量子物理史话 贝尔不等式 两个人根本不存在于“实在”之中，而是合为一体，按照波函数弥漫。用薛定谔发明的术语来说，在观测之前，两个

转载：贝尔不等式
转自新浪读书频道《上帝掷骰子吗？ － 量子物理史话 》



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不管怎么样，贝尔准备仔细地考察一下，对于德布罗意和玻姆的想法是否能够有实际的反驳，也就是说，是否真如他们所宣称的那样，对于所有的量子现象我们都可以抛弃不确定性，而改用某种实在论来描述。1963年，贝尔在日内瓦遇到了约克教授，两人对此进行了深入的讨论，贝尔逐渐形成了他的想法。假如我们的宇宙真的是如爱因斯坦所梦想的那样，它应当具有怎样的性质呢？要探讨这一点，我们必须重拾起爱因斯坦昔日与玻尔论战时所提到的一个思想实验——EPR佯谬。

　　要是你已经忘记了EPR是个什么东西，可以先复习一下我们史话的8-4。我们所描述的实际上是经过玻姆简化过的EPR版本，不过它们在本质上是一样的。现在让我们重做EPR实验：一个母粒子分裂成向相反方向飞开去的两个小粒子A和B，它们理论上具有相反的自旋方向，但在没有观察之前，照量子派的讲法，它们的自旋是处在不确定的叠加态中的，而爱因斯坦则坚持，从分离的那一刻起，A和B的状态就都是确定了的。

　　我们用一个矢量来表示自旋方向，现在甲乙两人站在遥远的天际两端等候着A和B的分别到来(比方说，甲在人马座的方向，乙在双子座的方向)。在某个按照宇宙标准时间所约好了的关键时刻(比方说，宇宙历767年8月12日9点整，听起来怎么像银英传，呵呵)，两人同时对A和B的自旋在同一个方向上作出测量。那么，正如我们已经讨论过的，因为要保持总体上的守恒，这两个自旋必定相反，不论在哪个方向上都是如此。假如甲在某方向上测量到A的自旋为正(＋)，那么同时乙在这个方向上得到的B自旋的测量结果必定为负(-)！

　　换句话说，A和B——不论它们相隔多么遥远——看起来似乎总是如同约好了那样，当A是＋的时候B必定是-，它们的合作率是100%！在统计学上，拿稍微正式一点的术语来说，(A＋，B-)的相关性(correlation)是100%，也就是1。我们需要熟悉一下相关性这个概念，它是表示合作程度的一个变量，假如A和B每次都合作，比如A是＋时B总是-，那么相关性就达到最大值1，反过来，假如B每次都不和A合作，每当A是＋是B偏偏也非要是＋，那么(A＋，B-)的相关率就达到最小值-1。当然这时候从另一个角度看，(A＋，B＋)的相关就是1了。要是B不和A合作也不有意对抗，它的取值和A毫无关系，显得完全随机，那么B就和A并不相关，相关性是0。

　　在EPR里，不管两个粒子的状态在观测前究竟确不确定，最后的结果是肯定的：在同一个方向上要么是(A＋，B-)，要么是(A-，B＋)，相关性是1。但是，这是在同一方向上，假设在不同方向上呢？假设甲沿着x轴方向测量A的自旋，乙沿着y轴方向测量B，其结果的相关率会是如何呢？冥冥中一丝第六感告诉我们，决定命运的时刻就要到来了。

　　实际上我们生活在一个3维空间，可以在3个方向上进行观测，我们把这3个方向假设为x，y，z。它们并不一定需要互相垂直，任意地取便是。每个粒子的自旋在一个特定的方向无非是正负两种可能，那么在3个方向上无非总共是8种可能(把每个方向想像成一根爻，那么组合结果无非是8个卦)。

　　x y z

　　+ + +

　　+ + -

　　+ - +

　　+ - -

　　- + +

　　- + -

　　- - +

　　- - -

　　对于A来说有8种可能，那么对于A和B总体来说呢？显然也是8种可能，因为我们一旦观测了A，B也就确定了。如果A是(＋，＋，-)，那么因为要守恒，B一定是(-，-，＋)。现在让我们假设量子论是错误的，A和B的观测结果在分离时便一早注定，我们无法预测，只不过是不清楚其中的隐变量究竟是多少的缘故。不过没关系，我们假设这个隐变量是H，它可以取值1-8，分别对应于一种观测的可能性。再让我们假设，对应于每一种可能性，其出现的概率分别是N1，N2……一直到N8。现在我们就有了一个可能的观测结果的总表：

　　Ax Ay Az Bx By Bz 出现概率

　　+ + + - - - N1

　　+ + - - - + N2

　　+ - + - + - N3

　　+ - - - + + N4

　　- + + + - - N5

　　- + - + - + N6

　　- - + + + - N7

　　- - - + + + N8

　　上面的每一行都表示一种可能出现的结果，比如第一行就表示甲观察到A在x，y，z三个方向上的自旋都为＋，而乙观察到B在3个方向上的自旋相应地均为-，这种结果出现的可能性是N1。因为观测结果8者必居其一，所以N1＋N2＋…＋N8＝1，这个各位都可以理解吧？

　　现在让我们运用一点小学数学的水平，来做一做相关性的练习。我们暂时只察看x方向，在这个方向上，(Ax＋，Bx-)的相关性是多少呢？我们需要这样做：当一个记录符合两种情况之一：当在x方向上A为＋而B同时为-，或者A不为＋而B也同时不为-，如果这样，它便符合我们的要求，标志着对(Ax＋，Bx-)的合作态度，于是我们就加上相应的概率。相反，如果在x上A为＋而B也同时为＋，或者A为-而B也为-，这是对(Ax＋，Bx-)组合的一种破坏和抵触，我们必须减去相应的概率。

　　从上表可以看出，前4种可能都是Ax为＋而Bx同时为-，后4种可能都是Ax不为＋而Bx也不为-，所以8行都符合我们的条件，全是正号。我们的结果是N1＋N2＋…＋N8＝1！所以(Ax＋，Bx-)的相关是1，这毫不奇怪，我们的表本来就是以此为前提编出来的。如果我们要计算(Ax＋，Bx＋)的相关，那么8行就全不符合条件，全是负号，我们的结果是-N1-N2-…-N8＝-1。

　　接下来我们要走得远一点，A在x方向上为＋，而B在y方向上为＋，这两个观测结果的相关性是多少呢？现在是两个不同的方向，不过计算原则是一样的：要是一个记录符合Ax为＋以及By为＋，或者Ax不为＋以及By也不为＋时，我们就加上相应的概率，反之就减去。让我们仔细地考察上表，最后得到的结果应该是这样的，用Pxy来表示：

　　Pxy＝-N1-N2＋N3＋N4＋N5＋N6-N7-N8

　　嗯，蛮容易的嘛，我们再来算算Pxz，也就是Ax为＋同时Bz为＋的相关：

　　Pxz＝-N1＋N2-N3＋N4＋N5-N6＋N7-N8

　　再来，这次是Pzy，也就是Az为＋且By为＋：

　　Pzy＝-N1＋N2＋N3-N4-N5＋N6＋N7-N8

　　好了，差不多了，现在我们把玩一下我们的计算结果，把Pxz减去Pzy再取绝对值：

　　|Pxz-Pzy|＝|-2N3＋2N4＋2N5-2N6|＝2 |-N3＋N4 + N5 - N6|

　　这里需要各位努力一下，超越小学数学的水平，回忆一下初中的知识。关于绝对值，我们有关系式|x-y|≤|x|＋|y|，所以套用到上面的式子里，我们有：

　　|Pxz-Pzy|＝2 |-N3＋N4 + N5 - N6|≤2(|N4＋N5|＋|N3＋N6|)

　　因为所有的概率都不为负数，所以2(|N4＋N5|＋|N3＋N6|)＝2(N3＋N4＋N5＋N6)。最后，我们还记得N1＋N2＋...+N8＝1，所以我们可以从上式中凑一个1出来：

　　2(N3＋N4＋N5＋N6)＝1＋(-N1-N2＋N3＋N4＋N5＋N6-N7-N8)

　　看看我们前面的计算，后面括号里的一大串不正是Pxy吗？所以我们得到最终的结果：

　　|Pxz-Pzy|≤1＋Pxy

　　恭喜你，你已经证明了这个宇宙中最为神秘和深刻的定理之一。现在放在你眼前的，就是名垂千古的“贝尔不等式”。它被人称为“科学中最深刻的发现”，它即将对我们这个宇宙的终极命运作出最后的判决。

　　嗯，这个不等式看上去普普通通，似乎不见得有什么神奇的魔力，更不用说对于我们宇宙的本质作出终极的裁决。它真的有这样的威力吗？

　　我们还是先来看看，贝尔不等式究竟意味着什么。我们在上一章已经描述过了，Pxy代表了A粒子在x方向上为＋，而同时B粒子在y方向上亦为＋这两个事件的相关性。相关性是一种合作程度的体现(不管是双方出奇地一致还是出奇地不一致都意味着合作程度很高)，而合作则需要双方都了解对方的情况，这样才能够有效地协调。在隐变量理论中，我们对于两个粒子的描述是符合常识的：无论观察与否，两个粒子始终存在于客观现实之内，它们的状态从分裂的一霎那起就都是确定无疑的。假如我们禁止宇宙中有超越光速的信号传播，那么理论上当我们同时观察两个粒子的时候，它们之间无法交换任何信息，它们所能达到的最大协作程度仅仅限于经典世界所给出的极限。这个极限，也就是我们用经典方法推导出来的贝尔不等式。

　　如果世界的本质是经典的，具体地说，如果我们的世界同时满足：1.定域的，也就是没有超光速信号的传播。2.实在的，也就是说，存在着一个独立于我们观察的外部世界。那么我们任意取3个方向观测A和B的自旋，它们所表现出来的协作程度必定要受限贝尔不等式之内。也就是说，假如上帝是爱因斯坦所想象的那个不掷骰子的慈祥的“老头子”，那么贝尔不等式就是他给这个宇宙所定下的神圣的束缚。不管我们的观测方向是怎么取的，在EPR实验中的两个粒子决不可能冒犯他老人家的尊严，而胆敢突破这一禁区。事实上，这不是敢不敢的问题，而是两个经典粒子在逻辑上根本不具有这样的能力：它们之间既然无法交换信号，就决不能表现得亲密无间。

　　但是，量子论的预言就不同了！贝尔证明，在量子论中，只要我们把a和b之间的夹角θ取得足够小，则贝尔不等式是可以被突破的！具体的证明需要用到略微复杂一点的物理和数学知识，我在这里略过不谈了，但请诸位相信我，在一个量子主宰的世界里，A和B两粒子在相隔非常遥远的情况下，在不同方向上仍然可以表现出很高的协作程度，以致于贝尔不等式不成立。这在经典图景中是决不可能发生的。

　　我们这样来想象EPR实验：有两个罪犯抢劫了银行之后从犯罪现场飞也似地逃命，但他们慌不择路，两个人沿着相反的两个方向逃跑，结果于同一时刻在马路的两头被守候的警察分别抓获。现在我们来录取他们的口供，假设警察甲问罪犯A：“你是带头的那个吗？”A的回答无非是“是”，或者“不是”。在马路另一头，如果警察乙问罪犯B同一个问题：“你是带头的那个吗？”那么B的回答必定与A相反，因为大哥只能有1个，不是A带着B就是B带着A。两个警察问的问题在“同一方向”上，知道了A的答案，就等于知道了B的答案，他们的答案，100%地不同，协作率100%。在这点上，无论是经典世界还是量子世界都是一样的。

　　但是，回到经典世界里，假如两个警察问的是不同角度的问题，比如说问A：“你需要自己聘请律师吗？”问B：“你现在要喝水吗？”这是两个彼此无关的问题(在不同的方向上)，A可能回答“要”或者“不要”，但这应该对B怎样回答问题毫无关系，因为B和A理论上已经失去了联系，B不可能按照A的行动来斟酌自己的答案。

　　不过，这只是经典世界里的罪犯，要是我们有两个“量子罪犯”，那可就不同了。当A决定聘请律师的时候，B就会有更大的可能性想要喝水，反之亦然！看起来，似乎是A和B之间有一种神奇的心灵感应，使得他们即使面临不同的质询时，仍然回答得出奇地一致！量子世界的Bonnie&Clyde，即使他们相隔万里，仍然合作无间，按照哥本哈根解释，这是因为在具体地回答问题前，两个人根本不存在于“实在”之中，而是合为一体，按照波函数弥漫。用薛定谔发明的术语来说，在观测之前，两个人(粒子)处在一种“纠缠”(entanglement)的状态，他们是一个整体，具有一种“不可分离性”(inseparability)！

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• 互相纠缠的两颗粒子就好比插在海边而被海浪卷打倒下的两根杆子。 -marketreflections- ♂ (2773 bytes) () 07/22/2010 postreply 09:29:07

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• 关洪:几率幅,在经典物理学里, 粒子肯定是不能够叠加的,量子力学的真正惊人之处,正在于粒子也是可以叠加的,量子力学里,叠加的就 -marketreflections- ♂ (15148 bytes) () 07/22/2010 postreply 10:16:51

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• Schrodinger方程：个框架内，光仍然按电磁场处理，不提光子 -marketreflections- ♂ (10758 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:11:34

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• 李政道 果小球是可分的,统计物理的等概率原理 -marketreflections- ♂ (4877 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:23:49

• 自旋是一个全新的力学量，没有经典对应 -marketreflections- ♂ (4809 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:29:43

• 量子力学中，一开始是把研究课题看成“粒子”来研究的，因此适用于描述非全同粒子。但粒子实质上是全同的。为了弥补理论和事实的不符，故 -marketreflections- ♂ (2922 bytes) () 07/22/2010 postreply 11:33:38

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• 波包的坍缩：处于|Ψ>态的系统，如果测量物理量A得值ai 则该系统测量后进入A的本征|ai -marketreflections- ♂ (9988 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:02:03

• 几率幅是个重要概念，表示态矢在一个表象的一个基矢上的投影的值。 -marketreflections- ♂ (10045 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:05:09

• 一个或一组力学量所有的基矢即在希尔伯特空间中张成一个表象，通俗点说就是一个坐标系 -marketreflections- ♂ (991 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:07:28

• Dirac：处于叠加态|Ψ>的系统，部分得处于|Ψ1>，部分的处于|Ψ2> ……， -marketreflections- ♂ (592 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:09:58

• 经典力学中位置和动量是最基本的力学量，其它力学量都是它们的函数，所以借助于直角坐标系中最基本的位置算符和动量算符及其对易关系，可 -marketreflections- ♂ (1673 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:13:53

• 中心场定态问题：当两个粒子组成孤立体系时，势将简化成只取决于它们的相对位置 ...对易关系 -marketreflections- ♂ (486 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:16:56

• 中心场定态问题:由于时间空间均匀性质，不存在关于时间空间的绝对标架,势将简化成只取决于它们的相对位置,孤立体系本来并没有绝对方向 -marketreflections- ♂ (945 bytes) () 07/22/2010 postreply 16:28:27

• 锚效果:（先验概率）很强的话，要消除它或者大幅度的修正它，需要很多很强的新信息 -marketreflections- ♂ (4952 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:21:52

• 内涵越丰富，外延越狭窄,“维数灾难”,confidence高的模式，support不高（出现的频数不高） -marketreflections- ♂ (5164 bytes) () 07/22/2010 postreply 15:25:39

• 既然是“鬼”：实空间应用如通信，很难：鬼可怕，因为实空间测量不到鬼 -marketreflections- ♂ (472 bytes) () 07/22/2010 postreply 10:23:31