弦理论精美的数学框架下降到能够与实验接触的能区就象航天飞机重返大气层，充满了挑战。超弦理论之所以被一些物理学家视为终极理论，除了它的理论框架足以包含迄今所有的相互作用外，常常被提到的另一个重要的特点是超弦理论的作用量只有一个自由参数！但是超弦理论引进了两个非常重要却迄今未得到实验支持的概念，那就是十维时空和超对称。为了与观测到的物理世界相一致，超弦理论把十维时空分解为四维时空与一个六维紧致空间的直积，这是一个很大的额外假定。超弦理论在四维时空中的具体物理预言与紧致空间的结构有关，因此除非能够预言紧致空间的具体结构 (仅仅预言其为 Calabi-Yau 流形是远远不够的)，描述这种结构的参数就将成为理论隐含的自由参数。超弦理论中的超对称也必须以适当的机制破缺。把所有这些因素都考虑进去之后，超弦理论是否仍满足人们对终极理论的想象和要求，也许只有时间能够告诉我们。
Loop Quantum Gravity 与超弦理论目前还是两个独立的理论，彼此之间唯一明显的相似之处是两者都使用了一维的几何概念作为理论的基础。如果这两个理论都反映了物理世界的某些本质特征，那么这种相似性也许就不是偶然的。未来的研究是否会揭示出这种巧合背后的联系现在还是一个谜。



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