第八讲 分析时代 微分几何 以曲线弧长作为曲线上点的坐标

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8.3.1 微分几何的形成

微积分的创始人已经利用微积分研究曲线的曲率、拐点、渐伸线、渐屈线等而获得了属于微分几何范畴的部分结果。但微分几何成为独立的数学分支主要是在18世纪。1731年法国数学家克莱洛发表了《关于双重曲率曲线的研究》，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的重要一步。
欧拉是微分几何的重要奠基人。他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长作为曲线上点的坐标。在《无限小分析引论》第2卷中则引进了曲线的参数表示：x = x(s);y = y(s);z = z(s)，欧拉将曲率定义为曲线的切线方向与一固定方向的交角相对于弧长的变化率，并推导了空间曲线任一点曲率半径的解析表达式

欧拉的曲率定义是对克莱洛引进的空间曲线的两个曲率之一的标准化（另一个曲率，现在叫“挠率”，其解析表示到19世纪初才得到）。欧拉关于曲面论的经典工作《关于曲面上曲线的研究》（1760）被公认为微分几何史上的一个里程碑。欧拉在其中将曲面表示为 z = f (x,y)，并引进了相当于

的标准符号外，欧拉还正确地建立了曲面的曲率概念，引进了法曲率、主曲率等概念，并得到了法曲率的欧拉公式（其中χ1, χ2是主曲率，α是一法截面与主曲率所在法截面的交角）。1771年以后，欧拉还率先对可展曲面理论进行了研究，导出了曲面可展性的充分必要条件。
18世纪微分几何的发展因蒙日的工作而臻于高峰。蒙日于1795年发表的《关于分析的几何应用的活页论文》是第一部系统的微分几何著述。他将空间曲线与曲面理论与微分方程紧密结合，在曲面簇、可展曲面及直纹面研究方面获得了大量深刻的结果。与大多数学数学家不同的是，蒙日不仅将分析应用于几何，同时也反过来用几何去解释微分方程，从而推动后者的发展。他开创了偏微分方程的特征理论，引进了探讨偏微分方程的几何工具：特征曲线与特征锥（现称“蒙日锥”）等，它们至今仍是现代偏微分方程论中的重要概念。