"质量和加速度乘积不守恒"牛顿第二律说：“F=MA”。即“力的大小等于质量与加速度的乘积”。此律是说，物体不仅能惯性运动而且还可

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《古典物理学原理 》

　

第四章、能量守恒原理
（一）


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变分原理的历史指出从数学上对力学概念进行的概括是如何为从物理上重新审查这些概念做出了准备。热力学、统计物理学、电动力学的创建者们所描绘的，包含非机械运动形态的，超出力学范围的能量转化图景就是由拉格朗日、哈米顿、奥斯特洛格拉德斯基、雅考毕、赫姆霍茨等十八十九世纪的思想家们所建立的，力学的普遍化的数学工具之物理等价体。

能量守恒乃是物理学的基本原理。同时能量守恒原理也可以认为是专属于力学的原理，而能量的概念，也同样可以认为是力学的概念。这一看法一直延续到十九世纪中叶。以后，力学系统的能量才成为包含不同形态，彼此以一定的当量转化的最普遍的能量概念的一种特殊情况。能量从一种形态转化为另一种形态是超出力学范畴的一般的能量定义的基础。就力学而论，那种被动的纯数量的判断，即能量不能创生也不能消灭就已足够。但对物理学而言，只有问题之能动的，质的方面才能显示特征，即某一形态的能量消失了，转化为另一种形态的能量（遵守数量上的先进等价性）。因此，为了从历史上，逻辑上分析十八世纪的力学和纯机械论的物理学向着十九世纪局部获得解放的物理学过渡，探索从主动的本质的方面对能量守恒原理的认识的形成过程就显得十分重要了。恩格斯曾明确地谈过这一问题。这些问题集中于他的一系列物理研究之中[1]，特别是十九世纪七十年代的研究工作，已然成为从物理上理解能量守恒原理的历史转折点。

恩格斯把能量守恒原理能动方面的论断和对能量守恒原理及动量守恒原理数量关系的分析联系起来。两种运动量度mv和mv2的争论，以及相应的动量守恒和能量守恒的关系是从历史上对古典物理学和把运动概念推广到不能归结为位移的形成过程进行分析时一个重要的基本问题。下面我们先简略评述一下力学中能量概念的发展，然后再谈前面所指出的那种争论。

在十七世纪，除去笛卡尔的物理学纯动理学派和以力的概念作为力学核心的动力学派之外，还出现了同惠更斯，莱布尼茨的名字联系在一起的第三个学派，在那个时候这一学派就已提出把活力，即质量与速度平方之积mv2当作力学的核心概念。这个被称为活力的乘积就是莱布尼茨的运动的量度，它同笛卡尔派的运动量度mv，质量和速度的乘积相对立。当然，活力根本不同于牛顿力，牛顿的力是以质量和加速度的乘积来量度，并且也不守恒。牛顿在解释其第三定律时曾提过所谓“actio agentis”，即力和它所在的那一点的相应的速度分量之积[2]。可是牛顿从没有考虑过根据弹性碰撞和类似的力学现象中某种不变的是运动量度守恒的原理推出力学的体系。

至于现代的意义下的能量守恒原理，那时牛顿则直接认为在非弹性碰撞和在摩擦时运动消灭了。

在十七和十八世纪的力学中，某种运动量度守恒的观念从伽利略时代就已开始。在伽利略的著作中可以看到许多古典力学的活生生的，然而多半不很明确，既未形成又未固定的基本概念。在证明了自由落体在某一点的速度只取决于该点到起始点的垂直距离后，伽利略提出倘若不能单值地决定速度，则利用这一点就会使物体升到比起始点更高的位置，因而永动机或许就能造出来。惠更斯提出，依靠物体的重量是不可能把物体重心提升到超过起始高度这一情况已是摆的理论根据。不可能再升高的依据是惠更斯明确提出的永动机的不可能性。

在十七世纪末（1695）莱布尼兹把乘积mv2叫做活力[3]（vis viva）（过了130年，到1829年，科里奥利把这个量除以２）。活力的概念（不是指它的名称）还在弹性碰撞理论之前就出现了。不只是在弹性碰撞的情况下建立起活力的守恒（福林[4]，惠更斯），而且也查明在非弹性碰撞时活力之损失（瓦里斯）。[5]

在十七十八世纪的力学中，除去“活力”这一术语之外，还出现了“能量”这一术语。这一名词早在亚里斯多德的著作中就已作为物理概念而出现过。先是伽利略，以后是约翰·伯努利都使用过这一术语[6]。伯努利把能量和功视为同一个东西（虽然是在一封现已遗失的给瓦里尼昂[7]的信中）约翰·伯努利支持莱布尼兹的思想，讨论了活力守恒，同时也研究了机械运动消失的条件以及在此情况下并不失去作功能力（facultas agenti）的概念。他指出，这种能力将保持在另外的形态之中。（比如保持在压缩的状态之中）。但是就我们所知晓的著作中，约翰·伯努利在上述致瓦里尼昂的信中看来未曾考虑过有可能测量（活力消失仍保持不变的facultas agenti）的非力学的数量概念。

欧拉也像约翰·伯努利，把活力守恒认为是力学的普遍规律。他曾指出，处于具有不动中心的引力场或斥力场中的质点系的活力，在这些质点又重新回到空间中起始位置时仍取原来在起始位置时的数值。欧拉可能遇到了与功相一致的概念。他提出用力和质点所通过的路程的乘积来量度活力的增量，并把这个量称之为effort，在丹尼尔·伯努利研究活力守恒的专著中，在分析了不同的条件下质点运动的一系列问题之后归纳出守怛定律[8]。在丹尼尔·伯努利的名著《水力学》完成十年之前， 他就广泛地，在纯数学意义上应用了活力守恒原理。

众所周知，在伯努利的《水力学》中包括有研究气体分子无秩序运动这一章。这一章可以说是热之唯动说的最早离证之一。[9] 这样活力守恒原理和热之唯动说只由于装订成一本书的缘故而遇到一起，实际上并没有综合在一起。不用说在十八世纪，就是在下一个世纪的前半期都没有认识到这一点。要是采用分子活力和宏观物体活力这种提法，这两者就是近亲，就可进行富有成效的联合。在非弹性碰撞时，相互碰撞的宏观物体活力之纯力学概念和本质上与它有亲缘关系的，物体的活力转化为不可视见之粒子的活力的概念并不能构成能量守恒定律的直接根据，这里还需要把包含纯粹力学的动力学变量和包含有非力学量（温度）的宏观变量（热量）进行对照。

从力学方面来说，那种进行对照的准备工作是在功的概念的发展和确定过程中建立起来的。功的概念在十七十八世纪的著名的力学家那里，从惠更斯，莱布尼兹开始一直以不同的名称出现。而“功”（travail）这一术语本身只是在十九世纪彭加勒在其著名的应用力学中才被引入的[10]。

“能”这一术语，从动力学变量的意义上具有莱布尼兹运动量度的量纲，它出现于十九世纪扬氏[11]名著《自然哲学教程》一书中，在这本书他阐明了热之唯动说，但仍旧没有同正在发展着的活力守恒的观念结合在一起。只有到了十九世纪中期，由于动理论获得单义的特征同时在宏观理论中能量守恒原理已然推广到非力学过程，推广到热现象，此时这种结合才能发生。在扬氏那里热之唯动说是很不明确的。当时守恒的观念在那里依旧是力学的观念。在对心碰撞时两个物体的动量守恒就是扬氏的第一个论题[12]。除去动量笛卡尔的量度以外。他提出：运动的物体本身克服障碍的作用（例如：用球在粘土或硬脂中打一深孔）与速度的平方成正比。可是扬氏根本没有打算引入一些非力学的量的概念和非力学量，并把它同活力进行对比，他只说到在理想弹性球体碰撞时，也就是在机械运动尚未转化为另一种运动形态的条件下能量守恒问题。

在活力及活力守恒观念发展的全部过程中，从莱布尼兹到达朗贝尔对于应该把那一个量活力mv2还是笛卡尔的量度mv认为是对运动的量度的争论一直不间断地进行着，可是问题并未得到解决。在mv守恒和mv2守恒之间的实际的关系归结蒂既同空间的属性又同时间的属性联系在一起。因此，为了严格地，确切地解决这个问题必须以对古典物理学进行相对论的总结作为历史前提。只有这样才能充分地，深刻地阐明空间和时间的联系。但是早在提出四维能量冲量矢量和查明守恒定律与时空变化关系之前就已经提出了在某种程度预先料到近代解释的观念。在这里，正如在另外一系列情况下那样，从数学上和哲学上对古典物理学的综合开辟了通往相对论总结的道路。

恩格斯完成的对客观上存在着用ｍｖ和ｍｖ２作为运动形态量度所进行哲学上的概括，下面我们就来谈这一问题。与此同时也可以看出，恩格斯不只知道那样一些运动形态的存在。而且还知道不能把这种运动形态归结为另一种运动形态。

我们现在来看恩格斯的两篇论文：《运动的基本形态》和《功——运动的量度》。这两篇著作同包括在《自然辩证法》中的另一些片段一样，都可以清楚地看到马克斯、恩格斯在自然科学的言论中的主攻方向，这就是为了辩证法，为了对自然界无可穷尽的复杂性，自然界真正规律的非线性属性以及相互作用等自发的概念从哲学上进行总结并对所谓“唯物主义的传播者们”进行斗争。正是这些明显地区别于上个世纪的概念为自己开辟了通向十九世纪科学的道路。

《运动的基本形态》这篇著作是以最普遍的作为物质存在形式意义上著名的运动定义作为开始的。在这种意义下，从位移直到思维活动，运动遍及自然界中所有正在进行着的过程[13]。以后又说到自然界就是彼此联系着的物体的总和，这里的物体可以是物体系也就是从星座到原子任何一种离散存在的实体。这些物体的相互联系和相互作用就是运动：“……它们的这种彼此的相互作用就叫做运动”。[14]

把运动定义为相互作用则指明了世界基本规律之深刻的，本质上无法消除的非线性特征。但是为了对自然界进行科学的研究，作为第一级的近似可以把物体之间的联系认为是线性的，即一个物体起着主动的作用，它的运动被认为是施加于第三个物体上的力；第二个物体的运动则起着被动的作用（力的表现），它对第一物体的反作用就不予研究了。在把力看成是有心力源，则物体的相互作用或是吸引（距离减小）或是排斥（距离加大）。吸引和排斥的概念在恩格斯后面的论述中起着很大的作用。按照恩格斯的看法，热是分子排斥的形态。它抵制分子间的约束，破坏这种约束，并使固态物体变化到其他状态。恩格斯把类似的概念发展到电磁现象和化学反应问题上，提出了不同形态的吸引和排斥的思想和运动有不同形态的思想。

从这个观念来说，吸引（引力）无非是所谓受力物体运动（加速度）的某种原因，而这一原因我们不加以确定或不能加以确定。目前，既然把在力作用下运动的物体只看成是被动的一方（现在也许可以说既然摆在我们面前的是线性约束），既然我们又不研究作为所论物体承受作用的实际根源的各种排斥的形态，那么上述概念则可认为是合理的。这样，全部的问题就是我们是把作用在物体上的力认为是某种已知的独立之物。在这种意义下，可以说的概念（就象牛顿引入它时那样）在线性近似的范围之内是合理的。以上就是《运动的基本形态》一文中的基本要点。当然在那时对这些问题还不能以现代形式加以阐述。只是在科学中引入了一系列必要的概念和关系，然后它才得到承认和推广。

下面我们来看恩格斯下一篇著作《运动的量度功》。在这篇著作中他研究了从十七到十九世纪期间运动的两种量度的概念的演变，尤其是对从达朗贝尔到赫姆霍茨这一期间概念的演变作了仔细的研究。达朗贝尔在其著名的动力学一书的序言中提出他的观点，这个观点同他对力学及其基本概念的看法是紧密地联系在一起的。

在上面提到的论文中，达朗贝尔给出了所谓力学乃是研究空间量与时间量之数量关系的科学这一报为深刻的定义。达朗贝尔以时间和空间为例指出：（对近代科学而言这一问题决非只具有历史价值）不同种类的属性不能比较，但是如果取这些属性和某些可以作为单位的属性的比值，那么这些比值却可以相互比较。

达朗贝尔把时间与某条直线相对应，（这就是指被标度的直线）这就意味着把时间参数化了，“像时间，空间那样本质上不同的两个东西彼此不能比照，然而若干段时间的比值却可以和这时所通过的若干段空间的比值相比照。按时间的本质而论，它是均匀流逝的。这种均匀性也正是力学的依据。但是，既然我们不知道就本身而论所谓时间是什么，并且也没有掌握对时间纯正的量度，所以也就无法形成比借助于直线段比值做为若干段时间比值更为明确的表象了。”[15]

其次谈到了时间空间的图示。他提出：“上述这类线段的比值借助于某些方程可以和以任意方式运动的物体所通过的空间各部分的比值联系在一起，因而可以用曲线来代表，曲线的横坐标相当于从运动开始后所经历的时间，其纵坐标是在这段时间之内所通过的空间。”[16]

现在我们设想空间是时间的函数，这个函数由某一曲线来表示。空间和时间不可直接进行比较，然而用空间和某个空间单位之比所代表的参数化的空间就能同已被参数化了的时间（时间同某个时间单位之比）进行比照。这两个比值就建立起曲线所表出的关系。

“这个曲线方程将要表示的并不是空间和时间两者的数量关系，（如果非要问它表示什么的话），它们只是若干段时间和时间单位的比值和所通过的若干段空间和空间单位的比值，也就是这两者间的数量关系。事实上，曲线方程或者看成为横坐标和纵坐标之间的关系，或者看成为把纵坐标与单位纵坐标之比同横坐标与单位横坐标之比联系起来的方程。”[17]

惯性运动乃是对时间施行参数化的天然的依据。在引入匀速运动的概念时达朗贝尔提出：“照我看来，上述那种正是为运动所固有的均匀性将给我们提供用匀速运动测量时间的最好的根据”。[18]

惯性的概念就是作为加速度正面原因的力的概念的一种反面的预测。

“既然‘惯性力’已被建立起来（在一定条件下达朗贝尔是指惯性，当时还没有确切地划分这些概念作者注）也就是物体处处有保持静止或运动状态不改变的特性。显然，如果为了使运动发生必须有这种或那种原因，那末为了使这一运动加速或减速同样也必须有外界原因才行。这个能使物体发生运动或改变运动的原因到底是什么呢？到目前为止我们只知道有两类原因，一类原因对我们来说是与其产生的效果同时表现出来的，或者更确切地说它就是所产生的效果的原因。这类原因的根源是以不可入性为前提的物体彼此间可觉察的作用。这种作用可以归结为打击或是某些从打击中派生出来的其他作用。另一类原因我们只能根据其效果来认识，这些原因的本质到底是什么，我们完全不清楚，诸如迫使重物向地球中心堕落，使行星在其轨道上运行等现象的原因就属于这一类。”[19]

总之，达朗贝尔把力划分为两种：一种是显然可以归结为另外物体的运动，另一种力本质尚未知晓。达朗贝尔提出了相当于近代势场概念的力作为另一种力。这一情况应借助于把时间和空间联系在一起的方程唯象地加以描述。

“总而言之，在不知晓其原因的非均匀运动中以一定原因所产生的效果无论是在一段时间之中还是在一瞬间显然都应借助于把空间时间联系在一起的方程给出。”[20]

达朗贝尔从力学中驱除了对这些力的本质的讨论。他就是从这种立场出发进行运动量度的讨论，他认为谈力的本质问题毫无意义，“……上面所提到的问题无非是毫无意义的形而上学的争论，或是不值得哲学注意的用词上的争论。”[21]达朗贝尔还说，任何问题都要给出与采取运动量度无关的相同的解答。

从上述情况可以看出，达朗贝尔实质上肯定了两种运动量度的正确性。然而，正如恩格斯所指出的那样，在静力学里主张用质量与速度的乘积，在动力学里用质量和速度平方的乘积，这种大体上是正确的区分“……其逻辑意义无异于下级军官这个著名的解决办法：在值班时总是‘对我’，在下班时总是‘使我’。大家都默认这个区别，它的确是存在的。我们不能改变它，如果这种双重的量度有了矛盾，我们又有什么办法呢？”[22]

如果问题是两种不同过程的量度，把mv和mv2作为互不排斥的两种运动量度加以划分也就有了合理的特征。在赫姆霍茨的著作中就包含这种意思在内。但是赫姆霍茨经常说的是mv和mv2这一对量的实用价值。与这种实用主义的倾向相反，恩格斯是把切实地区分两种过程当作存在着两种运动量度的根据而加以讨论的。如果过程仅限于力学的范畴之中（机械运动仍在机械运动范畴内发生转移），那么就以质量与速度的乘积作为它的量度。要是在转化为另一种运动形态以后，该过程的机械运动消失不见了。那么，在新的形态之中，运动则与已消失的机械运动的莱布尼兹的运动量度成正比，也就是与质量乘以速度的平方成正比。笛卡尔的运动量度相当于以机械运动来量度机械运动，莱布尼兹的运动量度相当于用另一种形态来量度的机械运动。功就是从数量方面去看的运动形态的改变。按照恩格斯的说法，从mv到mv2这种运动量度的改变也正是从力学向着物理学的过渡，这种观念也正好与能量概念实际的历史作用相对应。为说明这一问题需要再次提出力和惯性这两个概念。

在《自然辩证法》的札记之一，恩格斯把机械运动认为是另一个机械运动或者是更复杂的运动形态转化为位移的结果。[23]这种非机械运动有可能作为机械运动的真实原因的看法表现了《自然辩证法》的一个基本思想和十九世纪自然科学的一个自发的结论，即运动概念的扩展。当恩格斯说到物体由于打击而得到加速度时要是不考虑与物理概念本身联系在一起的物体的弹性，作为力而出现的就是通常力学意义上的运动。那种不要力的概念的纯动理学力学的拥护者们就是力求把力归结为这一现象。若是在些进程中遇到了障碍，那就引入隐蔽的质量或隐蔽的运动的概念。然而在普遍的意义下，可以不把力归结为物体的位移，力也就可以是大量的无秩序的各别运动的结果，此时，这种不能归结为物体位移的特性，将表现为不可逆性。力还可以是在实际的连续介质中的波动过程的结果。在被连续化的或是连续的介质中，过程的非力学的特征必须运用在原则上不同于质点的位移和位移对时间导数的概念。在恩格斯的著作中，能量的概念及其与动量概念的区别，是同非机械运动的概念联系在一起的。这种非机械的运动乃是机械运动的原因，并与其互相转换联系在一起。在相互转换中作为运动的量度的功是守恒的。

早在莱布尼兹的著作中，运动的守恒有时就同微观世界中看不见的运动的表象联系在一起。莱布尼兹曾这样写道：“我坚决主张，在这个世界上，作用力是守恒的。我不同意这种说法，两个软的或是非弹性的物体在相遇时其力消失了。我的回答是：没有。诚然，从整个运动来说，物体把力都失掉了。然而，物体的各个部分都获得了相互碰撞所引起的运动。于是这里仅仅是可见之力消失了。但力并未被毁灭，而是意味着出现了把整钱换成零钱那种情况。”

以后我们将讨论关系到十九世纪中能量守恒原理的分子动力论概念的发展过程。这里只限于宏观的概念。在十八世纪通常援引因果律作为活力守恒的依据。对于在十八世纪中的许多思想家来说，原因和结果的等价性就是两个力学过程的等价性。倘若这些过程中有一个过程是一种非机械的过程，也就是说物体的某些属性出现变化（比如：温度的改变），这就意味着必须在表观上之非力学的外形下寻求力学的基质，即寻求由于尺寸很小而看不到的物体的运动。在十七十八世纪中绝大多数自然科学家就是这样看待热现象的。但是机械运动转化为热现象的观念，热之唯动说由于热质论还很牢固，因而仍受到局限。在十七十八世纪有许多思想家反对热质说，不过因为一系列很重要的原因热质说还保持未变。

在十八世纪和十九世纪初期，当解释摩擦或打击物体而发热的这些众所周知的事实时，物理学家主要诉诸热容的概念。他们提出在两个木块摩擦时，其热容量要发生改变，正是这个热量使温度升高。因此，证明摩擦时物体热容量不变的实验对于新观点的成败具有决定性的意义。这个实验是仑福德在十八十九世纪之交时作出的。在观察给大炮钻孔时仑福德发现此时放出那么多热量。要是从热质论的观点来看温度升高只能以热容的改变来加以解释。仑福德揭示出没有这种变化。他把钻孔时变热的碎片放在水里，同时又把同样重量的金属不用摩擦的办法而是用热传递的办法加热到同样的温度，也放到水里，看来这两种情况的热容是相同的。

此后，亥姆夫利·代维[24]热质论的坚决反对者，重复并继续了仑福德的实验。他把冰块用摩擦的办法使之熔化，然后测定所获得的水的温度并同空气的温度进行比较。既然在摩擦时冰的热容量增加了，那么温度的升高无论如何也不能归结为热质的释放，这样实验指出了热的另一种本质。在进行了一系列类似的实验以后，汤姆逊·扬在“论光和色的理论”一文中坚决地运用热的波动理论反对热质论。

在前面提到的《自然哲学讲义》（1807）中，扬氏坚决认为在本质上热与光没什么不同，热只是比给人以光的感觉的振动更为缓慢的振动。除研究热容量和气体的弹性学说以外，给吕萨克[25]、杜隆、普梯[26]等人的发现，在很大程度上为热力学观念作了准备。气体的膨胀与温度有关，表明获得机械功要耗费热量。当发现了由于压缩气体而温度升高时就已经为机械功和热量的相互转换的观念的发展奠定了实验基础。从另一方面来看，热化学也表明，在任何一种化学过程中所放出的热量的多少与该过程进行的方式无关。这个发现把热和化学反应直接联系在一起，并且同样与热质论的观念相对立。

热力学的形成过程是同蒸汽机的发展直接联系在一起的。1824年，卡诺[27]的《对火之动力及显示此动力之机器的思考》一书发表了。这本书是这一时代的天才的物理著作之一。在这本书中开始他这样写道：“任何人都不会怀疑热有可能是运动的原因，不会怀疑它具有很大的动力，应用如此广泛的蒸汽机就是明证。”接着他明确指出了蒸汽技术的意义和远景：“有朝一日热机改进到那样一种地步，使得能够廉价地安装运行，并且集中了一切预期的性质，这样它将在工业中起到难于估量的作用。这种热机不仅以良好的、强有力的，并且可以随处迁移安装的优点取代现有运行中的热机，而且还会促使应用热机的工业生产高速发展，甚至还能建立起新的工业生产。”[28]

但是热机理论仍落后于实践。对热机的改进几乎全靠经验或运气。特别是摆在物理学家面前的，从蒸汽机中提出的问题并未得到解决。即“热力是受限制，还是不受限制，就改善热机的可能性而言，是否存在着某一明确的界限，即是否存在着由材料本质所决定的，无论用什么方法也不能超越的界限，或者相反，改善热机不受任何限制。”[29]这正是我们要研究的问题。在这种情况下必须撇开具体的热机来研究在一般形式下从热获得运动的问题。后面我们将仔细地讨论卡诺的理论同熵的观念的联系。这里我们主要是指出卡诺不是把机械功解释为被消耗的热量，而是用热量从锅炉到冷凝器的转移来解释机械功。他认为所谓热是一种特殊的热流体，热质要从具有较高温度的贮藏器转移到较低温度的贮藏器。要是利用能量的概念的话（虽然卡诺没有提能量），那么就可以说热质的动能转变为活塞的动能。热机也可以按反向循环工作而变成致冷机。此时，这个机器仿佛象个唧筒，把热（热质）从比较冷的贮藏器抽到比较热的贮藏器，也就是说这是一个增大两个贮藏器的温度差的唧筒。

卡诺的概念是机械的概念，但他的概念不同于十八世纪的一些思想家们所提出的热的机械论，也不同于迈耶尔的理论。如果对照一下对这样一个问题的解答，即在热机里是依靠什么东西产生机械功的，那么卡诺概念的机械论的特点，它与能量守恒定律的一致性以及在卡诺理论和其他理论中所使用的机械论概念间的差别就显得格外清楚。在研究充满气体的气缸中活塞为运动时，伯努利用无规则运动时分子活力的等价的消耗（即消失）来解释。迈耶尔在其唯象的热力学第一定律中把所发生的机械功和所消耗的等效的热量联系在一起。卡诺认为热机作功的根源仍然是功，而且就是无可消失的热量——热质转移时的功。这个功的发生是由于消耗了另一种等价的功，即汽缸中的功是依靠运动的热质所做的功来维持的。热是变成了功，但并没有消失，热机是按水力机械的原理工作的，只是这里用热质替代水，用温度替代水头。水的重量乘以落差的高度与活力等价。热量（热质的量）和温度差的乘积等于热机所完成的功。克拉珀隆[30]在阐述卡诺的概念时用热量乘以温度（温差）算出了所产生的功的当量。根据他的计算经历一度的温差所迁移的卡路里数相当于把１．１４克重的物体升高一米。若是把热量和温度的乘积理解为同机械功相比拟的能量的话，这种机械功的当量就与能量守恒定律相适应[31]。

热量乘以温度作为功的当量的概念使威廉．汤姆逊[32]可以通过功和热量来定义温度。温度（温度差）用在此温度差之下热所完成的功来定义。这样就产生了绝对温度的概念。我们看出，从这种定义上卡诺的概念是机械论的概念。即热机的循环类似于水力机械的循环或是一般地类似于发生从一种形态向着另一种形态转化的发动机的循环。与此同时，由于把温度看成是一种特殊流体的类似于一般物质的重力势的属性，所以卡诺的理论也就脱离了十七－十八世纪机械论的观点。

必须指出，在十九世纪三十年代卡诺已经接近于原则上不同于迈耶尔概念的另一种概念。在上面提到的那篇论文中，卡诺始终都是运用热质转移的概念。然而在一些个别的，顺便提出的见解中好象总能使人感觉到还有一种新的热学理论存在，比如他这样写道：“我们所努力建立的基本规律按我们的看法要使其确定无疑还应提出新的认识。目前这个规律所依据的是公认的热学理论，但必须承认摆在我们面前的并不是以不可动摇的巩固性的面貌出现的理论。解决问题的只能是新试验。目前只是在认为该理论是准确的条件下对前面提到的理论思想做一些补充，同时对迄今为止为使热动力的发展所提供的不同的方法进行一些研究”[33]在沙地卡诺死后才发表的日记的片断中也提出了类似的见解，他说：“热无非就是动力，或者更确切地说是改变自身形式的运动，是物体质点的运动；凡是有动力消失的地方同时就发生与所消失的动力严格地成正比的一定数量的热。在热消失的时候总要发生动力。这样就可能提出一般的原理：在自然界中动力以不变的数量存在，在任何时候既不能创生也不能毁灭，实际上它只是改变形态，即激起同一类或另一类运动，然而永远不会消失”。[34]?

卡诺不只提出了热和机械功作为运动形态的等价性的思想，而且也建立起热量的机械当量，注意，是热量，而不是乘以温度之后的热量。把１立方米的水（1000公斤）升高一米的功等价于2.7卡路里的热量。这个关系也表明一个卡路里的热相当于370千克米的功。在笔记中他写道：“按照我所考虑到的某种热学理论的概念，为获得一个单位的功（1000公斤），必须花费2.7个热量单位…因此可以建立一般原理：在自然界中，动力是一个不变的量，严格地说这个量是不能创生也不能摧毁的。”[35]（译者按：原书将千卡误印为卡。此数据计算可参见范岱年撰写的《能量守恒定律的发现者迈尔》一文，《自然辩证法通讯》1994.No.3 第70页）

热的机械观的理论和能量守恒定律是在十九世纪由于迈耶尔和另外一些物理学家的一系列工作，在十九世纪四十年代确定了热的机械观理论及能量守恒定律。下面将叙述一下迈耶尔以下一些著作的内容：即《论无机世界的力》《论力的定性定量的定义》（1841年）《有机物的运动和物质交换的联系》（1845年），《论热的机械当量》（1851年）。



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第三章 动量守恒定律和能量守恒定律
§3-1质点和质点系的动量定理
一、质点的动量定理
1、动量

质点的质量 与其速度 的乘积称为质点的动量，记为 。

（3-1）

说明：⑴ 是矢量，方向与 相同

⑵ 是瞬时量

⑶ 是相对量

⑷坐标和动量是描述物体状态的参量



2、冲量

牛顿第二定律原始形式


由此有
积分： （3-2）

定义： 称为在 时间内力 对质点的冲量。

记为 （3-3）

说明：⑴ 是矢量

⑵ 是过程量

⑶ 是力对时间的积累效应

⑷ 的分量式


∵ （3-4）

∴分量式（3—4）可写成 （3-5）

、 、 是在 时间内 、 、 平均值。



3、质点的动量定理

由上知 （3-6）

结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。

说明：⑴ 与 同方向

⑵分量式 （3-7）

⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化

⑷成立条件：惯性系

⑸动量原理对碰撞问题很有用

二、质点系的动量定理
概念：系统：指一组质点

内力：系统内质点间作用力

外力：系统外物体对系统内质点作用力

设系统含 个质点，第 个质点的质量和速度分别为 、 ，对于第 个质点受合内力为 ，受合外力为 ，由牛顿第二定律有


对上式求和，有


因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故 ，

有 （3-8）

结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。

式（3-8）可表示如下

（3-9）

即 （3-10）

结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。



例3-1：质量为 的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间 ，打击前铁锤速率为 ，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？

解：设竖直向下为正，由动量定理知：



强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量



例3-2：一物体受合力为 （SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？

解：设物体沿+x方向运动，

N·S（ 沿 方向）

N·S（ 沿 方向）


∵
∴


例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为 kg，

速率 m/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回

时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法

线夹角都为 °，

⑴求碰撞过程中小球受到的冲量
⑵设碰撞时间为 s，求碰撞过程中

小球 受到的平均冲力
解：⑴
如图3-1所取坐标，动量定理为
〈方法一〉用分量方程解


N·S

〈方法二〉用矢量图解


如上图3-1所示。

∵ ,∴
故 为等边三角形。

m/s, 沿 方向

∴ N·S，沿 方向。

⑵
N

注意：此题按 求 困难（或求不出来）时，用公式 求方便。

§3-2动量守恒定律
由式（3-8）知，当系统受合外力为零时

(3-11)

即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。

说明：⑴动量守恒条件： ，惯性系。

⑵动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。

⑶内力能改变系统动能而不能改变系统动量。

⑷ 时，若 在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。

⑸动量守恒是指 （不随时间变化），∴此时要求 。

⑹动量守恒是自然界的普遍规律之一。



例3-4：如图3-2，质量为 的水银球，竖直地落到

光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，

沿桌面运动。其中两等份的速度分别为 、 ，

大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第

三等份的速度。

解：〈方法一〉用分量式法解

研究对象：小球

受力情况： 只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平

方向不受力，故水平方向动量守恒。

在水平面上如图3-2取坐标，有




∴
〈方法二〉用矢量法解

∵
及
∴
即
即有图3-3。可得

m/s

得
强调：要理解动量守恒条件

§3-3系统内质量移动问题（自学）
§3-4动能定理
一、功
定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。

1、恒力的功

恒力：力的大小和方向均不变。

如图3-8，功为 (3-12)

即

(3-13)

说明：⑴ 为标量



⑵功是过程量

⑶功是相对量

⑷功是力对空间的积累效应

⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。

2、变力的功

设质点做曲线运动，如图3-9。 为变力，在第 个位移元 中， 看作恒力， 对物体做功为


质点从 过程中， 对质点做的功为


功的精确数值为



即：

（3-14）



讨论：⑴恒力功


⑵直线运动

设 ，如图3-10，质点在 中，

功为


⑶合力功

设质点受 个力， ， ，…， ，合力功为




二、功率
定义：力在 内对物体做功为 ，下式


称为在 时间间隔内的平均功率。下式


称为瞬时功率，即

（3-15）

三、质点的动能定理
1、动能

定义： （3-16）

式（3-14）中， 、 分别为物体质量和速率。称 为质点的动能。

说明：⑴ 为标量；

⑵ 为瞬时量；

⑶ 为相对量。

2、质点的动能定理

设 做曲线运动，如图3-11，合力为 ，在a、b二点速度分别为 、 。在c点力为 ，位移为 ，由牛顿定律有：

（切线上）

即



即
做如下积分：


可写成：

（317）

结论：合力对质点作的功等于质点动能的增量,称此为质点的动能定理。

说明：⑴
⑵ 为过程量， 为状态量，过程量用状态量之差来表示，简化了计算过程。

⑶动能定理成立的条件是惯性系。

⑷功是能量变化的量度。

例3-7：如图3-12，篮球的位移为 ， 与水平线成 角，

，球质量为 ，求重力的功。

解：⑴研究对象：球

⑵重力为恒力

⑶
强调：恒力功公式 的使用.

例3-8：如图3-13，远离地面高 处的物体质量为 ，由静

止开始向地心方向落到地面，试求：地球引力对
做的功。

解：c点：




例3-9：力 (SI)作用在 的质点上。物体沿x轴运动， 时， 。求前二秒内 对 作的功。

解：⑴研究对象：
⑵直线问题， 沿+x轴方向

〈方法一〉按 作

在此有：
∵
∴
做如下积分：
有
∵ 即
∴
〈方法二〉用动能定理作





例3-10：质量为 的物体作直线运动，受力与坐标关系如图3-14所示。若 时， ，试求 时，
解：在 到 过程中，外力功为


由动能定理为：


即

§3-5 保守力与非保守力 势能
一、万有引力、重力、弹性力的功及其特点
1、万有引力功及特点

如图3-15，设质量为 物体在质量为 的引力场中运动，

（ 不动）， 从 中，引力功=？



在任一点c处， （变力）

（3-22）

∵ ∴
又 ∵ ∴
（3-18）

特点：万有引力只与物体始末二位置有关，而与物体所经路程无关。

2、重力功及特点

如图3-16，质点 经acb路径由 ，位移为 ，在地面附近重力可视为恒力，故功为



















（3-19）

特点：重力功只与物体始末二位置有关，而与其运动路径无关。

3、弹性力功及特点

如图3-17， 称为弹簧振子， 处于x处时，它受弹性力为


从坐标 过程中，弹性力做功为


（3-20）

特点：弹性力功仅与物体始末位置有关而与过程无关。

如：物体可以从 处向左移，然后向右平移至 处，也可以从 处直接移到 处。但是，无论怎样从 处移到 处，弹性力做的功都是上述结果。

二、保守力和非保守力
1、保守力与非保守力

如果力 对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为：

（3-21）



及 （3-22）

由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。

三、势能
对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即：

（3-23）


结论：保守力功=相应势能增量的负值 。



[*从理论上讲，∵ ∴ 即 是无旋的，

∵ ∴ 与 有对应关系， 可定义为与 相应的势能。也就是说，保守力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。]



（3-24） （3-25）

（3-26）

说明： （1）
（2）
（3）
§3-6 功能原理 机械能守恒定律
一、质点系的动能定理
系统中有 个物体，第 个物体受合外力为 ，合内力为 ，在某一过程中，合外力功为 ，合内力功为 ，由单个质点的动能定理，对第 个质点有：

（3-27）

。对上式两边求和，有

（3-28）

（3-29）

结论：合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。称此为系统的动能定理。

二、功能原理
作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。

由质点动能定理



有






（3-30）

结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原理。

说明：⑴功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。

⑵功是能量变化或转化的量度

⑶能量是系统状态的单值函数

三、机械能守恒定律
由功能原理知，当 时，有

（3-31）

结论：当 时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）



例3-11：如图3-18，在计算上抛物体最大高度 时，有人列出了方程（不计空气阻力）


列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？

解：⑴动能定理为

合力功=质点动能增量


⑵功能原理为

外力功+非保守内力功=系统机械能增量

（取 、地为系统）


⑶机械能守恒定律

∵
∴
即
可见，此人用的是质点的动能定理。



例3-12：如图3-19，质量为 的物体，从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B。在B处速率为 ，槽半径为 。求 从A→B过程中摩擦力做的功。

解：〈方法一〉按功定义 ， 在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程为








〈方法二〉用质点动能定理

受三个力， ， ，
由 有


即
∴
〈方法三〉用功能原理

取 、地为系统，

∵ 无非保守内力

∴ ， 功为 （ 不作功，及槽对地的力也不做功）

由 有


即
注意：此题目机械能不守恒。

例3-13：质量为 、 的二质点靠万有引力作用，起初相距 ，均静止。它们运动到距离为 时，它们速率各为多少？

解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即

①

②

由①、②解得：






§3-7完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一、碰撞
碰撞
特点：⑴碰撞时物体间相互作用内力很大，其它力相对比较可忽略。

即碰撞系统合外力=0。故动量守恒。

⑵机械能
二、完全弹性碰撞
1、对心情况（一维）

如图3-6，以 与 为系统，碰撞中
（3-32）

（3-33）




（ ，沿+x方向；反之，沿-x方向）

解得： （3-34）

讨论：⑴ （交换速度）

⑵


2、非对心情况

设 ，且 ，可知， 、 系统动量及动能均守恒，即

（3-35）

（3-36）

可知， 、 、 是以 为斜边的直角三角形，如图3-7。

三、完全非弹性碰撞
例3-14：两球的对心碰撞。两球碰撞前后的速度、碰撞时的冲力都沿两球心的连线，这样的碰撞叫正碰，也叫对心碰撞。

解：压缩过程 (b)、(c)

恢复过程 (d)、(e)

此碰撞过程在极短时间内完成，外力






此碰撞过程总伴随有能量损失，故机械能不守恒

常利用恢复系数进行求解。恢复系数是碰撞后两球的分离速度与碰撞前两球的接近速度比值


连立两式解得：

此过程机械能损失：
对心碰撞分类：

e=1 两球分离速度等于接近速度， △E=0碰撞无能量损失，是完全弹性碰撞

e=0 两球分离速度为零，即碰撞后两球粘在一起，以共同速度运动，是完全非弹性碰撞

0
§3-8　能量守恒定律
能量守恒定律：对一个与自然界无任何联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可以相互转换，但是不论如何转换，能量既不能产生，也不能消灭。

（1）生产斗争和科学实验的经验总结；

（2）能量是系统状态的函数；

（3）系统能量不变, 但各种能量形式可以互相转化；

（4）能量的变化常用功来量度。

c

c

c

c

c

c

c

§3-9　质心 质心运动定律
一 质心

1　质心的概念

a.板上C点的运动轨迹是抛物线

b.其余点的运动=随C点的平动+绕C点的转动

2　质心的位置

有n个质点组成的质点系，其质心的位置：

（3-37）

Ø 对质量离散分布的物系：

（3-38）

Ø 对质量连续分布的物体：

（3-39）

说明：对密度均匀、形状对称的物体，质心在其几何中心。



二 质心运动定律

由质点系动量定理 ： 表示各质点的位置矢量，m表示质点系的总质量。

则：


所以质点系的动量：

即：质点系的动量等于质量全部集中在质心处的动量。

另外，用 表示质心加速度，则：

（3-40）

表明：质点系质量与质心加速度的乘积总是等于质点系所受一切外力的矢量和，叫做质点系的质心运动定理。它直角坐标系中的投影式为：



注：1、质点系的内力不会影响质心的运动状态，只有外力的作用才可能使质心的运动状态发生改变。

2、当 时，质心的加速度与把全部质量集中到质心处的质点的加速度相同。

3、质心运动定理只能给处质心的运动情况，即只能描述质点系整体运动的特征，但不能给出个质点围绕质心的运动和质点系内部的相对运动。

计算一个由两质点组成的最简单的质点系的质心。质量为 的两质点的坐标为 ,设质心坐标为 根据质心定义


可得


由此可知,质心必位于 的连线上,且质心与各质点距离与质点质量成反比。

§3-10　对称性与守恒律（自学）