物理好图：相位：古老而陌生的概念

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相位：古老而陌生的概念群：终极理论之梦 2009-11-30 20:55:34 阅读132 评论0 字号：大中小
月相。谐振子。简正模。偶极子共振。色散。光子静质量。平方反比率。真空极化。负能海。反常磁矩。电荷守恒。波函数相位。AB效应。全息照相。相速度。超光速。群速度。量子噪声。波包坍缩……
相位到底是什么？从小学自然课学月相就开始接触相位，可是直到走上专门研究物理的道路还没有真正弄清楚。谐振子的问题还可以类比月相或荡秋千什么的，到了量子领域就没有什么直觉了。谁都知道全息照相可以记录相位信息，但这里的相位到底是什么？半波损失到底损失了什么？老师说相位是物理量的一种状态。这就很费脑筋了。难道能量不是物理量的一种状态？代表能量的群速度不可以超光速，偏偏允许代表相位的相速度超光速？光锥的概念不适用于相位？量子中振幅的平方可以表征发现粒子的概率，那么波函数的相位指什么？AB效应中磁矢势又是怎样改变波函数相位的？
相位到底是什么？那么重要而常用，却又那么古老而陌生！

本文最初发表于校内-人人网上，收到若干回复：



洪然 2008-12-09 14:57相位是来描述简谐运动中当前状态相对于一个参考状态的偏离，只有周期运动才能提相位，至少相位是从周期运动中提出的概念。那么为什么在电子运动这类问题中也能谈及相位呢？因为我们总是把复杂的东西分解为简单的。波动的模型很简单，而且通过实验可以证实波函数的假设有其合理性，那么我们就可以用它，相位这个概念就也可以用了。全息照相记录的所谓相位信息就是光波的相位，你学了傅立叶光学自然会明白。

秦溱 2008-12-09 18:39相位和能量只是物理学家为了方便处理问题而创造的一种概念
刘盼盼 2008-12-13 13:28非线性光学中有些描述你是不是在考虑转动和振动的联系方程？

徐新鹏 2008-12-13 13:43限于学识，我只从大学物理的层次讲几点我的看法。首先，相位是物理量的一种状态。我感觉很对。 只要重新考察几个基本概念的定义起源，就会得到一点启示。 1. 粒子和波是物理学的两类基本模型。 2. 波是振动在空间的传播，是一种集体行为。 3. 振动是某些物理量（如位移）的取值在某些特定值（如平衡位置）附近随另一些量（如时间）的变化。 4. 由2、3可知波的分类是跟与之关联的振动的物理量的分类直接相关的。 5. 我们要预言系统的将来的行为（这是所有科学的共同目标），首先要做的就是定义系统的状态。相位、频率和振幅是波动模型中描述波动（振动）状态的量。这就像粒子模型中质点位置和速度一般。总之，相位的重要性是源于波模型的重要性。因为有波模型的地方就会有相应的三个状态量（也许只有前两个是重要的，如量子力学中的ray矢量）。

徐新鹏 2008-12-13 13:45可以参考：量子力学(Messiah)Vol1


徐新鹏 2008-12-13 13:54补充：限于学识，我只从大学物理的层次讲几点我的看法。 只要重新考察几个基本概念的定义起源，就会得到一点启示。 基本看法：跟二楼作者相似。 1. 粒子和波是物理学的两类基本模型。 2. 波是振动在空间的传播，是一种集体行为。 3. 振动是某些物理量（如位移）的取值在某些特定值（如平衡位置）附近随另一些量（如时间）的变化。 我想我们理解的振动应该是从mx”=-kx开始的。它的解的相位定义很容易理解。 4. 由2、3可知波的分类是跟与之关联的振动的物理量的分类直接相关的。 振动的特征也自然而然的赋予了波。 5. 我们要预言系统的将来的行为（这是所有科学的共同目标），首先要做的就是定义系统的状态。相位、频率和振幅是波动模型中描述波动（振动）状态的量。这就像粒子模型中质点位置和速度一般。 总之，相位的重要性是源于波（振动）模型的重要性。因为有波模型的地方就会有相应的三个状态量（也许只有前两个是重要的，如量子力学中的ray矢量）。


香川一羽·妖 2008-12-13 13:57相位可能是通过两种情况表现出来的。 首先，同一种状态，由于参考角度不同，对于这个状态的某一个确定性质，比如月圆月缺，不同观看者所得到的是不同的信息，但观察对象月亮是确定的，不同观察者所得到的信息之间相差的只是一个修正，就是一个相因子。 对于确定的事件，相因子不应该对事物本身产生影响，只是加在观察着所得到的信息上的，这是相因子的本质。 但是相因子还有其他形式的表现，前面说了，它是使确定事物的同一状态看起来不一样了，相当于一种不确定性。那么同样可以使不同的状态或者不同一的事物看起来一样或者是一个事物。比如由于周期的存在或者我们对某一事物不是完全确定时，相因子是对不同状态的表征。去掉相因子，不同的事物看起来可能会一样。这也是一种不确定性。这是相因子的另一种起作用情况。 回复

尉少杰 2008-12-13 14:57经典物理中的相位没有严格的物理意义，是为了简化公式把物理学方程从实数域扩张到复数域后的产物。 量子物理中的相位有物理意义，表示量子物理系统中内部（内禀）空间的自由度。在路径积分中，整个的作用量可以看作是一个相位因子，这时候对量子态的演化有作用。 回复

潘逸文 2008-12-13 17:34顶楼上. 相位的引入意味着自由度增加，量子场论中，实标量场只能描述一种粒子，而复标量场则能描述2种粒子——粒子与反粒子，粒子和反粒子构成了一个内部空间。 回复

殷义豪 2008-12-13 18:20问题问得很好，但是我水平有限，不知该怎么回答。我最近正在学群论与规范场论，也许等你将来读研究生学到这些东西时可能会对此有更深的理解。相位变换数学上对应U(1)群，是可交换群，是一种最简单的物理系统对称方式。还有更复杂的方式，比如说三维空间旋转对称SO(3)，以及与其类似的SU(2)群等等... 物理定律或多或少地满足一定的对称性，换言之，会在一定的坐标变换下保持不变（而这些坐标不限于我们熟悉的三维空间坐标），相位算是其中的一个坐标吧。 我说得很乱，因为我也不懂，如果我哪天想清楚这些问题了我会再给你留言的，但也许很久都不会想明白。我写这么多只是为了帮楼主开阔一下思路，千万别当真。我真的不懂。

殷义豪 2008-12-13 18:30顺便说一下，从感性上我比较赞同我楼上两位的看法。 回复


黄日平 2008-12-13 19:53相位是决定一个物理量（事物）在某一瞬时的状态的物理量，所以它就代表了物理量（事物）的一种 状态。于是，相速度就是一个物理量（事物）的状态的时间变化率，所以，相“速度”并不是一个严 格意义上的速度。以电磁波为例，相位的“传播速度”并不是电磁波实际的传播速度，且在任何参考 系中都是一样的；在介质中，相速度=c/n＝ω/k，其中n为介质对该频率电磁波的折射率，它可以小于 1，如普通的物质对x射线等频率较大的光的折射率就小于1，这样，相“速度”就大于光速了，但这里 的大于光速只是概念的意义而已，也许相“速度”还真不应该叫相速度。所以，把相位只当一个方便 研究的物理量是我目前的理解。当然，我也觉得这个概念确实还应该有更深的内涵，特别是在量子力学里。 回复

尤亦庄 2008-12-13 23:40看看费曼的路径积分应该能解决你这里的很多问题。 回复

刘宇 2008-12-14 12:35如果要理解相位，先问问自己理解了时间和空间了没。无非从空间时间坐标的描述改到了角度坐标上而已。另外，波函数的相位和普通的相位不一样，不要妄想与现实中的东西对照。波函数是概率幅。不妨理解，相位是强加的。当然，现在这个东西有意义了，那你就按照它实际的意义理解好了，不能理解，先尝试一下理解正电子。
刘宇 2008-12-14 12:35回复尤亦庄：对了，你对空间能量无限大有什么个人理解吗？ 回复


李峰 2008-12-14 14:17嗯。。相位是什么。。。 (1) 相位是啥 嗯。。相位因为出现在函数的指数因子上，所以必定是无量纲量。任何物理量无量纲的组合就能作为位相。比如动量与位移的乘积，能量与时间的乘积，角动量与角度的乘积，等等，都能作为相位，还有一些相位比如几何相位或者AB效应中的相位，都是无量纲的积分。如此构造的无量纲量还可以有很多，比方说位移除以波尔半径，不过从未见过。总之，相位的选取是很自由的。 (2) 相干 在光学或量子力学中，相位并不是一个可以直接观测的物理量。因为我们能观测的是强度。波动F[x]=AExp[io],强度是波动的共轭与自己的乘积，所以I[x]=|A||A|，相位o的信息被抹掉了。然而，如果有两个波函数叠加，那情况就不同了。叠加后的波函数F[x]=F1[x]+F2[x]=A1Exp[io1]+A2Exp[io2]，那么，强度I[x]=|F[x]|^2=|A1|^2+|A2|^2+A1A2(*)Exp[i(o1-o2)]+A1(*)A2Exp[i(o2-o1)]=I1[x]+I2[x]+相干项。((*)表示共轭)。相干项中保留了相位的信息，而相位的信息也只能在相干项中体现。因此全息照相需要两束激光同时照射。量子力学与经典力学最大的两个区别在于物理量的不对易与相位的存在。经典力学中两束电子的合强度是分强度之和，而量子力学中因为相位的关系会有相干项。而量子力学过度到经典力学的过程叫做“褪相干”。 (3) 相位可以是虚数么 可以。虚数的相位表示衰减：o[x]=a[x]+b[x]i, F[x]=AExp[io]=AExp[ia[x]]Exp[-b[x]]。Exp[-b[x]]即是衰减项。 (4) 幺正变换 在量子力学中，体系的状态由波函数表示。当体系发生变换，波函数也会变换。但是波函数对自己的内积永远为一，这是波函数归一化条件（概率队所有情况的积分为1）。满足波函数对自己内积不变的变换称为幺正变换。例如对于体系平移变换，x->x+dx，波函数的变换则是F[x]->U[x]F[x],其中U[x]=Exp[ikdx]。任何一种体系变换，都有与之对应的施加在波函数上的幺正变换。幺正变换必须满足U[x](*)U[x]=I。你也许也看出来了，所谓幺正变换其实是对波函数相因子的修正。所以说，当体系发生变换时，变换的实际上是波函数的相位。局域幺正变换下的对称性还能导出规范场，这是后话。 (5) 相位有什么用 如前所述，相位可以解释相干项的存在，可以表征体系变换，虚数相位还可以描述衰减。除此之外还有很多过程与相位有关。比如说，原子核的磁量子数m其实是在原子波函数的相位上的。当发生磁跃迁时，跃迁算符实际上是在对相位进行操作。还有半经典近似实际上也是关于相位的理论。记不记得波尔H原子模型中的驻波原理？pdx的圈积分是2paihbar的整数倍？实际上半经典近似就是闭合路径的相位变化是2pai的整数倍。 回复

陈成~pure 2008-12-15 12:36回复尉少杰：学长怎样理解自由度？
陈成~pure 2008-12-15 12:37回复刘盼盼：转动和振动联系方程是？
陈成~pure 2008-12-15 12:39回复黄日平：“物理量的状态的时间变化率”为什么允许超光速？
陈成~pure 2008-12-15 12:47回复李峰：学长总结的很好，解决了我关于光学和量子的很多疑问还有一个旧问题：相速度为何可以超光速，这里相位的意义？同时产生一个新问题：楼上有人指出“相位是内禀空间的自由度”该如何理解？

尉少杰 2008-12-15 13:13回复陈成~pure：这倒问倒我了，自由度不好回答。恐怕我只能够用线性代数的线性无关性来回答。自由度是经典物理和量子力学的默认守恒量，然而量子场论则可以产生和湮灭自由度。 回复




吴剑锋 2008-12-15 19:08经典物理中，在描述波（平面波或者球面波等等）的时候，所谓的相位一般是波矢与时空坐标的内积，因此平面波的相角事实上是依赖于坐标系的选取的，从这个意义上来讲，它不是一个好的可观测量，但局域上来讲却是可以说它是个可观测量的。 量子理论中，波函数的相位事实上代表一个事实：实数已经不能描述量子系统，必须引入复数，引入复数之后，可观测的量仍然是在实数域上取值，也就是所谓的左右dirac括号夹一下出的本征值才是可观测量。因此波函数的经典理解是它有一个纯几何学的相，是一个不可观测量，这一点就带来了所谓的薛定谔猫以及EPR佯谬。 但是，如果对量子力学系统做二次量子化，也就是量子场论来说，这种几何学的相位很可能会变成物理的相位，也就是规范场的A-B效应，此时，它是一个良好的可观测量。一般来讲，我们称之为Berry相。在人们没有认识到物理相的存在之前，人们普遍认为矢势A是没有可观测效应的（这也就是为啥它叫规范场），但A-B效应却指出，在规范场中的带规范对称性的荷的粒子如果回转一周会产生一个可观测的相移（可以通过左右手旋光通过磁场然后重新混合看是否仍为输入的圆偏振光来观测）。此时，这个问题就会变得很有意思，虽然规范场本身是非局域可观测的量，但它的非局域效应，一般数学上称为Holonomy，物理上叫Wilson loop，却是一个很好的可观测的量。 Berry相的出现可以说是理论物理学的一个分水岭，由此产生的分数霍尔效应，分数统计物理，拓扑相变等等可以说是改变了物理学的框架。到今天，这个领域仍然有很多新的物理出现。 回答一下相速度群速度的问题，任何一个波包都是由分波构成的，波包代表的是真实的物理粒子，它的速度（群速度）是绝对不能超过光速的。而相速度本身的定义就是分波的速度，分波对应于构成波包的线性无关基，也就是量子力学理解的线性基，准确的说，它是波包的Fourier分解。在做Fourier分解的时候，我们并没有限制分波的动量，也就是说它可以是任意的，甚至可以达到无穷大！这样的分波是不能携带任何物理信息的，因为它只是数学变换的要求，简单的理解就是，它不真实！那么定义相速度还有什么意义呢？事实上，在研究量子系统的演化过程时，经常要碰到色散，它就定义了系统的色散关系～这里需要Clear一下，相速度不是可以超光速，而是必须一定超光速！v_{p}=w/k=E/P=c^{2}/v > c !否则系统就没有色散，就会产生一个很奇怪的非线性波，一般的说，这样的电磁波是不存在的。但是在水波中只要相速度低于声速，就会产生这种波，其实它也没那么奇怪，我们看到的海浪就是这种波。 楼上有人说的“相位是内禀空间的自由度”，这个概念我没有听说过，一般我们讲内禀空间的自由度，就是讲自旋或者规范自由度。前者和相位毫无关系，它刻画的是Lorentz群的旋量表示。后者倒是有关系，但一般不是这么理解规范自由度的，我们前面讨论过规范场，它的自由度称为规范自由度，一般由规范群的生成元刻画，分为在壳和不在壳的情形，分别对应于经典和量子情形。物理相与规范群的表示相关，不同的表示对应于不同的物理相，也就是不同表示的Wilson Loop所携带的相位信息不一样。（一般我们用的Wilson Loop是Adj 表示，即伴随表示） 以上就是我理解的相位，不足之处，请同仁多指正。


刘盼盼 2008-12-16 08:41回复陈成~pure：我在思考，这也许能为大统一有帮助


尤亦庄 2008-12-16 13:36回复刘宇：你是指真空能吗？ 回复


刘宇 2008-12-16 20:03回复尤亦庄：是啊是啊，哈哈 回复


尤亦庄 2008-12-17 16:11回复刘宇：我对无限大能量没有什么反对。据说古代印度人认为世界是由一只乌龟驮在身上的。有人问印度老太太，那么乌龟是站在什么上面的呢？老太太说，那还用问，当然是另一只乌龟。用无穷多的乌龟来支持我们的世界，就像无穷大的真空能量一样，都是可以接受的。 回复




牛家树 2008-12-19 17:12我觉得相位是对立统一的基础～～～它不是物理量，它是物理本身～～～

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• 量子力学，用概率幅（例如波函数ψ或者态矢|φ>）替代概率P(Ai)和P(B)，用Green函数或者跃迁振幅或者替代条件概率P(B -marketreflections- ♂ (3680 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:17:07

• www.streetinsider.com top website trader economist -marketreflections- ♂ (69 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:49:52

• www.schaeffersresearch.com -marketreflections- ♂ (100 bytes) () 07/23/2010 postreply 09:51:54

• 波包的坍缩：处于|Ψ>态的系统，如果测量物理量A得值ai 则该系统测量后进入A的本征|ai -marketreflections- ♂ (9988 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:02:03

• 几率幅是个重要概念，表示态矢在一个表象的一个基矢上的投影的值。 -marketreflections- ♂ (10045 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:05:09

• 一个或一组力学量所有的基矢即在希尔伯特空间中张成一个表象，通俗点说就是一个坐标系 -marketreflections- ♂ (991 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:07:28

• Dirac：处于叠加态|Ψ>的系统，部分得处于|Ψ1>，部分的处于|Ψ2> ……， -marketreflections- ♂ (592 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:09:58

• 经典力学中位置和动量是最基本的力学量，其它力学量都是它们的函数，所以借助于直角坐标系中最基本的位置算符和动量算符及其对易关系，可 -marketreflections- ♂ (1673 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:13:53

• 中心场定态问题：当两个粒子组成孤立体系时，势将简化成只取决于它们的相对位置 ...对易关系 -marketreflections- ♂ (486 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:16:56

• 中心场定态问题:由于时间空间均匀性质，不存在关于时间空间的绝对标架,势将简化成只取决于它们的相对位置,孤立体系本来并没有绝对方向 -marketreflections- ♂ (945 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:28:27

• 锚效果:（先验概率）很强的话，要消除它或者大幅度的修正它，需要很多很强的新信息 -marketreflections- ♂ (4952 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:21:52

• 内涵越丰富，外延越狭窄,“维数灾难”,confidence高的模式，support不高（出现的频数不高） -marketreflections- ♂ (5164 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:25:39

• 既然是“鬼”：实空间应用如通信，很难：鬼可怕，因为实空间测量不到鬼 -marketreflections- ♂ (472 bytes) () 07/22/2010 postreply 10:23:31

• 表面的统计理论 假定原子间的相互作用用平 均场近似。后者即忽略原子簇聚效应 -marketreflections- ♂ (1283 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:27:48

• 用一个平均场来代替其他粒子对任一个粒子的相互作用,这个平均场又能用单粒子波函数表示,从而将多粒子系的薛定谔方程简化成单粒子波函数 -marketreflections- ♂ (1459 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:31:43

• 每个电子都是在原子核和其它电子形成的有效平均势场中“独立”地运动 -marketreflections- ♂ (4798 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:36:36

• 用百度推广的生意经 bidu -marketreflections- ♂ (2455 bytes) () 07/21/2010 postreply 15:28:01

• 图解百度财报：总营收2.823亿美元同比增74% (图) -marketreflections- ♂ (3392 bytes) () 07/21/2010 postreply 20:54:25

• bidu 图解百度财报：总营收2.823亿美元同比增74% (图) (图) -marketreflections- ♂ (3050 bytes) () 07/21/2010 postreply 21:01:11

• 百度竞价排名：质量度×价格=最后的展现价格 -marketreflections- ♂ (5692 bytes) () 07/21/2010 postreply 21:06:34

• 两个学校继续在百度做推广，等是十月份过了，他们就下线了 -marketreflections- ♂ (3343 bytes) () 07/21/2010 postreply 21:34:21

• 非法网络业务风险：药品、保健、机械设备、旅游和连锁（5项共占总营收50%）， -marketreflections- ♂ (2381 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:42:47

• bidu 百度的竞价排名行为是一个比较复杂的商业行为 -marketreflections- ♂ (8723 bytes) () 07/29/2010 postreply 15:32:57

• 雅虎和谷歌链接违法网页比例较高 引擎链接违法网页比例大多在10％—30％之间 -marketreflections- ♂ (842 bytes) () 11/23/2010 postreply 16:45:11

• bidu 李彦宏称百度营收10年将增长40倍 达到1600亿元 -marketreflections- ♂ (1655 bytes) () 11/23/2010 postreply 16:52:38

• www.zhaojinseo.com站长：赵津：no money no honey;bidu 百度的竞价排名行为是一个比较复杂的 -marketreflections- ♂ (7911 bytes) () 12/22/2010 postreply 12:58:38

• 百度占据超过70%的市场份额，服务于超过30万家企业 -marketreflections- ♂ (8930 bytes) () 11/23/2010 postreply 17:09:10

• 电磁力统一表述为磁荷作用下由库仑定律所确定的平方反比力，在相互作用或势能中引人排斥成分并扩充哈密顿量 -marketreflections- ♂ (3942 bytes) () 07/21/2010 postreply 11:23:45

• 量子粒子兩顆粒子一旦接觸過，彼此就會保持聯繫。虛擬粒子,那些小小的振動能量 -marketreflections- ♂ (5497 bytes) () 07/21/2010 postreply 12:13:20

• 在全同粒子系统中，各个粒子的运动是互相关联的，不能对每个粒子做单独的描述，只能做整体的描述，即粒子间存在着一种相互作用。这种与全 -marketreflections- ♂ (2268 bytes) () 07/21/2010 postreply 15:29:42

• 10 Positives to Battle a Downbeat Bernanke -marketreflections- ♂ (5412 bytes) () 07/21/2010 postreply 18:11:12

• housing "stabilizing" at historically negative levels -marketreflections- ♂ (3694 bytes) () 07/22/2010 postreply 14:30:59

• 物理好图：量子纠缠与空间非定域性 范场本身是非局域可观测的量，但它的非局域效应，一般数学上称为Holonomy，物理上叫Wils -marketreflections- ♂ (320 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:22:59

• 爱因斯坦的定域性条件实质在于要求事物有自身的质，受其他事物的影响（如相互作用）不应超过光锥规范。 -marketreflections- ♂ (24536 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:31:42

• 物理好图：纤维丛是流形向乘积的推广,矢量丛;E为全空间，M称为底空间， 称为丛投影， 称作纤维。直观地说，矢量丛E是积流形和纤维 -marketreflections- ♂ (21662 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:37:39

• 物理好图：将戏统循环一周 返回后，由于参数空间的拓扑不平庸性，所出现的不为零相因子 称为Berry相位。 -marketreflections- ♂ (743 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:40:08

• 物理好图：流形就是流变着的形状，它在每一点的近旁和欧氏空间的一个开集是同胚的。因此在每一点的近旁可以引进局部坐标系。流形正是一块 -marketreflections- ♂ (1946 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:43:43

• 在量子力学中，完备本征函数形成了希尔伯特空间，微观粒子是由希尔伯特空间决定的。我们把不是普通三维空间的坐标或变量，叫做粒子的内禀 -marketreflections- ♂ (1559 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:50:35

• 相对论类空间隔 逻辑上相互独立条件的合取：两个独立的条件是指“定域性”（locality）和“完备性”（completeness -marketreflections- ♂ (8855 bytes) () 09/29/2010 postreply 08:58:02

• 閔可夫斯基時空：光速在各个惯性参考系皆为定值,度规,正交归一基底(orthonormal basis)必然包含一个类时与三个类空 -marketreflections- ♂ (2352 bytes) () 09/29/2010 postreply 09:04:15

• 一维矢量平移总是拓扑平庸的,一维准定态时空演化过程，其拓扑性质是平庸 -marketreflections- ♂ (63 bytes) () 11/19/2010 postreply 03:28:34

• 底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。 -marketreflections- ♂ (25930 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:11:36

• 积分流形就好比是好比是原函数，而已知的那组切空间的子基就好比是导数 -marketreflections- ♂ (11713 bytes) () 11/19/2010 postreply 08:15:50

• 微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形， -marketreflections- ♂ (562 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:13:39

• 戏统循环一周返回后，由于参数空间的拓扑不平庸 性，所出现的不为零相因子称为Berry相位 -marketreflections- ♂ (92 bytes) () 11/19/2010 postreply 03:31:01

• 所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x)的推广 -marketreflections- ♂ (2837 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:17:28

• 古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分 -marketreflections- ♂ (260 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:20:08

• 规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率 -marketreflections- ♂ (21224 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:24:05

• 量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子 -marketreflections- ♂ (188 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:25:38

• 底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述 纤维也有"转换函数"的对应物，叫和乐群 -marketreflections- ♂ (488 bytes) () 11/19/2010 postreply 04:29:43

• 物理好图：吴国林 场与势 某一矢量的散度为零，则可以把该矢量写作另一个矢量的旋度，即可以把B写为：B=▽×A ，A就是电磁理论中 -marketreflections- ♂ (9744 bytes) () 09/29/2010 postreply 09:28:56

• 物理好图, 两个粒子运动的坐标系处理：类似于经典对两体绕质心运动问题的处理, 随几运动的两体系统难以描述，更谈不上精确 -marketreflections- ♂ (4523 bytes) () 09/29/2010 postreply 09:38:32

• 分析数学 实变函数论的中心内容是测度论和新的积分理论 -marketreflections- ♂ (16723 bytes) () 09/29/2010 postreply 12:12:45

• 物理好图, “惯性力场”是表现加速系（非惯性参照系）的相对论运动学的一个关键范畴, “升降机”为例，这是一个加速系，记作A，其中 -marketreflections- ♂ (31278 bytes) () 09/29/2010 postreply 13:39:19

• 麦克斯韦方程中有个divD＝ρ的等式。这个等式的左边是场的量，因为D可以还原到电场E上。右边则是物质的量——电荷密度。等式的成立 -marketreflections- ♂ (2389 bytes) () 09/29/2010 postreply 09:50:17

• 相位坐标 相位不变性 -marketreflections- ♂ (309 bytes) () 10/23/2010 postreply 16:08:53

• 不同观察者所得到的信息之间相差的只是一个修正，就是一个相因子,曲率的这种新的、严格的数学概念，弯曲空间 (图) -marketreflections- ♂ (15764 bytes) () 10/24/2010 postreply 17:03:44

• 教授那篇关于弯曲空间的演讲稿 “度规”就是决定空间的一切度量性质（内禀）的量。广相的问题就是找出物质分布时空间的度规; 度规，是 -marketreflections- ♂ (812 bytes) () 10/25/2010 postreply 08:09:35

• 平衡算是一个比较准确的词 [ jetcar ,各方都是在测算并试探着破局的各种可能性,同时却又尽可能地在现有规则下运作.谁要胆子 -marketreflections- ♂ (841 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:00:25

• 西方功利思想太盛是看不透今天的世界的 jetcar -marketreflections- ♂ (226 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:11:40

• 贾春宝：所谓的金融改革不过是西方化，那个西方化从根本上不是美国化，因为美国的金融系统也是在欧洲系统的基础上建立的，传承的也是欧洲 -marketreflections- ♂ (10339 bytes) () 10/25/2010 postreply 11:24:38

• 普鲁士工业贵族 重耳 -marketreflections- ♂ (86 bytes) () 10/25/2010 postreply 11:44:17

• 别忘记那个著名的“珍笼”棋局 [ jetcar ]：一切希望都酝酿于绝望之中 -marketreflections- ♂ (326 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:14:56

• 美国现在就陷入法制的陷阱,只要搞出的法律动辄几百上千页,靠你人力是无论如何没办法吃透的,到时候一切还不得靠解释者来决定"法律的正 -marketreflections- ♂ (434 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:33:38

• jetcar 白领工资偏低，这个倒是中国目前的心病 -marketreflections- ♂ (1285 bytes) () 10/25/2010 postreply 09:40:09

• 解放军最能打的部队很多都是国民党投降的士兵搞诉苦大会给发掘出来的 -marketreflections- ♂ (1437 bytes) () 10/25/2010 postreply 10:28:04

• 美国的选举现在实 际上到了第三境界，也就是说是不同的理念之争,最小公约数，相干波，路径积分 -marketreflections- ♂ (4220 bytes) () 10/25/2010 postreply 12:39:08

• (私有制乐器上奏出的单音)律音的相互作用有两种方式：产生一个更低的律音，它的谐音频率就是各律音的频率，[color=red]该律 -marketreflections- ♂ (6268 bytes) () 10/25/2010 postreply 12:49:45

• 42就是21与6的最小公倍数,48和14的最小公约数是2. -marketreflections- ♂ (349 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:06:39

• 42就是21与6的最小公倍数,48和14的最小公约数是2,亏或获利了解容易形成共识（比须是简单的概念） -marketreflections- ♂ (280 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:14:12

• "最小公倍数几何成长",non liner, mkt catches fire -marketreflections- ♂ (24 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:16:17

• 小提琴的A弦频率是440Hz，E弦频率是660Hz，它们的结合音就是220Hz，相干音就是1320Hz，这两个音构成的和声是和谐 -marketreflections- ♂ (857 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:31:33

• 欧式几何对这种空间在微小距离下的性质没有任何的描述,小是相对于多维的 -marketreflections- ♂ (110346 bytes) () 10/25/2010 postreply 13:58:50

• 一个矩阵的行列式就是一个平行多面体的（定向的）体积，这个多面体的每条边就对应矩阵的列,一旦方向变了，兵败如山倒 -marketreflections- ♂ (1123 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:02:33

• 相同的唯一性定理也可解释为何在船只停泊码头前的靠岸阶段必须得依靠人工操作：否则的话，如果行进的速度是距离的光滑（线性）函数，则整 -marketreflections- ♂ (160 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:04:32

• 如果我们的出发点不是群而是变换的概念（一个集合到自身的1－1映射），则我们绝对将得到不同的局面，这也才更像历史的发展。所有变换的 -marketreflections- ♂ (691 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:11:25

• 映射是讨论两个集合之间对应关系的工具，一个集合到自身的映射称为这个集合的变换,常见的几种平面上点的变换以及几类常见变换对应的矩阵 -marketreflections- ♂ (3328 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:16:03

• 一种基于拓扑势的网络社区发现方法,重整化，降多维为一维，系统能量指标都要变化 -marketreflections- ♂ (430 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:41:56

• 幂分布:自相似性则是分数维的重要性质。说得再通俗些就是某系统（广义集合）中标志变量的相对改变量（dx/x）与其对应的个体的相对数 -marketreflections- ♂ (8492 bytes) () 11/19/2010 postreply 02:26:05

• 幂律分布：节点拓扑势的大小描述了网络拓扑中的某个节点受自身和近邻节点共同影响所具有的势值 -marketreflections- ♂ (8074 bytes) () 11/19/2010 postreply 02:32:37

• 弗赖登塔尔关于“数学化”的演讲稿 -marketreflections- ♂ (283 bytes) () 10/25/2010 postreply 14:56:02

• 具身认知之根: 从镜像神经元到具身模仿论 -marketreflections- ♂ (20845 bytes) () 10/25/2010 postreply 15:05:31

• 张志东 对于定态，波函数ψ和其复共轭函数ψ*中的动力学相因子相互抵消，不对物理观察量A 的平均值有贡献。也就是说，动力学相因子与 -marketreflections- ♂ (259 bytes) () 10/24/2010 postreply 17:09:57

• 在各种势场中，具有一定总能量的微观粒子由于势能的变化会引起粒子动能或速度的改变，而速度会引起粒子对应的波的相位变化，所以无论是引 -marketreflections- ♂ (479 bytes) () 10/24/2010 postreply 17:18:07

• 物理好图： 在线阅读 >> 《大学物理学（国家“十一五规划教材”）》 >> -marketreflections- ♂ (56 bytes) () 10/24/2010 postreply 17:49:39

• 物质结构、幻数及手征性 任何形式的结构与稳定性密切相关 -marketreflections- ♂ (72 bytes) () 10/27/2010 postreply 04:26:52

• 维度的本质含义是标度变换下的不变量。对于分形而言，不存在一个绝对可测量的尺度，即无特征尺度 -marketreflections- ♂ (90 bytes) () 10/27/2010 postreply 05:40:15

• Peano 曲线与正方形，作为点集，它们之间可以做出1-1 对应来. 于是平面上的点就可以不用两个有序实数（横坐标与纵坐标）表示 -marketreflections- ♂ (10138 bytes) () 10/27/2010 postreply 05:50:05

• 物理好图：突破经验维数必须是整数的观念 -marketreflections- ♂ (427 bytes) () 10/27/2010 postreply 05:54:13

• 物理好图 所谓对称性"实则«种变换中的不变性& Weyl 指出!’对称性«词在日常用语中有两重含义& ( -marketreflections- ♂ (34598 bytes) () 10/27/2010 postreply 06:05:39

• 配分函数_互动百科 系统处在能级Ei上的几率是 配分函数 伊辛(Ising)模型 郝柏林 -marketreflections- ♂ (226 bytes) () 10/27/2010 postreply 06:12:23

• 刘俊明 伊辛(Ising)模型 在铁磁体系，我们知道自旋箭头倾向于和其周围邻居平行排列，也就是说，两个相邻的箭头如果平行排列， -marketreflections- ♂ (3568 bytes) () 10/27/2010 postreply 06:19:04

• Jim Schroeder market is entering into a positive seasonal bias r -marketreflections- ♂ (5328 bytes) () 10/27/2010 postreply 06:29:37

• “dueling hammers.” Dueling hammers are almost always resolved wi -marketreflections- ♂ (826 bytes) () 10/27/2010 postreply 08:05:38

• Robert Colby of TraderPlanet.com low VIX suggests that sentiment -marketreflections- ♂ (769 bytes) () 10/27/2010 postreply 09:06:10

• （1）位置矢量的微分，有二个分量：径向分量是 ，横向分量是 ；（2）当位置矢量大小不变时，其微分只有横向分量 ，即 。 (图) -marketreflections- ♂ (311 bytes) () 11/17/2010 postreply 15:55:32