费米子体系的能量要高于玻色子体系（表-）"这意味着，玻色子体系更易在经典情况下保持规则运动

PDF] !"#$阱中共面构型三费米子的量子力学运动
文件格式: PDF/Adobe Acrobat - 快速查看
作者：朱熙文
费米子体系的". %"量子经典对应与量子混沌是原子物理的前. 沿之一C我们知道经典混沌在量子力学中的一个重. 要表征就是定态波函数的形态特征：如经典周期轨 ...


!"#$阱中共面构型三费米子的量子力学运动!
何明段宜武!
（湖南师范大学物理系，长沙"#$$%#）
朱熙文施磊
（中国科学院武汉物理与数学研究所，武汉"&$$’(）
（($$$年&月#日收到；($$$年’月#)日收到修改稿）
求解了*+,-阱中总自旋为!.#／(，&／(的三全同费米子体系在共面情形下的/0123456782方程9根据其波函数
节线结构和形状密度分布，研究了系统的结构和量子力学运动模式，并与玻色子体系和经典情形进行了比较9
!国家自然科学基金（批准号：#)%’"$#)）资助的课题9
!联系人，电子邮件：:;4,+6!<=+20(91,66,984,906
关键词：*+,-阱，三费米体系，运动模式
!%&&：()(>，&>%$，&##$
# 引言
简单体系的薛定谔方程精确解一直是量子力学
的基本问题9随着量子信息、量子计算的发展，离子
阱中的囚禁离子体系的量子力学问题变得越来越重
要9最近在*+,-（鲍尔）阱中的一系列激光冷却实验
使得玻色?爱因斯坦凝聚（@AB）成为人们关注的焦
点，也使得对*+,-阱中离子运动的量子力学问题更
有兴趣9C56和D+E+6+5686［#］用一个库仑等效势研究
了一个一维两离子模型，得出了一些很有意思的结
果，但他们仅仅得出了近似解9鉴于*+,-阱中离子
体系的量子力学问题的重要性，我们对两离子体系
的薛定谔方程进行了深入的研究［(］，发现了在一
维、二维和三维情况下，其薛定谔方程均可以得出精
确解，其方法与我们对玻恩?奥本海默近似（@F26?
G==86185H82+==2FI5H+J5F6，@GK）下氢分子离子薛
定谔方程的求解［&，"］十分类似9与C56等人的研究
不同的是，我们没有使用任何等效势，而是直接使用
离子间的库仑相互作用来讨论问题9
两离子体系毕竟是*+,-阱的决定性非线性动
力学系统中最简单的9三离子体系的动力学应该具
有更复杂、更丰富的性质9*+,-阱中的三离子问题
不仅存在离子间的库仑作用，还存在囚禁场的作用，
因而有别于一般的三体问题（天体三体问题与库仑
三体问题）9大家知道，如果阱参数满足一定的关
系［"］，离子可能被囚禁在"L#平面或者在$ 轴上9
这样，可以构造两离子的共线和共平面模型9我们对
共线构型下的三离子体系的经典和量子力学研究表
明［>，M］：在经典力学的研究中，共线三离子体系的运
动是规则运动，在量子力学中，我们发现波函数具有
很好的节线结构9系统的量子力学内部运动模式完
全和经典力学的所有在NF-HF7F2FE?K26F-4?OF<82
（NKO）环面［#&］上的周期轨道相对应9
共面三离子体系的情形则不然9研究［>，’］发现，
体系的势能是马鞍型双阱势，当体系的能量小于鞍
点能时，体系的经典相空间是规则的；反之，其经典
相空间是混沌的，但在混沌区中存在较大的NKO
不变环面9对由玻色子组成的体系而言，其量子力学
波函数分布在能量较低时仍旧具有较好的节线结
构［’］9可见，在共面构型下，三离子体系的物理内涵
变得更为丰富，有待于进一步研究9
本文讨论共面情形下的三费米子体系的量子力
学问题9在这种情况下，粒子的自旋变得很重要9
( 模型与求解方法
对于*+,-阱中的荷质比为%
&’
的第’个离子，所
处空间坐标为｛"’
，#’
，$’
｝，它感受到的囚禁场的平
均作用为
( )&’
(%
（!(*
（"( ’+#(’
）+!( $$(’
）， （#）
第>$卷第(期($$#年(月
#$$$?&()$／($$#／>$（$(）／$#)%?$M
物理学报
KBPK*QC/RBK/RSRBK
TF-9>$，SF9(，U8V2,+2:，($$#
"($$#B1569*1:
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
<9/F09
其中!!
和!"
分别为离子在#$% 平面和" 轴的久期
频率，& 称为!"#$阱的赝势，在取适当的阱参数时，
赝势& 是囚禁场一个很好的近似［%，&］’
对于被限制在#$% 平面的质量为(，电荷为)
的三个全同囚禁离子，在赝势模型下，引入’"()*+坐
标系，并将质心部分分离出来，哈密顿量的相对运动
部分可以写成［,］
* +,"-
(
!-
-,."-
/(
!-
!.(/
!- 0--.(.
!- 0!-
. )-
/"#0
1-
. 1
!1.. 1
!
（ ）
-.
， （-）
其中!0
为外加射频场的频率，!2"-3"1
，"2".3
1-
（"14"-
），"1.2".3"1
，"-.2".3"-#对于共面三
离子体系，在外场作用力和离子间库仑作用力达到
平衡时，会构成最稳定结构，即正三角形，设其边长
为/0
，利用5&
5/0
20，得到平衡距离须满足
/.0 + .)-
/"#0(!-0
’ （.）
取/0
为长度单位，1
!0
为时间单位，"2(21，则可
将体系哈密顿量简化为
* +, !-
-,./
!-
!.--
/ .!-
.
.1.
1-
. 1
!1.. 1
!
（ ）
-.
， （/）
相应的薛定谔方程是
, 1-
!
!-- !
!- . !-
--!$
［ （ ） -
,./
1!
!
!!! !
!!. !-
!-!%
（ ） -
.--
/ .!-
..1.
1-
. 1
!
（
-.
. 1
!
）］
1. &（-，$，!，%）
+0&（-，$，!，%）’ （6）
我们用两个二维谐振子波函数的乘积构成基
矢’考虑两个二维谐振子本征函数
’12
（-，$）+(1
""
1！
"（1 .323）！
（(1-）323
·7,(1
---／-4323
1
（(1
---）7,+2$，（8"）
’5(
（!，%）+(-
""
5！
"（5.3(3）！
（(-!）3(3
·7,(-
-!-／-43(3
5
（(-
-!-）7,+(%，（8*）
其中，4#2#
1
和4#(#
5
为广义拉盖耳多项式，(12
")／-，(-2"-)／.，) 是二维谐振子的频率，将被
当作一个变分参数使用’在实际计算中，选取适当的
)值，使得体系的基态能量最低［,，10］’这样构成的基
矢为
&125(
（!，"）+’12
（-，*）’5(
（!，%）’（,）
考虑到全同粒子的交换对称性，对于全同费米
子体系，基矢需满足反对称性，因我们先将基矢反对
称化［1-］’用［6］来代表一组量子数（1，2，5，(），
& +
［6］+7｛&｝［ 6］,8
9
｝+7｛［’12
（-，$）
·’5(
（!，%）］,8
9
｝， （%）
其中, 为总自旋波函数，9 为总自旋，8是由1，-粒
子组成的子系统的总自旋，7 是反对称化算子，
［6］代表一组量子数（1，2，5，(）’（%）式的反对
称化可以借助于广义三体9"$:+;<)=>+?=@A系数
（B9<）来实现［10，10］，其结果为
（1）当921／-时
& +
［6］+7｛&［6］,8
1／-
｝+,11
／-$#
［61
］:# ［6］，［61
］
·&［6］.,01
／-$$
［6-
］:$ ［6］，［6-
］&［6］，（&）
其中，当［6］中2 取为奇数时
C# ［6］，［61
］+1.
［-［6］，［61
］,;(. ［6］，［61
］］，（10"）
C$ ［6］，［6-
］+,".
.;(. ［6］，［6-
］， （10*）
当［6］中2 为偶数时
C# ［6］，［61
］+".
.;(. ［6］，［61
］， （11"）
C$ ［6］，［6-
］+1.
［-［6］，［6-
］,;(. ［6］，［6-
］］’（11*）
（-）当92.／-时
& +
［6］+7｛&［6］,1.
／-
｝
+,1.
／-$#
［61
］:% ［6］，［61
］&［6］， （1-）
其中
:% ［6］，［61
］+-［6］，［61
］.-;(. ［6］，［61
］， （1.）
式中求和号$# ［61
］仅对2 为奇数的［6］求和，而
$$ ［6-
］是对2 为偶数的［6］求和，式中的;(. ［6］，［61
］
就是由’"()*+$.系向(系变换的B9<系数，满足
&+(［
6
］
+$［
61
］;(. ［6］，［61
］& +.［61
］’ （1/）
-期何明等：!"#$阱中共面构型三费米子的量子力学运动1&&
对于!!"／#态，哈密顿量" 的矩阵元
〈! "［#］$"$! "［#%］〉&!!
［#"
］!!
［#%"
］’! ［#］［#"
］
·’! ［#%］，［#%"
］ 〈
!［#］$"$!［#%］〉(!"
［##
］!"
［#%#
］
·’" ［#］，［##
］’" ［#%］，［#%#
］ 〈
!［#］$"$!［#%］〉) （"$）
对于!!%／#态
〈! "［#］$"$! "［#%］〉&!!
［#"
］!!
［#%"
］’# ［#］，［#"
］
·’# ［#%］，［#%"
］ 〈
!［#］$"$!［#%］〉) （"&）
本文仅研究总轨道角动量*!+ ’,!(，宇
称为偶的态)在本文的计算中，对!!"／#的态使用
)*个全反对称基，!!%／#态使用))个，分别满足
#（-’.）’"+"’","#"+和#()在把体系的哈密
顿矩阵对角化之后，可以得到本征能量和本征波函
数!)
表" 系统的本征能量和主要分波
!!"／# !!%／#
态能量分波态能量分波
" #,)+-) . " -,&##% /
# *,)#+" . # "(,%*## /
% &,+(%( . % "(,-"&- /
* -,(*)* . * "%,*+-& /
$ -,+#*$ . $ "%,-+-" /
& ),"-(" . & "*,(##( /
- ),#*)* / - "&,&""$ /
+ ),*$($ . + "-,")"- /
) ),+&*& . ) "-,+$(" /
"( "(,*$$( . "( "+,*-)& /
"" "",%+"" . "" #(,(#($ /
"# "",$-"( . "# #(,)(+) /
"% "",)&*+ / "% #",)+&( /
"* "#,(%"+ . "* ##,+)&- /
"$ "#,##*% / "$ #%,+%)+ /
"& "#,$)() . "& #*,(#%+ /
"- "#,)**& . "- #$,%()( /
"+ "%,+#&+ . "+ #&,&(&( /
") "*,()#) . ") #-,-#%% /
#( "*,%")+ . #( #+,%(%# /
在表"中给出三共面费米子体系总角动量为(
的偶宇称态中头#(个本征解的有关参数，例如，其
本征能量、分波权重等)从该表中可以看出，!!"／#
态中大部分态的分波主要是.波，其基态能量略高
于玻色子体系［-］；!!%／#态中各态的分波主要都
是/波，其基态能量有了显著提高)整体看来，费米
子体系的能量是高于玻色子体系的)
% 波函数分布与内部运动模式
为便于分析本征波函数!，我们引入几个关联
密度函数)由波函数的归一化条件
"&$$!（/，#，0，$）$#/00/000#0$)（"-）
定义单体密度
%"
（0，$）&0$1
(
/0/$#$
(
0#·$!$#) （"+）
单体密度表示在0，$ 附近的单位空间中发现第三
个离子的概率)
定义形状密度［"(，"#］
%1
（/，0，&）&$$!$#0/ %/#(0#234&，
（")）
其中&为!，"的夹角)形状密度是反映体系形状变
化的一个概率密度，可以用来显示隐含在其中的节
线结构分布)
首先按照（"+）式，给出费米子体系的单体密度
分布，如图"所示)该单体密度是在234平面中绘制
的等值线图，与0，$ 的关系为0!%2#’4#，$!
5647"（4／2）)可以看到，.波为主的(’
"
态，如图"
（6），没有节线出现；而以/波为主的(’
-
态，如图"
（8），在0方向和$ 方向都存在明显的节线结构，其
节线数目都为")!!%／#态的分波都是以/波为
主，其单体密度结构类似于!!"／#中的(’
-
态的单
体密度)
图" 共面三费米子体系总自旋!!"／#态的单体密度等值线
分布图（6），（8）分别为(’
"
，(’
-
态的形状密度（图中以234为坐
标，与0，$ 的关系为0!%2#’4#，$!5647"（4／2））
接下来在/30 坐标中给出了费米子体系一些
低能态的形状密度分布的等值线图，为便于讨论，在
#(( 物理学报$(卷
（!"）式中取!#"$!，因为!取其他角度与取!#"$!
只存在定量上的差别，定性上是一样的"图%、图&
给出总自旋##!／%态的形状密度分布，图’、图(
给出总自旋##&／%态的形状密度分布，可以归纳
出下面几点：
!)##!／%中以*波为主的态，如图%，可以看
出与玻色子体系的形状密度分布很类似［+］：基态波
函数没有出现节线，图%（,），（-），（.）与文献［+］中
相应的形状密度分布图基本相同"但从图%（/），（0），
（1）看，节线数目明显增多，可见费米子体系##!／%
态的能量要高于玻色子，这与表!的结果相符"
%)##!／%中以2波为主的态，如图&，将其与
图’（##&／%态）比较，可以看出，两者非常相似"我
们知道##&／%态是完全反对称的，从图%、图&可
见，##!／%态是混合对称的，*波反映体系的对称
性，2波反映体系的反对称性"
&)##&／%态的形状密度分布，如图’，最初的
几个态表现出明显的节线结构，基态波函数出现了
节线，这意味着粒子的剧烈运动，与表!的结果也是
相符的"
图% 总自旋##!／%时的形状密度等值线分布图（,），（-），（.），（/），（0），（1）分别为$3
!
，$3
%
，
$3
’
，$3
&
，$3
(
及$3
"
态的形状密度（图中以$%&为坐标，并选取!#"$!，以下图&—图(类似）
图& ##!／%态中的2波的形状密度等值线分布图（,），（-），（.）分别为$3
+
，$3
!&
，$3
!(
态的形状密度
图’ ##&／%态的形状密度等值线分布图（,），（-），（.）分别为$3
!
，$3
&
，$3
%
态的形状密度
%期何明等：2,45阱中共面构型三费米子的量子力学运动%$!
!"在!#$／%态中出现了一些有意思的结果，
如图&"在经典的情况下，共面三离子体系的相空间
即可能是规则的，也可能是混沌的，这取决于系统的
能量是否大于鞍点能［&，’］"文献［’］给出体系能量#
#!"(时的庞加莱图，显示体系的相空间是混沌的，
但存在一个)*+环面［’］"!#$／%态下(,
’
和(,
--
态
的能量分别为-.".--&和%("(%(&，无疑此时体系
在经典情况下是混沌的"图&中波函数主要沿着经
典反对称周期轨道分布［&］，对应着)*+环面中的准
周期轨道"这也就是通常所说的疤痕（/012）［-$］，值得
注意的是，我们发现的“/012”出现在比较低的态"
图& !#$／%态的形状密度等值线分布图（1），（3）分别为
(,
’
，(,
--
态的形状密度
! 结论
本文在考虑囚禁场的赝势对离子的作用和离子
间的库仑相互作用的基础上，在410536坐标系中处
理7189阱中的共面三离子体系，通过引用广义的
:19;6<+5/=6>/?@系数（A:+），在考虑体系的交换
反对称性之后，最终获得了符合该体系量子统计特
征的哈密顿矩阵元"本文引入的方法可以推广到求
解一般的三体库仑系统"本文仅研究总轨道角动量
$#%,&#(，宇称为偶的态"通过数值计算，得出
以下结论：
-"从计算结果可以发现，费米子体系的能量要
高于玻色子体系（表-）"这意味着，玻色子体系更易
在经典情况下保持规则运动"我们之所以关心体系
的规则运动状态，因为这对7189阱的离子冷却实验
具有实际意义［&，’］：实验中可选取合适的工作点，使
!’
／!(!!-成立，此时离子位于)*+ 平面上，体系
的运动是规则的而无“射频加热”效应［B］，因而囚禁
离子更易于冷却且冷却后得到的“晶化”结构不易
“熔解”，规则运动有利于对离子的高灵敏度高分辨
率光谱的测量"对于我们所研究的系统，只有当体系
能量小于鞍点能时，体系的运动是规则的"从本文的
结果看，就规则运动而言，共面玻色子体系是优越于
费米子体系的"
%"量子经典对应与量子混沌是原子物理的前
沿之一C我们知道经典混沌在量子力学中的一个重
要表征就是定态波函数的形态特征：如经典周期轨
道造成的疤痕（/012）［-$］C在我们的研究中也发现了
“/012”现象（图&），体系显示出波函数沿着经典反对
称周期轨道分布C然而，反映混沌特征的“/012”现象
通常发生在高能态（距基态大约B((个能级）［-$］，图
&中的“/012”现象显然处于低能态，它是否反映了体
系的混沌特征呢？虽然不能肯定本文中的“/012”现
象就是量子混沌，但这不失为一个有趣的现象C7189
阱一直有着“混沌实验室”的美誉，从本文的计算结
果来看，共面三离子体系在量子混沌研究方面有着
很丰富的内涵，特别是低态下出现的“/012”现象，有
助于对量子混沌的理解C
［-］ 4CD6>，4C41E1>16>F>，,-+."/01"，!"#（-GG&），$G&GC
［%］ DCHCI81>，ACJCK=58，LCAC715，4C+CD81>，!230420345-3*
46（!0’30.7），$"（-GG&），$-’（6>L=6>F/F）［段宜武、周光辉、鲍
诚光、袁建民，中国科学，!$"（-GG&），$-’］C
［$］ DCHCI81>，ACJCK=58，LCAC715，4C+CD81>，5-340.0!230420
89::0;34，%&（-GG&），G’.（6>L=6>F/F）［段宜武、周光辉、鲍诚
光、袁建民，科学通报，%&（-GG&），G’.］C
［!］ MC+1>N，MCO6;6>N，DCHCI81>，OCHCK=8，PCQ=6，,-+."
$0;;"，!$%%（-GGB），-BC
［&］ PCQ=6，DCHCI81>，+CMF>N，OCHCK=8，OC+CM1>，72;6
,-+.326!34326，%’（-GGB），-%!B（6>L=6>F/F）［施磊、段宜武、冯
芒、朱熙文、方细明，物理学报，%’（-GGB），-%!B］C
［.］ DCHCI81>，PCQ=6，+CMF>N，OCK=8，R82C,-+."<"，(’
（-GGG），-G-C
［’］ DCHCI81>，PCQ=6，+CMF>N，+CD1>，OCK=8，5-34",-+."
$0;;"，#"（-GGB），&.B；DCHCI81>，I50S5219I6//F2S1S65>，:=F
T81>S8;1>U091//6019U@>1;60193F=1E652/5VVFW<35U@05895;3
/@/SF;/6>FXSF2>19V6F9U/，H8=1>Y>/S6S8SF5V7=@/60/1>U+1S=<
F;1S60/，L=6>F/F*01UF;@5VQ06F>0F/，-GGG［段宜武，博士学位
论文，中国科学院武汉物理与数学所，-GGG］C
［B］ JCIF=;F9S，7=1"7;"%>:",-+."，)（-G.’），&$C
［G］ 4CMC4C:5UU，?4;"<"%6.."!@02;’9&"?>4",-+."，)*（-GB(），
-B&C
%(% 物理学报&(卷
［!"］ #$%&’()，!"#$%&’()%*+,-，!"（!*+,），!-+；.$./01)2034，
./+#%&’()%，#$（!*+*），!"5；6$7&2，.$7/28，9$:;，9$7$
<&/，0123%&’()%0122%，$%（!*-+），=->$
［!!］ 9$7$<&/，7$9$?);",-#%，4"56718(9(),"2)，!（!*->），-!$
［!,］ :$6$@;&2，9$7$<&/，4"56718(9(),"2)，#%（!**=），,+$
［!=］ 6$7;，?;&2A;(91&/0（B1&281&)BC)D2A)E)C&2F%DC12/’/84GH
F;C&A)/2I;J’)01)28K/;0D，!**L）（)291)2D0D）［顾雁，量子混
沌，上海科技教育出版社，上海，!**L］$
&’()*’+,-./01+.2*3-1121-+44.)564*37.,0()(-
7.)248’-(*4.)4)(,(’0*-(,!
KG.#M7!） NOPM6#H:O!） QKOR#H:GM,） BK#SG#,）
!）（:"3-;,2"<,1=&’()>+)，!/<-<.1;2-#?<>$";)>,(，0’-<@)’-5!""-!，0’><-）
,）（A/’-,/,"1=&’()>+)-<8C-,’2-,>+)，0’><")"*+-8"2(1=9+>"<+")，A/’-<5="">!，0’><-）
（@DCD)TDF!.&UC1,"""；UDT)0DF(&2;0CU)VAUDCD)TDF!*W;’4,"""）
P :D1&TD0/’TDFA1DB1UXF)28DUDY;&A)/2/EA1UDDZDU())/20[)A1C/V’&2&UC/2E)8;U&A)/2)2&I&;’AU&V，[1D2A1D
[1/’D0V)2&28;’&U(/(D2A;(/EA1D040AD()09!／,/U=／,$%1D0AU;CA;UD&2FY;&2A;(F42&()C0/EA1)0040AD(&UD
)2TD0A)8&ADFJ4)20VDCA)28A1D[&TDE;2CA)/22/F&’0AU;CA;UD&2FA1D01&VDHFD20)A4$PAA1D0&(DA)(D，[DC/(V&UD/;UUDH
0;’A[)A1A1&A/EA1UDD 9:;<=>?@：I&;’AU&V，A1UDDHZDU())/20，F42&()C(/FD
,(77：,*,+，=+-"，=!!"
!IU/]DCA0;VV/UADFJ4A1DM&A)/2&’M&A;U&’BC)D2CDZ/;2F&A)/2/E91)2&（7U&2AM/$!*->5"!*）$
,期何明等：I&;’阱中共面构型三费米子的量子力学运动,"=