数学上说，用群的信息来描述世界，叫做代数和对称群的实现

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从空间到超空间
六 10th, 2009 by pekingli

（一）

空间是什么？

如果我们不关心时间和时空的统一，仅仅看空间，这个问题是相对简单的。

假设某个地方的人们拥有无穷多不同质量的弹球，还有测量长度很不错的尺子和相当精确的钟表，那么他们可以重复地进行碰撞的实验，也就是用手把两个球滚到一起，记录下相碰之前与之后球滚动的快慢。在实验的过程中他们会发现一

些近似的规律，并且随着年月增长学会了改进实验器材和数据分析方法，那么总有一天，他们会进化到我们这个世界近代物理学家的水平，发现弹性碰撞实验中的物理定律。

我们暂时不关心相对论，所以不妨认为那里的人们并不能把小球滚得非常快，滚得太快了也许会有新的规律产生，我们不想惹这个麻烦。经过研究那些缓慢滚动的小球，人们会发现什么重要信息呢？

首先，科学研究是需要可重复性的，并且将类似的结果不断比较。为了做到这一点，那里的人们将发明“坐标”。坐标是什么？所谓迪卡尔坐标，就是为独立正交的每一个空间维度都设定一个方向。这个坐标看来很依赖我们对空间维度的理解，因此用它来研究小球碰撞并发现空间维度，就变成循环论证了。跳出循环的方法很简单，不妨认为人们选择的坐标并不是正交独立的，而是不正交也不独立的，唯一的要求只是选定坐标之后，不再改变这个选择。让我们假设至少人们有足够的几何知识来测量两条线段之间的角度，也就是说他们至少会平面几何。但这里有一个潜在问题，那就是如果已经会了平面三角，原则上已经可以测量空间维度了，方法是找一块石头，磨成平行正多边形，找另一块磨成最光滑的球形，然后都敲碎了，数碎片的多少（相同直径的球和菱形的体积比是一个跟空间维度有关的常数）。为了让我们的故事能进行，只能剥夺纯几何学家门的发言权，只相信物理学家的结果。

物理学家们用着那套既不正交也不独立的奇怪坐标，终于渐渐明白一件事：那就是这些坐标是既不正交也不独立的。这简直是废话。我们的物理学家不会太复杂的数学，于是有人提出这么一个办法，让我们研究一下，什么物理观测量是不依赖于坐标的吧。

随后的故事就简明了，人们发现了旋转不变性和平移不变性，由对称性研究发现了群论和表示论，保持观测量不变的对称变换将决定一组独立的生成元，其中平移生成元的数量就是那个世界空间的维度。

（二）

现在，让我们去一个更抽象的世界，那里只有哲学家，没有物理学家。进化了很久之后，有人思考了这样一个问题：
如果我们的世界有一些物理学家，他们拥有无穷多的小球、尺子和钟表，这个世界的维度是不是可以被测量出来呢？

你知道，这就是哲学家，宁愿自己泡在浴缸里空想，也不愿动手做一点点事。

以下为哲学家的思路：

如果物理学家们最终发现了对称群，那个群的生成元总数是大N，这个世界的维度究竟是多少呢？是大N吗？还是另一个跟N有关的数字。
如果我们所有能知道的信息只有这个数字，我们的世界，会是什么样呢？世界是真实的吗？还是只是一个数学游戏？

这个问题的答案其实并不复杂，但是带有一点哲学的味道，世界的维度是多少取决于你生活的状态。

数学上说，用群的信息来描述世界，叫做代数和对称群的实现。实现可以是忠实的（最简单的），也可以是多值的（冗余的）。物理上说，碰撞实验的对称群是包含了转动群的庞加略群，其中转动群是它的一个子群。我们教科书中的描述方法，是为每一个非转动群生成元赋予一个坐标。而转动群的生成元，并没有被赋予坐标。在这种做法下，平移算符造成空间延某个方向的移动，而转动算符造成空间的整体转动。另一种做法不是不行，就是为每一个生成元都赋予坐标，这样的空间相比于上一种实现显然有更高的维度，在这里连转动算符的作用都变成了延某个轴的移动。有什么问题吗？

确实有一点问题，那就是常识告诉我们，转动的角度太大之后，转动的后果可能反而变得很小，转360度之后，反而跟没有转动一样，这是一个很强烈的信息，告诉我们这些转动坐标，如果当作平移坐标一样实现的话，必须是周期性的。进一步的研究将发现，两次转动的顺序颠倒之后并不一定是相同的效果，这一点与平移操作相反。以上说明，这些转动坐标，并不是形成一个平坦的空间，而是非平坦空间。仔细研究后，它们形成的是球面。

于是，这就是另一种实现的空间结构：平移坐标生成平坦空间，转动坐标形成球面，平坦空间上的每一点都带有一个球面，这种直乘的积，就是全空间。

这个结果看起来很复杂，其实是很有用的，这实际上是说，在研究空间的时候，我们可以在每一点取定不同的坐标，这些坐标在不同的点可以不同。任意点上的坐标可以随便转动，这样的局部操作并不会改变物理观测结果。

（三）

一点细节

刚刚我们说到转动生成元对应的坐标将会形成一个球面，这个球面的维度是多少？跟转动生成元的数目一样吗？回答是否定的。举个例子，三维转动群生成元数目是3，三维中的球面维度却是2。因为生成元间的对易关系不再如平移群中那样平凡，第一号转动与第二转动的对易便等于第三号转动了。这是为什么群空间只有两维，群空间的维度其实等于群的rank。SO(3)是2，SO(2)是1。

我们可以为刚才提到的平坦X球面起一个时髦的名字叫超空间。但更合适的名字其实是积空间。这是因为平坦空间的操作和球面上的操作完全是分开的，

[P,P]=0，[M,M]=M

如果我们推广这种对易关系，如

[P,P]=M，[M,M]=M

则P对应的坐标也不再是无穷的，而是一样的有周期性。这一点与我们刚才说的球面类似。空间结构取决于[P,P]对易子是否生成所有的M算子，如果有剩下的，那么这些M将生成球面乘在P生成的那个球面上；如果所有的M都可以用P生成，则空间简单地为P生成的球面。

什么是超空间

我们还剩下一种可能性没有列举

[P,P]=0，[Q,Q]=P

但是原则上，我们还是可以反过来理解，Q生成的空间上直乘P生成的空间，这就回到了刚才讨论的情况。但是这里有一个特例，如果Q生成元没有物理测量量的含义，Q生成的空间就没有物理意义了，这时候我们只能从P生成的空间出发，并且为每个Q附加特殊的没有物理含义的坐标，这种情况，就叫做超空间。

如果你想看什么是时间，请移步到

http://limiao.net/1304

http://limiao.net/?p=1301&cp=all#comment-31119

所有跟帖： 

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• 如果四维时空间隔的平方大于零，则称间隔是类空的，这反映事件A和B之间不会有因果联系 -marketreflections- ♂ (1147 bytes) () 12/03/2009 postreply 11:15:32

• 股价强波动时，价格间距逻辑上是零 -marketreflections- ♂ (122 bytes) () 12/03/2009 postreply 11:20:13

• 闵可夫斯基的时空间隔 大于零,未来;等于零,现在; 小于零,过去 -marketreflections- ♂ (1402 bytes) () 12/03/2009 postreply 13:13:29

• "四维时空间隔等于零"google.cn -marketreflections- ♂ (198 bytes) () 12/03/2009 postreply 13:18:37

• 度规,广义空间距离;联络,物理场势;曲率,物理场强;测地线,运动方程,变分原理,物理最小作用量原理 -marketreflections- ♂ (11136 bytes) () 12/03/2009 postreply 11:42:56

• smart money waits for the dust to settle and trades later in the -marketreflections- ♂ (1151 bytes) () 12/03/2009 postreply 17:27:03

• 背景独立的理论有牛顿力学（假设存在一条独立不变的时间轴），狭义相对论（其背景为闵可夫斯基空间，背景度规为闵可夫斯基度规）， -marketreflections- ♂ (2465 bytes) () 12/04/2009 postreply 10:32:07

• 科普书籍>>当代物理学进展 -marketreflections- ♂ (109 bytes) () 12/04/2009 postreply 10:35:55

• 电子在原子中运动时，只要不发生能级跃迁，就并不发射电磁波 -marketreflections- ♂ (7448 bytes) () 12/04/2009 postreply 10:48:03

• 自然光是大量原子同时发出的光波的集合。其中的每一列是有一个原子发出的，有一个偏振方向 -marketreflections- ♂ (43 bytes) () 12/04/2009 postreply 10:49:36

• 光学 -marketreflections- ♂ (1209 bytes) () 12/04/2009 postreply 10:51:35

• 爱因斯坦等效原理 -marketreflections- ♂ (35255 bytes) () 12/04/2009 postreply 11:15:25

• 局部惯性系的一个实例是无动力飞行的宇宙飞船, -marketreflections- ♂ (909 bytes) () 12/04/2009 postreply 11:24:35

• consecutive days above its 50-day moving average (DMA). (图) -marketreflections- ♂ (848 bytes) () 12/04/2009 postreply 11:25:56

• 惯性: either way, double edge knife -marketreflections- ♂ (65338 bytes) () 12/04/2009 postreply 11:47:13

• 物理定律和物理量不依赖于坐标系的 选择. 作为一个几何化的理论，应当寻找与这些物理量对应的几何量. 这些几何量应当独立于坐标系的 -marketreflections- ♂ (22715 bytes) () 12/04/2009 postreply 12:04:30

• 群论简介 -marketreflections- ♂ (245 bytes) () 12/05/2009 postreply 19:02:32

• 伽利略大船,各向同性,匀速，匀时空，匀动量，匀场，牛顿本质 -marketreflections- ♂ (23574 bytes) () 12/04/2009 postreply 12:21:30

• 原时和坐标时物体的原时是该物体的属性，惯性系的坐标时是该惯性系的属性 -marketreflections- ♂ (375 bytes) () 12/04/2009 postreply 12:25:18

• 纳什嵌入定理(两个)被稱為黎曼幾何的基礎理論 (图) -marketreflections- ♂ (264 bytes) () 12/05/2009 postreply 10:32:29

• 以真空中量子涨落能量为零点，高于的叫正能量，低于的叫负能量 -marketreflections- ♂ (2947 bytes) () 12/06/2009 postreply 17:32:47

• 物理定律涉及的并不是一个局部的时空点，而是一个时空范围 -marketreflections- ♂ (34460 bytes) () 12/04/2009 postreply 12:30:11

• 广义协变原理 -marketreflections- ♂ (440 bytes) () 12/04/2009 postreply 12:34:23

• 芝诺坐标系 正的表示不需要意会理解的思维与存在、物质与真空，负的表示需要意会理解的思维与存在、物质与真空 -marketreflections- ♂ (19002 bytes) () 12/03/2009 postreply 12:47:10

• 无论是物理场还是几何场，人们总希望以某种形象的方式表示它，这样就能研究场的细节 -marketreflections- ♂ (9422 bytes) () 12/03/2009 postreply 12:57:40

• 这种将物质看作是空间，几何场及信息的奇怪观点并不是科学中所独有的，在柏拉图的哲学中 -marketreflections- ♂ (11147 bytes) () 12/03/2009 postreply 13:06:47

• 与确定性的运动相关的能量就对温度无直接贡献 -marketreflections- ♂ (2765 bytes) () 12/02/2009 postreply 09:05:55

• 门的位置有个洞,机器人，在室外可以靠GPS，但在室内一般就是用拓扑特征来分辨自己的位置 -marketreflections- ♂ (17210 bytes) () 12/02/2009 postreply 09:25:54

• 规范变换的意义 物理规律不因为变换而变，则变换前后的拉格朗日密度应该相等 -marketreflections- ♂ (1418 bytes) () 12/01/2009 postreply 15:36:02

• 规范变换是现在物理的基石之一 -marketreflections- ♂ (4498 bytes) () 12/01/2009 postreply 15:44:06

• 金融市场中各现象的活跃分子组成的也是一个数目不固定、可以产生和消灭的体系。理论物理学中人们研究系统的对称性不变性，在各种时空变换 -marketreflections- ♂ (9932 bytes) () 12/01/2009 postreply 15:51:47

• 对称——重要的物理思维方法 -marketreflections- ♂ (8304 bytes) () 12/03/2009 postreply 12:12:06

• 曹天予的《二十世纪场论的概念发展》 -marketreflections- ♂ (16248 bytes) () 12/03/2009 postreply 12:16:38

• 冯向军 对称性与规范场、守恒性:每一种由局域作用所产生的对称性都对应一守恒流 -marketreflections- ♂ (53464 bytes) () 12/03/2009 postreply 12:26:29

• 牛顿"物体的属性",表面的，人看得见的，股票价格点 -marketreflections- ♂ (1253 bytes) () 12/05/2009 postreply 10:12:56

• 从花园里飘出来的花香，也是连续的、广延的，但如果我们坐在汽车上高速冲过这团香气时，则我们就会觉得这团香气是一个“香子”。 -marketreflections- ♂ (3040 bytes) () 11/24/2009 postreply 10:02:27

• 凸集理论 求得系统的最有利响应（最小 响应）和最不利响应（最大响应）以及响应集中的各个元素在 由最有利响应和最不利响应组成的界限 -marketreflections- ♂ (5210 bytes) () 11/20/2009 postreply 08:56:12

• ""可积收敛" google.cn 瑕积分,瑕点,gap -marketreflections- ♂ (454 bytes) () 11/18/2009 postreply 16:52:54

• 人性数学认识 -marketreflections- ♂ (62 bytes) () 11/18/2009 postreply 16:55:11

• 在那一刻 -marketreflections- ♂ (258 bytes) () 11/19/2009 postreply 11:33:34

• 函数概念 由任一变量和常数的任一形式所构成的量 -marketreflections- ♂ (10238 bytes) () 11/19/2009 postreply 17:10:16

• 漫谈函数概念的几点推广,定义域、对应法则与值域 -marketreflections- ♂ (2779 bytes) () 11/20/2009 postreply 08:35:00

• 基于规范场论的金融物理金融市场 建模 -marketreflections- ♂ (90 bytes) () 11/20/2009 postreply 09:02:20

• 非线性规划理论 若所有约束均是线性的，则可行域是凸集 -marketreflections- ♂ (254 bytes) () 11/20/2009 postreply 09:12:56

• 凸函数 连接任意点的线段总在曲线上端; 凹函数 连接任意点的线段总在曲线下 -marketreflections- ♂ (557 bytes) () 11/20/2009 postreply 09:38:23

• 单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴 -marketreflections- ♂ (3267 bytes) () 11/20/2009 postreply 09:51:55

• 我自学数学的非常故事 (图) -marketreflections- ♂ (150 bytes) () 11/20/2009 postreply 09:36:07

• 对于任意一个系统，如果能找到一个自我耗散的能量函数（数学说法是正定函数），也就是其数值永远为正，但随时间渐进地趋向零，或者说这个 -marketreflections- ♂ (2982 bytes) () 11/17/2009 postreply 11:39:11

• 系统的动力函数:自我耗散的能量函数 -marketreflections- ♂ (25 bytes) () 11/17/2009 postreply 11:42:36

• pappytom64152:you have a huge following -marketreflections- ♂ (977 bytes) () 11/17/2009 postreply 11:52:14

• sgzh clearstation.etrade.com (图) -marketreflections- ♂ (222 bytes) () 11/17/2009 postreply 13:48:44

• sgzh caps.fool.com 4 stars -marketreflections- ♂ (81 bytes) () 11/17/2009 postreply 13:55:50

• Glen Bradford globalspeculation.com -marketreflections- ♂ (45 bytes) () 11/17/2009 postreply 14:06:05

• sgzh 3 new directors in order to have compliance for their uplis -marketreflections- ♂ (5512 bytes) () 11/17/2009 postreply 14:10:50

• 黑龙江省煤田地质局副局长、党委副书记,煤田地质专家曲延林 -marketreflections- ♂ (2931 bytes) () 11/17/2009 postreply 14:25:42

• sgzh run up before quarterly earnings posted; then drop 10-30% -marketreflections- ♂ (1182 bytes) () 11/22/2009 postreply 07:39:04

• sgzh 3 StoxNBondz -marketreflections- ♂ (6647 bytes) () 11/22/2009 postreply 07:57:48

• ，一定量的某种运动形式的产生，总是以一定量的另一种运动形式的消失为代价的；消耗某种运动的量越多，转化成另一种运动的量就越大 -marketreflections- ♂ (4183 bytes) () 11/14/2009 postreply 17:40:31

• 蕴含于物质中的能量分为两大类，一为自由能，二为束缚能;自由能是物质在场的作用下或者物质运动时才存在，例如重力场中物质的势能 -marketreflections- ♂ (3142 bytes) () 11/14/2009 postreply 17:43:53

• 原子所拥有的引力与强核力、电磁力、弱核力相当，原子就是一种引力与强核力、电磁力、弱核力相互对抗的平衡体 -marketreflections- ♂ (2442 bytes) () 11/16/2009 postreply 08:14:42

• 质量越大，说明它们的左右引力场、左右反引力场越不平衡，衰变速度越快 -marketreflections- ♂ (5568 bytes) () 11/16/2009 postreply 08:40:50

• 正因为天体引力场的引力子只能从自旋轴两端输出，使引力场分布是不均的，自旋轴附近的引力最强，吸积盘附近的引力最小，也造成大天体都是 -marketreflections- ♂ (3622 bytes) () 11/16/2009 postreply 08:45:16

• 对于任意一个系统，如果能找到一个自我耗散的能量函数（数学说法是正定函数），也就是其数值永远为正，但随时间渐进地趋向零，或者说这个 -marketreflections- ♂ (3147 bytes) () 11/16/2009 postreply 12:10:50

• 黑箱模型就是不理会实际过程的物理、化学等性质，纯粹从数学出发，假设一个模型结构，然后用种种数学方法找出一个最好的模型 -marketreflections- ♂ (1036 bytes) () 11/16/2009 postreply 12:17:46

• 平行坐标系 如果把三维空间的所有数轴画成平行线，而不是常见的直角坐标，那三维空间里的一个点，就是连接三根平行线的一根折线 -marketreflections- ♂ (666 bytes) () 11/16/2009 postreply 12:20:26

• 熵在宏观意义上也可以作为能量在空间分布的均匀度的量度，能量的空间分布越集中，则熵值越小；越均匀，熵值越大 -marketreflections- ♂ (13563 bytes) () 11/13/2009 postreply 17:40:37

• 坂田 数学的“点”来研究的基本粒子，改为当作物理的“体”来研究,把形的逻辑发展为物的逻辑 -marketreflections- ♂ (5216 bytes) () 11/13/2009 postreply 14:54:18

• 相对论 只是显示事物量方面关系的"形的逻辑" -marketreflections- ♂ (2717 bytes) () 11/13/2009 postreply 14:59:47

• 宇宙是均匀而弯曲的四维时空连续体，这时空体的弯曲是由实物（有质量的物质）造成的，因此，随着物体的运动，宇宙也在不停地"蠕动"。 -marketreflections- ♂ (2717 bytes) () 11/13/2009 postreply 15:00:32

• 规范理论的角度,理念 -marketreflections- ♂ (3404 bytes) () 11/13/2009 postreply 18:15:16

• 心的逻辑，物的逻辑 庄子 "物物者非物","形形之不形". -marketreflections- ♂ (231 bytes) () 11/13/2009 postreply 15:02:47

• 形式逻辑与辩证逻辑 两个数列趋向于0的速度（即变化快慢）是不同的 极限值为定值是2 前者x趋向于零的速度是后者y的两倍 -marketreflections- ♂ (3808 bytes) () 11/13/2009 postreply 15:07:51

• 形式也可作一种模规、规范、模式来理解。而模式也可以类似逻辑，是一种可能性的东西，也许它不存在，也许它曾经存在过或将来会存在 -marketreflections- ♂ (5582 bytes) () 11/13/2009 postreply 15:16:42

• 形式的真是一种逻辑的真 这类形式的真在严密的数学中进展到高等的拓扑学、微分几何、微分流形，抽象出普遍物质形式的整体结构的最简单的 -marketreflections- ♂ (779 bytes) () 11/13/2009 postreply 15:26:35

• 最简单的规范场是电磁场 一个粒子在普通空间中的任意一个转动变换，按笛卡儿的三角坐标实际上是三个绕轴旋转的变换所组成，相应于每一个 -marketreflections- ♂ (1626 bytes) () 11/13/2009 postreply 15:30:48

• 黎曼切口 王德奎 -marketreflections- ♂ (277 bytes) () 11/13/2009 postreply 15:44:31

• “假有”,佛教与物理学 -marketreflections- ♂ (6972 bytes) () 11/13/2009 postreply 18:33:32

• 主观和客观的结合才有“存在”，这在佛教的缘起法中叫内缘起。 -marketreflections- ♂ (22138 bytes) () 11/13/2009 postreply 18:38:56

• 物的逻辑，它定性地指出事物的物理机制 形的逻辑，它定量（包括几何图形）地显示物理量之间的关系，确定它们是怎样联系和转换的 -marketreflections- ♂ (9718 bytes) () 11/13/2009 postreply 15:14:38