费米子体系的能量要高于玻色子体系(表-)"这意味着,玻色子体系更易在经典情况下保持规则运动

来源: marketreflections 2010-10-27 12:31:02 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读: 次 (16150 bytes)

PDF] !"#$阱中共面构型三费米子的量子力学运动
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作者:朱熙文
费米子体系的". %"量子经典对应与量子混沌是原子物理的前. 沿之一C我们知道经典混沌在量子力学中的一个重. 要表征就是定态波函数的形态特征:如经典周期轨 ...


!"#$阱中共面构型三费米子的量子力学运动!
何明段宜武!
(湖南师范大学物理系,长沙"#$$%#)
朱熙文施磊
(中国科学院武汉物理与数学研究所,武汉"&$$’()
(($$$年&月#日收到;($$$年’月#)日收到修改稿)
求解了*+,-阱中总自旋为!.#/(,&/(的三全同费米子体系在共面情形下的/0123456782方程9根据其波函数
节线结构和形状密度分布,研究了系统的结构和量子力学运动模式,并与玻色子体系和经典情形进行了比较9
!国家自然科学基金(批准号:#)%’"$#))资助的课题9
!联系人,电子邮件::;4,+6!<=+20(91,66,984,906
关键词:*+,-阱,三费米体系,运动模式
!%&&:()(>,&>%$,&##$
# 引言
简单体系的薛定谔方程精确解一直是量子力学
的基本问题9随着量子信息、量子计算的发展,离子
阱中的囚禁离子体系的量子力学问题变得越来越重
要9最近在*+,-(鲍尔)阱中的一系列激光冷却实验
使得玻色?爱因斯坦凝聚(@AB)成为人们关注的焦
点,也使得对*+,-阱中离子运动的量子力学问题更
有兴趣9C56和D+E+6+5686[#]用一个库仑等效势研究
了一个一维两离子模型,得出了一些很有意思的结
果,但他们仅仅得出了近似解9鉴于*+,-阱中离子
体系的量子力学问题的重要性,我们对两离子体系
的薛定谔方程进行了深入的研究[(],发现了在一
维、二维和三维情况下,其薛定谔方程均可以得出精
确解,其方法与我们对玻恩?奥本海默近似(@F26?
G==86185H82+==2FI5H+J5F6,@GK)下氢分子离子薛
定谔方程的求解[&,"]十分类似9与C56等人的研究
不同的是,我们没有使用任何等效势,而是直接使用
离子间的库仑相互作用来讨论问题9
两离子体系毕竟是*+,-阱的决定性非线性动
力学系统中最简单的9三离子体系的动力学应该具
有更复杂、更丰富的性质9*+,-阱中的三离子问题
不仅存在离子间的库仑作用,还存在囚禁场的作用,
因而有别于一般的三体问题(天体三体问题与库仑
三体问题)9大家知道,如果阱参数满足一定的关
系["],离子可能被囚禁在"L#平面或者在$ 轴上9
这样,可以构造两离子的共线和共平面模型9我们对
共线构型下的三离子体系的经典和量子力学研究表
明[>,M]:在经典力学的研究中,共线三离子体系的运
动是规则运动,在量子力学中,我们发现波函数具有
很好的节线结构9系统的量子力学内部运动模式完
全和经典力学的所有在NF-HF7F2FE?K26F-4?OF<82
(NKO)环面[#&]上的周期轨道相对应9
共面三离子体系的情形则不然9研究[>,’]发现,
体系的势能是马鞍型双阱势,当体系的能量小于鞍
点能时,体系的经典相空间是规则的;反之,其经典
相空间是混沌的,但在混沌区中存在较大的NKO
不变环面9对由玻色子组成的体系而言,其量子力学
波函数分布在能量较低时仍旧具有较好的节线结
构[’]9可见,在共面构型下,三离子体系的物理内涵
变得更为丰富,有待于进一步研究9
本文讨论共面情形下的三费米子体系的量子力
学问题9在这种情况下,粒子的自旋变得很重要9
( 模型与求解方法
对于*+,-阱中的荷质比为%
&’
的第’个离子,所
处空间坐标为{"’
,#’
,$’
},它感受到的囚禁场的平
均作用为
( )&’
(%
(!(*
("( ’+#(’
)+!( $$(’
), (#)
第>$卷第(期($$#年(月
#$$$?&()$/($$#/>$($()/$#)%?$M
物理学报
KBPK*QC/RBK/RSRBK
TF-9>$,SF9(,U8V2,+2:,($$#
"($$#B1569*1:
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
<9/F09
其中!!
和!"
分别为离子在#$% 平面和" 轴的久期
频率,& 称为!"#$阱的赝势,在取适当的阱参数时,
赝势& 是囚禁场一个很好的近似[%,&]’
对于被限制在#$% 平面的质量为(,电荷为)
的三个全同囚禁离子,在赝势模型下,引入’"()*+坐
标系,并将质心部分分离出来,哈密顿量的相对运动
部分可以写成[,]
* +,"-
(
!-
-,."-
/(
!-
!.(/
!- 0--.(.
!- 0!-
. )-
/"#0
1-
. 1
!1.. 1
!
( )
-.
, (-)
其中!0
为外加射频场的频率,!2"-3"1
,"2".3
1-
("14"-
),"1.2".3"1
,"-.2".3"-#对于共面三
离子体系,在外场作用力和离子间库仑作用力达到
平衡时,会构成最稳定结构,即正三角形,设其边长
为/0
,利用5&
5/0
20,得到平衡距离须满足
/.0 + .)-
/"#0(!-0
’ (.)
取/0
为长度单位,1
!0
为时间单位,"2(21,则可
将体系哈密顿量简化为
* +, !-
-,./
!-
!.--
/ .!-
.
.1.
1-
. 1
!1.. 1
!
( )
-.
, (/)
相应的薛定谔方程是
, 1-
!
!-- !
!- . !-
--!$
[ ( ) -
,./
1!
!
!!! !
!!. !-
!-!%
( ) -
.--
/ .!-
..1.
1-
. 1
!

-.
. 1
!
)]
1. &(-,$,!,%)
+0&(-,$,!,%)’ (6)
我们用两个二维谐振子波函数的乘积构成基
矢’考虑两个二维谐振子本征函数
’12
(-,$)+(1
""
1!
"(1 .323)!
((1-)323
·7,(1
---/-4323
1
((1
---)7,+2$,(8")
’5(
(!,%)+(-
""
5!
"(5.3(3)!
((-!)3(3
·7,(-
-!-/-43(3
5
((-
-!-)7,+(%,(8*)
其中,4#2#
1
和4#(#
5
为广义拉盖耳多项式,(12
")/-,(-2"-)/.,) 是二维谐振子的频率,将被
当作一个变分参数使用’在实际计算中,选取适当的
)值,使得体系的基态能量最低[,,10]’这样构成的基
矢为
&125(
(!,")+’12
(-,*)’5(
(!,%)’(,)
考虑到全同粒子的交换对称性,对于全同费米
子体系,基矢需满足反对称性,因我们先将基矢反对
称化[1-]’用[6]来代表一组量子数(1,2,5,(),
& +
[6]+7{&}[ 6],8
9
}+7{[’12
(-,$)
·’5(
(!,%)],8
9
}, (%)
其中, 为总自旋波函数,9 为总自旋,8是由1,-粒
子组成的子系统的总自旋,7 是反对称化算子,
[6]代表一组量子数(1,2,5,()’(%)式的反对
称化可以借助于广义三体9"$:+;<)=>+?=@A系数
(B9<)来实现[10,10],其结果为
(1)当921/-时
& +
[6]+7{&[6],8
1/-
}+,11
/-$#
[61
]:# [6],[61

·&[6].,01
/-$$
[6-
]:$ [6],[6-
]&[6],(&)
其中,当[6]中2 取为奇数时
C# [6],[61
]+1.
[-[6],[61
],;(. [6],[61
]],(10")
C$ [6],[6-
]+,".
.;(. [6],[6-
], (10*)
当[6]中2 为偶数时
C# [6],[61
]+".
.;(. [6],[61
], (11")
C$ [6],[6-
]+1.
[-[6],[6-
],;(. [6],[6-
]]’(11*)
(-)当92./-时
& +
[6]+7{&[6],1.
/-

+,1.
/-$#
[61
]:% [6],[61
]&[6], (1-)
其中
:% [6],[61
]+-[6],[61
].-;(. [6],[61
], (1.)
式中求和号$# [61
]仅对2 为奇数的[6]求和,而
$$ [6-
]是对2 为偶数的[6]求和,式中的;(. [6],[61

就是由’"()*+$.系向(系变换的B9<系数,满足
&+([
6

+$[
61
];(. [6],[61
]& +.[61
]’ (1/)
-期何明等:!"#$阱中共面构型三费米子的量子力学运动1&&
对于!!"/#态,哈密顿量" 的矩阵元
〈! "[#]$"$! "[#%]〉&!!
[#"
]!!
[#%"
]’! [#][#"

·’! [#%],[#%"
] 〈
![#]$"$![#%]〉(!"
[##
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[#%#

·’" [#],[##
]’" [#%],[#%#
] 〈
![#]$"$![#%]〉) ("$)
对于!!%/#态
〈! "[#]$"$! "[#%]〉&!!
[#"
]!!
[#%"
]’# [#],[#"

·’# [#%],[#%"
] 〈
![#]$"$![#%]〉) ("&)
本文仅研究总轨道角动量*!+ ’,!(,宇
称为偶的态)在本文的计算中,对!!"/#的态使用
)*个全反对称基,!!%/#态使用))个,分别满足
#(-’.)’"+"’","#"+和#()在把体系的哈密
顿矩阵对角化之后,可以得到本征能量和本征波函
数!)
表" 系统的本征能量和主要分波
!!"/# !!%/#
态能量分波态能量分波
" #,)+-) . " -,&##% /
# *,)#+" . # "(,%*## /
% &,+(%( . % "(,-"&- /
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"+ "%,+#&+ . "+ #&,&(&( /
") "*,()#) . ") #-,-#%% /
#( "*,%")+ . #( #+,%(%# /
在表"中给出三共面费米子体系总角动量为(
的偶宇称态中头#(个本征解的有关参数,例如,其
本征能量、分波权重等)从该表中可以看出,!!"/#
态中大部分态的分波主要是.波,其基态能量略高
于玻色子体系[-];!!%/#态中各态的分波主要都
是/波,其基态能量有了显著提高)整体看来,费米
子体系的能量是高于玻色子体系的)
% 波函数分布与内部运动模式
为便于分析本征波函数!,我们引入几个关联
密度函数)由波函数的归一化条件
"&$$!(/,#,0,$)$#/00/000#0$)("-)
定义单体密度
%"
(0,$)&0$1
(
/0/$#$
(
0#·$!$#) ("+)
单体密度表示在0,$ 附近的单位空间中发现第三
个离子的概率)
定义形状密度["(,"#]
%1
(/,0,&)&$$!$#0/ %/#(0#234&,
("))
其中&为!,"的夹角)形状密度是反映体系形状变
化的一个概率密度,可以用来显示隐含在其中的节
线结构分布)
首先按照("+)式,给出费米子体系的单体密度
分布,如图"所示)该单体密度是在234平面中绘制
的等值线图,与0,$ 的关系为0!%2#’4#,$!
5647"(4/2))可以看到,.波为主的(’
"
态,如图"
(6),没有节线出现;而以/波为主的(’
-
态,如图"
(8),在0方向和$ 方向都存在明显的节线结构,其
节线数目都为")!!%/#态的分波都是以/波为
主,其单体密度结构类似于!!"/#中的(’
-
态的单
体密度)
图" 共面三费米子体系总自旋!!"/#态的单体密度等值线
分布图(6),(8)分别为(’
"
,(’
-
态的形状密度(图中以234为坐
标,与0,$ 的关系为0!%2#’4#,$!5647"(4/2))
接下来在/30 坐标中给出了费米子体系一些
低能态的形状密度分布的等值线图,为便于讨论,在
#(( 物理学报$(卷
(!")式中取!#"$!,因为!取其他角度与取!#"$!
只存在定量上的差别,定性上是一样的"图%、图&
给出总自旋##!/%态的形状密度分布,图’、图(
给出总自旋##&/%态的形状密度分布,可以归纳
出下面几点:
!)##!/%中以*波为主的态,如图%,可以看
出与玻色子体系的形状密度分布很类似[+]:基态波
函数没有出现节线,图%(,),(-),(.)与文献[+]中
相应的形状密度分布图基本相同"但从图%(/),(0),
(1)看,节线数目明显增多,可见费米子体系##!/%
态的能量要高于玻色子,这与表!的结果相符"
%)##!/%中以2波为主的态,如图&,将其与
图’(##&/%态)比较,可以看出,两者非常相似"我
们知道##&/%态是完全反对称的,从图%、图&可
见,##!/%态是混合对称的,*波反映体系的对称
性,2波反映体系的反对称性"
&)##&/%态的形状密度分布,如图’,最初的
几个态表现出明显的节线结构,基态波函数出现了
节线,这意味着粒子的剧烈运动,与表!的结果也是
相符的"
图% 总自旋##!/%时的形状密度等值线分布图(,),(-),(.),(/),(0),(1)分别为$3
!
,$3
%

$3

,$3
&
,$3
(
及$3
"
态的形状密度(图中以$%&为坐标,并选取!#"$!,以下图&—图(类似)
图& ##!/%态中的2波的形状密度等值线分布图(,),(-),(.)分别为$3
+
,$3
!&
,$3
!(
态的形状密度
图’ ##&/%态的形状密度等值线分布图(,),(-),(.)分别为$3
!
,$3
&
,$3
%
态的形状密度
%期何明等:2,45阱中共面构型三费米子的量子力学运动%$!
!"在!#$/%态中出现了一些有意思的结果,
如图&"在经典的情况下,共面三离子体系的相空间
即可能是规则的,也可能是混沌的,这取决于系统的
能量是否大于鞍点能[&,’]"文献[’]给出体系能量#
#!"(时的庞加莱图,显示体系的相空间是混沌的,
但存在一个)*+环面[’]"!#$/%态下(,

和(,
--

的能量分别为-.".--&和%("(%(&,无疑此时体系
在经典情况下是混沌的"图&中波函数主要沿着经
典反对称周期轨道分布[&],对应着)*+环面中的准
周期轨道"这也就是通常所说的疤痕(/012)[-$],值得
注意的是,我们发现的“/012”出现在比较低的态"
图& !#$/%态的形状密度等值线分布图(1),(3)分别为
(,

,(,
--
态的形状密度
! 结论
本文在考虑囚禁场的赝势对离子的作用和离子
间的库仑相互作用的基础上,在410536坐标系中处
理7189阱中的共面三离子体系,通过引用广义的
:19;6<+5/=6>/?@系数(A:+),在考虑体系的交换
反对称性之后,最终获得了符合该体系量子统计特
征的哈密顿矩阵元"本文引入的方法可以推广到求
解一般的三体库仑系统"本文仅研究总轨道角动量
$#%,&#(,宇称为偶的态"通过数值计算,得出
以下结论:
-"从计算结果可以发现,费米子体系的能量要
高于玻色子体系(表-)"这意味着,玻色子体系更易
在经典情况下保持规则运动"我们之所以关心体系
的规则运动状态,因为这对7189阱的离子冷却实验
具有实际意义[&,’]:实验中可选取合适的工作点,使
!’
/!(!!-成立,此时离子位于)*+ 平面上,体系
的运动是规则的而无“射频加热”效应[B],因而囚禁
离子更易于冷却且冷却后得到的“晶化”结构不易
“熔解”,规则运动有利于对离子的高灵敏度高分辨
率光谱的测量"对于我们所研究的系统,只有当体系
能量小于鞍点能时,体系的运动是规则的"从本文的
结果看,就规则运动而言,共面玻色子体系是优越于
费米子体系的"
%"量子经典对应与量子混沌是原子物理的前
沿之一C我们知道经典混沌在量子力学中的一个重
要表征就是定态波函数的形态特征:如经典周期轨
道造成的疤痕(/012)[-$]C在我们的研究中也发现了
“/012”现象(图&),体系显示出波函数沿着经典反对
称周期轨道分布C然而,反映混沌特征的“/012”现象
通常发生在高能态(距基态大约B((个能级)[-$],图
&中的“/012”现象显然处于低能态,它是否反映了体
系的混沌特征呢?虽然不能肯定本文中的“/012”现
象就是量子混沌,但这不失为一个有趣的现象C7189
阱一直有着“混沌实验室”的美誉,从本文的计算结
果来看,共面三离子体系在量子混沌研究方面有着
很丰富的内涵,特别是低态下出现的“/012”现象,有
助于对量子混沌的理解C
[-] 4CD6>,4C41E1>16>F>,,-+."/01",!"#(-GG&),$G&GC
[%] DCHCI81>,ACJCK=58,LCAC715,4C+CD81>,!230420345-3*
46(!0’30.7),$"(-GG&),$-’(6>L=6>F/F)[段宜武、周光辉、鲍
诚光、袁建民,中国科学,!$"(-GG&),$-’]C
[$] DCHCI81>,ACJCK=58,LCAC715,4C+CD81>,5-340.0!230420
89::0;34,%&(-GG&),G’.(6>L=6>F/F)[段宜武、周光辉、鲍诚
光、袁建民,科学通报,%&(-GG&),G’.]C
[!] MC+1>N,MCO6;6>N,DCHCI81>,OCHCK=8,PCQ=6,,-+."
$0;;",!$%%(-GGB),-BC
[&] PCQ=6,DCHCI81>,+CMF>N,OCHCK=8,OC+CM1>,72;6
,-+.326!34326,%’(-GGB),-%!B(6>L=6>F/F)[施磊、段宜武、冯
芒、朱熙文、方细明,物理学报,%’(-GGB),-%!B]C
[.] DCHCI81>,PCQ=6,+CMF>N,OCK=8,R82C,-+."<",(’
(-GGG),-G-C
[’] DCHCI81>,PCQ=6,+CMF>N,+CD1>,OCK=8,5-34",-+."
$0;;",#"(-GGB),&.B;DCHCI81>,I50S5219I6//F2S1S65>,:=F
T81>S8;1>U091//6019U@>1;60193F=1E652/5VVFW<35U@05895;3
/@/SF;/6>FXSF2>19V6F9U/,H8=1>Y>/S6S8SF5V7=@/60/1>U+1S=<
F;1S60/,L=6>F/F*01UF;@5VQ06F>0F/,-GGG[段宜武,博士学位
论文,中国科学院武汉物理与数学所,-GGG]C
[B] JCIF=;F9S,7=1"7;"%>:",-+.",)(-G.’),&$C
[G] 4CMC4C:5UU,?4;"<"%6.."!@02;’9&"?>4",-+.",)*(-GB(),
-B&C
%(% 物理学报&(卷
[!"] #$%&’(),!"#$%&’()%*+,-,!"(!*+,),!-+;.$./01)2034,
./+#%&’()%,#$(!*+*),!"5;6$7&2,.$7/28,9$:;,9$7$
<&/,0123%&’()%0122%,$%(!*-+),=->$
[!!] 9$7$<&/,7$9$?);",-#%,4"56718(9(),"2),!(!*->),-!$
[!,] :$6$@;&2,9$7$<&/,4"56718(9(),"2),#%(!**=),,+$
[!=] 6$7;,?;&2A;(91&/0(B1&281&)BC)D2A)E)C&2F%DC12/’/84GH
F;C&A)/2I;J’)01)28K/;0D,!**L)()291)2D0D)[顾雁,量子混
沌,上海科技教育出版社,上海,!**L]$
&’()*’+,-./01+.2*3-1121-+44.)564*37.,0()(-
7.)248’-(*4.)4)(,(’0*-(,!
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P :D1&TD0/’TDFA1DB1UXF)28DUDY;&A)/2/EA1UDDZDU())/20[)A1C/V’&2&UC/2E)8;U&A)/2)2&I&;’AU&V,[1D2A1D
[1/’D0V)2&28;’&U(/(D2A;(/EA1D040AD()09!/,/U=/,$%1D0AU;CA;UD&2FY;&2A;(F42&()C0/EA1)0040AD(&UD
)2TD0A)8&ADFJ4)20VDCA)28A1D[&TDE;2CA)/22/F&’0AU;CA;UD&2FA1D01&VDHFD20)A4$PAA1D0&(DA)(D,[DC/(V&UD/;UUDH
0;’A[)A1A1&A/EA1UDD 9:;<=>?@:I&;’AU&V,A1UDDHZDU())/20,F42&()C(/FD
,(77:,*,+,=+-",=!!"
!IU/]DCA0;VV/UADFJ4A1DM&A)/2&’M&A;U&’BC)D2CDZ/;2F&A)/2/E91)2&(7U&2AM/$!*->5"!*)$
,期何明等:I&;’阱中共面构型三费米子的量子力学运动,"=
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