质点组由N个质点组成，组内成员之间的互相作用力叫内力，质点组以外的物体对质点组内的质点的作用力叫外力．对质点组来说，如果写出每一

质点组由N个质点组成，组内成员之间的互相作用力叫内力，质点组以外的物体对质点组内的质点的作用力叫外力．对质点组来说，如果写出每一个质点的运动方程来求解那是很困难的．我们通过质点组的动量定理对它的运动总趋向加以研究

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第三章 动量和动量矩


（一）动量定理

牛顿自己在叙述牛顿第二定律时，不用加速度来表示，而是用的动量．他将质点的质量 与质点的速度 的乘积定义为质点的动量，我们把它记作 ．按定义

（3．l）

动量K是矢量，以速度 的指向为其指向，动量的大小则等于质量 与速率 的乘积．

在古典力学的适用范围内，质点的质量 是常数，因而牛顿第二定律可表为

（3．2）

这是牛顿本人所采用的第二定律表达式，我们称它为质点动量定理的微分形式．质点受到其他物体的作用力，则动量发生变化，质点动量的时间变化率就等于其他物体施于该质点的力．

为了研究力的时间累积效果，即力施加于质点而经历一段时间间所产生的效果，将上述动量定理对时间积分一次．

(3. 3)

这里 与 指质点在t1时刻的速度与动量， 与 则是t2时刻的，I为冲量，定义为

（3．4）

式（3．3）即

（3．5）

这称为动量定理的积分形式．

冲量是矢量，对于不变的力 ， ．如果力随时间而变，在短时间中力的变化还是很微小的，因而极短时间内的冲量也可以认为就是力与作用时间的乘积．

积分形式的质点动量定理，特别适宜于研究冲击作用对质点运动的影响．因为冲击作用历时极为短暂，质点在这短暂的时间内是来不及显著移动的，即它的位置几乎没有改变．但质点的动量却由K1变为K2，速度 由变为 。而这种改变只取决于冲量I这个总的效果，无需深究力F随时间变化的细致情况．这样，冲击作用对质点运动的影响完全可以用它的冲量表明．

假如用 或微分形式的动量定理来研究冲击作用，就不得不考察力在短暂时间内的急剧变化情况，这无疑是很不方便的．

若质点受的力F为零，此时I也等于零，则

， （3. 6）

如果质点不受其他物体作用，则动量不随时间而变，此即动量守恒原理．

动量定理是矢量方程，应用时可写成分量式．这样，如果质点所受的力 ，但F的某个分量，例如 分量 守恒，虽然动量K本身并不守恒．

（二）质点组的动量定理

质点组由N个质点组成，组内成员之间的互相作用力叫内力，质点组以外的物体对质点组内的质点的作用力叫外力．对质点组来说，如果写出每一个质点的运动方程来求解那是很困难的．我们通过质点组的动量定理对它的运动总趋向加以研究。

1. 质组的质心
每个质点组都有一个质心，它的质量 是整个质点组质量之和，它的位置

坐标为



（3．7）

如果质点组不是很大，组内各质点所受的重力都可以认为是竖直向下且互相平行的，那么质点组的质心就与它的重心相重合。

2．质心运动定理

将各个质点的动量定理相加．因为内力都是成对出现的，大小相等方向相反，作用在质点组内不同的质点上，相加后即互相抵消，因此可得质心运动定理．

（3．8）

式中 表示第i个质点受到的外力， 是质心的加速度．质心运动定理说明了质点组质心的运动情况，也即是表明了这个质点组运动的总趋向．它也可以表为质点组的动量定理

（3．9）

式中K是质点组的总动量，

（3。10）

为各质点动量的矢量和．这是质点组动量定理的微分形式．将上式积分一次可得质点组动量定理的积分形式

（3．11）

质点组动量的改变，等于组内各质点在这段时间内所受外力冲量的矢量和．

3. 质点组的动量守恒原理

如果作用于质点组的外力矢量和为零，则

（3．12）

或

（3．13）

这就是质点组的动量守恒原理．至于质点组内各个质点的动量则不一定守恒，但它们的矢量和，即质点组的总动量则保持不变．

此时，质心运动定理为

（3．14）

即，质心动量守恒，我们从质心的定义可以看出质心的动量就是质点组的总动量．