这里讲的是在流形上仿射联络空间的联络概念,特例是曲面的曲率和挠率,分别表示弯曲程度和扭转程度.
在仿射联络空间中,挠率算子定义为向量场上的二元运算,像为挠率.为向量场的正反求仿射联络减去Lie括号积,其中李括号积又叫Poisson括号积,是两个向量场正反复合的差.挠率满足反称性和双线性,挠率为零的联络称无挠的.用基表示挠率,系数也是二元映射,像是光滑函数,叫挠率形式,也是反称的.
曲率算子则是向量场的二元映射,像叫曲率,是向量场自同态.曲率算子为两个向量场分别为"底"的仿射联络正反复合的差,减去李括号积的仿射联络.曲率算子是双线性和反称的.向量场被曲率作用后叫曲率张量,求曲率张量是三重线性的过程.曲率张量也是向量场,基表示的系数叫做曲率形式.
曲率形式和挠率形式都是二次形式.
Cartan结构方程反映了联络形式,曲率形式,挠率形式的关系.
余标架的微分等于负的联络形式外积余标架的组合加上挠率形式,联络形式的微分等于负的联络形式外积联络形式的组合加上曲率形式.
小结:
1 挠率为向量场的正反求仿射联络减去Lie括号积,反称,双线性,是挠率形式的组合;
2 曲率算子为向量场分别为"底"的仿射联络正反复合的差,减去李括号积的仿射联络.双线性,反称.曲率张量是曲率形式的组合.
继续理解仿射联络(2008-04-08 20:50:43)
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举个例子比较好.
欧氏空间的子流形总可以嵌入到更高维的欧氏空间中去,单位球面用两个角参数表示,就有了两个参数的向量场,一点的切向量投影到切空间上是仿射联络.对仰角参数求两次导数平行于半径,所以仰角参数向量场自己的仿射联络是0.
仿射联络的本质是把两个向量场映为一个向量场的映射,对"底"向量场线性,"主"向量场微分性.用坐标表示出来怎样呢?在流形上选取局部标架和余标架,"主"向量场用基表示,牵涉到基的联络.基向量场的联络也是向量场,仍用基表示,系数是"底"向量场的函数,线性(因为联络关于"底"线性),叫做1-形式或联络形式.
联络形式用余标架表示,系数叫联络系数.
庞加莱Poincare的几何思想是,研究变换中的不变量,如果换一组标架联络形式和联络系数有什么变化呢?设出新标架和变回旧标架的变换矩阵.先对新标架求联络,再标架变换,和旧标架求联络比较得.新1-形式右乘变换矩阵,左乘逆,再加上变换矩阵的导数左乘逆为旧1-形式.
小结:
1 基向量场的系数叫1-形式或联络形式,联络形式的系数叫联络系数;
2 新1-形式右乘变换矩阵,左乘逆,再加上变换矩阵的导数左乘逆为旧1-形式.
