哈密顿-雅可比方程在辨明保守物理量 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方

来源: marketreflections 于 2010-05-21 12:51:07 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (11106 bytes)

回答: 数学本质是刚体变换这种变换不改变物体的任何两点之间的距离由 marketreflections 于 2010-05-17 12:30:03

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其中，是哈密顿量，未知函数称为哈密顿主函数，是广义座标，是积分常数，是时间

系统相对于时间的演化等于系统相对于个自由度（广义坐标）的变化之和

Wiki: 哈密顿－雅可比方程
在这篇文章内，矢量与其量值分别用正粗体与斜体表示；例如，。
在物理学里，哈密顿-雅可比方程（HJE）是经典力学的一种表述。哈密顿-雅可比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明保守的物理量方面，特别有用处。有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明保守的物理量。

HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以用于漂亮地求解一些问题，例如开普勒问题。

HJE 是唯一能够将粒子运动表达为波的一种力学表述。因此，HJE 满足了一个长久以来理论物理的研究目标（早至 18 世纪，约翰·伯努利和他的学生皮埃尔·路易·莫佩尔蒂的年代）；那就是，寻找波传播与粒子运动的相似之处。力学系统的波方程与薛定谔方程很相似；但是，并不相同。这在后面会详细说明。HJE 被认为是从经典力学进入量子力学最近的门阶。

目录:
1. 数学表述
2. 各种力学表述的比较
3. 导引
4. 分离变量法
5. 薛定谔方程
6. 粒子方程⇒波动方程
7. 波动方程⇒粒子方程
8. 引力场
9. 参阅
10. 参考文献

1. 数学表述
哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线形偏微分方程。用数学表达

；
其中，是哈密顿量，未知函数称为哈密顿主函数，是广义座标，是积分常数，是时间。

假若能够找到哈密顿主函数的形式，就可以计算出广义坐标与广义动量随时间的演变。这样，我们可以完全地解析物理系统随时间的演化。

2. 各种力学表述的比较
哈密顿-雅可比方程是一个一阶非线形偏微分方程；其中，函数有个广义坐标，和个不相依的积分常数。在 HJE 中，哈密顿主函数有一个很有意思的属性，它是一种经典作用量。

与拉格朗日力学的拉格朗日方程比较，共轭动量也并没有出现于拉格朗日方程。可是，这些方程乃是一组个二阶微分方程，用来表示个广义坐标随时间的演变。再作一个比较，在哈密顿力学里，哈密顿方程乃是一组个一阶微分方程，用来表示个广义坐标和个广义动量随时间的演变。

因为 HJE 等价于一个最小积分问题（像哈密顿原理）， HJE 可以用于许多关于变分法的问题。更推广地，在数学与物理的其它分支，像动力系统、辛几何、量子混沌理论，都可以用 HJE 来解析问题。例如，HJE 可以用来找寻黎曼流形的测地线，这是黎曼几何一个很重要的变分法问题。

3. 导引
在哈密顿力学里，正则变换将一组正则坐标变换为一组新的正则坐标，而同时维持哈密顿方程的型式（称为型式不变性）。旧的哈密顿方程为

，
；
新的哈密顿方程为

，
；
这里，、分别为旧的哈密顿量与新的哈密顿量，是时间。

假若，我们使用第二型生成函数来生成新正则坐标，则新旧正则坐标的关系为

，
。
而新旧哈密顿量的关系为

。
（条目正则变换有更详细的说明。）

3. 1. 哈密顿主函数
假若，我们可以找到一个第二型生成函数。这生成函数使新哈密顿量恒等于 0 。称这个生成函数为哈密顿主函数。那么，新哈密顿量所有的偏导数都等于 0 。哈密顿方程也变得非常的简单：

。
这样，新正则坐标都成为运动常数、：

，
。
由于，代入旧哈密顿量，则可得到哈密顿-雅可比方程：

。
解析问题的重要关键是我们必须找到哈密顿主函数的方程。一旦我们找到这方程，因为

，(1)
。(2)
给予与在时间的初始值，与，我们可以求出运动常数，。知道这两组运动常数，立刻可以得到旧正则坐标与随时间的演变。

3. 2. 哈密顿特征函数
假若，哈密顿量显性的不相依于时间：。那么，

。
哈密顿量是一个运动常数，标记为：

，
。
哈密顿主函数可以分离成两部分：

；
其中，不相依于时间的函数称为哈密顿特征函数。

思考一个新的正则变换。设定哈密顿特征函数为一个第二型生成函数：

，
。
那么，哈密顿-雅可比方程变为

。
由于哈密顿特征函数显性的不相依于时间，新旧哈密顿量的关系为

；
新正则坐标随时间的导数变为

，
，设定为，
，。
所以，新正则坐标变为

，
，
。
假若，我们能找到哈密顿特征函数，给予旧广义坐标与旧广义动量在时间的初始值，与，依照前面所述方法，就可以求出旧正则坐标随时间的演变。

4. 分离变量法
哈密顿-雅可比方程最有用的时候，是当它可以使用分离变量法，来直接地辨明运动常数。假设，HJE 可以分为两部分。一部分只相依于广义坐标与哈密顿主函数的偏导数，标记这部分为。另一部分完全不相依于与。对于这状况，哈密顿主函数可以分离为两个函数。一个函数除了广义坐标以外，不相依于任何其它广义坐标。另外一个函数完全不相依于。

。
由于每一个广义动量都是运动常数，，函数只相依于广义座标：

，
。
将哈密顿主函数代入 HJE 。我们可以观察到，只出现于函数内部，而不出现于 HJE 的任何其它地方。所以，函数必须等于常数（在这里标记为）。这样，我们得到一个一阶常微分方程：

。
在某些问题里，很幸运地，函数可以完全的分离为个函数：

。
这些问题的偏微分方程可以分离为个常微分方程。

哈密顿主函数的可分性，相关于哈密顿量和广义坐标的选择。假若，一个物理系统符合施特克尔条件 (Staeckel conditions) ，则哈密顿主函数可以完全分离。以下为用几种正交座标来完全分离 HJE 的例子。

4. 1. 球坐标系
采用球坐标，假设一个物理系统的哈密顿量为

；
其中，是广义动量，为位势函数，不相依于时间。

那么，哈密顿-雅可比方程可以表达为

；
其中，是哈密顿主函数。

假若，位势函数的形式可以进一步设定为

；
其中，、、，都是任意函数；则 HJE 是完全可分的。将完全分离的解答代入 HJE ，会得到方程

。
变量只出现于公式左手边的第三个方括号内；其它变量都不出现于公式的这部分。所以，可以将这部分孤立出来，成为一个常微分方程：

；
其中，是运动常数。

简化的 HJE 不相依于：

。
同样的，我们可以将变量出现的部分孤立出来，成为一个常微分方程：

；
其中，是运动常数。

剩下的是一个径向距离函数的常微分方程。：

。
这样，可以完全地分离 HJE 。

4. 2. 椭圆柱坐标系
采用椭圆柱坐标，假设假设一个物理系统的哈密顿量为

其中，是广义动量，为位势函数，不相依于时间。

那么，哈密顿-雅可比方程可以表达为

。
假若，位势函数的形式可以进一步设定为

；
其中，、、，都是任意函数；则 HJE 是完全可分的。猜想一个完全分离解答。将这猜想公式代入 HJE ，

。
公式左手边的前两个项目只相依于变量；其它的项目都不相依于。所以，可以将那两个项目分离出来，成为一个常微分方程：

；
其中，是运动常数。

简化的 HJE 不相依于：

。
这公式又可以分离成两个相互独立的常微分方程：

，
。
其中，是运动常数。

这样，可以完全地分离 HJE 。

4. 3. 抛物柱面坐标系
采用抛物柱面坐标，假设假设一个物理系统的哈密顿量为

；
其中，是广义动量，为位势函数，不相依于时间。

那么，哈密顿-雅可比方程可以表达为

。
假若，位势函数的形式可以进一步设定为

；
其中，、、，都是任意函数；则 HJE 是完全可分的。猜想一个完全分离解答。将这猜想公式代入 HJE ，

。
公式左手边的前两个项目只相依于变量；其它的项目都不相依于。所以，可以将那两个项目分离出来，成为一个常微分方程：

；
其中，是运动常数。

简化的 HJE 不相依于：

。
这公式又可以分离成两个相互独立的常微分方程：

，
；
其中，是运动常数。

这样，可以完全地分离 HJE 。

5. 薛定谔方程
十九世纪初期，爱因斯坦发表了光电效应理论，诠释普朗克的量子为一种粒子，称为光子；也就是说，光波具有波粒二象性。他并且建议光子的能量与频率成正比。稍后，路易·德布罗意提出了一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。埃尔文·薛定谔日以继夜地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。于是，薛定谔试着寻找这个波动方程。他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。藉著哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程[1]。

6. 粒子方程⇒波动方程
思考一个粒子，运动于一个保守的位势。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程

；
其中，是哈密顿主函数。

由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：

；(3)
其中，不相依于时间的函数是哈密顿特征函数，是能量。

将公式 (3) 代入哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到

；
哈密顿主函数随时间的全导数是

。
思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。这常数的等值曲面在空间移动的方程为

。
所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是

。
这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：

。
我们可以想像为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与成比例的波函数：

；
其中，是常数，是相依于位置的系数函数。

将公式 (3) 代入波函数，

。
注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论；其中，是约化普朗克常数，是角频率。设定，粒子的波函数变为

；
其中，。

的波动方程为

。
将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到

。
注意到。稍加编排，可以导引出薛定谔方程：

。
7. 波动方程⇒粒子方程
逆反过来，从薛定谔方程开始：

。
猜想为

。
将代入薛定谔方程，稍加运算，可以得到

。
这薛定谔方程的经典极限 () 与哈密顿-雅可比方程相等：

。
8. 引力场
引力场可以用哈密顿-雅可比方程表达为

；
其中，是度规张量逆变 (contravariant) 分量，是固有质量，是光速。

9. 参阅
•哈密顿方程
•作用量
•作用量-角度坐标
•拉普拉斯-龙格-楞次矢量
10. 参考文献

1.^ 薛定谔, 埃尔温 (December 1926), "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules", Phys. Rev. 28 (6): 1049-1070, 英文版本, DOI:10.1103/PhysRev.28.1049
•Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826。
•Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518。
•Eisenhart L.P., "Separable Systems of Stackel", "The Annals of Mathematics", 2nd Ser., Vol. 35, No. 2 (Apr., 1934), pp. 284-305
•Eisenhart L.P., "Separable Systems in Euclidean 3-Space", "Physical Review", vol. 45, Issue 6, pp. 427-428。
•H. Goldstein（2002年）．Classical Mechanics．Addison Wesley．ISBN 0-201-65702-3．
•A. Fetter and J. Walecka（2003年）．Theoretical Mechanics of Particles and Continua．Dover Books．ISBN 0-486-43261-0．
•Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam … Tokyo, 1975。

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