物理好图:当系统参量到达某个临界值时，原先具有对称性的状态失稳，新出现了

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用物理语言来说：当系统参量到达某个临界值时，原先具有对称性的状态失稳，新出现了
若干个等价的稳定状态，虽然它们的分布保持着原有的对称性，但是每一个状态本身不对称。
系统将由失稳的对称状态向某个新的稳定状态过渡，结果失去了对称性。

239
第七章 对称性原理及其应用
§7.1 对称性及其描述
7.1.1 对称性
1）对称性的表现
在日常生活中，我们常常会遇到一些对称的现象，例如下面的事物
图7-1
这些对象的一些不同组成部分具有相同的形式，而且以一种协调的方式组合在一起，给人以匀
称、完整、平衡和一致的感觉，产生美的享受。
按照现代汉语词典的解释，对称是指图形或物体对某个点、直线或平面而言，在大小、形
状和排列上具有一一对应的关系。如人体、船、飞机的左右两边，在外观上都是对称的。实际
上对称性不仅可以表现在空间形式上，也可以表现在时间过程中，例如一列以均匀速度前进的
客车、一个有固定周期的单摆等，也会使人产生对称的感觉。
在抽象的代数领域，也经常表现出对称的美。例如，我们所熟悉的二项式定理
240
0
1
2 2 2
3 3 2 2 3
( ) 1
( )
( ) 2
( ) 3 3
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
+ =
+ = +
+ = + +
+ = + + +
􀀢􀀢
甚至在文学作品中，也可以表现出某种对称性，例如苏东坡的回文诗：
潮随暗浪雪山倾，远浦渔舟钓月明。
桥对寺门松径小，巷当泉眼石波清。
迢迢远树江天晓，蔼蔼红霞晚日晴。
遥望四山云接水，碧峰千点数鸥轻。
和对联
上海自来水来自海上，南山长生松生长山南
2）对称性的概念
对称性在生产与生活中，在科学与艺术中广泛地存在，表现形式多种多样，它们的实质，
即共同之处究竟是什么？经过人们的长期探究，总结出了对称性的的本质：变化中的不变性。
具体定义如下：
系统：研究的对象。研究是分学科层次的，力学研究的对象称为力学系统、热力学研究的
对象称为热力学系统、化学研究的对象称为化学系统、生物学研究的对象称为生物学系统。
状态：系统性质的总和，可以用反映这些性质的客观量来进行描述。一般来说，系统在不
同时间、不同环境下处在不同的状态。如果在两个状态中所研究的学科性质完全相同，则称这
两个状态（对于该学科）“等价”，否则为“不等价”。例如，某理想单摆在历经一个摆动周期后，
所处新状态与原状态的力学性质完全相同，我们可以说该力学系统的这两个状态等价，也可以
说这两个状态力学等价。
过程：系统状态随时间的演化。如果在过程中系统的状态始终保持等价，我们称该过程为
静态过程，或者称该状态为（相对）静止状态。在静态过程中，描述系统的物理量不随时间变
化，即守恒。
变换：把系统从一个状态变到另一个状态的操作。若变换前后系统的状态等价，则称该变
换为“对称”变换。例如，把一个正方形沿过中心的垂直轴旋转90 度，所处新状态与原状态的
几何性质完全相同，沿过中心的垂直轴旋转90 度这个变换就是正方形这一几何系统的对称变
换。
因此，对称性的精确含义就是系统能够在某些变换下保持状态等价的性质。
例7.1-1：求出下面平面几何系统的所有对称变换
241
图7-2 （a） 图7-2 （b）
解：（a）图的对称变换有：绕过圆心且垂直于纸面的轴以任意角度，顺时针或者逆时针方向的
转动；关于过圆心且垂直于纸面的的任意平面的镜像，相对圆心的反演。
（b）图的对称变换有：绕过中心且垂直于纸面的轴作180 度的转动；关于过上下对称轴或者左
右对称轴且垂直于纸面的平面的镜像，相对中心的反演。
上述对称性的定义是操作性的，同时也给出了对称性的表示方法，即一个系统的对称性可
以用其所包含的对称变换来表示。具体地说，我们可以用一个对称变换的集合来描述系统的对
称性，集合中的元素越多，该系统的对称性就越高。例如，例7.1-1 中图（a）不仅包含了图（b）
的所有对称变换，而且还含有图（b）所不具有的对称变换，因此图（a）的对称性比图（b）高。
3）对称性的分类与性质
变换可以分为基本变换和复合变换。
时间和空间是物质存在的基本形式，对时间和空间的操作是最基本的变换。对时间的变换
有时间反演变换、时间平移变换和时间膨胀变换；对空间的变换有空间反演和镜像变换、空间
平移变换、空间转动变换和空间标度变换等。在前4 个空间变换下空间任意两点之间的距离保
持不变，它们又统称为等距变换。物理中常用的还有对时间和空间的联合变换，如伽利略变换
和洛仑兹变换等。
物理中常用的基本变换还有置换变换、规范变换、正反粒子共轭变换等。
几个基本变换的复合也是变换，称为复合变换。复合变换的结果为相继进行几种基本变换
的结果，变换之间的复合是可以结合的。
必须说明的是，变换的复合一般来说是不可交换的。例如，函数y=x2 的图像在对y 轴空
间反演后得到y=(−x)2=x2，再向x 轴正向平移1 个单位得到y=(x−1)2 ；而同样的图像先
向x 轴正向平移1 个单位得到y=(x−1)2 ，再对y 轴空间反演后得到y=(−x−1)2=(x+1)2，
变换的顺序不同，得到的结果也不相同。
对称变换是保持系统状态等价的变换，因此对一个系统而言，对称变换的复合也是对称变
换。显然，恒等变换是对称变换；对称变换的逆变换（即把结果状态变成初始状态的变换）也
242
是对称变换。如果我们把复合看成是变换之间的（乘法）运算，一个系统对称变换的全体就构
成了一个群，称为该系统的对称群。
按照系统的对称群中所包含对称变换的类型，对称性可以分为时空对称性与非时空对称
性；按照系统的状态在操作前后的等价程度，对称性还可以分为严格对称性与近似对称性。
除了状态之外，物理学家更关心的是物理规律。状态随时间的演化过程是受物理规律支配
的，因此规律也有对称与否的特征。如果在某种变换下，物理规律的形式不发生变化，我们就
说物理规律对于该变换对称，或者说该变换是物理规律的对称变换。例如，我们把系统在空间
转动一个方向，其运动仍然满足同样的物理规律——牛顿定律，这表明牛顿定律具有空间转动
对称性；同样，把系统在空间移动一段距离，其运动还满足牛顿定律，这表明牛顿定律具有空
间平移对称性。牛顿第二定律与惯性参考系的选用无关，说明对参考系作伽利略变换不改变牛
顿定律的形式，即牛顿定律对伽利略变换是对称的。我们所知道的其它物理定律也都有类似的
情况。
一般来说，经典力学系统的状态可以用广义坐标和广义动量描述，运动方程由系统的哈密
顿函数确定，哈密顿函数的对称性决定了经典运动方程的对称性；而量子力学系统的状态用波
函数描述，运动方程由系统的哈密顿算符确定，哈密顿算符的对称性决定了量子运动方程的对
称性。我们把这种与运动规律有关的对称性称为动力学对称性，相应的对称群称为动力学对称
群。
7.1.2 变换的数学描述
1）基本变换的描述
下面我们以空间变换为例，来介绍基本变换的数学形式。
空间反演变换把一个位置变成其关于原点的对称位置，用大写字母P 来描述。它对位置矢
量的作用可以表示为
Pr􀁋= −r􀁋。 (7.1.1a)
作为特例，把一维反演变换的作用可以简单的表示为Px = −x 。
空间镜像变换把一个位置变成其关于过原点平面s的对称位置，用大写字母P(n􀁋)来描述，
其中n􀁋 为平面s的法线方向。它对位置矢量的作用可以表示为
( ) P n r r r⊥
= − 􀀦
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.1b)
其中r=(r×n)×n 􀀦
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋为与平面s平行的分矢量，r (r n)n ⊥ 􀁋 = 􀁋 ⋅ 􀁋 􀁋 与平面s垂直的分矢量。作为特例，
一维镜像变换的作用可以简单的表示为Px = P(i)x = −x 􀁋
，与一维反演相同。
空间平移变换把一个位置移动到另一个位置，位移量为a􀁋 的空间平移变换用带参数的大写
243
字母T(a􀁋)来描述，即
T(a􀁋)r􀁋=r􀁋+a􀁋。 (7.1.2)
所有空间平移变换的集合记为T3。
作为特例，我们把所有沿x 轴的平移变换T(a) =T(ai) 􀁋
的集合记为T1，显然有
1 T(a)x = x+a, T ={T(a)|a∈R} (7.1.3)
空间转动变换把一个位置r=xi+yj+zk
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 以原点为中心转动到另一个位置
' ' ' ' r xi y j zk = + +
􀁋
􀁋 􀁋 􀁋 。为了简单起见，我们考虑绕z 轴转动角度为α 的定轴转动变换，用带
参数的大写字母C(α)来描述，即
' cos sin 0
( ) ' sin cos 0
' 0 0 1
x x x
C y y y
z z z
α α
α α α
     −  
 = =         
      
      
(7.1.4)
显然，由于转动角度2p 相当于不转动，因此C(α +2π)与C(α)实际上是同一个转动变换，
所有绕z 轴的定轴转动变换R(α)的集合可以表示为1 R={C(α)|α∈[0,2π)}。
2）变换的代数性质
对于两个相继进行的空间平移变换T(a􀁋)和T(b)
􀁋
，其合成的结果仍然是一个空间平移变
换，即
T(b)T(a)r=T(b)(r+a)=(r+a)+b=r+(a+b)=T(a+b)r
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.5a)
或者简单地表示为
T(b)T(a)=T(a+b)
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.5b)
由此可得
T(−a􀁋)T(a􀁋)r􀁋=T(a􀁋−a􀁋)r􀁋=T(0)r􀁋=r􀁋 (7.1.6)
这说明T(−a􀁋)为T(a􀁋)的逆变换，两者的复合变换为恒等变换T(0) =I。
容易验证，空间平移变换还满足结合律
244
T(a)[T(b)T(c)]=T(a+b+c)=[T(a)T(b)]T(c)
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.7)
我们把空间平移变换的复合看成运算，恒等变换I 就是该运算的单位元，所有变换都有唯
一的逆元，即逆变换。复合运算满足结合律(7.1.7)，而且T3 对于复合运算是封闭的，因此全体
空间平移变换构成了一个群，称为一般空间平移群，也记为T3。
由于矢量的加法是可以交换的，根据(7.1.5b)式，有
T(a)T(b)=T(b+a)=T(a+b)=T(b)T(a)
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.8)
即一般空间平移群是一个可交换群。
在上述运算下，沿x 轴平移变换的集合T1 也是一个群，它是一般空间平移群T3 的一个子
群。一般空间平移群T3 和它的子群T1 都是连续群。
类似地，所有绕原点的空间转动变换也构成了一个群，称为SO3 群，记为3 R 。绕过原点的
轴的转动变换的集合也构成了一个群，称为SO2 群，记为1R (n􀁋)，其中n􀁋 为该轴的方向矢量。
显然，定轴转动群1R (n􀁋)是一般空间转动群3 R 的一个子群。作为特例，前面我们讨论过的绕z
轴转动变换的集合R1 是一个特殊的定轴转动群，即1 1R =R(k)
􀁋
。一般空间转动群3 R 和定轴转
动群也都是连续群。
需要说明的是，由于C(α +2π)=C(α)，因此C(α)的逆元通常表示为C(2π −α ) ，而封
闭性关系为
( ), 2
( ) ( )
( 2), 2
C
C C
C
α β α β π
α β
α β π α β π
 + + =  + − + ≥ 
(7.1.9)
可以验证，SO3 群不是可交换群，但是它的子群SO2 群却是一个可交换群。
容易看出，相继两个反演变换的合成是一个恒等变换，即
P⋅P= I 。 (7.1.10)
这说明反演变换的逆变换就是它本身。显然，对于复合运算，集合{P，I}也构成了一个群，称
为空间反演群。空间反演群是一个可交换的有限群，它的生成元为{ P }。
同理，相继两个同样的镜像变换的合成也是一个恒等变换，即
P(n􀁋)⋅P(n􀁋)=I 。 (7.1.11)
这说明镜像变换的逆变换也是它本身。对于复合运算，集合{P(n􀁋),I}也构成了一个群，称为空
245
间镜像群。空间镜像群也是一个可交换的有限群，它的生成元为{P(n􀁋)}。
3）变换在状态函数空间中的表示
一个连续分布的物理量（在这里我们只考虑标量）如电荷密度、电势、温度、浓度等，可
以用状态函数ψ (r􀁋)来完全描述。现在对该物理分布作一个整体的变换Q，即把该物理系统整
体平移、转动或者反演，得到的新状态用状态函数ψ􀀄(r􀁋)来描述。由于是整体移动，当r􀁋 点在
变换Q 的操作下移动到r􀁋' =Qr􀁋点时，带着它的物理量分布值一起移动到了r􀁋 ' 处。也就是说，
新状态函数在新点处的值等于原状态函数在原来位置处的值，即
ψ􀀄(r􀁋')=ψ(Qr􀁋)=ψ(r􀁋)。 (7.1.12a)
由于变换的可逆性，上式又可以表示为
ψ􀀄(r􀁋) =ψ (Q−1r􀁋)。 (7.1.12b)
定义算符ˆQ 为变换Q 在状态函数空间中的表示，即
Qˆψ(r􀁋) =ψ􀀄(r􀁋)。 (7.1.13)
由(7.1.12)和(7.1.13)两式立刻得到
Qˆψ(r􀁋) =ψ(Q−1r􀁋)。 (7.1.14)
上式给出了变换算符ˆQ 的具体定义。
例如，对于空间反演变换，我们有
1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) P r P r Pr r ψ ψ ψ ψ − = = = − 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.15)
对于沿x 轴的平移变换来说，有
Tˆ(a)ψ(x)=ψ[T(−a)x]=ψ(x−a) (7.1.16)
不失一般性，我们假定状态函数是足够光滑的，即可以展开为泰勒级数
( ) ˆ
0 0
( ) 1 ( )( ) 1( ˆ) ( ) ( )
! !
n n n aD
n n
x a x a aD x e x
n n
ψ ψ ψ ψ
∞ ∞
−
= =
− =Σ − =Σ − = (7.1.17)
比较上面两个式子，我们得到沿x 轴平移变换算符的一个明显表达式
Tˆ(a) =e−aDˆ (7.1.18)
246
在一般情况下，平移变换算符的明显表达式为
Tˆ(a) =e−a⋅∇ 􀁋 􀁋 (7.1.19)
对于绕z 轴转动变换来说，有
Cˆ(α)ψ (ϕ)=ψ[C(−α)ϕ]=ψ (ϕ−a) (7.1.20)
类似地有
ˆ ψ(ϕ −α)=e−α Lzψ(ϕ) (7.1.21)
其中算符ˆ
z L ϕ
∂
∂ = 。比较上面两个式子，又得到绕z 轴转动变换算符的一个明显表达式
Rˆ(α)= e−α Lˆz (7.1.22a)
容易验证在直角坐标下
ˆ ˆ, ˆ z y x L x y kL L r ϕ
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ = = − = ⋅ = ×∇
􀁋 􀁋
其中k 为转动轴方向的单位矢量。于是(7.1.22a)式又可以表示为
Rˆ(α)=e−αk⋅Lˆ=e−α⋅Lˆ, α =αk
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.22b)
由于坐标轴的方向可以任意规定，上式容易推广到一般情况，绕方向矢量为n􀁋 的轴转动角度 a
的转动变换算符为
Rˆ(α)=e−α ⋅Lˆ, Lˆ=r× ∇,α =αn 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 (7.1.23)
反演变换是不连续的，因而反演变换算符不能用微分算符来表示。不过，我们可以把状态
函数空间分解为偶函数子空间和奇函数子空间，例如对任意给出的状态函数ψ (r􀁋)，我们可以
把它分解为
( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 1) ,
( ) ( ) 2 ( ) ( )
e e
e o
o o
r r r r
r r r
r r r r
ψ ψ ψ ψ
ψ ψ ψ
ψ ψ ψ ψ
     + − 
= + =    =        − − 
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋
􀁋 􀁋 􀁋
􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.24)
显然有
ˆ ˆ ( ) ( ) 1 0 ( ) ( ) (1 1) (1 1) (1 1)
( ) ( ) 0 1 ( )
e e e
o o o
r r r
P r P
r r r
ψ ψ ψ
ψ
ψ ψ ψ
  +    
=  =  =      −   −  
􀁋 􀁋 􀁋
􀁋
􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.25)
上式对于任意的状态函数都正确，因此给出了反演变换算符的一种矩阵表示，即
247
ˆ 1 0
0 1
P
 
=   − 
。 (7.1.26)
4）问题与探究
问题一：研究一维空间压缩变换
Q(a)x = x/a (7.1.27)
对应的压缩变换算符的明显表达式，并且把它推广到三维空间中。
提示：一维压缩变换算符满足条件
Qˆ(a)ψ(x)=ψ􀀄(x)=ψ[Q(a)−1x]=ψ(ax) (7.1.28)
由此可以得到一维压缩变换算符的明显表达式为
Qˆ(a) = e−lna x⋅Dˆ (7.1.29)
问题二：研究时间平移变换
Q(τ )t=t'=t+τ (7.1.30)
对应的时间平移变换算符。
问题三：研究时间压缩变换
Q(a)t = t'= t/a (7.1.31)
对应的时间压缩变换算符。
问题四：研究伽利略变换
'
( )
'
x x x vt
Q v
t t t
     − 
 = = 
     
(7.1.32)
对应的算符。
提示：与伽利略变换对应的算符满足条件
Qˆ(v) f (x,t)= f[Q(−v)(x,t)]= f (x+vt,t)
其中f (x,t)为任意状态函数。不失一般性，假定态函数足够光滑，于是有
0 0
( ,) 1 (,)( ) 1( ) (,) (,)
! !
x
n
n n vt
n
n n
f x vt t f x t vt vt f x t e f x t
n x n x
∞ ∞
∂
= =
∂ ∂
+ = = =
∂ ∂ Σ Σ
问题五：研究洛仑兹变换
248
2 2 2
' 1 ( )
' 1 / /
x x xvt
Q v
t t v c t vxc
     − 
 = =       −  − 
(7.1.33)
对应的算符。
提示：作自变量变换
2 2 2 sinh
,
arctanh( / ) cosh
s ct x x s
x ct ct s
θ
θ θ
 = −  =
  =  = 
在洛仑兹变换下，新变量满足关系
2 2 2 2 2 2 22 2 2
2 2
( ') ' ' 1 [( / ) ( ) ]
1 /
tanh ' ' tanh tanh tanh( )
' / 1 1 tanh tanh
x v
ct c
x v
ct c
s c t x ct vx c x vt c t x s
v c
x x vt
ct ct vx c
θ β
θ θ β
θ β
= − = − − − = − =
−
− − −
= = = = = −
− − ⋅ − ⋅
其中tanhβ =v/c。上式可以写为
'
( )
'
s s s
Q v
θ θ θ β
     
 = =       − 
在新自变量下，与洛仑兹变换对应的算符满足条件
Qˆ(v)f (s,θ )= f[Q(−v)(s,θ)]= f(s,θ+β)
7.1.3 对称性的数学描述
1）状态的对称群
设Q 为使状态函数ψ (r􀁋)保持不变的单值变换，即
1 ˆ ( ) ( ) ( ) Q r Q r r ψ ψ ψ − = = 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.34)
显然，两个这样的变换的复合仍然保持状态函数ψ (r􀁋)不变，即所有使状态函数ψ (r􀁋)保持不变
的变换集合G 对复合运算来说具有封闭性。变换的单值性保证了每个变换都有逆变换，按照
(7.1.34)式，逆变换满足
1 1 ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) Q r Qr Q Qr r ψ ψ ψ ψ − − = = = 􀁋 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.35)
也使状态函数保持不变；而恒等变换使状态函数保持不变，可以作为单位元。这样，不变变换
的集合G 在复合运算下就成为一个群。由于这个群使状态函数ψ (r􀁋)不变，称为状态函数ψ (r􀁋)
的不变群，或者对称群。对称群完全描述了状态函数的对称性。
249
例7.1-1：求状态函数ψ (r􀁋) =f(x,y)的对称群。
解：状态函数与自变量z 无关，其沿着z 轴方向的平移变换不会改变状态函数，因此有对称群
1 G={T(zk)|z∈R}
􀁋
。同理，关于xy 平面的镜像变换也不会改变状态函数，因此又有对称群
2 G =P(k)
􀁋
。总对称群G 由这两个对称群生成，称为直积群，记为1 2 G=G×G。
例7.1-2：求状态函数ψ (r􀁋) =f(ρ,z)的对称群。
解：状态函数与自变量j无关，其绕着z 轴的转动变换不会改变状态函数，因此一般空间转动
群的子群SO2 为其对称群。同理，关于任意过z 轴平面的镜像变换也不会改变状态函数，因此
又有对称群2 G =P(n),n⊥k
􀁋 􀁋 􀁋 。总对称群为这两个对称群的直积群。
例7.1-3：求状态函数ψ (r􀁋) =f(r)的对称群。
解：状态函数与方位角无关，其绕着原点的任意转动变换都不会改变状态函数，因此一般空间
转动群SO3 为其对称群。显然，状态函数对于空间反演操作也是不变的，因此该状态有双重对
称性，总对称群为空间转动群SO3 与反演对称群的直积群，称为O3 群。
例7.1-4：求状态函数ψ (r􀁋) =f(ρ)的对称群。
提示：该状态有三重对称性：绕z 轴的转动、沿着z 轴的平移和过z 轴任意平面的镜像。
2）几种特殊状态的对称群
下面，我们再研究几种特殊状态的对称性。
先考虑状态函数ψ (r􀁋)=f(r,θ)sinmϕ,m∈Z。显然，该状态函数与球坐标下的三个空间
变量都有关，不存在一般的空间转动对称性和空间平移对称性。然而，我们发现状态函数与方
位角j的函数关系具有周期性，即sinm(ϕ + 2π /m) = sinmϕ，这说明了状态函数具有特殊的
对称性。考虑到
Rˆ(α)ψ(r􀁋)=f(r,θ)Rˆ(α)sinmϕ=f(r,θ)sinm(ϕ −α) (7.1.36)
取α =2π /m ，立刻得到
Rˆ(α)ψ (r􀁋) =ψ (r􀁋) (7.1.37)
容易验证算符Rˆ(α)的逆和复合也可以保持状态函数不变，即
250
Rˆ(nα)ψ(r􀁋)=ψ(r􀁋), 0≤n 其中Rˆ(nα)=[Rˆ(α)]n, Rˆ(mα)=I。这说明上述状态函数具有对称群
{Rˆ(nα)|α =2π /m, 0≤n 称为m 次转动对称群，记为m C 。m C 中仅有m 个元素，是一个离散的有限群，它是定轴转动
群R1 的一个离散子群，可以由单一生成元{ Rˆ(α)}生成。
此外，我们还发现
1 1
2 2
−Rˆ( α)ψ (r􀁋)=−f(r,θ )sinm(ϕ − α) = −f(r,θ )sin(mϕ −π ) =ψ (r􀁋)
这表明复合算符1
2
−Rˆ( α)也是状态函数ψ (r􀁋) =f(r,θ)sinmϕ的一个对称算符，该算符可以生
成状态函数的一个更大的离散有限对称群，其中包括子群m C 。
请读者考虑一下，状态函数ψ (r􀁋) =f(r,θ)cosmϕ有哪些对称操作，它的对称群是什么？
再考虑状态函数ψ (r􀁋)=f(y,z)coskx,k∈R。显然，状态函数与三个空间变量都有关，
也不存在一般的空间转动对称性和空间平移对称性。然而，状态函数与x 坐标的关系具有周期
性，这说明了该状态函数也具有特殊的对称性。取a=2π /k，不难得到
Tˆ(a)ψ(r􀁋)=f(y,z)Tˆ(a) coskx=f(y,z) cosk(x−a) = f(y,z) coskx=ψ(r􀁋) (7.1.40)
容易验证算符Tˆ(a)的逆和复合也可以保持状态函数不变，即
Tˆ(na)ψ(r􀁋)=ψ(r􀁋), n∈Z (7.1.41)
其中
| |
[ ˆ( )] , 0 ˆ( )
[ˆ( )] , 0
n
n
T a n
T na
T a n
 ≥ = 
 − 。这说明上述状态函数具有对称群
{Tˆ(na)|a=2π /k, n∈Z}。 (7.1.42)
这是一个离散群，也是空间平移对称群的一个子群，称为离散平移对称群，其生成元集合中只
有一个元素，即{Tˆ(a)}。
请读者考虑一下，上述状态是否还有其它对称操作，它的总对称群是什么？
3）规律的对称群
251
定量的物理规律通常用方程来描述，规律的对称群也就是相应的物理方程的对称群。在数
学物理中，常见的方程可以概括为如下的一般形式
n 2 ( , )
t∂u=a Δu+ f r􀁋 t 。 (7.1.43)
对上式两边作空间变换Q，得到
ˆn 2ˆ ˆ( , )
t Q∂ u=aQΔu+Qf r􀁋 t 。 (7.1.44)
考虑到时间变量与空间变量是相互独立的，我们有
nˆ 2ˆ ˆ1ˆ ˆ( , )
t ∂ Qu=a QΔQ− Qu+Qf r􀁋 t 。 (7.1.45)
由于未知函数形式的选取不影响方程的形式，即我们可以把Qˆu 作为未知函数，因此方程保持
不变的条件是
QˆΔQˆ−1 =Δ, Qˆf(r􀁋,t)= f(r􀁋,t)。 (7.1.46)
对于一般空间平移变换，有
ΔQˆ−1=ΔTˆ(−a)=∇2ea⋅∇ =ea⋅∇∇2 =Qˆ−1Δ 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.47)
因此有QˆΔQˆ−1 =Δ，即拉普拉斯算符在空间平移变换下是不变的。
对于空间转动变换，同样可以证明
ΔQˆ−1=ΔRˆ(−α)=∇2eα⋅Lˆ =eα⋅Lˆ∇2 =Qˆ−1Δ 􀁋 􀁋 􀁋 。 (7.1.48)
因此有QˆΔQˆ−1 =Δ，即拉普拉斯算符在空间转动变换下也是不变的。
类似地可以证明，拉普拉斯算符在空间反演变换和空间镜像变换下也是不变的。因此，在
空间等距变换下，数学物理方程(7.1.43)的不变性完全取决于非齐次项f (r􀁋,t)，或者说非齐次项
的对称群就是方程(7.1.43)的对称群。
例如，在等距变换下，泛定方程2 ( , ) t∂u=a Δu+ f r t 的对称性完全由非齐次项f (r,t)决
定，而f (r,t)具有O(3)对称性，因此方程的对称群为O(3)。
§7.2 对称性原理
7．2．1 对称性原理
1）对称性原理
252
对称性原理是法国物理学家皮埃尔·居里(Pierre Curie，1859—1906)在分析了大量涉及对
称性的因果关系后提出来的，内容为：
原因中的对称性必反映在结果中，即结果中的对称性至少有原因中的对称性那样多。反过
来说，结果中的不对称性必在原因中有所反映，即原因中的不对称性至少有结果中的不对称性
那样多。
对于一个物理系统来说，它的历史、环境以及所服从的运动定律是原因，状态的演化是结
果，对称性原理告诉我们：历史、环境条件以及运动定律的对称性必然反映到演化后的状态里。
对称性原理是自然界的普遍原理，它的适用范围不仅仅局限于数学和物理学领域，而且可
以应用到化学、生物学甚至经济学和社会学之中。
2）对称性原理的表现
一般来说，同一组原因可能产生若干种不同的结果。如果仅有一种可能的结果，它必然反
映原因的对称性；如果有多种可能的结果，原因中的对称性必反映在全部可能结果的集合中，
即全部可能结果的集合中的对称性至少有原因中的对称性那样多。
下面，我们给出几个实例来说明对称性原理的表现。
例7.2-1：根据对称性原理说明质点在有心力场中的运动轨道为平面曲线。
解：根据牛顿定律，质点运动的轨道由初始位置、初速度和作用力共同确定，具有唯一性。初
速度和作用力在初始位置处相交，决定了一个初始平面。在有心力的情况下，条件中无偏离该
平面的因素，或者说原因对该平面镜像对称。按照对称性原理可以推断，质点的运动不会偏离
该平面，轨道一定在该平面内。反过来说，如果轨道不在初始平面内，那么可以断定该质点所
受到的不是有心力，或者还受到除有心力之外的其它相互作用。
需要注意的是，如果质点在一个平面内运动，根据对称性原理我们并不能断定所受到的一
定是有心力，甚至不能断定运动的条件关于该平面对称。
例7.2-2：根据对称性原理来解释竖直铅笔倾倒结果的不对称现象。
解：如图7-3，因为竖直铅笔的初始状态和引起倾倒的重力都有轴对称性，所以铅笔倾倒的方
向也应该有轴对称性。然而，由于倾倒的结果具有不唯一性，因此铅笔倾倒方向的轴对称性是
统计性的，一次倾倒的结果具有偶然性，只有多次倾倒的统计结果才表现出轴对称性。具体地
说，铅笔向某个方向倾倒的可能性具有轴对称性，即向各个方向倾倒的可能性相同。
253
图7-3
3）对称性原理的数学描述
由于对称性可以用对称群来描述，因此对称性原理也可以用对称群来进行描述。具体地说，
就是：
结果的对称群包含原因的对称群。
当结果唯一的时候，状态的对称群包含条件和规律的对称群；
当结果不唯一的时候，状态分布的对称群包含条件和规律的对称群。
用数学语言来说，初始条件、边界条件和运动微分方程是原因，解函数是结果，泛定方程
和定解条件中的对称群是解函数对称群的一个子群。
一般来说，数学物理问题的通解由泛定方程决定，不唯一；特解由泛定方程和定解条件共
同决定，具有唯一性。按照对称性原理，如果问题具有某种对称性，则其解也具有该种对称性。
具体地说，如果是有唯一性的问题，则其解应该在问题对称群的作用下保持不变；如果是没有
唯一性的问题，则其解应该在问题对称群的作用下仍然保持是问题的解。
作为例子，我们先考虑一个定解问题
0,
1 r a
u r a
u =
Δ = 
 =
。
显然，泛定方程与边界条件都有球对称性，考虑到问题的适定性，它具有唯一解。按照对称性
原理，解函数也应该具有球对称性，即u=u(r)。代入问题之后，我们就把一个3 变量的偏微
分方程问题变成了一个常微分方程问题了
2
2 2 0,
( ) 1
u u r a
r r
u a
∂ ∂
 + = ∂ ∂ 
 =
再考虑一个线性泛定方程问题
Lˆu = f (7.2.1)
254
其中ˆL 为微分算符，f 为非齐次项，u 为某个特解。设泛定方程有对称群1 2 { , , , } n G= g g 􀀢g ，
按照对称性原理， i g u 也是泛定方程的解。根据叠加原理，
1
i i v gu
n
= Σ (7.2.2)
同样是泛定方程的一个特解。我们把对称群G 中的一个任意变换算符作用到这个特解上，得到
ˆ 1 ˆ ˆ 1 ˆ j i j i kk g v g gu g u v
n n
= Σ ⋅ = Σ = (7.2.3)
在推导中已经利用了群的重排定理。上式说明一个线性泛定方程至少有一个特解在对称群的作
用下保持不变，即是对称群的不变函数。
上面的结果启发我们，可以在对称群的不变函数中寻找泛定方程的特解。特别地，对于一
个线性齐次泛定方程问题，由于其解的常数倍也是问题的解，因而我们可以在对称群的广义不
变函数中寻找泛定方程的特解，即寻找满足下面条件的特解
ˆ , j j j g v=λ v λ ∈C (7.2.4)
下面来看一个具体的例子，考虑常微分方程问题
''( ) 2 ( ) 0
(0) , '(0) 0
y x x y x
y ay
 + =

 = =
问题中的泛定方程和定解条件都有空间反演对称性，于是我们可以断定结果，即问题的解也具
有空间反演对称性。由于该问题的解具有唯一性，因此有
Py(x) =y(−x) =y(x)
这说明解一定是偶函数。
7．2．2 对称性与守恒定律
1）诺特定理
对称性是系统状态在某些变换下的不变性，而守恒性是描述系统状态的物理量不随时间变
化的性质，两者说得并不是一回事。
然而，1918 年德国女数学家艾米•诺特(Emmy Noether, 1882-1935)却发现系统的对称性与物
理量的守恒性之间有密切联系。她首先指出，系统的每一种连续对称性都有一个守恒的物理量
与之对应。人们把这种对称性与守恒性之间的联系称为诺特定理。
按照诺特定理，可以推出如下结论：
系统具有空间平移对称性——系统的动量守恒；
系统具有空间转动对称性——系统的角动量守恒；
255
系统具有时间平移对称性——系统的能量守恒。
以及
系统具有严格的对称性——存在严格的守恒量；
系统具有近似的对称性——存在近似的守恒量。
进一步的研究发现，根据量子力学，一些离散的对称性也存在着对应的守恒量，只要这种
对称性可以用一个么正变换来描述。例如，空间反演对称性是不连续的，但是也有一个相应的
守恒量——宇称；而时间反演对称性也不连续，然而需要用反么正变换来描述，因此没有相应
的守恒量。
2）经典力学情况
在这里，我们不准备对诺特定理作一般性的证明，只是给出几个经典力学中的典型案例。
在经典力学中，系统的运动规律由哈密顿函数H(q ,p ,t) α α 确定，其中qα 为广义坐标，pα
为广义动量，它们满足正则方程
dp H, dq H
dt q dt p
α α
α α
∂  ∂ 
= −  =  ∂  ∂ 
。 (7.2.5)
考虑一个单粒子的无约束系统， 取直角坐标为广义坐标， 哈密顿函数为
( , , , , , ) x y z H x y z p p p 。当系统有沿着x 方向的空间平移对称性时，得到
( , , , , , ) ( , , , , , ) x y z x y z H x+a y z p p p =H x y z p p p
由于这是一个连续的对称性，可以在上式中取a 为无穷小量，得到
( , , , , , ) ( , , , , , ) ( , , , , , ) 0 x y z x y z x H x+a y z p p p −H x y z p p p = ∂ H x y z x􀀅 y􀀅 z􀀅 ⋅a=
由此推出( , , , , ) x y z H=H y z p p p ，即哈密顿函数与x 坐标无关。代入正则方程后得到
0 x
dp H
dt x
∂  = =  ∂ 
即
const x p = (7.2.6)
这实际上是我们熟悉的动量守恒定律。
当系统有绕z 轴的轴对称性时，可取粒子的柱坐标为广义坐标， 哈密顿函数为
( , , , , , ) z H zp p p ρ ϕ ρ ϕ 。由轴对称性得到( , ,, , , )z H zp p p ρ ϕ ρ +α ϕ ( , , , , , ) z H zp p p ρ ϕ = ρ ϕ ，
256
由此可以推出( , , , , ) z H zp p p ρ ϕ ρ ，即哈密顿函数与j坐标无关。代入正则方程后得到
dp H 0
dt ϕ ϕ
∂ 
= =  ∂ 
即
p m 2 const ϕ = ρ ϕ􀀅= (7.2.7)
这正是我们熟悉的角动量守恒定律。
3）量子力学情况
量子力学中的情况也类似，系统的运动规律由薛定谔方程确定
i H
t
ψ
ψ
∂
=
∂
􀀽 。 (7.2.8)
其中ˆH 为哈密顿算符，ψ 为波函数， 􀀽 为普朗克常数。
设系统有沿着x 方向的平移对称性，即
Tˆ(a)Hˆ⋅Tˆ(a)−1=Hˆ, Tˆ(a)=e−a⋅Dˆ (7.2.9)
由于这是一个连续的对称性，在上式中取a 为无穷小量，得到
(1−a⋅Dˆ)Hˆ ⋅(1+a⋅Dˆ) =Hˆ
即
HˆDˆ = DˆHˆ (7.2.10)
在状态ψ 中，动量x 分量的平均值为
* ˆ x p D d
i
= ∫∫∫ψ ψ τ 􀀽
由此可以推出
[ *ˆ *ˆ ] [ *ˆˆ *ˆˆ] 0 x
d p D D d HD DH d
dt i t t
ψ ψ
ψ ψ τ ψ ψ ψ ψ τ
∂ ∂
= + = − =
∂ ∂ ∫∫∫ ∫∫∫ 􀀽 (7.2.11)
这表明在平均值的意义下动量的x 分量守恒。
7．2．3 对称性的破缺
1）对称性的起源
一般来说，对称性意味着某种不可分辨性或不可测量性。例如物理规律具有空间平移对称
性，表明空间没有绝对的原点，可以任意选择空间的一点作为坐标原点，物理规律保持形式不
变，即绝对位置是不可测量的；同样物理规律具有时间平移对称性，表明时间也不存在绝对的
257
零点。
换句话说，对称性起源于客观世界的不可区别性。那么，大自然是不是具有不可区别性呢？
这是一个实验问题。早先，物理学家并不认为大自然具有不可区分性，例如，牛顿就认为存在
绝对空间和绝对运动。但是，实验并没有发现牛顿设想的绝对空间。20 世纪初，爱因斯坦按照
洛仑兹变换下形式不变的要求改造了牛顿力学，创立了相对论力学；后来他又按照一般参照系
变换下形式不变的要求推广了相对论力学，创立了广义相对论。爱因斯坦相对论得到了实验的
有力支持，取得了巨大的成功。此后，大多数物理学家相信世界在本质上是不可区分的，即是
对称的。
1956 年，李政道和杨振宁发现：在弱相互作用下，微观粒子衰变过程中的宇称不守恒，
即不满足空间反演不变性。这意味着如果给粒子照镜子的话，在镜子里和镜子外的衰变方式居
然不一样！这个结论大大出乎物理学家的预料，大多数人抱怀疑的态度。实验物理学家吴健雄
设计了一个巧妙的实验，结果验证了“宇称不守恒”，后来人们开玩笑说：上帝是个左撇子。
现在，多数人对大自然采取了一种“对称推断”的态度，即先假设自然界中的一切都是对
称的，直到实验中发现了不对称的的现象。
2）对称性的破缺
虽然绝对的空间并不存在，但是如果系统相对于外界作了变动，其状态就可能发生变化。
换句话说，外界与系统的相互作用会造成对称性的某种破坏或者缺失，这种情况称为对称性诱
导破缺，简称对称性破缺。在相互作用较弱的情况下，系统往往能够近似地保持原有的对称性。
物理上常常通过对称性的破缺来反推系统与外界的相互作用情况，例如，晶体生长过程中往往
可以具有较高的对称性，其上下、左右、前后都有对称性，我们可以推知环境的影响比较小；
而植物在生长过程中，其左右、前后都有对称性，但是失去了上下对称性，我们推知环境中一
定有一种破坏其上下对称性的相互作用，实际上这就是我们所熟悉的重力。
为了具体了解物理中对称性破缺的现象，我们看一个的例子。
考虑在势阱V(x)中运动的粒子，其稳定平衡位置完全由该势阱确定，按照对称性原理，势
阱的对称性确定了粒子稳定平衡位置的对称性。例如，对于一个如下的势阱（见图7-4 a）
1 2 1 4
2 4 V(x)= ax + x , a>0 (7.2.12)
其平衡位置由下式确定
V'(x)=ax+x3 =0 (7.2.13)
得到x ＝ 0，容易验证在该点势能取最小值，说明这是一个稳定的平衡位置。
势能(7.2.12)具有空间反演对称性，由此得到的稳定平衡位置也具有空间反演对称性，符合
对称性原理。
258
如果在上述势阱的基础上附加一个势能1 4
1 4 U (x) =bx− x , b≠0后，系统的势阱成为（见
图7-4 b）
1 2
1 1 2 V (x)=V(x)+U (x)=bx+ ax (7.2.14)
其平衡位置由下式确定
V'(x) =b+ax= 0
得到x ＝ －b/a。容易验证V''(x) =a> 0 ，这说明这是一个稳定的平衡位置。由于外加势能不
是反演对称的，因此导致了稳定平衡位置失去了空间反演对称性，这是对称性诱导破缺的情况。
-2 -1 1 2
2
4
6
8
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
2
-1 -0.5 0.5 1
-0.05
-0.025
0.025
0.05
0.075
图7-4 a 图7-4 b 图7-4 c
对称性反映了物质运动的共性，而对称性的破坏才使得不同物质显示出各自的特性。就像
建筑和图案一样，只有对称而没有它的破坏，看上去虽然很规则，但同时显得单调和呆板。只
有基本上对称而又不完全对称才构成美的建筑和图案。因此，对称性的破缺是事物不断发展进
化，变得丰富多彩的原因。
问题在于宇宙是没有外界的，如果我们的宇宙原先是对称的，就不可能有外部作用来破坏
这种对称性，换句话说，宇宙将永远保持这种对称状态。那么，我们今天丰富多彩的世界是从
哪里来的呢？
3）对称性的自发破缺
除了系统与外界相互作用会引起系统原有对称性的破缺外，系统的内部因素也会引起对称
性的破缺，原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，其对称程度自发降低，这种现象叫做
对称性自发破缺。一个明显的例子是动物为了发展相对于自身向前方自主运动的能力，在长期
的进化中其身体结构偏离了重力环境所允许的前后对称性，只保留了左右对称性。另一个生活
中的例子是时钟，最初设计的时钟有顺时针转动的，也有逆时针转动的，表现出了统计形式的
对称性。但是由于顺时针转动设计用得较多，就有较多人习惯于读它，以后它就被采用得更多。
最后形成现在的惯例，已经失去了对称性。
为了更好的理解对称性破缺的概念，我们回到前面的例子。如果势阱的形式保持不变，但
其中的参数a 逐渐减小，变成一个负数，这时势能曲线如图7-4 c 所示。系统的平衡位置仍然
259
由(7.2.13)式确定，但是除了x ＝ 0 之外，又增加了两个平衡点x = ± −a 。势能在平衡点的
二阶导数为
V''(0) =a 0
因此平衡位置x ＝ 0 是不稳定的，但是新增加的平衡位置x = ± −a 是稳定的。这个结果也符
合对称性原理，是对称性原理在结果不唯一时的表现形式。
问题在于只有1 个粒子，却有2 个稳定平衡位置，在实际情况中粒子只能处于其中的一个，
无论粒子处于哪一个平衡位置，系统都失去了对称性。在这种情况下，系统的势能始终是对称
的，但是由于内部参数的变化，原先对称的稳定平衡点失去了稳定性，从而造成了实际状态的
不对称，这就是对称性自发破缺的情况。
用物理语言来说：当系统参量到达某个临界值时，原先具有对称性的状态失稳，新出现了
若干个等价的稳定状态，虽然它们的分布保持着原有的对称性，但是每一个状态本身不对称。
系统将由失稳的对称状态向某个新的稳定状态过渡，结果失去了对称性。
可以不夸张的说，不同种类的粒子、不同种类的相互作用、以致整个复杂纷纭的自然界，
包括人类自身，都是对称性自发破缺的产物。对称性自发破缺对于认识自然的具有重要的意义。
§7.3 对称性原理在数学物理中的应用
对称性可以使我们不求解方程就能获得一些关于解函数的信息，利用这些信息往往能够简
化问题的处理。下面，我们通过一些实例，来介绍对称性原理在数学物理中的应用。
7．3．1 常微分方程的求解
1）奇偶对称性
考虑常微分方程
y''(x)+V(x)y(x)=Ey(x) (7.3.1)
其中E 为参数。显然，在空间反演变换x ↔ −x 下，方程的形式不变，这说明具有问题具有空
间反演对称性，其解的集合也应该具有相应的对称性。考虑到方程是线性齐次的，因而我们可
以在对称群的广义不变函数中寻找特解，即
Py(x) = y(−x) =λ y(x) (7.3.2)
对上式中再进行一次空间反演变换，得到
P2y(x)=λPy(x)=λ2y(x) (7.3.3)
260
考虑到P2 =I为恒等算符，因此λ 2 =1，解出l ＝ ≤1，分别对应特解
( ) ( )
( ) ( )
e e
o o
y x y x
y x y x
− = +
− = −
(7.3.4)
其中一个是奇函数，一个是偶函数。这样，我们还没有对方程进行求解，利用对称性原理就得
到了特解的重要信息。
2）平移对称性
考虑常微分方程
−y''(x)+V(x)⋅y(x)=Ey(x) (7.3.5)
的有界解，其中V(x)为周期函数，基本周期为a。显然，在平移变换x →x+a下，方程的形
式不变，这说明问题具有离散的平移对称性。考虑到方程的齐次性，问题存在具有离散平移对
称性的特解，即
T(a)y(x)= y(x+a)=λy(x) (7.3.6)
由此得到
y(x±na)=λ ±ny(x) (7.3.7)
如果 |l| ∫ 1，当n 趋向无穷大时，上式发散。根据解的有界性要求，必须 |l| ＝ 1。为了方便，
我们把l写成复指数函数的形式
λ = eiKa (7.3.8)
K 的单值性要求把幅角限制在主值范围内，即取−π −π/a 设y(x) =eiKxu(x)，代入(7.3.6)式后得到
eiKaeiKxu(x+a)=eiKaeiKxu(x)
即
u(x+a)=u(x) (7.3.10)
这就是著名的布洛赫定理的一维形式，它告诉我们在周期场中波函数的组成方式。
7．3．2 偏微分方程的求解
1）球对称性
261
考虑定解问题
2
0
,
0
( )
t
r b
t
u a u r b
u
u fr
=
=
 = Δ 
= 

 =
(7.3.11)
显然，问题与定解条件都具有球对称性，而问题的适定性要求解是唯一的，因此解也有同样的
对称性
u=u(r,t) (7.3.12)
这样，问题就得到了极大的简化。第六章中我们利用对称性来处理问题的依据就是对称性原理。
2）轴对称性
有心力场的散射问题可以归结为求解下列定解问题
2
cos
( )
[ik r (, ) 1 ikr ]
r
u k u U r u
u Ae f e
r
⋅ θ θ ϕ
→∞
Δ + =

→ + 
(7.3.13)
其中f (θ,ϕ)为待求的散射幅。显然，泛定方程与定解条件都具有绕z 轴转动的对称性，作为
唯一的特解，u 也具有这种对称性，因此f (θ,ϕ)与j角无关，即f = f (θ)。
3）转动对称性
考虑下面的稳定场问题
0,
| ()sin r a
u r a
u fθ mϕ =
Δ = 
 =
(7.3.14)
泛定方程具有球对称性，而边界条件具有转动对称性Cm（实际对称群更大），由于解的唯一性，
因此待求函数也具有同样的对称性。我们可以假设u=v(r,θ )sinmϕ ，代入定解问题后得到
2
2 2 2
1 2 1 1
sin sin
( , ) ( sin ) ( , ) 0,
( , )| ( )sin
m
r r r r
r a
r vr vr r a
v r f m
θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ ϕ =
 ∂ ∂ + ∂ ∂ − = 
 =
(7.3.15)
原来有3 个自变量的问题变为只有2 个自变量的定解问题。
假设未知函数可以写成分离变量的形式v(r,θ ) = R(r)Θ(θ )，代入泛定方程后得到
2
2
2
sin ( ')' (sin ')' 0
sin
m r R R R θ θ
θ
Θ + Θ − Θ=
262
上式的两边同时除以R(r)Θ(θ )，经过简单的整理后得到
2 2
2
( ')' 1 (sin ') '
sin sin
r R m
R
θ
θ θ
= − Θ +
Θ
上式的左边为坐标r 的函数，右边为坐标q的函数，两边要保持相等，必须都等于一个分离参数
λ。这样，泛定方程就分离为两个独立的常微分方程
2
2
sin
( ')' 0, [0, ]
(sin ') ' m sin 0, [0, ]
r R R r b
θ
λ
θ λ θ θ π
− = ∈
Θ −− Θ+ Θ = ∈
(7.3.16)
前一个方程附有界性边界条件|R(0)| |Θ(0)|,|Θ(π)| 2 2
sin (sin ') ' sin 0, [0, ] ( ')' 0, [0, ],
| (0)| | (0)|,| ( )|
r R R r b m
R
θ λ θ λ θ θ π
π
 − = ∈  Θ − Θ+ Θ = ∈
 
 上式中的后一个问题为连带勒让德本征值问题(6.4.49)，它的本征值和本征函数为
( 1), ( ) m (cos ),
l l λ=l l+ Θ θ = P θ l∈N
其中m( )
l P x 为连带勒让德函数(6.4.55)。前一个方程为欧拉方程，将得到的本征值λ代入方程并
考虑到在r = 0 处的有界性条件后，得到
( ) l,
l l R r =Ar l∈N
将分别求解的结果相乘，得到分离变量形式的特解。对所有特解进行叠加，得到半通解
0 ( , ) l m(cos )
l l l v r θ Ar P θ ∞
= = Σ (7.3.17)
将所得半通解代入到初始条件中，得到
0 (0) l m(cos )
l l l f Ab P θ ∞
= = Σ
利用连带勒让德函数的正交性关系(6.4.59)，立即得到展开系数
1 1
20 21
l1 ( ) (cos )sin 1 (cos ) ( )
l l l
l l
Ab f P d f x P x dx
N N
π θ θ θ θ −
−
= ∫ = ∫
其中2
l N 为连带勒让德函数的的模方(6.4.61)。
例7.3-1：半径为a 的球面上电势分布为 f =Asin2θ sinϕcosϕ ，确定球内空间的电势 u 。
263
解：定解问题为
1 2
2
0,
| sin sin2 r a
u r a
u A θ ϕ =
Δ = 
 =
，这个问题具有转动对称性，对称群为C2，根据上面
的结果，其半通解为
2
2 l (cos )sin 2
l l l u ArP θ ϕ ∞
= = Σ
令x = cosθ ，由边界条件得到
1 2 2
2 2 (1 ) l ( )
l l l A x Aa P x ∞
= − =Σ （*）
代入连带勒让德函数的完备性公式，得到
1 2 2 2 1 1
12 6 ,2
(2 1)( 2)! (1 ) ( )
l 2( 2)! l l l
A l l A x P x dx Aa
l a
δ + −
−
+ −
= − =
+ ∫
如果读者能够回忆起前几个连带勒让德函数的形式，即
2 2
2 P (x)=3(1−x )
代入条件（*）后进行比较，立刻得到展开系数1 2
l 6 l,2 A= Aa− δ 。代回半通解后，得到
2
1 2 2
6 2 ( , , ) (cos )sin2 a u r θϕ = Ar P θ ϕ
4）交换对称性
考虑下面的一维二粒子问题
2 2
2 2 1 2
1 2
( )u V(x,x)u Eu
x x
∂ ∂
− + + =
∂ ∂
(7.3.18)
如果1 2 V(x,x )具有交换对称性，即2 1 1 2 V(x ,x)=V(x,x )，则方程也具有交换对称性。按照对称
性原理，方程的解也具有交换对称性，即
2 1 1 2 u(x ,x)= λu(x,x ) (7.3.16)
对上式再进行一次交换操作，得到
2
1 2 1 2 u(x,x )= λ u(x ,x ) (7.3.17)
由此解出l ＝ ≤1，分别对应特解
2 1 1 2
2 1 1 2
( , ) ( , )
( , ) ( , )
s s
a a
y x x y x x
y x x y x x
= +
= −
(7.3.18)
其中一个是关于交换的对称函数，另一个是反对称函数。在量子力学中，它们分别描述全同玻
264
色子系统和全同费米子系统的状态。
7．3．3 问题与探究
1）应用问题
问题一、试求下面球外问题的半通解
0,
| ()sin r a
u r a
u fθ mϕ =
Δ = > 

 =
(7.3.19)
提示：半通解为
1
0 l m(cos )sin
l l l u Br P θ mϕ ∞ − −
= = Σ
问题二、试求下面球壳问题的半通解
0,
| ()
| ()
im
r a
im
r b
u a r b
u f e
u g e
ϕ
ϕ
θ
θ
=
=
Δ = 
= 

 =
(7.3.20)
提示：半通解为
1
0 l m(cos ) im
l l l u Br P θeϕ ∞ − −
= = Σ
问题三、试求下面第二边值问题的半通解
0,
| ()cos r r a
u r a
u fθ mϕ =
Δ = 
 =
(7.3.21)
提示：半通解为
0 l m(cos ) cos
l l l u ArP θ mϕ ∞
= = Σ
问题四、试求下面边值问题的半通解
0,
| ()sin ()cos r a
u r a
u fθ mϕ gθ nϕ =
Δ = 
 = +
(7.3.22)
提示：利用叠加原理。
2）推广问题
问题五、试求下面热传导问题的半通解
2
0
,
0
| (,)sin
t
r b
t
u a u r b
u
u frθ mϕ
=
=
 = Δ 
= 

 =
(7.3.23)
265
提示：设半通解为u(r,θ ,ϕ,t) = v(r,θ,t)sinmϕ
问题六、试求下面波动问题的半通解
2
0
0
,
0
| (,)sin
| (, )cos
t
r b
t
t t
u a u r b
u
u fr m
u gr m
θ ϕ
θ ϕ
=
=
=
 = Δ 
= 

= 

 =
(7.3.24)
提示：用叠加原理和对称性原理。