物理好图:当系统参量到达某个临界值时，原先具有对称性的状态失稳，新出现了

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用物理语言来说：当系统参量到达某个临界值时，原先具有对称性的状态失稳，新出现了
若干个等价的稳定状态，虽然它们的分布保持着原有的对称性，但是每一个状态本身不对称。
系统将由失稳的对称状态向某个新的稳定状态过渡，结果失去了对称性。

239
第七章 对称性原理及其应用
§7.1 对称性及其描述
7.1.1 对称性
1）对称性的表现
在日常生活中，我们常常会遇到一些对称的现象，例如下面的事物
图7-1
这些对象的一些不同组成部分具有相同的形式，而且以一种协调的方式组合在一起，给人以匀
称、完整、平衡和一致的感觉，产生美的享受。
按照现代汉语词典的解释，对称是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形
状和排列上具有一一对应的关系。如人体、船、飞机的左右两边，在外观上都是对称的。实际
上对称性不仅可以表现在空间形式上，也可以表现在时间过程中，例如一列以均匀速度前进的
客车、一个有固定周期的单摆等，也会使人产生对称的感觉。
在抽象的代数领域，也经常表现出对称的美。例如，我们所熟悉的二项式定理
240
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
( ) 1
( )
( ) 2
( ) 3 3
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
+ =
+ = +
+ = + +
+ = + + +
􀀢􀀢
甚至在文学作品中，也可以表现出某种对称性，例如苏东坡的回文诗：
潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。
桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。
迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。
遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。
和对联
上海自来水来自海上，南山长生松生长山南
2）对称性的概念
对称性在生产与生活中，在科学与艺术中广泛地存在，表现形式多种多样，它们的实质，
即共同之处究竟是什么？经过人们的长期探究，总结出了对称性的的本质：变化中的不变性。
具体定义如下：
系统：研究的对象。研究是分学科层次的，力学研究的对象称为力学系统、热力学研究的
对象称为热力学系统、化学研究的对象称为化学系统、生物学研究的对象称为生物学系统。
状态：系统性质的总和，可以用反映这些性质的客观量来进行描述。一般来说，系统在不
同时间、不同环境下处在不同的状态。如果在两个状态中所研究的学科性质完全相同，则称这
两个状态（对于该学科）“等价”，否则为“不等价”。例如，某理想单摆在历经一个摆动周期后，
所处新状态与原状态的力学性质完全相同，我们可以说该力学系统的这两个状态等价，也可以
说这两个状态力学等价。
过程：系统状态随时间的演化。如果在过程中系统的状态始终保持等价，我们称该过程为
静态过程，或者称该状态为（相对）静止状态。在静态过程中，描述系统的物理量不随时间变
化，即守恒。
变换：把系统从一个状态变到另一个状态的操作。若变换前后系统的状态等价，则称该变
换为“对称”变换。例如，把一个正方形沿过中心的垂直轴旋转90 度，所处新状态与原状态的
几何性质完全相同，沿过中心的垂直轴旋转90 度这个变换就是正方形这一几何系统的对称变
换。
因此，对称性的精确含义就是系统能够在某些变换下保持状态等价的性质。
例7.1-1：求出下面平面几何系统的所有对称变换
241
图7-2 （a） 图7-2 （b）
解：（a）图的对称变换有：绕过圆心且垂直于纸面的轴以任意角度，顺时针或者逆时针方向的
转动；关于过圆心且垂直于纸面的的任意平面的镜像，相对圆心的反演。
（b）图的对称变换有：绕过中心且垂直于纸面的轴作180 度的转动；关于过上下对称轴或者左
右对称轴且垂直于纸面的平面的镜像，相对中心的反演。
上述对称性的定义是操作性的，同时也给出了对称性的表示方法，即一个系统的对称性可
以用其所包含的对称变换来表示。具体地说，我们可以用一个对称变换的集合来描述系统的对
称性，集合中的元素越多，该系统的对称性就越高。例如，例7.1-1 中图（a）不仅包含了图（b）
的所有对称变换，而且还含有图（b）所不具有的对称变换，因此图（a）的对称性比图（b）高。
3）对称性的分类与性质
变换可以分为基本变换和复合变换。
时间和空间是物质存在的基本形式，对时间和空间的操作是最基本的变换。对时间的变换
有时间反演变换、时间平移变换和时间膨胀变换；对空间的变换有空间反演和镜像变换、空间
平移变换、空间转动变换和空间标度变换等。在前4 个空间变换下空间任意两点之间的距离保
持不变，它们又统称为等距变换。物理中常用的还有对时间和空间的联合变换，如伽利略变换
和洛仑兹变换等。
物理中常用的基本变换还有置换变换、规范变换、正反粒子共轭变换等。
几个基本变换的复合也是变换，称为复合变换。复合变换的结果为相继进行几种基本变换
的结果，变换之间的复合是可以结合的。
必须说明的是，变换的复合一般来说是不可交换的。例如，函数y=x2 的图像在对y 轴空
间反演后得到y=(−x)2=x2，再向x 轴正向平移1 个单位得到y=(x−1)2 ；而同样的图像先
向x 轴正向平移1 个单位得到y=(x−1)2 ，再对y 轴空间反演后得到y=(−x−1)2=(x+1)2，
变换的顺序不同，得到的结果也不相同。
对称变换是保持系统状态等价的变换，因此对一个系统而言，对称变换的复合也是对称变
换。显然，恒等变换是对称变换；对称变换的逆变换（即把结果状态变成初始状态的变换）也
242
是对称变换。如果我们把复合看成是变换之间的（乘法）运算，一个系统对称变换的全体就构
成了一个群，称为该系统的对称群。
按照系统的对称群中所包含对称变换的类型，对称性可以分为时空对称性与非时空对称
性；按照系统的状态在操作前后的等价程度，对称性还可以分为严格对称性与近似对称性。
除了状态之外，物理学家更关心的是物理规律。状态随时间的演化过程是受物理规律支配
的，因此规律也有对称与否的特征。如果在某种变换下，物理规律的形式不发生变化，我们就
说物理规律对于该变换对称，或者说该变换是物理规律的对称变换。例如，我们把系统在空间
转动一个方向，其运动仍然满足同样的物理规律——牛顿定律，这表明牛顿定律具有空间转动
对称性；同样，把系统在空间移动一段距离，其运动还满足牛顿定律，这表明牛顿定律具有空
间平移对称性。牛顿第二定律与惯性参考系的选用无关，说明对参考系作伽利略变换不改变牛
顿定律的形式，即牛顿定律对伽利略变换是对称的。我们所知道的其它物理定律也都有类似的
情况。
一般来说，经典力学系统的状态可以用广义坐标和广义动量描述，运动方程由系统的哈密
顿函数确定，哈密顿函数的对称性决定了经典运动方程的对称性；而量子力学系统的状态用波
函数描述，运动方程由系统的哈密顿算符确定，哈密顿算符的对称性决定了量子运动方程的对
称性。我们把这种与运动规律有关的对称性称为动力学对称性，相应的对称群称为动力学对称
群。
7.1.2 变换的数学描述
1）基本变换的描述
下面我们以空间变换为例，来介绍基本变换的数学形式。
空间反演变换把一个位置变成其关于原点的对称位置，用大写字母P 来描述。它对位置矢
量的作用可以表示为
Pr􀁋= −r􀁋。 (7.1.1a)
作为特例，把一维反演变换的作用可以简单的表示为Px = −x 。
空间镜像变换把一个位置变成其关于过原点平面s的对称位置，用大写字母P(n􀁋)来描述，
其中n􀁋 为平面s的法线方向。它对位置矢量的作用可以表示为
( ) P n r r r⊥
= − 􀀦
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.1b)
其中r=(r×n)×n 􀀦
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋为与平面s平行的分矢量，r (r n)n ⊥ 􀁋 = 􀁋 ⋅ 􀁋 􀁋 与平面s垂直的分矢量。作为特例，
一维镜像变换的作用可以简单的表示为Px = P(i)x = −x 􀁋
，与一维反演相同。
空间平移变换把一个位置移动到另一个位置，位移量为a􀁋 的空间平移变换用带参数的大写
243
字母T(a􀁋)来描述，即
T(a􀁋)r􀁋=r􀁋+a􀁋。 (7.1.2)
所有空间平移变换的集合记为T3。
作为特例，我们把所有沿x 轴的平移变换T(a) =T(ai) 􀁋
的集合记为T1，显然有
1 T(a)x = x+a, T ={T(a)|a∈R} (7.1.3)
空间转动变换把一个位置r=xi+yj+zk
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 以原点为中心转动到另一个位置
' ' ' ' r xi y j zk = + +
􀁋
􀁋 􀁋 􀁋 。为了简单起见，我们考虑绕z 轴转动角度为α 的定轴转动变换，用带
参数的大写字母C(α)来描述，即
' cos sin 0
( ) ' sin cos 0
' 0 0 1
x x x
C y y y
z z z
α α
α α α
     −  
 = =         
      
      
(7.1.4)
显然，由于转动角度2p 相当于不转动，因此C(α +2π)与C(α)实际上是同一个转动变换，
所有绕z 轴的定轴转动变换R(α)的集合可以表示为1 R={C(α)|α∈[0,2π)}。
2）变换的代数性质
对于两个相继进行的空间平移变换T(a􀁋)和T(b)
􀁋
，其合成的结果仍然是一个空间平移变
换，即
T(b)T(a)r=T(b)(r+a)=(r+a)+b=r+(a+b)=T(a+b)r
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.5a)
或者简单地表示为
T(b)T(a)=T(a+b)
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.5b)
由此可得
T(−a􀁋)T(a􀁋)r􀁋=T(a􀁋−a􀁋)r􀁋=T(0)r􀁋=r􀁋 (7.1.6)
这说明T(−a􀁋)为T(a􀁋)的逆变换，两者的复合变换为恒等变换T(0) =I。
容易验证，空间平移变换还满足结合律
244
T(a)[T(b)T(c)]=T(a+b+c)=[T(a)T(b)]T(c)
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.7)
我们把空间平移变换的复合看成运算，恒等变换I 就是该运算的单位元，所有变换都有唯
一的逆元，即逆变换。复合运算满足结合律(7.1.7)，而且T3 对于复合运算是封闭的，因此全体
空间平移变换构成了一个群，称为一般空间平移群，也记为T3。
由于矢量的加法是可以交换的，根据(7.1.5b)式，有
T(a)T(b)=T(b+a)=T(a+b)=T(b)T(a)
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.8)
即一般空间平移群是一个可交换群。
在上述运算下，沿x 轴平移变换的集合T1 也是一个群，它是一般空间平移群T3 的一个子
群。一般空间平移群T3 和它的子群T1 都是连续群。
类似地，所有绕原点的空间转动变换也构成了一个群，称为SO3 群，记为3 R 。绕过原点的
轴的转动变换的集合也构成了一个群，称为SO2 群，记为1R (n􀁋)，其中n􀁋 为该轴的方向矢量。
显然，定轴转动群1R (n􀁋)是一般空间转动群3 R 的一个子群。作为特例，前面我们讨论过的绕z
轴转动变换的集合R1 是一个特殊的定轴转动群，即1 1R =R(k)
􀁋
。一般空间转动群3 R 和定轴转
动群也都是连续群。
需要说明的是，由于C(α +2π)=C(α)，因此C(α)的逆元通常表示为C(2π −α ) ，而封
闭性关系为
( ), 2
( ) ( )
( 2), 2
C
C C
C
α β α β π
α β
α β π α β π
 + + =  + − + ≥ 
(7.1.9)
可以验证，SO3 群不是可交换群，但是它的子群SO2 群却是一个可交换群。
容易看出，相继两个反演变换的合成是一个恒等变换，即
P⋅P= I 。 (7.1.10)
这说明反演变换的逆变换就是它本身。显然，对于复合运算，集合{P，I}也构成了一个群，称
为空间反演群。空间反演群是一个可交换的有限群，它的生成元为{ P }。
同理，相继两个同样的镜像变换的合成也是一个恒等变换，即
P(n􀁋)⋅P(n􀁋)=I 。 (7.1.11)
这说明镜像变换的逆变换也是它本身。对于复合运算，集合{P(n􀁋),I}也构成了一个群，称为空
245
间镜像群。空间镜像群也是一个可交换的有限群，它的生成元为{P(n􀁋)}。
3）变换在状态函数空间中的表示
一个连续分布的物理量（在这里我们只考虑标量）如电荷密度、电势、温度、浓度等，可
以用状态函数ψ (r􀁋)来完全描述。现在对该物理分布作一个整体的变换Q，即把该物理系统整
体平移、转动或者反演，得到的新状态用状态函数ψ􀀄(r􀁋)来描述。由于是整体移动，当r􀁋 点在
变换Q 的操作下移动到r􀁋' =Qr􀁋点时，带着它的物理量分布值一起移动到了r􀁋 ' 处。也就是说，
新状态函数在新点处的值等于原状态函数在原来位置处的值，即
ψ􀀄(r􀁋')=ψ(Qr􀁋)=ψ(r􀁋)。 (7.1.12a)
由于变换的可逆性，上式又可以表示为
ψ􀀄(r􀁋) =ψ (Q−1r􀁋)。 (7.1.12b)
定义算符ˆQ 为变换Q 在状态函数空间中的表示，即
Qˆψ(r􀁋) =ψ􀀄(r􀁋)。 (7.1.13)
由(7.1.12)和(7.1.13)两式立刻得到
Qˆψ(r􀁋) =ψ(Q−1r􀁋)。 (7.1.14)
上式给出了变换算符ˆQ 的具体定义。
例如，对于空间反演变换，我们有
1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) P r P r Pr r ψ ψ ψ ψ − = = = − 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.15)
对于沿x 轴的平移变换来说，有
Tˆ(a)ψ(x)=ψ[T(−a)x]=ψ(x−a) (7.1.16)
不失一般性，我们假定状态函数是足够光滑的，即可以展开为泰勒级数
( ) ˆ
0 0
( ) 1 ( )( ) 1( ˆ) ( ) ( )
! !
n n n aD
n n
x a x a aD x e x
n n
ψ ψ ψ ψ
∞ ∞
−
= =
− =Σ − =Σ − = (7.1.17)
比较上面两个式子，我们得到沿x 轴平移变换算符的一个明显表达式
Tˆ(a) =e−aDˆ (7.1.18)
246
在一般情况下，平移变换算符的明显表达式为
Tˆ(a) =e−a⋅∇ 􀁋 􀁋 (7.1.19)
对于绕z 轴转动变换来说，有
Cˆ(α)ψ (ϕ)=ψ[C(−α)ϕ]=ψ (ϕ−a) (7.1.20)
类似地有
ˆ ψ(ϕ −α)=e−α Lzψ(ϕ) (7.1.21)
其中算符ˆ
z L ϕ
∂
∂ = 。比较上面两个式子，又得到绕z 轴转动变换算符的一个明显表达式
Rˆ(α)= e−α Lˆz (7.1.22a)
容易验证在直角坐标下
ˆ ˆ, ˆ z y x L x y kL L r ϕ
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ = = − = ⋅ = ×∇
􀁋 􀁋
其中k 为转动轴方向的单位矢量。于是(7.1.22a)式又可以表示为
Rˆ(α)=e−αk⋅Lˆ=e−α⋅Lˆ, α =αk
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.22b)
由于坐标轴的方向可以任意规定，上式容易推广到一般情况，绕方向矢量为n􀁋 的轴转动角度 a
的转动变换算符为
Rˆ(α)=e−α ⋅Lˆ, Lˆ=r× ∇,α =αn 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.23)
反演变换是不连续的，因而反演变换算符不能用微分算符来表示。不过，我们可以把状态
函数空间分解为偶函数子空间和奇函数子空间，例如对任意给出的状态函数ψ (r􀁋)，我们可以
把它分解为
( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1) ,
( ) ( ) 2 ( ) ( )
e e
e o
o o
r r r r
r r r
r r r r
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
     + − 
= + =    =        − − 
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋
􀁋 􀁋 􀁋
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.24)
显然有
ˆ ˆ ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) (1 1) (1 1) (1 1)
( ) ( ) 0 1 ( )
e e e
o o o
r r r
P r P
r r r
ψ ψ ψ
ψ
ψ ψ ψ
  +    
=  =  =      −   −  
􀁋 􀁋 􀁋
􀁋
􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.25)
上式对于任意的状态函数都正确，因此给出了反演变换算符的一种矩阵表示，即
247
ˆ 1 0
0 1
P
 
=   − 
。 (7.1.26)
4）问题与探究
问题一：研究一维空间压缩变换
Q(a)x = x/a (7.1.27)
对应的压缩变换算符的明显表达式，并且把它推广到三维空间中。
提示：一维压缩变换算符满足条件
Qˆ(a)ψ(x)=ψ􀀄(x)=ψ[Q(a)−1x]=ψ(ax) (7.1.28)
由此可以得到一维压缩变换算符的明显表达式为
Qˆ(a) = e−lna x⋅Dˆ (7.1.29)
问题二：研究时间平移变换
Q(τ )t=t'=t+τ (7.1.30)
对应的时间平移变换算符。
问题三：研究时间压缩变换
Q(a)t = t'= t/a (7.1.31)
对应的时间压缩变换算符。
问题四：研究伽利略变换
'
( )
'
x x x vt
Q v
t t t
     − 
 = = 
     
(7.1.32)
对应的算符。
提示：与伽利略变换对应的算符满足条件
Qˆ(v) f (x,t)= f[Q(−v)(x,t)]= f (x+vt,t)
其中f (x,t)为任意状态函数。不失一般性，假定态函数足够光滑，于是有
0 0
( ,) 1 (,)( ) 1( ) (,) (,)
! !
x
n
n n vt
n
n n
f x vt t f x t vt vt f x t e f x t
n x n x
∞ ∞
∂
= =
∂ ∂
+ = = =
∂ ∂ Σ Σ
问题五：研究洛仑兹变换
248
2 2 2
' 1 ( )
' 1 / /
x x xvt
Q v
t t v c t vxc
     − 
 = =       −  − 
(7.1.33)
对应的算符。
提示：作自变量变换
2 2 2 sinh
,
arctanh( / ) cosh
s ct x x s
x ct ct s
θ
θ θ
 = −  =
  =  = 
在洛仑兹变换下，新变量满足关系
2 2 2 2 2 2 22 2 2
2 2
( ') ' ' 1 [( / ) ( ) ]
1 /
tanh ' ' tanh tanh tanh( )
' / 1 1 tanh tanh
x v
ct c
x v
ct c
s c t x ct vx c x vt c t x s
v c
x x vt
ct ct vx c
θ β
θ θ β
θ β
= − = − − − = − =
−
− − −
= = = = = −
− − ⋅ − ⋅
其中tanhβ =v/c。上式可以写为
'
( )
'
s s s
Q v
θ θ θ β
     
 = =       − 
在新自变量下，与洛仑兹变换对应的算符满足条件
Qˆ(v)f (s,θ )= f[Q(−v)(s,θ)]= f(s,θ+β)
7.1.3 对称性的数学描述
1）状态的对称群
设Q 为使状态函数ψ (r􀁋)保持不变的单值变换，即
1 ˆ ( ) ( ) ( ) Q r Q r r ψ ψ ψ − = = 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.34)
显然，两个这样的变换的复合仍然保持状态函数ψ (r􀁋)不变，即所有使状态函数ψ (r􀁋)保持不变
的变换集合G 对复合运算来说具有封闭性。变换的单值性保证了每个变换都有逆变换，按照
(7.1.34)式，逆变换满足
1 1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) Q r Qr Q Qr r ψ ψ ψ ψ − − = = = 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.35)
也使状态函数保持不变；而恒等变换使状态函数保持不变，可以作为单位元。这样，不变变换
的集合G 在复合运算下就成为一个群。由于这个群使状态函数ψ (r􀁋)不变，称为状态函数ψ (r􀁋)
的不变群，或者对称群。对称群完全描述了状态函数的对称性。
249
例7.1-1：求状态函数ψ (r􀁋) =f(x,y)的对称群。
解：状态函数与自变量z 无关，其沿着z 轴方向的平移变换不会改变状态函数，因此有对称群
1 G={T(zk)|z∈R}
􀁋
。同理，关于xy 平面的镜像变换也不会改变状态函数，因此又有对称群
2 G =P(k)
􀁋
。总对称群G 由这两个对称群生成，称为直积群，记为1 2 G=G×G。
例7.1-2：求状态函数ψ (r􀁋) =f(ρ,z)的对称群。
解：状态函数与自变量j无关，其绕着z 轴的转动变换不会改变状态函数，因此一般空间转动
群的子群SO2 为其对称群。同理，关于任意过z 轴平面的镜像变换也不会改变状态函数，因此
又有对称群2 G =P(n),n⊥k
􀁋 􀁋 􀁋 。总对称群为这两个对称群的直积群。
例7.1-3：求状态函数ψ (r􀁋) =f(r)的对称群。
解：状态函数与方位角无关，其绕着原点的任意转动变换都不会改变状态函数，因此一般空间
转动群SO3 为其对称群。显然，状态函数对于空间反演操作也是不变的，因此该状态有双重对
称性，总对称群为空间转动群SO3 与反演对称群的直积群，称为O3 群。
例7.1-4：求状态函数ψ (r􀁋) =f(ρ)的对称群。
提示：该状态有三重对称性：绕z 轴的转动、沿着z 轴的平移和过z 轴任意平面的镜像。
2）几种特殊状态的对称群
下面，我们再研究几种特殊状态的对称性。
先考虑状态函数ψ (r􀁋)=f(r,θ)sinmϕ,m∈Z。显然，该状态函数与球坐标下的三个空间
变量都有关，不存在一般的空间转动对称性和空间平移对称性。然而，我们发现状态函数与方
位角j的函数关系具有周期性，即sinm(ϕ + 2π /m) = sinmϕ，这说明了状态函数具有特殊的
对称性。考虑到
Rˆ(α)ψ(r􀁋)=f(r,θ)Rˆ(α)sinmϕ=f(r,θ)sinm(ϕ −α) (7.1.36)
取α =2π /m ，立刻得到
Rˆ(α)ψ (r􀁋) =ψ (r􀁋) (7.1.37)
容易验证算符Rˆ(α)的逆和复合也可以保持状态函数不变，即
250
Rˆ(nα)ψ(r􀁋)=ψ(r􀁋), 0≤n 其中Rˆ(nα)=[Rˆ(α)]n, Rˆ(mα)=I。这说明上述状态函数具有对称群
{Rˆ(nα)|α =2π /m, 0≤n 称为m 次转动对称群，记为m C 。m C 中仅有m 个元素，是一个离散的有限群，它是定轴转动
群R1 的一个离散子群，可以由单一生成元{ Rˆ(α)}生成。
此外，我们还发现
1 1
2 2
−Rˆ( α)ψ (r􀁋)=−f(r,θ )sinm(ϕ − α) = −f(r,θ )sin(mϕ −π ) =ψ (r􀁋)
这表明复合算符1
2
−Rˆ( α)也是状态函数ψ (r􀁋) =f(r,θ)sinmϕ的一个对称算符，该算符可以生
成状态函数的一个更大的离散有限对称群，其中包括子群m C 。
请读者考虑一下，状态函数ψ (r􀁋) =f(r,θ)cosmϕ有哪些对称操作，它的对称群是什么？
再考虑状态函数ψ (r􀁋)=f(y,z)coskx,k∈R。显然，状态函数与三个空间变量都有关，
也不存在一般的空间转动对称性和空间平移对称性。然而，状态函数与x 坐标的关系具有周期
性，这说明了该状态函数也具有特殊的对称性。取a=2π /k，不难得到
Tˆ(a)ψ(r􀁋)=f(y,z)Tˆ(a) coskx=f(y,z) cosk(x−a) = f(y,z) coskx=ψ(r􀁋) (7.1.40)
容易验证算符Tˆ(a)的逆和复合也可以保持状态函数不变，即
Tˆ(na)ψ(r􀁋)=ψ(r􀁋), n∈Z (7.1.41)
其中
| |
[ ˆ( )] , 0 ˆ( )
[ˆ( )] , 0
n
n
T a n
T na
T a n
 ≥ = 
 − 。这说明上述状态函数具有对称群
{Tˆ(na)|a=2π /k, n∈Z}。 (7.1.42)
这是一个离散群，也是空间平移对称群的一个子群，称为离散平移对称群，其生成元集合中只
有一个元素，即{Tˆ(a)}。
请读者考虑一下，上述状态是否还有其它对称操作，它的总对称群是什么？
3）规律的对称群
251
定量的物理规律通常用方程来描述，规律的对称群也就是相应的物理方程的对称群。在数
学物理中，常见的方程可以概括为如下的一般形式
n 2 ( , )
t∂u=a Δu+ f r􀁋 t 。 (7.1.43)
对上式两边作空间变换Q，得到
ˆn 2ˆ ˆ( , )
t Q∂ u=aQΔu+Qf r􀁋 t 。 (7.1.44)
考虑到时间变量与空间变量是相互独立的，我们有
nˆ 2ˆ ˆ1ˆ ˆ( , )
t ∂ Qu=a QΔQ− Qu+Qf r􀁋 t 。 (7.1.45)
由于未知函数形式的选取不影响方程的形式，即我们可以把Qˆu 作为未知函数，因此方程保持
不变的条件是
QˆΔQˆ−1 =Δ, Qˆf(r􀁋,t)= f(r􀁋,t)。 (7.1.46)
对于一般空间平移变换，有
ΔQˆ−1=ΔTˆ(−a)=∇2ea⋅∇ =ea⋅∇∇2 =Qˆ−1Δ 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.47)
因此有QˆΔQˆ−1 =Δ，即拉普拉斯算符在空间平移变换下是不变的。
对于空间转动变换，同样可以证明
ΔQˆ−1=ΔRˆ(−α)=∇2eα⋅Lˆ =eα⋅Lˆ∇2 =Qˆ−1Δ 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.48)
因此有QˆΔQˆ−1 =Δ，即拉普拉斯算符在空间转动变换下也是不变的。
类似地可以证明，拉普拉斯算符在空间反演变换和空间镜像变换下也是不变的。因此，在
空间等距变换下，数学物理方程(7.1.43)的不变性完全取决于非齐次项f (r􀁋,t)，或者说非齐次项
的对称群就是方程(7.1.43)的对称群。
例如，在等距变换下，泛定方程2 ( , ) t∂u=a Δu+ f r t 的对称性完全由非齐次项f (r,t)决
定，而f (r,t)具有O(3)对称性，因此方程的对称群为O(3)。
§7.2 对称性原理
7．2．1 对称性原理
1）对称性原理
252
对称性原理是法国物理学家皮埃尔·居里(Pierre Curie，1859—1906)在分析了大量涉及对
称性的因果关系后提出来的，内容为：
原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性那样多。反过
来说，结果中的不对称性必在原因中有所反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性
那样多。
对于一个物理系统来说，它的历史、环境以及所服从的运动定律是原因，状态的演化是结
果，对称性原理告诉我们：历史、环境条件以及运动定律的对称性必然反映到演化后的状态里。
对称性原理是自然界的普遍原理，它的适用范围不仅仅局限于数学和物理学领域，而且可
以应用到化学、生物学甚至经济学和社会学之中。
2）对称性原理的表现
一般来说，同一组原因可能产生若干种不同的结果。如果仅有一种可能的结果，它必然反
映原因的对称性；如果有多种可能的结果，原因中的对称性必反映在全部可能结果的集合中，
即全部可能结果的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多。
下面，我们给出几个实例来说明对称性原理的表现。
例7.2-1：根据对称性原理说明质点在有心力场中的运动轨道为平面曲线。
解：根据牛顿定律，质点运动的轨道由初始位置、初速度和作用力共同确定，具有唯一性。初
速度和作用力在初始位置处相交，决定了一个初始平面。在有心力的情况下，条件中无偏离该
平面的因素，或者说原因对该平面镜像对称。按照对称性原理可以推断，质点的运动不会偏离
该平面，轨道一定在该平面内。反过来说，如果轨道不在初始平面内，那么可以断定该质点所
受到的不是有心力，或者还受到除有心力之外的其它相互作用。
需要注意的是，如果质点在一个平面内运动，根据对称性原理我们并不能断定所受到的一
定是有心力，甚至不能断定运动的条件关于该平面对称。
例7.2-2：根据对称性原理来解释竖直铅笔倾倒结果的不对称现象。
解：如图7-3，因为竖直铅笔的初始状态和引起倾倒的重力都有轴对称性，所以铅笔倾倒的方
向也应该有轴对称性。然而，由于倾倒的结果具有不唯一性，因此铅笔倾倒方向的轴对称性是
统计性的，一次倾倒的结果具有偶然性，只有多次倾倒的统计结果才表现出轴对称性。具体地
说，铅笔向某个方向倾倒的可能性具有轴对称性，即向各个方向倾倒的可能性相同。
253
图7-3
3）对称性原理的数学描述
由于对称性可以用对称群来描述，因此对称性原理也可以用对称群来进行描述。具体地说，
就是：
结果的对称群包含原因的对称群。
当结果唯一的时候，状态的对称群包含条件和规律的对称群；
当结果不唯一的时候，状态分布的对称群包含条件和规律的对称群。
用数学语言来说，初始条件、边界条件和运动微分方程是原因，解函数是结果，泛定方程
和定解条件中的对称群是解函数对称群的一个子群。
一般来说，数学物理问题的通解由泛定方程决定，不唯一；特解由泛定方程和定解条件共
同决定，具有唯一性。按照对称性原理，如果问题具有某种对称性，则其解也具有该种对称性。
具体地说，如果是有唯一性的问题，则其解应该在问题对称群的作用下保持不变；如果是没有
唯一性的问题，则其解应该在问题对称群的作用下仍然保持是问题的解。
作为例子，我们先考虑一个定解问题
0,
1 r a
u r a
u =
Δ = 
 =
。
显然，泛定方程与边界条件都有球对称性，考虑到问题的适定性，它具有唯一解。按照对称性
原理，解函数也应该具有球对称性，即u=u(r)。代入问题之后，我们就把一个3 变量的偏微
分方程问题变成了一个常微分方程问题了
2
2 2 0,
( ) 1
u u r a
r r
u a
∂ ∂
 + = ∂ ∂ 
 =
再考虑一个线性泛定方程问题
Lˆu = f (7.2.1)
254
其中ˆL 为微分算符，f 为非齐次项，u 为某个特解。设泛定方程有对称群1 2 { , , , } n G= g g 􀀢g ，
按照对称性原理， i g u 也是泛定方程的解。根据叠加原理，
1
i i v gu
n
= Σ (7.2.2)
同样是泛定方程的一个特解。我们把对称群G 中的一个任意变换算符作用到这个特解上，得到
ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ j i j i kk g v g gu g u v
n n
= Σ ⋅ = Σ = (7.2.3)
在推导中已经利用了群的重排定理。上式说明一个线性泛定方程至少有一个特解在对称群的作
用下保持不变，即是对称群的不变函数。
上面的结果启发我们，可以在对称群的不变函数中寻找泛定方程的特解。特别地，对于一
个线性齐次泛定方程问题，由于其解的常数倍也是问题的解，因而我们可以在对称群的广义不
变函数中寻找泛定方程的特解，即寻找满足下面条件的特解
ˆ , j j j g v=λ v λ ∈C (7.2.4)
下面来看一个具体的例子，考虑常微分方程问题
''( ) 2 ( ) 0
(0) , '(0) 0
y x x y x
y ay
 + =

 = =
问题中的泛定方程和定解条件都有空间反演对称性，于是我们可以断定结果，即问题的解也具
有空间反演对称性。由于该问题的解具有唯一性，因此有
Py(x) =y(−x) =y(x)
这说明解一定是偶函数。
7．2．2 对称性与守恒定律
1）诺特定理
对称性是系统状态在某些变换下的不变性，而守恒性是描述系统状态的物理量不随时间变
化的性质，两者说得并不是一回事。
然而，1918 年德国女数学家艾米•诺特(Emmy Noether, 1882-1935)却发现系统的对称性与物
理量的守恒性之间有密切联系。她首先指出，系统的每一种连续对称性都有一个守恒的物理量
与之对应。人们把这种对称性与守恒性之间的联系称为诺特定理。
按照诺特定理，可以推出如下结论：
系统具有空间平移对称性——系统的动量守恒；
系统具有空间转动对称性——系统的角动量守恒；
255
系统具有时间平移对称性——系统的能量守恒。
以及
系统具有严格的对称性——存在严格的守恒量；
系统具有近似的对称性——存在近似的守恒量。
进一步的研究发现，根据量子力学，一些离散的对称性也存在着对应的守恒量，只要这种
对称性可以用一个么正变换来描述。例如，空间反演对称性是不连续的，但是也有一个相应的
守恒量——宇称；而时间反演对称性也不连续，然而需要用反么正变换来描述，因此没有相应
的守恒量。
2）经典力学情况
在这里，我们不准备对诺特定理作一般性的证明，只是给出几个经典力学中的典型案例。
在经典力学中，系统的运动规律由哈密顿函数H(q ,p ,t) α α 确定，其中qα 为广义坐标，pα
为广义动量，它们满足正则方程
dp H, dq H
dt q dt p
α α
α α
∂  ∂ 
= −  =  ∂  ∂ 
。 (7.2.5)
考虑一个单粒子的无约束系统， 取直角坐标为广义坐标， 哈密顿函数为
( , , , , , ) x y z H x y z p p p 。当系统有沿着x 方向的空间平移对称性时，得到
( , , , , , ) ( , , , , , ) x y z x y z H x+a y z p p p =H x y z p p p
由于这是一个连续的对称性，可以在上式中取a 为无穷小量，得到
( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) 0 x y z x y z x H x+a y z p p p −H x y z p p p = ∂ H x y z x􀀅 y􀀅 z􀀅 ⋅a=
由此推出( , , , , ) x y z H=H y z p p p ，即哈密顿函数与x 坐标无关。代入正则方程后得到
0 x
dp H
dt x
∂  = =  ∂ 
即
const x p = (7.2.6)
这实际上是我们熟悉的动量守恒定律。
当系统有绕z 轴的轴对称性时，可取粒子的柱坐标为广义坐标， 哈密顿函数为
( , , , , , ) z H zp p p ρ ϕ ρ ϕ 。由轴对称性得到( , ,, , , )z H zp p p ρ ϕ ρ +α ϕ ( , , , , , ) z H zp p p ρ ϕ = ρ ϕ ，
256
由此可以推出( , , , , ) z H zp p p ρ ϕ ρ ，即哈密顿函数与j坐标无关。代入正则方程后得到
dp H 0
dt ϕ ϕ
∂ 
= =  ∂ 
即
p m 2 const ϕ = ρ ϕ􀀅= (7.2.7)
这正是我们熟悉的角动量守恒定律。
3）量子力学情况
量子力学中的情况也类似，系统的运动规律由薛定谔方程确定
i H
t
ψ
ψ
∂
=
∂
􀀽 。 (7.2.8)
其中ˆH 为哈密顿算符，ψ 为波函数， 􀀽 为普朗克常数。
设系统有沿着x 方向的平移对称性，即
Tˆ(a)Hˆ⋅Tˆ(a)−1=Hˆ, Tˆ(a)=e−a⋅Dˆ (7.2.9)
由于这是一个连续的对称性，在上式中取a 为无穷小量，得到
(1−a⋅Dˆ)Hˆ ⋅(1+a⋅Dˆ) =Hˆ
即
HˆDˆ = DˆHˆ (7.2.10)
在状态ψ 中，动量x 分量的平均值为
* ˆ x p D d
i
= ∫∫∫ψ ψ τ 􀀽
由此可以推出
[ *ˆ *ˆ ] [ *ˆˆ *ˆˆ] 0 x
d p D D d HD DH d
dt i t t
ψ ψ
ψ ψ τ ψ ψ ψ ψ τ
∂ ∂
= + = − =
∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ 􀀽 (7.2.11)
这表明在平均值的意义下动量的x 分量守恒。
7．2．3 对称性的破缺
1）对称性的起源
一般来说，对称性意味着某种不可分辨性或不可测量性。例如物理规律具有空间平移对称
性，表明空间没有绝对的原点，可以任意选择空间的一点作为坐标原点，物理规律保持形式不
变，即绝对位置是不可测量的；同样物理规律具有时间平移对称性，表明时间也不存在绝对的
257
零点。
换句话说，对称性起源于客观世界的不可区别性。那么，大自然是不是具有不可区别性呢？
这是一个实验问题。早先，物理学家并不认为大自然具有不可区分性，例如，牛顿就认为存在
绝对空间和绝对运动。但是，实验并没有发现牛顿设想的绝对空间。20 世纪初，爱因斯坦按照
洛仑兹变换下形式不变的要求改造了牛顿力学，创立了相对论力学；后来他又按照一般参照系
变换下形式不变的要求推广了相对论力学，创立了广义相对论。爱因斯坦相对论得到了实验的
有力支持，取得了巨大的成功。此后，大多数物理学家相信世界在本质上是不可区分的，即是
对称的。
1956 年，李政道和杨振宁发现：在弱相互作用下，微观粒子衰变过程中的宇称不守恒，
即不满足空间反演不变性。这意味着如果给粒子照镜子的话，在镜子里和镜子外的衰变方式居
然不一样！这个结论大大出乎物理学家的预料，大多数人抱怀疑的态度。实验物理学家吴健雄
设计了一个巧妙的实验，结果验证了“宇称不守恒”，后来人们开玩笑说：上帝是个左撇子。
现在，多数人对大自然采取了一种“对称推断”的态度，即先假设自然界中的一切都是对
称的，直到实验中发现了不对称的的现象。
2）对称性的破缺
虽然绝对的空间并不存在，但是如果系统相对于外界作了变动，其状态就可能发生变化。
换句话说，外界与系统的相互作用会造成对称性的某种破坏或者缺失，这种情况称为对称性诱
导破缺，简称对称性破缺。在相互作用较弱的情况下，系统往往能够近似地保持原有的对称性。
物理上常常通过对称性的破缺来反推系统与外界的相互作用情况，例如，晶体生长过程中往往
可以具有较高的对称性，其上下、左右、前后都有对称性，我们可以推知环境的影响比较小；
而植物在生长过程中，其左右、前后都有对称性，但是失去了上下对称性，我们推知环境中一
定有一种破坏其上下对称性的相互作用，实际上这就是我们所熟悉的重力。
为了具体了解物理中对称性破缺的现象，我们看一个的例子。
考虑在势阱V(x)中运动的粒子，其稳定平衡位置完全由该势阱确定，按照对称性原理，势
阱的对称性确定了粒子稳定平衡位置的对称性。例如，对于一个如下的势阱（见图7-4 a）
1 2 1 4
2 4 V(x)= ax + x , a>0 (7.2.12)
其平衡位置由下式确定
V'(x)=ax+x3 =0 (7.2.13)
得到x ＝ 0，容易验证在该点势能取最小值，说明这是一个稳定的平衡位置。
势能(7.2.12)具有空间反演对称性，由此得到的稳定平衡位置也具有空间反演对称性，符合
对称性原理。
258
如果在上述势阱的基础上附加一个势能1 4
1 4 U (x) =bx− x , b≠0后，系统的势阱成为（见
图7-4 b）
1 2
1 1 2 V (x)=V(x)+U (x)=bx+ ax (7.2.14)
其平衡位置由下式确定
V'(x) =b+ax= 0
得到x ＝ －b/a。容易验证V''(x) =a> 0 ，这说明这是一个稳定的平衡位置。由于外加势能不
是反演对称的，因此导致了稳定平衡位置失去了空间反演对称性，这是对称性诱导破缺的情况。
-2 -1 1 2
2
4
6
8
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
2
-1 -0.5 0.5 1
-0.05
-0.025
0.025
0.05
0.075
图7-4 a 图7-4 b 图7-4 c
对称性反映了物质运动的共性，而对称性的破坏才使得不同物质显示出各自的特性。就像
建筑和图案一样，只有对称而没有它的破坏，看上去虽然很规则，但同时显得单调和呆板。只
有基本上对称而又不完全对称才构成美的建筑和图案。因此，对称性的破缺是事物不断发展进
化，变得丰富多彩的原因。
问题在于宇宙是没有外界的，如果我们的宇宙原先是对称的，就不可能有外部作用来破坏
这种对称性，换句话说，宇宙将永远保持这种对称状态。那么，我们今天丰富多彩的世界是从
哪里来的呢？
3）对称性的自发破缺
除了系统与外界相互作用会引起系统原有对称性的破缺外，系统的内部因素也会引起对称
性的破缺，原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，其对称程度自发降低，这种现象叫做
对称性自发破缺。一个明显的例子是动物为了发展相对于自身向前方自主运动的能力，在长期
的进化中其身体结构偏离了重力环境所允许的前后对称性，只保留了左右对称性。另一个生活
中的例子是时钟，最初设计的时钟有顺时针转动的，也有逆时针转动的，表现出了统计形式的
对称性。但是由于顺时针转动设计用得较多，就有较多人习惯于读它，以后它就被采用得更多。
最后形成现在的惯例，已经失去了对称性。
为了更好的理解对称性破缺的概念，我们回到前面的例子。如果势阱的形式保持不变，但
其中的参数a 逐渐减小，变成一个负数，这时势能曲线如图7-4 c 所示。系统的平衡位置仍然
259
由(7.2.13)式确定，但是除了x ＝ 0 之外，又增加了两个平衡点x = ± −a 。势能在平衡点的
二阶导数为
V''(0) =a 0
因此平衡位置x ＝ 0 是不稳定的，但是新增加的平衡位置x = ± −a 是稳定的。这个结果也符
合对称性原理，是对称性原理在结果不唯一时的表现形式。
问题在于只有1 个粒子，却有2 个稳定平衡位置，在实际情况中粒子只能处于其中的一个，
无论粒子处于哪一个平衡位置，系统都失去了对称性。在这种情况下，系统的势能始终是对称
的，但是由于内部参数的变化，原先对称的稳定平衡点失去了稳定性，从而造成了实际状态的
不对称，这就是对称性自发破缺的情况。
用物理语言来说：当系统参量到达某个临界值时，原先具有对称性的状态失稳，新出现了
若干个等价的稳定状态，虽然它们的分布保持着原有的对称性，但是每一个状态本身不对称。
系统将由失稳的对称状态向某个新的稳定状态过渡，结果失去了对称性。
可以不夸张的说，不同种类的粒子、不同种类的相互作用、以致整个复杂纷纭的自然界，
包括人类自身，都是对称性自发破缺的产物。对称性自发破缺对于认识自然的具有重要的意义。
§7.3 对称性原理在数学物理中的应用
对称性可以使我们不求解方程就能获得一些关于解函数的信息，利用这些信息往往能够简
化问题的处理。下面，我们通过一些实例，来介绍对称性原理在数学物理中的应用。
7．3．1 常微分方程的求解
1）奇偶对称性
考虑常微分方程
y''(x)+V(x)y(x)=Ey(x) (7.3.1)
其中E 为参数。显然，在空间反演变换x ↔ −x 下，方程的形式不变，这说明具有问题具有空
间反演对称性，其解的集合也应该具有相应的对称性。考虑到方程是线性齐次的，因而我们可
以在对称群的广义不变函数中寻找特解，即
Py(x) = y(−x) =λ y(x) (7.3.2)
对上式中再进行一次空间反演变换，得到
P2y(x)=λPy(x)=λ2y(x) (7.3.3)
260
考虑到P2 =I为恒等算符，因此λ 2 =1，解出l ＝ ≤1，分别对应特解
( ) ( )
( ) ( )
e e
o o
y x y x
y x y x
− = +
− = −
(7.3.4)
其中一个是奇函数，一个是偶函数。这样，我们还没有对方程进行求解，利用对称性原理就得
到了特解的重要信息。
2）平移对称性
考虑常微分方程
−y''(x)+V(x)⋅y(x)=Ey(x) (7.3.5)
的有界解，其中V(x)为周期函数，基本周期为a。显然，在平移变换x →x+a下，方程的形
式不变，这说明问题具有离散的平移对称性。考虑到方程的齐次性，问题存在具有离散平移对
称性的特解，即
T(a)y(x)= y(x+a)=λy(x) (7.3.6)
由此得到
y(x±na)=λ ±ny(x) (7.3.7)
如果 |l| ∫ 1，当n 趋向无穷大时，上式发散。根据解的有界性要求，必须 |l| ＝ 1。为了方便，
我们把l写成复指数函数的形式
λ = eiKa (7.3.8)
K 的单值性要求把幅角限制在主值范围内，即取−π −π/a 设y(x) =eiKxu(x)，代入(7.3.6)式后得到
eiKaeiKxu(x+a)=eiKaeiKxu(x)
即
u(x+a)=u(x) (7.3.10)
这就是著名的布洛赫定理的一维形式，它告诉我们在周期场中波函数的组成方式。
7．3．2 偏微分方程的求解
1）球对称性
261
考虑定解问题
2
0
,
0
( )
t
r b
t
u a u r b
u
u fr
=
=
 = Δ 
= 

 =
(7.3.11)
显然，问题与定解条件都具有球对称性，而问题的适定性要求解是唯一的，因此解也有同样的
对称性
u=u(r,t) (7.3.12)
这样，问题就得到了极大的简化。第六章中我们利用对称性来处理问题的依据就是对称性原理。
2）轴对称性
有心力场的散射问题可以归结为求解下列定解问题
2
cos
( )
[ik r (, ) 1 ikr ]
r
u k u U r u
u Ae f e
r
⋅ θ θ ϕ
→∞
Δ + =

→ + 
(7.3.13)
其中f (θ,ϕ)为待求的散射幅。显然，泛定方程与定解条件都具有绕z 轴转动的对称性，作为
唯一的特解，u 也具有这种对称性，因此f (θ,ϕ)与j角无关，即f = f (θ)。
3）转动对称性
考虑下面的稳定场问题
0,
| ()sin r a
u r a
u fθ mϕ =
Δ = 
 =
(7.3.14)
泛定方程具有球对称性，而边界条件具有转动对称性Cm（实际对称群更大），由于解的唯一性，
因此待求函数也具有同样的对称性。我们可以假设u=v(r,θ )sinmϕ ，代入定解问题后得到
2
2 2 2
1 2 1 1
sin sin
( , ) ( sin ) ( , ) 0,
( , )| ( )sin
m
r r r r
r a
r vr vr r a
v r f m
θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ ϕ =
 ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 
 =
(7.3.15)
原来有3 个自变量的问题变为只有2 个自变量的定解问题。
假设未知函数可以写成分离变量的形式v(r,θ ) = R(r)Θ(θ )，代入泛定方程后得到
2
2
2
sin ( ')' (sin ')' 0
sin
m r R R R θ θ
θ
Θ + Θ − Θ=
262
上式的两边同时除以R(r)Θ(θ )，经过简单的整理后得到
2 2
2
( ')' 1 (sin ') '
sin sin
r R m
R
θ
θ θ
= − Θ +
Θ
上式的左边为坐标r 的函数，右边为坐标q的函数，两边要保持相等，必须都等于一个分离参数
λ。这样，泛定方程就分离为两个独立的常微分方程
2
2
sin
( ')' 0, [0, ]
(sin ') ' m sin 0, [0, ]
r R R r b
θ
λ
θ λ θ θ π
− = ∈
Θ −− Θ+ Θ = ∈
(7.3.16)
前一个方程附有界性边界条件|R(0)| |Θ(0)|,|Θ(π)| 2 2
sin (sin ') ' sin 0, [0, ] ( ')' 0, [0, ],
| (0)| | (0)|,| ( )|
r R R r b m
R
θ λ θ λ θ θ π
π
 − = ∈  Θ − Θ+ Θ = ∈
 
 上式中的后一个问题为连带勒让德本征值问题(6.4.49)，它的本征值和本征函数为
( 1), ( ) m (cos ),
l l λ=l l+ Θ θ = P θ l∈N
其中m( )
l P x 为连带勒让德函数(6.4.55)。前一个方程为欧拉方程，将得到的本征值λ代入方程并
考虑到在r = 0 处的有界性条件后，得到
( ) l,
l l R r =Ar l∈N
将分别求解的结果相乘，得到分离变量形式的特解。对所有特解进行叠加，得到半通解
0 ( , ) l m(cos )
l l l v r θ Ar P θ ∞
= = Σ (7.3.17)
将所得半通解代入到初始条件中，得到
0 (0) l m(cos )
l l l f Ab P θ ∞
= = Σ
利用连带勒让德函数的正交性关系(6.4.59)，立即得到展开系数
1 1
20 21
l1 ( ) (cos )sin 1 (cos ) ( )
l l l
l l
Ab f P d f x P x dx
N N
π θ θ θ θ −
−
= ∫ = ∫
其中2
l N 为连带勒让德函数的的模方(6.4.61)。
例7.3-1：半径为a 的球面上电势分布为 f =Asin2θ sinϕcosϕ ，确定球内空间的电势 u 。
263
解：定解问题为
1 2
2
0,
| sin sin2 r a
u r a
u A θ ϕ =
Δ = 
 =
，这个问题具有转动对称性，对称群为C2，根据上面
的结果，其半通解为
2
2 l (cos )sin 2
l l l u ArP θ ϕ ∞
= = Σ
令x = cosθ ，由边界条件得到
1 2 2
2 2 (1 ) l ( )
l l l A x Aa P x ∞
= − =Σ （*）
代入连带勒让德函数的完备性公式，得到
1 2 2 2 1 1
12 6 ,2
(2 1)( 2)! (1 ) ( )
l 2( 2)! l l l
A l l A x P x dx Aa
l a
δ + −
−
+ −
= − =
+ ∫
如果读者能够回忆起前几个连带勒让德函数的形式，即
2 2
2 P (x)=3(1−x )
代入条件（*）后进行比较，立刻得到展开系数1 2
l 6 l,2 A= Aa− δ 。代回半通解后，得到
2
1 2 2
6 2 ( , , ) (cos )sin2 a u r θϕ = Ar P θ ϕ
4）交换对称性
考虑下面的一维二粒子问题
2 2
2 2 1 2
1 2
( )u V(x,x)u Eu
x x
∂ ∂
− + + =
∂ ∂
(7.3.18)
如果1 2 V(x,x )具有交换对称性，即2 1 1 2 V(x ,x)=V(x,x )，则方程也具有交换对称性。按照对称
性原理，方程的解也具有交换对称性，即
2 1 1 2 u(x ,x)= λu(x,x ) (7.3.16)
对上式再进行一次交换操作，得到
2
1 2 1 2 u(x,x )= λ u(x ,x ) (7.3.17)
由此解出l ＝ ≤1，分别对应特解
2 1 1 2
2 1 1 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
s s
a a
y x x y x x
y x x y x x
= +
= −
(7.3.18)
其中一个是关于交换的对称函数，另一个是反对称函数。在量子力学中，它们分别描述全同玻
264
色子系统和全同费米子系统的状态。
7．3．3 问题与探究
1）应用问题
问题一、试求下面球外问题的半通解
0,
| ()sin r a
u r a
u fθ mϕ =
Δ = > 

 =
(7.3.19)
提示：半通解为
1
0 l m(cos )sin
l l l u Br P θ mϕ ∞ − −
= = Σ
问题二、试求下面球壳问题的半通解
0,
| ()
| ()
im
r a
im
r b
u a r b
u f e
u g e
ϕ
ϕ
θ
θ
=
=
Δ = 
= 

 =
(7.3.20)
提示：半通解为
1
0 l m(cos ) im
l l l u Br P θeϕ ∞ − −
= = Σ
问题三、试求下面第二边值问题的半通解
0,
| ()cos r r a
u r a
u fθ mϕ =
Δ = 
 =
(7.3.21)
提示：半通解为
0 l m(cos ) cos
l l l u ArP θ mϕ ∞
= = Σ
问题四、试求下面边值问题的半通解
0,
| ()sin ()cos r a
u r a
u fθ mϕ gθ nϕ =
Δ = 
 = +
(7.3.22)
提示：利用叠加原理。
2）推广问题
问题五、试求下面热传导问题的半通解
2
0
,
0
| (,)sin
t
r b
t
u a u r b
u
u frθ mϕ
=
=
 = Δ 
= 

 =
(7.3.23)
265
提示：设半通解为u(r,θ ,ϕ,t) = v(r,θ,t)sinmϕ
问题六、试求下面波动问题的半通解
2
0
0
,
0
| (,)sin
| (, )cos
t
r b
t
t t
u a u r b
u
u fr m
u gr m
θ ϕ
θ ϕ
=
=
=
 = Δ 
= 

= 

 =
(7.3.24)
提示：用叠加原理和对称性原理。

所有跟帖： 

• 中国书画：非时空对称性。同时它讲究“胸有成竹，、“法无定法，自有我法，无法而法”， -marketreflections- ♂ (744 bytes) () 07/18/2010 postreply 18:02:16

• 由于人们的从众心理，使得空间旋转对称性，这样一个连续对称性，在这里自发破缺了。这就使得，在人群中激发“抬头粒子”称为轻而易举的事 -marketreflections- ♂ (7745 bytes) () 07/18/2010 postreply 18:51:43

• 所以當光從地球的引力場往上走，它失去能量，因而其頻率下降（這表明兩個波峰之間的時間間隔變大）,因此，從在上面的某個人來看，下麵發 -marketreflections- ♂ (421 bytes) () 07/18/2010 postreply 18:57:02

• 卢昌海 内部空间的对称性：波函数能够在更高维的空间 - 即我们称为内部空间的空间 - 中旋转 -marketreflections- ♂ (6533 bytes) () 07/18/2010 postreply 20:18:33

• 量子力学基本原理中粒子内部状态不可能通过干涉测量的原理 -marketreflections- ♂ (1747 bytes) () 07/18/2010 postreply 20:45:48

• “历史之梯”的对称，就是连续对称现象 -marketreflections- ♂ (4010 bytes) () 07/19/2010 postreply 15:10:58

• 我们就不仅要知道物质场在那上面的运动状态，还要知道这个圆柱面被扭曲的程度 -marketreflections- ♂ (2706 bytes) () 07/19/2010 postreply 15:15:09

• 将夸克两两分组， 每组称为一代)夸克， 那么它们的混合就可以导致 CP 对称性的破缺 -marketreflections- ♂ (1956 bytes) () 07/18/2010 postreply 20:39:05

• 王云平的博客 交叉项的时间平均值就是零，这项没有，所以没有相互作用。 -marketreflections- ♂ (3204 bytes) () 07/18/2010 postreply 20:56:47

• 光子不能局域于空间点，也就是能量并没有超光速地凝聚到一点上 -marketreflections- ♂ (58 bytes) () 07/18/2010 postreply 21:02:04

• 两个号称一样的激光器，其发射的激光的频率是不可能完全一样的，就是同一个激光在不同时刻发出的激光的频率也是有差别的 -marketreflections- ♂ (6013 bytes) () 07/18/2010 postreply 21:08:44

• 哈密顿使用具有动力学意义的正则变量（广义）替代只有运动学意义的广义速度和广义坐标，把拉格朗日函数和拉格朗日方程变换到哈密顿函数和 -marketreflections- ♂ (8143 bytes) () 07/18/2010 postreply 21:29:08

• 物理好图 第九章正则方程 哈密顿原理 -marketreflections- ♂ (761 bytes) () 07/18/2010 postreply 21:33:36

• 物理好图：相位：古老而陌生的概念 -marketreflections- ♂ (12942 bytes) () 07/18/2010 postreply 21:48:30

• 张永德教授量子力学讲义 第十一章 -marketreflections- ♂ (32254 bytes) () 07/19/2010 postreply 09:42:45

• 由于我们所处时空结构的时间轴固有的均匀性，孤立量子体系的Hamilton量必定不显含时间 -marketreflections- ♂ (535 bytes) () 07/19/2010 postreply 09:54:40

• 物理好图 拉格朗日方程 -marketreflections- ♂ (9292 bytes) () 07/20/2010 postreply 09:25:42

• 异次元：一群蚂蚁搬运一块食物向巢里爬去。我们用针把食物挑起，放在它们头上很近的地方，所有蚂蚁只会前后左右在一个面上寻找，决不会向 -marketreflections- ♂ (6373 bytes) () 07/20/2010 postreply 09:58:59

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• 仅对x,y,z空间波函数作用的普通算符，不包括对自旋的运算 -marketreflections- ♂ (407 bytes) () 07/19/2010 postreply 10:16:49

• 库仑势能交换能本质上是静电作用，是量子效应 -marketreflections- ♂ (557 bytes) () 07/19/2010 postreply 11:21:35

• s&p monthly chart since 1870 best chart (图) -marketreflections- ♂ (107 bytes) () 07/19/2010 postreply 10:27:18

• four to six-week mid-summer rally on thin volumes will bring a b -marketreflections- ♂ (2608 bytes) () 07/19/2010 postreply 15:55:15

• Doug Kass -marketreflections- ♂ (1960 bytes) () 07/21/2010 postreply 18:15:56

• El-Erian：The cycle of deleveraging -marketreflections- ♂ (3006 bytes) () 07/20/2010 postreply 10:03:07

• Busch: Five Questions for Ben Bernanke -marketreflections- ♂ (3773 bytes) () 07/21/2010 postreply 08:18:07

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• 百度联盟 “凤巢”刚刚王湛也说了，这个是一个战略性的产品 -marketreflections- ♂ (33 bytes) () 07/21/2010 postreply 09:52:36

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• 虚粒子是指在量子力学中，一种永远不能直接检测到的，但其存在确实具有可测量效应的粒子 -marketreflections- ♂ (699 bytes) () 07/21/2010 postreply 10:26:55

• 量子力學允許（應該說是要求）能量暫時不守恆，因此，一顆粒子可以變成一對較重的「虛粒子」，之後又迅速復合為原初的粒子，好似這件事根 -marketreflections- ♂ (1809 bytes) () 07/21/2010 postreply 10:36:10

• 思維過程和量子體系在他們不能被過度分析為分離元素這一點上相類似，因為，每一個元素的‘內在’性質不是一種在與其他元素分離和獨立的情 -marketreflections- ♂ (427 bytes) () 07/21/2010 postreply 10:37:23

• 卡西米尔效应：就是在真空中两片平行的平坦金属板之间的吸引压力。这种压力是由平板之间空间中的虚粒子(virtual particl -marketreflections- ♂ (10298 bytes) () 07/21/2010 postreply 10:46:53

• 卡西米效应是由真空能(vacuum energy)引起的。Scharnhorst的计算表明，在两块金属板之间横向运动的光子的速度 -marketreflections- ♂ (20623 bytes) () 07/21/2010 postreply 10:50:23

• 在广义相对论中，不同地点的速度是不可以直接比较的。 -marketreflections- ♂ (368 bytes) () 07/21/2010 postreply 20:45:18

• 相互作用是量子力学效应：假定两个具有不成对电子的原子相互靠近。如果这两个原子的自旋相互反平行，则它们将共享一个共同的轨道，这样就 -marketreflections- ♂ (2268 bytes) () 07/21/2010 postreply 10:54:09

• 物理好图 量子力学 自旋这种现象没有经典类比 -marketreflections- ♂ (407 bytes) () 07/21/2010 postreply 11:17:30

• 评曾谨言量子力学教材 -marketreflections- ♂ (262 bytes) () 07/21/2010 postreply 11:35:49

• 陈叔瑄 宏观物体是大量不规则粒子运动的重叠，根本体现不了周期性运动状态 -marketreflections- ♂ (10155 bytes) () 07/21/2010 postreply 11:45:30

• 量子态是由各种可能的不连续的能级组成的，因而微观运动状态具有不连续性；而在经典统计中，系统的微观运动状态用广义坐标和广义动量描述 -marketreflections- ♂ (1241 bytes) () 07/21/2010 postreply 11:48:37

• 各粒子占据不同的量子态，但任意两个粒子交换量子态，不影响微观状态 -marketreflections- ♂ (292 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:04:01

• 物理好图 念力的秘密 -marketreflections- ♂ (22199 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:19:59

• 力或能的交换:〖占典物理学认为物体要能互相影响 -marketreflections- ♂ (246670 bytes) () 07/22/2010 postreply 08:19:12

• 量子物理史话 贝尔不等式 两个人根本不存在于“实在”之中，而是合为一体，按照波函数弥漫。用薛定谔发明的术语来说，在观测之前，两个 -marketreflections- ♂ (9143 bytes) () 07/22/2010 postreply 08:50:36

• 物理好图 量子概率和普通概率的区别 -marketreflections- ♂ (23035 bytes) () 07/22/2010 postreply 09:04:39

• 赵国求 波函数有几何属性 测不准量在所建构”形”之范围内, 点粒子位置分布概率己隐含其”形”（曲率模型） 之中 -marketreflections- ♂ (3812 bytes) () 07/22/2010 postreply 09:14:07

• 互相纠缠的两颗粒子就好比插在海边而被海浪卷打倒下的两根杆子。 -marketreflections- ♂ (2773 bytes) () 07/22/2010 postreply 09:29:07

• 玻色—爱因斯坦凝聚:在像人类这样复杂的动态系统里，内在的能量可以创造千丝万缕的关系，让各部分不会各唱各调 -marketreflections- ♂ (2365 bytes) () 07/22/2010 postreply 09:56:17

• 多世界解释：低维的希尔伯特空间非正交，那么坐标轴互相之间有投影，导致了事件的叠加态 -marketreflections- ♂ (712 bytes) () 07/22/2010 postreply 10:07:58

• 关洪:几率幅,在经典物理学里, 粒子肯定是不能够叠加的,量子力学的真正惊人之处,正在于粒子也是可以叠加的,量子力学里,叠加的就 -marketreflections- ♂ (15148 bytes) () 07/22/2010 postreply 10:16:51

• 物理好图 三言两语说量子(修改版)之三：波函数满足关于t的一阶偏微分方程.(如果是二阶微分方程,则应该是波函数及其导数才能描述状 -marketreflections- ♂ (14038 bytes) () 07/22/2010 postreply 10:34:07

• 非齐次(积分)方程，经典物理中的叠加原理(d)式事实上就是非齐次方程解的1个定理 -marketreflections- ♂ (514 bytes) () 07/22/2010 postreply 10:48:06

• 普朗克：光与物质相互作用时交换能量不是连续的，只能是hν的整数倍，称hν为能量子 -marketreflections- ♂ (14467 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:05:58

• Schrodinger方程：个框架内，光仍然按电磁场处理，不提光子 -marketreflections- ♂ (10758 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:11:34

• 全同的宏观粒子（原则上）能区分:宏观粒子做轨道运动，只要开始时能把它们区分 开，以后就不用发愁 -marketreflections- ♂ (3360 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:19:04

• 李政道 果小球是可分的,统计物理的等概率原理 -marketreflections- ♂ (4877 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:23:49

• 自旋是一个全新的力学量，没有经典对应 -marketreflections- ♂ (4809 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:29:43

• 量子力学中，一开始是把研究课题看成“粒子”来研究的，因此适用于描述非全同粒子。但粒子实质上是全同的。为了弥补理论和事实的不符，故 -marketreflections- ♂ (2922 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:33:38

• 物理好图 南澳洲 三言两语说量子(修改版) -marketreflections- ♂ (840 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:37:34

• 沉锚效应 第一印象和先入为主 在人鬼空间里提供第一个维度 -marketreflections- ♂ (35235 bytes) () 07/22/2010 postreply 13:21:51

• "先验概率后验概率希尔伯特空间":非构造性的证明，也就是说他只能证明某个数学对象的存在性，却无法将它具体指出。 -marketreflections- ♂ (24273 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:07:24

• 量子力学，用概率幅（例如波函数ψ或者态矢|φ>）替代概率P(Ai)和P(B)，用Green函数或者跃迁振幅或者替代条件概率P(B -marketreflections- ♂ (3680 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:17:07

• www.streetinsider.com top website trader economist -marketreflections- ♂ (69 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:49:52

• www.schaeffersresearch.com -marketreflections- ♂ (100 bytes) () 07/23/2010 postreply 09:51:54

• 波包的坍缩：处于|Ψ>态的系统，如果测量物理量A得值ai 则该系统测量后进入A的本征|ai -marketreflections- ♂ (9988 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:02:03

• 几率幅是个重要概念，表示态矢在一个表象的一个基矢上的投影的值。 -marketreflections- ♂ (10045 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:05:09

• 一个或一组力学量所有的基矢即在希尔伯特空间中张成一个表象，通俗点说就是一个坐标系 -marketreflections- ♂ (991 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:07:28

• Dirac：处于叠加态|Ψ>的系统，部分得处于|Ψ1>，部分的处于|Ψ2> ……， -marketreflections- ♂ (592 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:09:58

• 经典力学中位置和动量是最基本的力学量，其它力学量都是它们的函数，所以借助于直角坐标系中最基本的位置算符和动量算符及其对易关系，可 -marketreflections- ♂ (1673 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:13:53

• 中心场定态问题：当两个粒子组成孤立体系时，势将简化成只取决于它们的相对位置 ...对易关系 -marketreflections- ♂ (486 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:16:56

• 中心场定态问题:由于时间空间均匀性质，不存在关于时间空间的绝对标架,势将简化成只取决于它们的相对位置,孤立体系本来并没有绝对方向 -marketreflections- ♂ (945 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:28:27

• 锚效果:（先验概率）很强的话，要消除它或者大幅度的修正它，需要很多很强的新信息 -marketreflections- ♂ (4952 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:21:52

• 内涵越丰富，外延越狭窄,“维数灾难”,confidence高的模式，support不高（出现的频数不高） -marketreflections- ♂ (5164 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:25:39

• 既然是“鬼”：实空间应用如通信，很难：鬼可怕，因为实空间测量不到鬼 -marketreflections- ♂ (472 bytes) () 07/22/2010 postreply 10:23:31

• 表面的统计理论 假定原子间的相互作用用平 均场近似。后者即忽略原子簇聚效应 -marketreflections- ♂ (1283 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:27:48

• 用一个平均场来代替其他粒子对任一个粒子的相互作用,这个平均场又能用单粒子波函数表示,从而将多粒子系的薛定谔方程简化成单粒子波函数 -marketreflections- ♂ (1459 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:31:43

• 每个电子都是在原子核和其它电子形成的有效平均势场中“独立”地运动 -marketreflections- ♂ (4798 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:36:36

• 用百度推广的生意经 bidu -marketreflections- ♂ (2455 bytes) () 07/21/2010 postreply 15:28:01

• 图解百度财报：总营收2.823亿美元同比增74% (图) -marketreflections- ♂ (3392 bytes) () 07/21/2010 postreply 20:54:25

• bidu 图解百度财报：总营收2.823亿美元同比增74% (图) (图) -marketreflections- ♂ (3050 bytes) () 07/21/2010 postreply 21:01:11

• 百度竞价排名：质量度×价格=最后的展现价格 -marketreflections- ♂ (5692 bytes) () 07/21/2010 postreply 21:06:34

• 两个学校继续在百度做推广，等是十月份过了，他们就下线了 -marketreflections- ♂ (3343 bytes) () 07/21/2010 postreply 21:34:21

• 非法网络业务风险：药品、保健、机械设备、旅游和连锁（5项共占总营收50%）， -marketreflections- ♂ (2381 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:42:47

• bidu 百度的竞价排名行为是一个比较复杂的商业行为 -marketreflections- ♂ (8723 bytes) () 07/29/2010 postreply 15:32:57

• 雅虎和谷歌链接违法网页比例较高 引擎链接违法网页比例大多在10％—30％之间 -marketreflections- ♂ (842 bytes) () 11/23/2010 postreply 16:45:11

• bidu 李彦宏称百度营收10年将增长40倍 达到1600亿元 -marketreflections- ♂ (1655 bytes) () 11/23/2010 postreply 16:52:38

• www.zhaojinseo.com站长：赵津：no money no honey;bidu 百度的竞价排名行为是一个比较复杂的 -marketreflections- ♂ (7911 bytes) () 12/22/2010 postreply 12:58:38

• 百度占据超过70%的市场份额，服务于超过30万家企业 -marketreflections- ♂ (8930 bytes) () 11/23/2010 postreply 17:09:10

• 电磁力统一表述为磁荷作用下由库仑定律所确定的平方反比力，在相互作用或势能中引人排斥成分并扩充哈密顿量 -marketreflections- ♂ (3942 bytes) () 07/21/2010 postreply 11:23:45

• 量子粒子兩顆粒子一旦接觸過，彼此就會保持聯繫。虛擬粒子,那些小小的振動能量 -marketreflections- ♂ (5497 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:13:20

• 在全同粒子系统中，各个粒子的运动是互相关联的，不能对每个粒子做单独的描述，只能做整体的描述，即粒子间存在着一种相互作用。这种与全 -marketreflections- ♂ (2268 bytes) () 07/21/2010 postreply 15:29:42

• 10 Positives to Battle a Downbeat Bernanke -marketreflections- ♂ (5412 bytes) () 07/21/2010 postreply 18:11:12

• housing "stabilizing" at historically negative levels -marketreflections- ♂ (3694 bytes) () 07/22/2010 postreply 14:30:59

• 物理好图：量子纠缠与空间非定域性 范场本身是非局域可观测的量，但它的非局域效应，一般数学上称为Holonomy，物理上叫Wils -marketreflections- ♂ (320 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:22:59

• 爱因斯坦的定域性条件实质在于要求事物有自身的质，受其他事物的影响（如相互作用）不应超过光锥规范。 -marketreflections- ♂ (24536 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:31:42

• 物理好图：纤维丛是流形向乘积的推广,矢量丛;E为全空间，M称为底空间， 称为丛投影， 称作纤维。直观地说，矢量丛E是积流形和纤维 -marketreflections- ♂ (21662 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:37:39

• 物理好图：将戏统循环一周 返回后，由于参数空间的拓扑不平庸性，所出现的不为零相因子 称为Berry相位。 -marketreflections- ♂ (743 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:40:08

• 物理好图：流形就是流变着的形状，它在每一点的近旁和欧氏空间的一个开集是同胚的。因此在每一点的近旁可以引进局部坐标系。流形正是一块 -marketreflections- ♂ (1946 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:43:43

• 在量子力学中，完备本征函数形成了希尔伯特空间，微观粒子是由希尔伯特空间决定的。我们把不是普通三维空间的坐标或变量，叫做粒子的内禀 -marketreflections- ♂ (1559 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:50:35

• 相对论类空间隔 逻辑上相互独立条件的合取：两个独立的条件是指“定域性”（locality）和“完备性”（completeness -marketreflections- ♂ (8855 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:58:02

• 閔可夫斯基時空：光速在各个惯性参考系皆为定值,度规,正交归一基底(orthonormal basis)必然包含一个类时与三个类空 -marketreflections- ♂ (2352 bytes) () 09/29/2010 postreply 09:04:15

• 一维矢量平移总是拓扑平庸的,一维准定态时空演化过程，其拓扑性质是平庸 -marketreflections- ♂ (63 bytes) () 11/19/2010 postreply 03:28:34

• 底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。 -marketreflections- ♂ (25930 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:11:36

• 积分流形就好比是好比是原函数，而已知的那组切空间的子基就好比是导数 -marketreflections- ♂ (11713 bytes) () 11/19/2010 postreply 08:15:50

• 微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形， -marketreflections- ♂ (562 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:13:39

• 戏统循环一周返回后，由于参数空间的拓扑不平庸 性，所出现的不为零相因子称为Berry相位 -marketreflections- ♂ (92 bytes) () 11/19/2010 postreply 03:31:01

• 所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x)的推广 -marketreflections- ♂ (2837 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:17:28

• 古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分 -marketreflections- ♂ (260 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:20:08

• 规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率 -marketreflections- ♂ (21224 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:24:05

• 量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子 -marketreflections- ♂ (188 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:25:38

• 底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述 纤维也有"转换函数"的对应物，叫和乐群 -marketreflections- ♂ (488 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:29:43

• 物理好图：吴国林 场与势 某一矢量的散度为零，则可以把该矢量写作另一个矢量的旋度，即可以把B写为：B=▽×A ，A就是电磁理论中 -marketreflections- ♂ (9744 bytes) () 09/29/2010 postreply 09:28:56

• 物理好图, 两个粒子运动的坐标系处理：类似于经典对两体绕质心运动问题的处理, 随几运动的两体系统难以描述，更谈不上精确 -marketreflections- ♂ (4523 bytes) () 09/29/2010 postreply 09:38:32

• 分析数学 实变函数论的中心内容是测度论和新的积分理论 -marketreflections- ♂ (16723 bytes) () 09/29/2010 postreply 12:12:45

• 物理好图, “惯性力场”是表现加速系（非惯性参照系）的相对论运动学的一个关键范畴, “升降机”为例，这是一个加速系，记作A，其中 -marketreflections- ♂ (31278 bytes) () 09/29/2010 postreply 13:39:19

• 麦克斯韦方程中有个divD＝ρ的等式。这个等式的左边是场的量，因为D可以还原到电场E上。右边则是物质的量——电荷密度。等式的成立 -marketreflections- ♂ (2389 bytes) () 09/29/2010 postreply 09:50:17

• 相位坐标 相位不变性 -marketreflections- ♂ (309 bytes) () 10/23/2010 postreply 16:08:53

• 不同观察者所得到的信息之间相差的只是一个修正，就是一个相因子,曲率的这种新的、严格的数学概念，弯曲空间 (图) -marketreflections- ♂ (15764 bytes) () 10/24/2010 postreply 17:03:44

• 教授那篇关于弯曲空间的演讲稿 “度规”就是决定空间的一切度量性质（内禀）的量。广相的问题就是找出物质分布时空间的度规; 度规，是 -marketreflections- ♂ (812 bytes) () 10/25/2010 postreply 08:09:35

• 平衡算是一个比较准确的词 [ jetcar ,各方都是在测算并试探着破局的各种可能性,同时却又尽可能地在现有规则下运作.谁要胆子 -marketreflections- ♂ (841 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:00:25

• 西方功利思想太盛是看不透今天的世界的 jetcar -marketreflections- ♂ (226 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:11:40

• 贾春宝：所谓的金融改革不过是西方化，那个西方化从根本上不是美国化，因为美国的金融系统也是在欧洲系统的基础上建立的，传承的也是欧洲 -marketreflections- ♂ (10339 bytes) () 10/25/2010 postreply 11:24:38

• 普鲁士工业贵族 重耳 -marketreflections- ♂ (86 bytes) () 10/25/2010 postreply 11:44:17

• 别忘记那个著名的“珍笼”棋局 [ jetcar ]：一切希望都酝酿于绝望之中 -marketreflections- ♂ (326 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:14:56

• 美国现在就陷入法制的陷阱,只要搞出的法律动辄几百上千页,靠你人力是无论如何没办法吃透的,到时候一切还不得靠解释者来决定"法律的正 -marketreflections- ♂ (434 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:33:38

• jetcar 白领工资偏低，这个倒是中国目前的心病 -marketreflections- ♂ (1285 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:40:09

• 解放军最能打的部队很多都是国民党投降的士兵搞诉苦大会给发掘出来的 -marketreflections- ♂ (1437 bytes) () 10/25/2010 postreply 10:28:04

• 美国的选举现在实 际上到了第三境界，也就是说是不同的理念之争,最小公约数，相干波，路径积分 -marketreflections- ♂ (4220 bytes) () 10/25/2010 postreply 12:39:08

• (私有制乐器上奏出的单音)律音的相互作用有两种方式：产生一个更低的律音，它的谐音频率就是各律音的频率，[color=red]该律 -marketreflections- ♂ (6268 bytes) () 10/25/2010 postreply 12:49:45

• 42就是21与6的最小公倍数,48和14的最小公约数是2. -marketreflections- ♂ (349 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:06:39

• 42就是21与6的最小公倍数,48和14的最小公约数是2,亏或获利了解容易形成共识（比须是简单的概念） -marketreflections- ♂ (280 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:14:12

• "最小公倍数几何成长",non liner, mkt catches fire -marketreflections- ♂ (24 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:16:17

• 小提琴的A弦频率是440Hz，E弦频率是660Hz，它们的结合音就是220Hz，相干音就是1320Hz，这两个音构成的和声是和谐 -marketreflections- ♂ (857 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:31:33

• 欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述,小是相对于多维的 -marketreflections- ♂ (110346 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:58:50

• 一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列,一旦方向变了，兵败如山倒 -marketreflections- ♂ (1123 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:02:33

• 相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整 -marketreflections- ♂ (160 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:04:32

• 如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的 -marketreflections- ♂ (691 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:11:25

• 映射是讨论两个集合之间对应关系的工具，一个集合到自身的映射称为这个集合的变换,常见的几种平面上点的变换以及几类常见变换对应的矩阵 -marketreflections- ♂ (3328 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:16:03

• 一种基于拓扑势的网络社区发现方法,重整化，降多维为一维，系统能量指标都要变化 -marketreflections- ♂ (430 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:41:56

• 幂分布:自相似性则是分数维的重要性质。说得再通俗些就是某系统（广义集合）中标志变量的相对改变量（dx/x）与其对应的个体的相对数 -marketreflections- ♂ (8492 bytes) () 11/19/2010 postreply 02:26:05

• 幂律分布：节点拓扑势的大小描述了网络拓扑中的某个节点受自身和近邻节点共同影响所具有的势值 -marketreflections- ♂ (8074 bytes) () 11/19/2010 postreply 02:32:37

• 弗赖登塔尔关于“数学化”的演讲稿 -marketreflections- ♂ (283 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:56:02

• 具身认知之根: 从镜像神经元到具身模仿论 -marketreflections- ♂ (20845 bytes) () 10/25/2010 postreply 15:05:31

• 张志东 对于定态，波函数ψ和其复共轭函数ψ*中的动力学相因子相互抵消，不对物理观察量A 的平均值有贡献。也就是说，动力学相因子与 -marketreflections- ♂ (259 bytes) () 10/24/2010 postreply 17:09:57

• 在各种势场中，具有一定总能量的微观粒子由于势能的变化会引起粒子动能或速度的改变，而速度会引起粒子对应的波的相位变化，所以无论是引 -marketreflections- ♂ (479 bytes) () 10/24/2010 postreply 17:18:07

• 物理好图： 在线阅读 >> 《大学物理学（国家“十一五规划教材”）》 >> -marketreflections- ♂ (56 bytes) () 10/24/2010 postreply 17:49:39

• 物质结构、幻数及手征性 任何形式的结构与稳定性密切相关 -marketreflections- ♂ (72 bytes) () 10/27/2010 postreply 04:26:52

• 维度的本质含义是标度变换下的不变量。对于分形而言，不存在一个绝对可测量的尺度，即无特征尺度 -marketreflections- ♂ (90 bytes) () 10/27/2010 postreply 05:40:15

• Peano 曲线与正方形，作为点集，它们之间可以做出1-1 对应来. 于是平面上的点就可以不用两个有序实数（横坐标与纵坐标）表示 -marketreflections- ♂ (10138 bytes) () 10/27/2010 postreply 05:50:05

• 物理好图：突破经验维数必须是整数的观念 -marketreflections- ♂ (427 bytes) () 10/27/2010 postreply 05:54:13

• 物理好图 所谓对称性"实则«种变换中的不变性& Weyl 指出!’对称性«词在日常用语中有两重含义& ( -marketreflections- ♂ (34598 bytes) () 10/27/2010 postreply 06:05:39

• 配分函数_互动百科 系统处在能级Ei上的几率是 配分函数 伊辛(Ising)模型 郝柏林 -marketreflections- ♂ (226 bytes) () 10/27/2010 postreply 06:12:23

• 刘俊明 伊辛(Ising)模型 在铁磁体系，我们知道自旋箭头倾向于和其周围邻居平行排列，也就是说，两个相邻的箭头如果平行排列， -marketreflections- ♂ (3568 bytes) () 10/27/2010 postreply 06:19:04

• Jim Schroeder market is entering into a positive seasonal bias r -marketreflections- ♂ (5328 bytes) () 10/27/2010 postreply 06:29:37

• “dueling hammers.” Dueling hammers are almost always resolved wi -marketreflections- ♂ (826 bytes) () 10/27/2010 postreply 08:05:38

• Robert Colby of TraderPlanet.com low VIX suggests that sentiment -marketreflections- ♂ (769 bytes) () 10/27/2010 postreply 09:06:10

• （1）位置矢量的微分，有二个分量：径向分量是 ，横向分量是 ；（2）当位置矢量大小不变时，其微分只有横向分量 ，即 。 (图) -marketreflections- ♂ (311 bytes) () 11/17/2010 postreply 15:55:32

• 物理好图：同位旋是一个很重要的概念，它是描述强子内部性质的一种量子数,规范对称性,波函数的绝对相位也是无法测量的，或者说无法定义 -marketreflections- ♂ (7750 bytes) () 10/23/2010 postreply 16:54:56

• 为描述强子的多重态，引入一个称为同位旋的量子数I。在强相互作用过程中，I守衡；弱相互作用、电磁作用过程中，I不守衡。同一多重态的 -marketreflections- ♂ (1490 bytes) () 10/27/2010 postreply 10:04:22

• 物理好图：粒子的探索和研究 产生过程非常迅速和强烈，衰变过程却十分缓慢；总成对产生，而衰变时则可各行其事。 -marketreflections- ♂ (7283 bytes) () 10/27/2010 postreply 10:16:29

• 同位旋（是一种角动量，单位是kg m^2/s）。 -marketreflections- ♂ (238 bytes) () 10/27/2010 postreply 10:19:18

• 物理好图：对称性破缺是指:一个多体系统的基态或 相对论量子场论的真空态所具有的对称性 比定义这个体系的拉格朗日量或哈密顿量 所具 -marketreflections- ♂ (36763 bytes) () 10/27/2010 postreply 10:24:41

• 物理好图：http://physics.njnu.edu.cn/netcourse/lixue/teach_content/de -marketreflections- ♂ (134 bytes) () 10/28/2010 postreply 13:02:14

• 即平均场理论并不保证零能隙,平均场理论没有抓住无能隙激发后面隐含的原理 -marketreflections- ♂ (275 bytes) () 10/27/2010 postreply 10:56:06

• 物理好图：玻色子场有经典对应，而费米子场就没有呢？其原因就在于玻色子可以发生玻色凝聚。事实上，我们看到的经典电磁波都是光子的相干 -marketreflections- ♂ (10527 bytes) () 10/27/2010 postreply 11:03:46

• 为了满足守恒关系，正反粒子必须成对产生或湮没。由多个粒子组成的系统，其C变换特性不仅与各粒子本身的C量子数有关，而且与系统的时空 -marketreflections- ♂ (10943 bytes) () 10/27/2010 postreply 12:16:11

• 高能下的作用对应于近距离的作用，所以能量尺度的问题也就是空间尺度的问题 -marketreflections- ♂ (713 bytes) () 10/27/2010 postreply 12:26:23

• 费米子体系的能量要高于玻色子体系（表-）"这意味着，玻色子体系更易在经典情况下保持规则运动 -marketreflections- ♂ (16150 bytes) () 10/27/2010 postreply 12:31:02

• 对不可区分的粒子，一个微观状态对应一种分布 。 多个微观状态对应一种分布 。 ... 平均热波长远小于粒子平均距离，波动性不显著 -marketreflections- ♂ (290 bytes) () 10/27/2010 postreply 12:50:56

• 在很小的能量间隔中，粒子的数目为n(l), n(l)=概然分布 -marketreflections- ♂ (482 bytes) () 10/27/2010 postreply 13:11:21

• 在很小的能量间隔中，粒子的数目为n(l)。统计物理学的目的就是找出n(l) ！ -marketreflections- ♂ (12936 bytes) () 10/27/2010 postreply 13:27:40

• 湖北大学 统计物理学 -marketreflections- ♂ (52 bytes) () 10/27/2010 postreply 20:08:34

• 热力学宏观，布朗微观，但分子之间没有相互作用，数学期望不为零, piling up, herd movement -marketreflections- ♂ (6332 bytes) () 10/30/2010 postreply 17:56:14

• 股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有 -marketreflections- ♂ (8451 bytes) () 10/30/2010 postreply 18:06:28

• 爱因斯坦的成果大体上可分两方面。一是根据分子热运动原理推导：在t时间里，微粒在某一方向上位移的统计平均值，即方均根值，D是微粒的 -marketreflections- ♂ (1706 bytes) () 10/30/2010 postreply 18:07:55

• 按经典热力学的观点，布朗运动严格来说属于机械运动，因此它表现出的是一种机械能。这种机械能是自发由内能转化而来，而与同时，它又在向 -marketreflections- ♂ (8292 bytes) () 10/30/2010 postreply 18:12:29

• Goldstone模式提供了这样一种机制，通过破缺哈密顿量中的连续对称性，系统在简并的基态间涨落，形成了无能隙(或者说激发有无质 -marketreflections- ♂ (1020 bytes) () 10/27/2010 postreply 11:09:34

• 曹昌棋教授认为，从现在的基本粒子理论的角度看，对称性的主要破坏是一种“自发破坏”或者说是一种表观上的破坏，即所有基本粒子原始都无 -marketreflections- ♂ (10003 bytes) () 10/27/2010 postreply 11:14:16

• 方程初始条件:自然规律应该在镜像反射下呈现对称（左右对称）当作一条天经地义 -marketreflections- ♂ (27862 bytes) () 10/27/2010 postreply 11:21:19

• 物理好图：杨-米尔斯场的场量子无质量，力程无限，而实际粒子内部的强力和弱力力程都很短，使用量子力学的测不准原理，表明力作用量子质 -marketreflections- ♂ (8924 bytes) () 10/27/2010 postreply 11:29:50

• 在量子场理论中，对任何粒子场或力作用场，一般总用能量密度的拉格朗日函数来实现动力学表述的。在非常有效的量子电动力学中，如果对表述 -marketreflections- ♂ (411 bytes) () 10/27/2010 postreply 11:30:40

• 物理好图：希格斯首先假设了有一种只有质量而没有其他属性、自旋为零的玻色子，也称是H粒子；他赋予了对H粒子场拉氏函数表述所需要的超 -marketreflections- ♂ (442 bytes) () 10/27/2010 postreply 11:32:47

• 声子就是“晶格振动的简正模能量量子,当原子振动的振幅与原子间距的比值很小时（这在一般情况下总是固体中在定量上高度正确的原子运动图 -marketreflections- ♂ (1253 bytes) () 10/27/2010 postreply 11:51:05

• 在量子场理论中，对任何粒子场或力作用场，一般总用能量密度的拉格朗日函数来实现动力学表述的。在非常有效的量子电动力学中，如果对表述 -marketreflections- ♂ (20341 bytes) () 10/27/2010 postreply 20:59:03

• 用量同样确定为质量，速度平方和时间的乘积，即活力乘上时间。在一封信中（但其真实性曾遭到怀疑）莱布尼茨写道，当物体运动时，作用量通 -marketreflections- ♂ (144 bytes) () 10/27/2010 postreply 21:00:22

• 拉格朗日从活力守衡原理出发导出了最小作用量原理;势能假设有体系内粒子间有相互作用，最小集体作用，个人路径 -marketreflections- ♂ (2636 bytes) () 10/27/2010 postreply 21:10:17

• 势能假设有体系内粒子间有相互作用，最小集体作用，个人路径 -marketreflections- ♂ (394 bytes) () 10/27/2010 postreply 21:23:27

• "质量和加速度乘积不守恒"牛顿第二律说：“F=MA”。即“力的大小等于质量与加速度的乘积”。此律是说，物体不仅能惯性运动而且还可 -marketreflections- ♂ (36160 bytes) () 10/28/2010 postreply 08:43:51

• 2、质心运动定理 作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积;它与牛顿第二定律在形式上完全相同，相对于系统的质 -marketreflections- ♂ (273 bytes) () 10/28/2010 postreply 08:48:39

• 质点组由N个质点组成，组内成员之间的互相作用力叫内力，质点组以外的物体对质点组内的质点的作用力叫外力．对质点组来说，如果写出每一 -marketreflections- ♂ (3946 bytes) () 10/28/2010 postreply 08:54:36

• 惯性运动乃是对时间施行参数化的天然的依据, no spike, no "质量和加速度乘积 -marketreflections- ♂ (1415 bytes) () 10/28/2010 postreply 08:56:55

• 如果过程仅限于力学的范畴之中（机械运动仍在机械运动范畴内发生转移），那么就以质量与速度的乘积作为它的量度。要是在转化为另一种运动 -marketreflections- ♂ (709 bytes) () 10/28/2010 postreply 09:05:31

• until a market retraces more than 61.8% of its previous trend, i -marketreflections- ♂ (3324 bytes) () 10/28/2010 postreply 17:01:48

• Adam Warner ：That 30-day IV number is similar to the VIX,If you -marketreflections- ♂ (2497 bytes) () 10/28/2010 postreply 17:08:01

• http://www.optionistics.com/f/stock_quotes must read -marketreflections- ♂ (42 bytes) () 10/28/2010 postreply 17:34:41

• 隐含波动率 vs bs formula -marketreflections- ♂ (273 bytes) () 10/28/2010 postreply 18:47:01

• 期权定价中隐含波动率微笑的成因 Gamma是期权价格对标定资产价格的二阶导数，Gamma越大，Delta对标定资产价格的变动越敏 -marketreflections- ♂ (2488 bytes) () 10/28/2010 postreply 18:50:12

• 期权“隐含波动率微笑’’成因分析 张晓蓉 -marketreflections- ♂ (10515 bytes) () 10/28/2010 postreply 18:56:30

• 權利金的時間價值耗損速度是以theta值來衡量的，另一方面，權利金隨著波動率變動的速度是以Vega值來衡量的。 -marketreflections- ♂ (3560 bytes) () 10/28/2010 postreply 19:20:28

• 因為Black-Schole評價模式的前提假設，有一項是假設價格的對數比例分配是呈現標準常態分配。對數常態分配有一項特性，就是它 -marketreflections- ♂ (4318 bytes) () 10/28/2010 postreply 19:26:13

• vol存在叢聚效應，也就是當高的vol開始發生，那高波動將維持一段時間 -marketreflections- ♂ (2887 bytes) () 10/28/2010 postreply 19:31:00

• gamma trading 若指數為8000點->漲跌不超過+/-112點）。若指數當日變動超過112點對option的long -marketreflections- ♂ (106 bytes) () 10/28/2010 postreply 19:35:17

• gamma trading 原理是利用期權價格的不對稱性，當股票價格上揚時期權價格的漲幅會更大，當股票價格下跌時期權價格的跌幅卻 -marketreflections- ♂ (550 bytes) () 10/28/2010 postreply 19:39:36

• 金融工程家坛 long gamma=long vol, short gamma=short vol,vomma is 2nd d -marketreflections- ♂ (6860 bytes) () 10/28/2010 postreply 19:48:20

• buy low sell high, i.e. gamma scalping,selling out the long delt -marketreflections- ♂ (982 bytes) () 10/28/2010 postreply 19:53:04

• 波动率分布不均匀，广相，长期趋向一个均值 -marketreflections- ♂ (132 bytes) () 10/28/2010 postreply 19:59:48

• 波动率 标尺 相对论中，时间与空间构成了一个不可分割的整体——四维时空，能量与动量也构成了一个不可分割的整体——四维动量 -marketreflections- ♂ (3063 bytes) () 10/29/2010 postreply 16:35:55

• 波动率 长度收缩是一种相对效应 原长(也称静长或固有长度)：棒相对观察者静止时测得的它的长度。(原长最长) 洛伦兹收缩：物体在运 -marketreflections- ♂ (8412 bytes) () 10/29/2010 postreply 16:44:47

• 牛顿力学中： 相互作用是客观的，分析力与参考系无关。质量的测量与运动无关 -marketreflections- ♂ (18804 bytes) () 10/29/2010 postreply 17:22:26

• google 洛仑兹变换 动量守恒定律 -marketreflections- ♂ (2736 bytes) () 10/29/2010 postreply 17:26:15

• 洛仑兹力 -marketreflections- ♂ (1112 bytes) () 10/31/2010 postreply 09:50:09

• 《电磁场与电磁波》的第八章天线 求解激发的电磁波，需要解有源麦克斯韦方程 求解的过程中要将E和H用位函数Φ和A替换 -marketreflections- ♂ (12378 bytes) () 10/31/2010 postreply 10:36:03

• Φ为电场的标势。在确定了零势能点之后，它的物理意义为把单位正电荷从零势能点移到该点克服电场力所做的功，即电势能的增量。 -marketreflections- ♂ (719 bytes) () 10/31/2010 postreply 14:56:46

• 外尔便是朝此方向研究。他引进了相位变换的概念，产生规范场的存在。换句话说，他把电磁力看成规范场。从对称观点出发，立足于规范不变， -marketreflections- ♂ (4254 bytes) () 10/31/2010 postreply 15:11:44

• 高中物理知识点实用口诀! -marketreflections- ♂ (6706 bytes) () 10/31/2010 postreply 15:18:06

• 入射粒子实际上是量子粒子，它的波函数覆盖面积较大，因而即使经典瞄准距离大于核半径也能引发反应，但每次引发的概率可能小于100% -marketreflections- ♂ (354 bytes) () 10/31/2010 postreply 20:12:31

• 偏振光是电场和磁场在同一个坐标方向上的电磁振荡的分布一致性，而本章前面说到“但是电子运动时（或位于引力场中时），这个变化是有季灏 -marketreflections- ♂ (36975 bytes) () 10/31/2010 postreply 20:16:03

• 物质之间的相互作用是通过规范场在中间传递来实现。【1】因此物质之间的相互作用力是规范力，规范场也是研究电磁质量和引力质量的等价性 -marketreflections- ♂ (12026 bytes) () 10/31/2010 postreply 21:27:55

• 惠更斯原理 包围波源的闭合面(波阵面)上任一点的场均可认为是二次波源，它们产生球面子波，闭合面外任一点的场可由闭合面上的场(二次 -marketreflections- ♂ (13961 bytes) () 11/01/2010 postreply 09:13:49

• 亥姆霍兹方程）： Ｖ〔２〕ф＋Ｋ〔２〕ф＝０的解的第一个普遍的研究。应用格林定理，他证明了这个方程的任一个在给定区域内连续的解可 -marketreflections- ♂ (34754 bytes) () 11/01/2010 postreply 09:32:45

• 亥姆霍兹方程）： (墷2+k2)ψ =f 墷2为拉普拉斯算子，在直角坐标系中为；ψ为待求函数;k2为常数；f为源函数。当f等于零 -marketreflections- ♂ (1011 bytes) () 11/01/2010 postreply 09:42:51

• 电磁场的边值问题：拉普拉斯方程在零边界条件下的惟一解是零解。亥姆霍兹方程有所不同,存在一系列数kn(n＝1,2,3,…)使得方程 -marketreflections- ♂ (3554 bytes) () 11/01/2010 postreply 09:48:04

• 无界媒质中 麦克斯韦方程的解 均匀平面电磁波 波导中 麦克斯韦方程的解 导行电磁波 -marketreflections- ♂ (20988 bytes) () 11/01/2010 postreply 09:36:25

• 势其实是一个人为规定的量，它具有不确定性，归根结底只是一个为了方便计算的中间变量罢了。洛仑兹条件给了它一个相对容易求解的形式;区 -marketreflections- ♂ (970 bytes) () 11/01/2010 postreply 09:56:15

• 麦克斯韦方程组是矢量偏微分方程组，在单色波情况下矢量波方程可化为矢量亥姆霍兹方程，在一般曲线坐标系中分量方程是耦合的，无法分离变 -marketreflections- ♂ (11521 bytes) () 11/01/2010 postreply 11:02:21

• 物理好图 二次场的时间特征,韦伯在１８４６年导出的关于电荷互作用的普遍公式：也就是说，力Ｆ不仅与距离ｒ有关，而且还与相对速度ｒ和 -marketreflections- ♂ (42211 bytes) () 11/01/2010 postreply 10:16:47

• 物理好图 二次场的时间特征,《电法勘探》教学课件 -marketreflections- ♂ (53 bytes) () 11/01/2010 postreply 10:20:09

• 黄鹏辉：机械波、光波、物质波波动方程比较 -marketreflections- ♂ (197 bytes) () 11/01/2010 postreply 12:36:41

• 电场强度图片 image.baidu.com (图) -marketreflections- ♂ (322 bytes) () 11/02/2010 postreply 02:19:54

• 第十三章 电磁感应和暂态过程 best 图片 -marketreflections- ♂ (58 bytes) () 11/02/2010 postreply 02:25:02

• 物理好图 第十三章 电磁感应和暂态过程 在磁场中运动的导线 ab 是一个电动势源，产生电动势对应的非静电力是洛仑兹力, a点势高 -marketreflections- ♂ (9547 bytes) () 11/02/2010 postreply 02:41:06

• 物理好图 中山大学理工学院 物理系课件 力学系课件 -marketreflections- ♂ (849 bytes) () 11/02/2010 postreply 02:43:00

• 尖端附近，等电位面就会很密集，这里电场强度极大，空气发生电离，因而形成从地表向大气的尖端放电, breakout (图) -marketreflections- ♂ (696 bytes) () 11/02/2010 postreply 02:53:45

• 推迟势：“前因”与“后果”之间的推迟关系是基本的，讯号以光速从源位置传播到场位置，需要有限时间。在某源位置的电流或电荷分布，必须 -marketreflections- ♂ (3859 bytes) () 11/02/2010 postreply 03:05:18

• 发出连续电磁波→ 连续光谱，. 电子能量↓ → 坠入原子核→原子湮灭. 事实：. 氢原子光谱是线状（而不是连续光谱）；. 原子没 -marketreflections- ♂ (285 bytes) () 11/02/2010 postreply 08:23:41

• 盧瑟福,電動勢再增高，電流也不能再加大; 輻射出來的能量，其單元大小并不是一樣的，而与其振蕩頻率成正比。所以只有當擁有大量可用的 -marketreflections- ♂ (90773 bytes) () 11/02/2010 postreply 08:46:33

• 当用比较大的时间尺度和距离尺度来测量电磁辐射时，波动性质会比较显著；而用比较小的时间尺度和距离尺度，则粒子性质比较显著 -marketreflections- ♂ (12065 bytes) () 11/02/2010 postreply 09:25:19

• 电场，磁场都遵守叠加原理。因为电场和磁场都是矢量场，所有的电场矢量和磁场矢量都适合做矢量加运算。例如，一个行进电磁波，入射于一个 -marketreflections- ♂ (236 bytes) () 11/02/2010 postreply 09:26:43

• 干涉是两个或两个以上的波，叠加形成新的波样式。假若几个电磁波的电场同方向，磁场也同方向，则这干涉是建设性干涉；反之，则是摧毁性干 -marketreflections- ♂ (136 bytes) () 11/02/2010 postreply 09:31:13

• 在低温状况，电磁振子的平均能量与能量均分定理的预测相差很大。这显示出，由于量子效应，能量均分在低温状况是不正确的 -marketreflections- ♂ (501 bytes) () 11/02/2010 postreply 09:33:07

• 普朗克的辐射定律是依据熵对能量二阶导数的两个极限值内推而得到的 (图) -marketreflections- ♂ (23097 bytes) () 11/02/2010 postreply 09:40:09

• 激光：用脉冲闪光灯泡把Cr++离子从基态激发到4F2,同时观察基态在磁场磁距分开的两个能级造成的微波吸收(0.38cm-1,1. -marketreflections- ♂ (2170 bytes) () 11/03/2010 postreply 10:01:07

• "脉冲激光"：脉冲就是隔一段相同的时间发出的波（电波/光波等等）等机械形式 -marketreflections- ♂ (1238 bytes) () 11/03/2010 postreply 10:45:34

• 猫的初生视觉皮层有神经激发相关振荡现象 (图) -marketreflections- ♂ (840 bytes) () 11/03/2010 postreply 11:48:25

• 猫的信仰函数是连续的，行为脉冲? 量子概率密度，空间中一点的概率关于空间即x，y，z的3阶偏导数 -marketreflections- ♂ (1157 bytes) () 11/03/2010 postreply 15:48:08

• 函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 向均连续,故由偏导数存在不能推出函数连续 -marketreflections- ♂ (279 bytes) () 11/03/2010 postreply 15:52:30

• 物理好图 高中物理>>物理博览>>大学物理导论（下） -marketreflections- ♂ (78 bytes) () 11/02/2010 postreply 09:46:03

• 达到光速的物体不变但他周围的空间会缩成一个点，时间变成〇 -marketreflections- ♂ (550 bytes) () 11/11/2010 postreply 15:26:00

• 被洛伦兹收缩的人事物本身，并不会察觉到被收缩了:从静系看来，动系上的观测者，就像拿着一根被收缩的尺，去测量被收缩的物体 (图) -marketreflections- ♂ (5637 bytes) () 11/11/2010 postreply 15:35:45

• 原时最短,原长最长：在两个运动系测量时间间隔，空间间隔，质量，时间等要换算,相对论中则不然。 和S两个惯性参照系里钟的走时和 -marketreflections- ♂ (8567 bytes) () 11/11/2010 postreply 15:51:06

• 2. 时间和空间彼此分离、相互独立：点是一只蚊子，则用三维来描述就不够完美，而用四维就好多了，这第四维就是时间t，蚊子飞行的时空 -marketreflections- ♂ (658 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:04:19

• 3. 光的传播需要时间,能量，花钱 -marketreflections- ♂ (263 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:07:16

• 4. 真空中，光沿各个方向在所有惯性参考系中 -marketreflections- ♂ (73 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:13:02

• 5. 时间的相对性过去我们对两个事件（事件即发生的事情）同时发生的描述通常是不准确的。 -marketreflections- ♂ (1453 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:16:05

• 6. 钟慢一台相对于你是静止的钟表，信息以u 的速度离你而飞是以光到你眼睛所需的时间要长）才能传到你的眼睛 -marketreflections- ♂ (605 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:19:49

• 假设，钟表飞行速度达到光速,你永远接收不到它转动的信息了,时钟停止 -marketreflections- ♂ (274 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:21:47

• 7. 尺缩测量一个物体的长度 -marketreflections- ♂ (706 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:24:01

• 8. 空间的相对性 所以对不同的观察者，空间是不同的， -marketreflections- ♂ (530 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:25:47

• 我们描述物体在空间的位置或行为，总是以别的某种物体为参考 -marketreflections- ♂ (926 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:27:31

• 9. 质量增加 质量是描述物体内物质的多少，它在数值上等于物体 -marketreflections- ♂ (409 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:29:00

• 经典公式m0=F/a（m0 代表物体的固有质量 在相对论中，质量不再意味着物体内物质的;当物体高速运动 -marketreflections- ♂ (771 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:33:22

• 10. 光速是极限速度 -marketreflections- ♂ (568 bytes) () 11/11/2010 postreply 16:35:30

• 1. 以太观念 光相对于以太的速度是个唯一固定的常数，穿过以太运动的观察者应当测量到光不同于常数的各种相对速度 -marketreflections- ♂ (15630 bytes) () 11/11/2010 postreply 15:56:12

• 爱因斯坦认为，不是运动物体长度的“机械式收缩”抵消了光速变化所带来的距离差，而是因为光速不变导致了运动物体长度的“相对性收缩” -marketreflections- ♂ (291 bytes) () 11/11/2010 postreply 15:59:40

• 物理好图 杨进第六章平面电磁波 -marketreflections- ♂ (177 bytes) () 11/02/2010 postreply 03:26:46

• 场的振动幅度与强度 脉冲 (图) -marketreflections- ♂ (12282 bytes) () 11/02/2010 postreply 03:42:31

• 我們一般認為腦是人體的最強電磁場製造者。然而出乎意外地，研究證實心臟才是人體內最強電磁場的製造者，且其強度可達腦部的5000倍以 -marketreflections- ♂ (468 bytes) () 11/02/2010 postreply 03:51:30

• 二维视野（"拐点"）转变为立体视野（三维空间"鞍点"）：平面曲线在下降阶段其一阶导数为负，可以取两种不同的下降形态，上凸（c）时 -marketreflections- ♂ (3594 bytes) () 11/02/2010 postreply 04:08:32

• "鞍点"在三维空间中定义（图中的坐标原点），经过"鞍点"平行于z轴的平面束代表无穷多个发展方向 (图) -marketreflections- ♂ (269 bytes) () 11/02/2010 postreply 04:12:38

• economist 房四海：中国现在进入二阶拐点，未来消费走势是向上的，对大宗商品的需求还将继续增加，所以流动性选择中国是必然的 -marketreflections- ♂ (6550 bytes) () 11/02/2010 postreply 04:16:15

• economist 瑞银 汪涛 -marketreflections- ♂ (9412 bytes) () 11/02/2010 postreply 04:30:14

• 刘煜辉 ：传递的过程要求被调控能够信心调控者通过价格变动的信号，他表示出坚决的意志和决心，然后才做出自己的行为的调整，投资者、消 -marketreflections- ♂ (1268 bytes) () 11/02/2010 postreply 05:07:23

• 人民币升值的压力来自于经济超速(incl cpi)的压力，带来的劳动生产率,利润率的提速 -marketreflections- ♂ (1293 bytes) () 11/02/2010 postreply 05:10:49

• 你作用的力好比磁场强度,而物体的实际感受好比磁感应强度 -marketreflections- ♂ (176 bytes) () 11/02/2010 postreply 03:17:02

• 正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选择器。否 -marketreflections- ♂ (9417 bytes) () 10/31/2010 postreply 12:39:02

• 现自然光和麦克斯韦方程组所描述的电磁波之间有一个巨大的差别：于是电磁科学家都习惯把麦克斯韦方程组所描述的电磁波称为相干波，而把自 -marketreflections- ♂ (8685 bytes) () 10/31/2010 postreply 19:38:14

• 自然光普通光：一般情况下，光由许多光子组成，在荧光（普通的太阳光、灯光、烛光等）中，光子与光子之间，毫无关联，即波长不一样、相位 -marketreflections- ♂ (8235 bytes) () 10/31/2010 postreply 19:44:17

• 麦克斯韦指出电磁波是横波，其特征用相互垂直的振动矢量即电场强度 和磁场强度 来表征。横波具有偏振特性，由于光与物质相互作用过程中 -marketreflections- ♂ (11562 bytes) () 10/31/2010 postreply 19:48:06

• 希尔伯特空间 广到自然光. 这时要对式(9) 中各种频率的成分的贡献求和 -marketreflections- ♂ (349 bytes) () 10/31/2010 postreply 20:05:30

• 　一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为向量。在实际应用中，它可能代表了一列复数或是一个函数。例如在量子力学中，一个物理系统可 -marketreflections- ♂ (320 bytes) () 10/31/2010 postreply 21:46:56

• 角动量守恒定律：力矩对时间的累积作用，得出角动量定理和角动量守恒定律。 ..... 因速度 与参考系有关，所以经伽利略变换后洛仑 -marketreflections- ♂ (293 bytes) () 10/29/2010 postreply 17:43:15

• 张奠宙：波动率 洛伦兹 外尔 频率在v和dv之间的充分高的谐波数目与边界的形态无关，仅和它围成的面积成正比 -marketreflections- ♂ (22919 bytes) () 10/31/2010 postreply 21:42:07

• 曲率就依这一度量而确定．爱因斯坦的引力理论依赖于二次型，而电磁理论只依赖于一次型 -marketreflections- ♂ (80 bytes) () 10/31/2010 postreply 21:44:08

• 诺依曼：在数理逻辑方面提出简单而明确的序数理论，并对集合论进行新的公理化，其中明确区别集合与类 -marketreflections- ♂ (19177 bytes) () 10/31/2010 postreply 21:54:12

• DailyFX 1-Week Volatility Index www.dailyfx.com -marketreflections- ♂ (1245 bytes) () 11/01/2010 postreply 16:25:59

• AUDJPY which is the primary recipient of the USD funding largese -marketreflections- ♂ (1165 bytes) () 11/02/2010 postreply 02:02:55

• John Kicklighter must read www.dailyfx.com -marketreflections- ♂ (1740 bytes) () 11/02/2010 postreply 02:09:03

• 定义2 如果对于任何自融资策略 在任意时间段 内都不存在套利机会，则称市场在时间段 内是无套利的 -marketreflections- ♂ (7629 bytes) () 11/01/2010 postreply 17:11:01

• 陈平：科斯谬想，张五常猜测，与交易成本的复杂性 -marketreflections- ♂ (12423 bytes) () 11/01/2010 postreply 17:19:25

• 科斯谬误之五在于他不懂两方交易，没有参照系如何定价？这是科斯1960 年 文章引起 -marketreflections- ♂ (194 bytes) () 11/01/2010 postreply 17:22:33

• 典经济学的实质是保守系统，能量守恒 -marketreflections- ♂ (524 bytes) () 11/01/2010 postreply 17:25:19

• 新古典宏观经济学所谓“理性预期的实质”,是经济预期模型的零阶近似,理性预期对复杂的预期变化做了最简化的假设,认为误差项均值为零 -marketreflections- ♂ (27185 bytes) () 11/01/2010 postreply 19:29:54

• 他把随机游走和几何布朗运动模型引入金融学,并奠定期权理论的基础。但他又指出宏观不存在有效市场理论,金融没有自身稳定性 -marketreflections- ♂ (179 bytes) () 11/01/2010 postreply 19:34:57

• 由于能量守恒的约束,我们观察到的物理化学时间序列一定是趋于稳态的。但是经济发展意味着不断投入更大的能量和资源,所以观察到的经济时 -marketreflections- ♂ (912 bytes) () 11/01/2010 postreply 19:40:25

• 波动率计算 (图) -marketreflections- ♂ (11837 bytes) () 11/19/2010 postreply 15:40:10

• 波动率计算: daily % 1.97, 15.937 (square root of 254), historical vol -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 11/19/2010 postreply 15:58:58

• 波动率计算: daily % 1.97, 15.937 (square root of 254), historical vol -marketreflections- ♂ (157 bytes) () 11/19/2010 postreply 16:02:33

• 物理好图 量子力学相位因子,模I ( ， )I和相位因子e ’的乘积 -marketreflections- ♂ (22289 bytes) () 11/19/2010 postreply 16:36:12

• e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式 (图) -marketreflections- ♂ (1814 bytes) () 11/19/2010 postreply 18:04:11