映射是讨论两个集合之间对应关系的工具，一个集合到自身的映射称为这个集合的变换,常见的几种平面上点的变换以及几类常见变换对应的矩阵

来源: marketreflections 于 2010-10-25 14:16:03 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (3328 bytes)

一、模块内容
（一）模块概况
浙江省高中数学选修ⅠB模块《矩阵变换与极坐标参数方程》由矩阵与变换、极坐标与参数方程二个专题组成。矩阵是研究图形（向量）变换的基本工具，有着广泛的应用，许多数学模型都可以用矩阵来表示。本专题将通过平面图形的变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念，并以变换和映射的观点理解解线性方程组的意义，初步展示矩阵应用的广泛性。在过去的教学中该内容从未正式列入中学课程，但它作为从向量集合到向量集合的一种特殊的映射，构成几何变换的代数表示，已是现代数学中的基本表示工具，可培养学生从变换和映射观点理解二阶矩阵的简单性质与应用。学习目标了解二阶矩阵的概念、性质、运算及旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换的概念与矩阵表示，初步掌握矩阵与变换简单应用。极坐标与参数方程专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化。极坐标系和参数方程是本专题的重点内容，对于柱坐标系、球坐标系等只作简单了解。学习目标是掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式，体会从实际问题中抽象出数学问题的过程，培养探究数学问题的兴趣和能力，体会数学在实际中的应用价值，提高应用意识和实践能力。
（二）内容要点
1．矩阵与变换
（1）线性变换与二阶矩阵
◆线性变换与二阶矩阵
◆二阶矩阵与平面向量的乘法
◆线性变换的基本性质
（2）变换的复合与二阶矩阵的乘法
◆复合变换与二阶矩阵的乘法
◆矩阵乘法的性质
（3）逆变换与逆矩阵
◆逆变换与逆矩阵
◆二阶行列式与逆矩阵
◆逆矩阵与二元一次方程组
（4）变换的不变量与矩阵的特征向量
◆变换的不变量——矩阵的特征向量
◆特征向量的应用
2．极坐标与参数方程
（1）坐标系
◆平面直角坐标系
◆极坐标系
◆简单曲线的极坐标方程
◆柱坐标系与球坐标系简介
（2）参数方程
◆曲线的参数方程
◆圆锥曲线的参数方程
◆直线的参数方程
◆渐开线与摆线
二、学习意义
1．现实生活中许多问题都可以用矩阵表示，因而矩阵有着广泛的应用。本专题是从实例引入矩阵的概念和二阶矩阵的运算。由于映射是讨论两个集合之间对应关系的工具，一个集合到自身的映射称为这个集合的变换，在现实世界中变换是无处不在的。本专题从平面图形的变换介绍了常见的几种平面上点的变换以及几类常见变换对应的矩阵，进一步介绍了复合变换、逆变换与对应矩阵间的运算关系和应用。通过学习，我们可以掌握矩阵的概念和运算，了解特征值、特征向量与线性变换、矩阵间的关系，并能利用矩阵表示和性质解决一些相关问题，逐步形成用数学的眼光认识事物、用数学方法描述客观规律的意识，进一步体会数学的神奇与奥妙。
2．几何学主要是讨论图形的形状、性质和位置，如何刻画一个图形的位置？坐标系的方法是常用的一种方法。坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想之一，它是联系几何与代数的桥梁，充分地反映了数形结合的思想，有了坐标系，我们就可以把图形用代数的方法表示出来。在不同的坐标系中，可以有不同的表示方法。在极坐标系中，学习用极坐标刻画点，可体会极坐标系和直角坐标系刻画点的区别，并进行极坐标和直角坐标的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择不同坐标系的意义。在直角坐标系中，如果曲线上的动点（ 、 ）的坐标 、 之间的关系可直接表示，那么得到的就是普通方程 、 ，如果直接关系难以找到，可引入第三个量 ，而把 、 表示成 的关系式 ，从而得到了 、 的间接关系，即参数方程，参数方程有很多优越性，它使我们从另一个视角认识了圆锥曲线，许多难以用普通方程表示的曲线也得到表述，也让我们欣赏到奇异纷呈的优美曲线，如心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、平摆线、渐开线等，并体会到了参数的作用。通过坐标系和参数方程学习，可丰富处理解析几何问题的方法，体会数形结合、相对与绝对、运动与变化、分解和综合等思想方法，锤炼创新思维和发散思维，进一步提高解决解析几何综合问题的能力，巩固已有的知识。

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