物理好图：流形就是流变着的形状，它在每一点的近旁和欧氏空间的一个开集是同胚的。因此在每一点的近旁可以引进局部坐标系。流形正是一块

来源: marketreflections 于 2010-09-29 08:43:43 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (1946 bytes)

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Berry相位的本质是几何的——流形的联络系数和度规计算

i） 流形的概念是欧氏空间的推广。粗略地说，流形就是流变

着的形状，它在每一点的近旁和欧氏空间的一个开集是同胚的。因此在每一点的近旁可以引进局部坐标系。流形正是一块块“欧氏空间”粘起来的结果[11]。

以上做法的理论根据是H. Whitney定理[11]：

“任意一个 维光滑流形总能嵌入到 维欧氏空间

中作为子流形。”

这说明尽管流形的概念较为抽象，其实它正是欧氏空间的推广。并最终仍可作为欧氏空间的嵌入子流形来实现。也就是说，可以取较高维数的欧氏空间作为它的包容空间。这给了我们一个几何直观的方法来获得黎曼空间（引入了度量张量的可微流形）。特例是，三维欧氏空间内的曲面论就是这样一类例子。曲面可以看作二维黎曼空间。准确些说是，任一个二维黎曼空间可以局部地实现为三维欧氏空间中的某一曲面。这样所产生的几何称为曲面的内蕴几何。这种几何在曲面扭曲贴合（没有伸缩的扭曲变形重合）中是不变的[7、9]。上面对球面的讨论，正是给定了联络系数分布的二维黎曼空间的一种表现。公式（7、14）便包含了球面上的这些联络系数。

在 维流形M的任一点m（ ）近旁所引入的的同胚欧氏空间，可利用其局部坐标系（ ）作出M在其点m附近的切矢量，用以构造局部标架，就是说，在M的点m作出一个仿射空间 。 与流形M有一个共同点m，这样的空间 称为切仿射空间，此空间中的矢量 称为流形M在m点的切矢量，简称为m点的矢量 。这说明为何前面使用的是在球面各点切空间中的绝对（协变）微分。

纤维丛是流形向乘积的推广。常用的是矢量丛。简单地说，设E，M是两个光滑流形，映射 是光滑的， M上各点的切仿射空间 由n维矢量集合构成。称（E，M， ）为流形M上的矢量丛。E为全空间，M称为底空间， 称为丛投影， 称作纤维。直观地说，矢量丛E是积流形和纤维 粘合的结果。粘合时要求纤维上的线性关系保持不变。 中的 维矢量 称为波截面。球面的内蕴几何可以看作是嵌入3维欧氏空间中的二维黎曼流形。用纤维丛的语言，此球面称为底空间，球面每点的切平面便是纤维，逆映射 （即球面每点向切平面中矢量的一种对应，也即，定义在球面上的两分量的矢量场 ）便是波截面。平移矢量坐标微分变化的展开系数便是联络。

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