物理定律涉及的并不是一个局部的时空点，而是一个时空范围

物理定律涉及的并不是一个局部的时空点，而是一个时空范围. 第一章中强调过每一个张量都属于
一个时空点的切空间，不同切空间中的张量不能进行加减等运算. 为了要建立不同切空间的张量之间的
联系，必须首先学习黎曼几何中的一个重要概念：协变导数和向量的平移.

第四章弯曲时空中的物理定律
爱因斯坦等效原理给出了一条从狭义相对论中的物理定律构造广义相对论中物理定律的途径. 既然
在弯曲时空的每一点都能选到局部惯性系，在其中狭义相对论的物理定律都成立，而物理定律是客观的
与坐标系的选择无关，只要把该物理定律改写成张量之间的关系，它就在所有的坐标系中都成立. 本章
重点介绍弯曲时空中物理定律的这种构成方法.
物理定律涉及的并不是一个局部的时空点，而是一个时空范围. 第一章中强调过每一个张量都属于
一个时空点的切空间，不同切空间中的张量不能进行加减等运算. 为了要建立不同切空间的张量之间的
联系，必须首先学习黎曼几何中的一个重要概念：协变导数和向量的平移.
4.1 协变导数
为什么要引入协变导数现在用一个例子来说明张量对坐标的偏导数的缺陷. 在2维欧氏空间E2 中
选取极坐标，其度规为
ds2 = dr2 + r2dµ2:
在空间的每一点都有一个横向的坐标基底e(µ) = (0; 1)，构成了一个全空间的基底向量场. 它的2个坐标
分量对坐标r 或µ 的偏导数@ei
(µ)=@r 和@ei
(µ)=@µ 显然都是零，似乎说明这个张量场是一个常数张量场，
然而实际上横向基底e(µ) 的长度为pgµµ = r，沿径向随r 增加而增加，沿横向则其方向随µ在变化. 这
说明张量的普通偏导数并不能正确地表示张量场的性质. 径向基底场e(r) 虽然长度保持不变，方向却随µ
变化，情况类似.
上面指出这两组基底在极坐标系中的坐标分量对坐标的偏导数都是零. 如果这种偏导数是张量, 那么
在任何坐标系中都应当是零. 改用直角坐标系，径向基底的坐标分量应当是(cos µ; sin µ)，它对极坐标µ
或直角坐标的偏导数都不是零. 这说明我们过去在微积分中学习的普通偏导数不是张量. 从第一章开始就
多次提到，物理定律应当写成张量之间的关系，所以要去寻求是张量的一种导数，就是本节引入的协变
导数. 上面的例子涉及的是平直的2维欧氏空间，对于弯曲的时空更有必要引入作为张量的新导数.
在说张量对坐标的偏导数时，注意这里处理的已不是一个单个的张量，而是一个张量场. 张量坐标
分量随着时空点的改变而变化，它们的偏导数表示时空点变化时张量在怎么变化.
为书写简单，今后将用逗号来表示传统的偏导数. 例如，用T®
;¯ 表示@T®=@x¯.
1阶逆变张量的协变导数既然张量的普通偏导数T®
;¯ 不再是一个张量，我们来构造一种构成张量
的新的偏导数，称为协变偏导数并记为T®
;¯. 当然它必须有明确的几何和物理意义. 一种自然的构思是在
局部测地线坐标系LGS中，这两种偏导数相等. 张量是一个几何量，当它在某一个坐标系中的坐标分量
已经确定，这个张量就已经完全确定了.
设fx®g 为任意坐标系，而f»®0g 为LGS. 作为张量的偏导数T®
;¯ 在坐标变换下的变换规律为
T®
;¯ = @x®
@»®0
@»¯0
@x¯ T®0
;¯0 :
这里已经用了在LGS中协变导数与普通导数相同. 为了得到协变偏导数T®
;¯ 在坐标系fx®g 中的表达式,
将上式右端进一步变换成
T®
;¯ = @x®
@»®0
@
@x¯ Ã@»®0
@xº Tº!= T®
;¯ + @x®
@»®0
@2»®0
@x¯@xº Tº:
1
2 第四章弯曲时空中的物理定律
注意在LGS中所有的克氏符号全为零，从(3.23)式立即得到
T®
;¯ = T®
;¯ + ¡®
¯ ºTº: (4.1)
显然，当克氏符号全为零，协变偏导数退化为普通偏导数，或者说分号退化为逗号.
可以引入张量的协变微分DT®，它与普通微分dT® 的差别是
DT® = T®
;¯dx¯; dT® = T®
;¯dx¯: (4.2)
前者是张量而后者不是.
T®
;¯ 是一个混变张量，可以用度规对指标进行升降. 例如，T®;¯ = g¯ºT®
;º.
现在来计算2维欧氏空间E2 在极坐标系中径向基底和横向基底场的协变偏导数. 显然有er
(r) =
1，eµ
(r) = 0，er
(µ) = 0 和eµ
(µ) = 1. 从度规可算得不为零的克氏符号为¡r
µµ = ¡r 和¡µ
rµ = ¡µ
µr = 1=r. 从协
变导数的定义(4.1)式算出不为零的2个基底坐标分量的协变偏导数为
eµ
(r);µ = 1=r; er
(µ);µ = ¡r; eµ
(µ);r = 1=r;
其余为零. 通过这个例子可以看到，尽管一个向量的坐标分量在所有的点上都取常数值，它的协变偏导
数甚至在时空平直的情况下也不一定为零. 这些协变导数正确地显示了这两个基底向量场不是常数向量
场.
重写测地线方程用4速度u® = dx®=d¸ 表示的测地线方程为
du¹
d¸
+ ¡¹
®¯u®u¯ = ³u¹
;® + ¡¹
®¯u¯´u® = 0:
其中¸ 为仿射参数. 显然，用协变导数的语言，测地线方程可简洁地写成
Du¹
d¸
= u¹
;®u® = 0: (4.3)
测地线方程的上述形式可以用等效原理直接了当地给出. 根据等效原理, 在LGS中不存在引力，狭义
相对论的定律成立，自由粒子的测地线方程为
du¹
d¸
= u¹
;®u® = 0: (4.4)
在LGS中克氏符号全为零，普通导数与协变导数相同，所以在LGS中(4.4)与(4.3)等价. (4.3)式是一个张
量的等式，既然在特殊的坐标系LGS中成立，应当在任何坐标系中都成立.
广义协变原理以上的论证有普遍意义，可以用来建立广义相对论的物理定律. 我们的信念是物理
定律是客观的，和坐标系的选择无关，所以物理定律应当表示成一些张量之间的关系. 根据爱因斯坦等
效原理，在时空每一点的所有坐标系中总有局部惯性系存在，那里的物理定律是狭义相对论的物理定律.
所以，只要将狭义相对论的物理定律写成张量之间的关系，就得到了广义相对论的物理定律. 这称之为
广义协变原理. 可以看出它并不能看作是新的原理，而是等效原理的自然推论.
用广义协变原理建立广义相对论物理定律的过程叙述如下. 首先写下1条狭义相对论的物理定律，把
它写成洛伦茨不变的形式，亦即在洛伦茨变换下它的形式不变. 例如自由粒子的测地线方程(4.4)就是洛
伦茨不变的，那里出现的物理量已经是张量，只是偏导数为普通偏导数. 洛伦茨变换把惯性系变换成惯
性系，将闵可夫斯基度规变换成闵可夫斯基度规，使得(4.4)的形式保持不变. 根据爱因斯坦等效原理，
x4.1 协变导数3
在每一个时空点都可以选到局部测地线坐标系LGS，这条狭义相对论的物理定律在其中成立. 下一步是
把它改造成广义相对论的物理定律. 方法是把普通偏导数\,"改成协变偏导数\;", 把闵可夫斯基度规´®¯
改成度规g®¯ (例如把(4.4) 改写成(4.3)). 这种改写在LGS中是完全合理的，因为在其中所有的克氏符号
为零，协变导数变成普通导数，度规变成闵可夫斯基度规. 改写后的张量形式的定律应当在所有的坐标
系中都正确，称作是是广义协变的. \广义"表示对于所有的坐标系都成立，并不局限于惯性系. \协变"表
示物理定律由张量组成，其坐标分量在坐标变换下按照逆变或协变的规律变化.
简而言之，从狭义相对论的物理定律构造广义相对论的物理定律的过程如下: 把一条狭义相对论的
物理定律写成洛伦茨不变的形式，然后把其中出现的\,"改成\;"，´®¯ 改成g®¯，这样就得到了广义相对
论中对应的物理定律. 本章的后行章节中要多次应用这种手段来建立广义相对论框架下的物理定律.
标量的协变导数容易验证标量S 的普通偏导数S;® 在坐标变换下满足1阶协变张量的变换规律，
所以自然地定义标量的协变导数与普通导数相等，即
S;® = S;®: (4.5)
1阶协变张量的协变导数可以像构造1阶逆变张量的协变偏导数的方式一样来得到1阶协变张量的
协变偏导数，但也可以用下面更为简便的方法.
设T® 和Q® 是2个任意向量，它们间的缩并是1个标量，根据(4.5)式，有
(T®Q®);¯ = (T®Q®);¯:
进一步规定协变导数和普通导数一样满足莱伯尼茨法则，即(AB);¯ = A;¯B + AB;¯. 对上式两端都运用
莱伯尼茨法则，对Q®
;¯ 用(4.1)式，立即得到1阶协变张量的协变偏导数为
T®;¯ = T®;¯ ¡ ¡º
®¯Tº: (4.6)
高阶张量的协变导数读者不难用完全类似的方法来建立高阶张量协变导数的计算公式. 这里
以1个3阶张量为例写出它的协变偏导数的计算公式
T¹
®¯;º = T¹
®¯;º + ¡¹
½ºT½
®¯ ¡ ¡½
®ºT¹
½¯ ¡ ¡½
¯ºT¹
®½: (4.7)
读者不难总结出任意阶张量的协变导数计算公式的规律. 这里要注意张量对一对指标一般不是对称的，
因此要分清每一个指标是第几个指标，要分清逆变和协变指标.
度规的协变导数在给定时空点的LGS中，度规为闵可夫斯基度规而且所有的克氏符号均为零. 从
克氏符号的定义(3.11)式可见，克氏符号是度规1阶偏导数的线性齐次函数，可以解出度规的一阶偏导数
为克氏符号的线性齐次函数,
g®¯;º = g®½¡½
¯º + g¯½¡½
®º: (4.8)
所以，在LGS中度规的1阶偏导数为零.
在LGS中度规的1阶偏导数与1阶协变偏导数相同，由此推出在LGS中度规的协变导数为零. 因为度
规的协变导数是1个张量，立即得出在任意坐标系中都有
g®¯;º ´ 0: (4.9)
这是1个重要的结论.
4 第四章弯曲时空中的物理定律
从(4.7)式写出度规协变偏导数的表达式
g®¯;º = g®¯;º ¡ g®½¡½
¯º ¡ g¯½¡½
®º:
从左边为零立即可得(4.8)式. 也可以将克氏符号的定义代入上式来验证(4.9)式.
4.2 向量的平移和陀螺的进动
为什么要讨论向量的平移可以从数学和物理各种角度来看研究向量平移的必要性.
上一节已经指出张量的普通偏导数和普通微分不是张量. 设在时空点P计算张量T® 的普通微分
dT®，而Q是P无穷小邻近的一点，按定义有
dT® = fT®(Q) ¡ T®(P)gLP: (4.10)
其中下标LP表示取花括号内的增量的线性部分. 注意T®(Q) 和T®(P) 分别是不同时空点P和Q处的张
量，它们属于不同的切空间. 在x1.1已经强调指出，只有在两个张量属于同一点的切空间时它们之间的运
算才是有意义的，所以上式右边的减法不符合张量之间的减法运算规则. 这从另一个角度说明普通微分
的结果不是1个张量.
现在来看平直空间和弯曲空间中向量的加减法有什么不同. 首先，在平直空间里不同点的切空间彼
此重合，而在弯曲空间里则不重合. 其次，在平直空间做不同点之间的向量的减法时，要把其中之一平
行移动到另一点去，然后在同一点对两个向量进行相减. 在弯曲空间里，我们不知道如何进行向量的平
行移动. 因此完全有必要来定义弯曲空间中的平行移动.
在弯曲空间里有可能用数学方法定义各种各样的平行移动. 广义相对论自然要求所定义的平行移动
有物理意义. 设想一个像自由粒子一样在引力场中自由下落的宇航员. 他随身携带一个标准钟和三个方向
相互正交的陀螺. 陀螺的质心和宇航员一起自由下落，陀螺也不受任何力矩的作用. 我们把这种陀螺称之
为自由陀螺. 标准钟所指示的原时增加的方向是他的4速度的指向. 4速度和陀螺指向一起构成了宇航员处
的局部惯性架. 处于封闭飞船中的宇航员感觉不到任何力的作用，船舱中狭义相对论的物理定律成立. 宇
航员有理由认为自己在平直时空中不受任何力的作用，他同样有理由认为自己在时空中的轨迹的指向和
携带的陀螺的指向都是不变的. 换句话说，他会认为他的4速度和陀螺的指向都在作平行移动. 在弯曲时
空中定义的向量的平行移动应当与等效原理给出的这种物理直觉相吻合.
逆变向量的平移向量的协变微分是一个张量, 与(4.10)式类比, 逆变向量的协变微分可写为
DT® = fT®(Q) ¡ T®(P ! Q)gLP: (4.11)
这里T®(P ! Q) 表示将张量T®(P) 平移到Q点. 这种平移还有待进一步说明.
另一方面, 从(4.2)式有
DT® = T®
;¯dx¯ = T®
;¯dx¯ + ¡®
¯ °T°dx¯ = dT® + ¡®
¯ °T°dx¯
从(4.10)式可知
DT® = fT®(Q) ¡ T®(P)gLP + ¡®
¯°T°dx¯: (4.12)
再与(4.11)式对比，立即可得
T®(P ! Q) = T®(P) ¡ ¡®
¯ °T°dx¯: (4.13)
x4.2 向量的平移和陀螺的进动5
(4.13)就是逆变向量作无穷小平行移动的计算公式，也可以看作是无穷小平移的一个定义. 注意
T®(P ! Q) 是时空点Q处的张量, 不是时空点P处的张量(习题4.2).
协变向量的平移用完全类似的方式可以得到协变向量的平移公式为
T®(P ! Q) = T®(P) + ¡°
®¯T°dx¯: (4.14)
然而, 上式也可以通过在Q点处指标的升降得到(习题4.3)，亦即
T®(P ! Q) = g®¯(Q)T¯(P ! Q): (4.15)
向量间的内积在平移中保持不变现在来看向量的大小和向量间的内积是否在平移过程中得以保
持. 这只需要看两个向量间的内积能否在平移中保持不变就行了. 设T® 和K® 是2个任意的向量，则
T®(P ! Q)K®(P ! Q) = ¡T®(P) ¡ ¡®
¯°T¯dx°¢(K®(P) + ¡¹
®ºK¹dxº) = T®(P)K®(P): (4.16)
上式的推导中不必保留dx¯ 的二次方项.
(4.16)式的一个特殊情况是向量的长度在平移中保持不变，亦即
k T®(P ! Q) k=k T®(P) k : (4.17)
保持内积的一个结论是位于同一点的两个向量的夹角在向量的平移中保持不变.
自由粒子4速度的平移现在来看这样定义的平移是否符合物理的直觉. 综合(4.3)和(4.11)式可得
自由粒子的4速度满足
0 = Du® = fu®(Q) ¡ u®(P ! Q)gLP: (4.18)
这表示Q点的4速度向量与P点的4速度向量平移到Q点的向量相等，也就是说自由粒子的4速度始终保持
平行移动，说明前面关于平行移动的定义与物理的要求相符.
现在可以重新定义弯曲时空的测地线. 对于任意的坐标系fx¹g，如果能选择到适当的参数¸使曲线的
切向量u® = dx®=d¸ 始终作平行移动，即Du¹=d¸ = 0，则该曲线为测地线而参数¸ 称为仿射参数.
在x3.2里已经用短程线的概念定义了测地线. 显然，对于类时和类空测地线两种定义是等价的，而
且测地线的4维弧长是仿射参数. 取这样的参数后，向量u® 的长度k u® k 在平行移动中保持不变. 对于
自由光子的路径零测地线，因为光子路径的4维长度始终为零，用4维时空的短程线来定义测地线不再适
用，用切向量平行移动来定义更具有一般性.
对于任意的参数¾，dx®=d¾ 不一定保持平行移动，也就不一定满足测地线方程(4.3). 容易证明
D
d¾
(
dx¹
d¾
) =
dx¹
d¸
d2¸
d¾2 ; (4.19)
其中¸ 为仿射参数. 上式右边为零的条件是d2¸=d¾2 = 0，亦即所有的仿射参数之间的关系是线性变换.
这也是\仿射"一词的来源.
以上介绍的平行移动称为Levi-Civita平移，也常简单地称为平移. 如上所述，自由粒子的4速度向量
按这一规律平移.
6 第四章弯曲时空中的物理定律
弯曲空间中向量平移的结果和路径有关在讨论
图4.1: 球面上向量的平行移动与路径有关.
陀螺的进动之前，先来看弯曲空间和平直空间中向量平
移的一个重要差别. 众所周知，在平直的欧氏空间里，
向量平移的结果与路径无关，对应的几何定律是在直线
外一点只能作一条该直线的平行线.
用2维球面为例来看向量的平移是否与路径有关.
图4.1显示一个2维球面. 球面上的大圆(经过球心的平面
与球面相交而成的圆)是测地线. 在A点的一个切向量T
沿着三段测地线作Levi-Civita平移，从A经过B和C点再
回到A点. 从A到B平移时，向量始终与该段测地线相
切以保证它在平行移动. 从B到C平移时向量应保持与
该段测地线的切向的夹角不变，在图中此夹角为直角.
从C到A时则保持与第三段测地线相切. 整个过程中向量
的大小保持不变, 完全按照平行移动的规律. 然而可以看
到T 在沿着一条闭路径回到原处时平移成了T0，并不与T 重合. 容易察觉选择不同的闭路径有不同的平
移结果. 上述事实说明在弯曲空间中平行移动的结果与路径有关，讨论在不同点处的两个向量是否平行
是没有意义的. 当然，沿着给定的路径平行移动，结果是唯一的.
测地岁差地球以将近24小时的周期在自转，现在忽略地球的大小，把地球看成是一个在太阳
的引力场中自由下落的陀螺. 这个陀螺不受太阳引力矩的作用，是一个理想的自由陀螺，亦即它的质
心在引力场中自由下落，而且不受任何力矩作用¤. 在地球绕日公转的过程中，地球陀螺的自转轴应当
作Levi-Civita平移.
设想在某一时刻地球自转轴指向某一颗遥远的恒星，当地球绕日一周再次回到同一空间地点时，它
的自转轴是否还是指向同一颗恒星呢？如果太阳系空间是平直的，自转轴又一直在平行移动，答案是肯
定的. 然而太阳的引力使得太阳系空间发生弯曲，从一个向量在2维曲面上平行移动的例子可以猜测自转
轴不会再指向同一颗恒星. 用广义相对论的理论推导的结果表明地球陀螺的指向相对遥远恒星组成的参
考系有微小的转动，其角速度为
­ = ¡
3
2
v £
GM
c2r3 r; (4.20)
其中v 和r 分别为地球公转的速度和半径向量，G, M 和c 分别为牛顿引力常数，太阳质量和光速. 这个
角速度为每世纪100.92，称为测地岁差，也称为De Sitter 进动. 在绕地运转的人造卫星中自由漂浮的陀螺
的指向相对遥远恒星系统也有这一相对论进动，这一效应已经得到空间实验的验证，精度为1%. 在第九
章里还要更详细地讨论陀螺的相对论进动.
传统的天文学把遥远恒星或类星体构成的参考系看成是惯性系. 从上面的讨论可见自由陀螺的指向
才对应惯性系，陀螺参考系和恒星参考系之间存在相对转动，这是一个新的概念.
¤实际的地球赤道半径约为6378公里，赤道比两极鼓起，扁率接近1/300. 在月球和太阳的引力矩作用下，地球的自转轴（赤
极）绕着地球公转轨道面的法线方向（黄极）作复杂的进动. 这种进动的主要成分是赤极绕黄极作周期约为2万6千年的圆运动，每
年约50角秒，方向与地球自转方向相反. 这种进动称为岁差. 它远大于作为相对论效应的测地岁差. 这里忽略了地球的大小，日月
引力矩及其引起的日月岁差也就不复存在.
x4.3 理想流体动力学7
4.3 理想流体动力学
在x2.4里，讨论了狭义相对论框架中的尘埃和理想流体. 本节要给出在广义相对论的理论框架中流体
元所服从的动力学方程. 作为基础性的讨论，这里选用的物质模型是理想流体.
能量动量张量在一流体元处选择局部测地线坐标系LGS，(2.31)式给出表示流体物质的能量动量
张量为
T®¯ = (½¤ + p
c2 )u®u¯ + ´®¯p: (4.21)
式中c 是光速常数，流体元的静止质量密度½¤ 和压力p 是标量，4速度u® = dx®=d¿ 是1阶张量(¿ 是流
体元的原时)，只有´®¯ 不是张量. 将式中´®¯ 改写成g®¯，上式就是一个张量表达式，而且在这个特殊
的LGS中成立. 这就是应用所谓广义协变原理的做法. 于是在弯曲时空中理想流体的能量动量张量的表达
式是
T®¯ = (½¤ + p
c2 )u®u¯ + g®¯p; (4.22)
和(2.32)式完全一样.
流体元运动的守恒律理想流体和尘埃不同，流体元之间存在压力作用，不能看成是自由粒子，
流体元在时空中的运动轨迹也就不能用测地线方程来表示，而是要从动量和能量的平衡方程得到.
x2.4表明，在LGS中能量动量的局部守恒定律为
T®¯
;¯ = 0:
上式是洛伦茨不变的. 将它改造成广义协变的形式，按逗号变分号的做法，在广义相对论中，这一局部
守恒律是
T®¯
;¯ = 0: (4.23)
将理想流体的能量动量张量的具体形式代入上式，得到
d½¤
d¿
u® + (½¤ + p
c2 )
Du®
d¿
+ (½¤ + p
c2 )u®u¯
;¯ + (g®¯ + u®u¯
c2 )p;¯ = 0; (4.24)
其中利用了度规的协变导数恒等于零和标量的协变导数与普通导数相等.
能量和动量局部守恒律的分离在(4.24)式中每一项都只剩下一个指标®，所以它含有4个方程，
应当表示1个能量局部守恒方程，3个动量局部守恒方程. 为了更清晰地了解这些方程的物理意义，需要
把能量守恒与动量守恒分离.
在狭义相对论中选择直角坐标系，粒子4动量的时间分量是粒子的能量(差一个c 因子)，空间分量是
粒子的动量. 狭义相对论也告诉我们虽然4维时空是客观的，时间和空间的分离是和观测者有关的. 这里
可以选择2个观测者：坐标系的静止观测者和流体元观测者. 在(4.24)中，取® = 0 和® = 1; 2; 3 就得到
了坐标系中静止观测者看到的能量和动量分离. 这样的分离显然与坐标系的选择有关. 下面选择与流体元
保持相对静止的观测者.
在流体元看来， 时间方向是自己的4速度u® 方向， 而空间方向则是与u® 正交的3维空间.
在(4.24)中，第1项和第3项明显沿着时间方向，第2项中
Du®
d¿
= a® (4.25)
8 第四章弯曲时空中的物理定律
是流体元的4加速度. 当4加速度为零时上式正是测地线方程，所以4加速度是引力以外的力产生的加速度.
对u®u® = ¡c2 求协变导数，得到
u®a® = 0: (4.26)
这说明4加速度沿着流体元的某一个空间方向. (4.24)式的第4项中p;® 的系数正是流体元作为观测者的空
间投影算符(参见x3.6和(3.36)式)，它将1阶张量p;® 投影到流体元的空间方向.
经过以上分析，可以容易地将(4.24)分离成2个方程. 流体元处的局部能量守恒定律
d½¤
d¿
+ (½¤ + p
c2 )u¯
;¯ = 0; (4.27)
和局部动量守恒定律
(½¤ + p
c2 )
Du®
d¿
+ (g®¯ + u®u¯
c2 )p;¯ = 0: (4.28)
连续性方程(4.27)式对应经典的连续性方程. 为了更清晰地看到这一点，下面将它退化到弱引力
场和低速度的牛顿力学的情形. 这就要将¿ 换成t，令c ! 1. 注意x0 = ct，所以对于牛顿近似，有
u0 ! c，ui ! vi = dxi=dt. 当时空平直并选取直角坐标系时，协变导数可用普通导数代替. 此外，在牛
顿力学里质量密度与流体元的速度无关，我们把½¤ 改记成½，于是(4.27)式退化成
d½
dt
+ ½vi
;i = 0; (4.29)
或
@½
@t
+ (½vi);i = 0: (4.30)
不难认出这就是牛顿力学中在一个惯性系里的连续性方程.
欧拉方程(4.28)式是经典的欧拉方程在弯曲时空中的形式. 只考虑® = i 时的3个方程，不做任何
近似将方程改写成
(½¤ + p
c2 )
dui
d¿
+ (½¤ + p
c2 )¡i
¹ºu¹uº + (gi¯ + uiu¯
c2 )p;¯ = 0: (4.31)
上式第1项可看成质量密度和加速度的乘积，第3项是流体元受到的压力梯度，第2项含克氏符号，应当表
示引力.
下面将(4.31)式退化到牛顿力学的对应方程. 仍然选取直角坐标系，这时度规g®¯ 和´®¯ 的差以及所
有的克氏符号都是c¡2 量级的小量. 按前面所讲的方式第1项退化成½dvi=dt. 对于第3项，舍去c¡2 项，
度规gij ! ±ij，第3项退化成p;i. 在第2项中，¹ = º = 0 是主要项，那时u0u0 ! c2，其余可舍去. 于
是(4.31)式退化成
½
dvi
dt
+ ½¡i
00c2 + p;i = 0: (4.32)
将上式与牛顿力学中的欧拉方程
½
dvi
dt
+ ½U;i + p;i = 0 (4.33)
相对比，可知¡i
00c2 在牛顿近似下应当退化成U;i，这里U 是牛顿引力势.
恒星内部的平衡主要是引力和压力的平衡. 当(4.31)式中的第2项和第3项相抵消时，一个由理想流体
组成的恒星就处于平衡状态. 当引力项超过了压力梯度项，天体就要塌缩. 比较(4.31)和(4.33)式，可以
看到在广义相对论里压力对引力也有贡献. 在x3.3的最后，我们论证了对于1个球对称的恒星，与牛顿力
学的引力定律相比，广义相对论的引力更强. 这些因素都使得在广义相对论的理论框架中天体更有可能
塌缩.
x4.4 真空中的电动力学9
4.4 真空中的电动力学
这一节介绍如何把狭义相对论中的电动力学基本定律改造成广义相对论中的定律. 采用的手段自然
是逗号改分号, ´®¯ 改成g®¯. 为叙述简单，只讨论真空中电动力学的基本定律，而且采用高斯单位制，
使得电场强度和磁感应强度有相同的单位.
电流密度张量电荷和质量不同，它是坐标变换的不变量，因此电荷密度是1个1阶张量的分量，
不像质量密度是1个2阶张量T®¯ 的分量. 在本节中记½¤ 为静止电荷密度，即在与电荷相对静止的坐标
系中测量得到的电荷密度，这是1个标量. 定义
j® = ½¤u®; (4.34)
称为电流密度张量.
在任意坐标系里j® 各分量的物理意义一般并不清晰. 在某1个时空点处的闵氏系fx^®g 里，
j^0 = ½c; j^i = ½v^i ; (4.35)
其中½ 和v^i 分别是该闵氏系中的静止观测者测量得到的电荷元的电荷密度和速度. 比较上式和表征粒
子4动量的(2.15)式，可以发现它们极其类似，有同样的推导过程. 今后，在张量指标上加上符号^ 表示
张量在闵氏系中的坐标分量.
连续性方程在狭义相对论闵氏系中的电荷连续性方程是
@½
@t
+ @(½v^i )
@x^i
= 0: (4.36)
可以写成j ^®
;^® = 0. 于是，连续性方程亦即电荷守恒定律在广义相对论中的形式是
j®
;® = 0: (4.37)
从逗号改成分号体现了引力的贡献.
电磁场张量在狭义相对论中，电场强度E 和磁感应强度B 在一起构成一个2阶反对称张量
F®¯，称为电磁场张量. 在闵氏系里，它的各坐标分量有清晰的物理意义：
F ^®^¯ =0BBBB@
0 E^1 E^2 E^3
¡E^1 0 B^3 ¡B^2
¡E^2 ¡B^3 0 B^1
¡E^3 B^2 ¡B^1 0
1CCCCA
; (4.38)
其中E^i 和B^i 分别表示沿第^i 个坐标轴方向的电场强度和磁感应强度.
再次需要注意的是只有在闵氏系里，电磁场张量的各坐标分量才有(4.38)所示的明确的物理意义. 在
其他坐标系里，必须谨慎讨论各坐标分量的物理意义. 下面来看一个实例，也可看为是观测量理论的一
个应用.
电磁场强度的测量设在某一个闵氏系里协变的电磁场张量各坐标分量为
F^®^¯ =0BBBB@
0 0 0 0
0 0 B 0
0 ¡B 0 0
0 0 0 0
1CCCCA
; (4.39)
10 第四章弯曲时空中的物理定律
亦即在该坐标系里只有在空间第3轴方向有磁感应强度B.
现在把坐标系转换到以柱坐标表示的转盘坐标系，度规从闵可夫斯基度规(1.5)转换到转盘度
规(1.7)，重写如下
ds2 = ¡(1 ¡
!2r2
c2 )c2dt2 + dr2 + r2dµ2 +
2!r2
c
cdtdµ: (4.40)
用张量的坐标分量在坐标变换下的变换规律可得在转盘系中电磁场张量(4.39)的逆变和协变坐标分量分
别为
F®¯ =0BBBB@
0 0 0 0
0 0 B=r 0
0 ¡B=r 0 0
0 0 0 0
1CCCCA
; F®¯ =0BBBB@
0 ¡!rB=c 0 0
!rB=c 0 rB 0
0 ¡rB 0 0
0 0 0 0
1CCCCA
: (4.41)
我们的问题是\转盘上的一个静止观测者测量沿径向的电场强度，结果是多少？"
按照(4.38)式，电磁场张量的时空分量应当表示电场强度. 审视转盘系中电磁场张量的坐标分
量(4.41)式，不免会产生困惑：协变分量F0r和逆变分量F0r一个不为零而另一个为零. 那么沿径向的电场
强度究竟是不是零呢？这就要应用观测量的理论.
转盘系的度规(4.40)表明该坐标系的基底fe(®)g 不是正交归一基底组. 从它们出发构造一组正交归一
的基底fe(^®)g. 构造的方式如下：
e(^0) =
1
q1 ¡ !2r2
c2
e(0); e(^r) = e(r): (4.42)
余下的2个基底的表达式下面用不到，不再列出. 用转盘度规容易检查这2个基底都是单位基底并相互正
交，分别沿着转盘系静止观测者的时间方向和径向.
于是，在2组基底下电磁场张量有2种坐标分解表示式：
F = F®¯e(®) ­ e(¯) = F ^®^¯e(^®) ­ e( ^¯): (4.43)
参见(4.38)式，按照闵氏系中各坐标分量的物理意义，分量F^0^r 应当表示转盘上的静止观测者测量到的
沿径向的电场强度. 利用基底组(4.42)的正交归一性，可得到解算这一分量的公式如下：
F^0^r = ¡(F ¢ e(^r)) ¢ e(^0): (4.44)
上式的右边是一个张量算式，可以在任意坐标系中计算. 选取前面的转盘坐标系，利用(4.41)和(4.42)式
可算得
F^0^r = ¡F®¯e¯
(^r)e®
(^0) = !rB
cq1 ¡ !2r2
c2
: (4.45)
这就是转盘上的静止观测者测量到的径向电场强度，它不为零.
广义协变的麦克斯韦方程在狭义相对论框架中，真空中的麦克斯韦方程的矢量形式为
r ¢ E = 4¼½;
r £ B =
4¼
c
j +
1
c
@E
@t
;
r ¢ B = 0; (4.46)
r £ E = ¡
1
c
@B
c@t
:
x4.4 真空中的电动力学11
其中½是电荷密度，j, E 和B 分别是3维的电流密度矢量，电场强度矢量和磁感应强度矢量.
用本节前面建立的闵氏系中的电磁场张量和电流密度张量，真空中的麦克斯韦方程可写成在洛伦茨
变换下不变的形式：
F ^®^¯
; ^¯
=
4¼
c
j ^®; (4.47)
F[^®^¯;^°] = 0: (4.48)
读者请自行验证(4.47)对应(4.45)的前2式，而(4.48) 则对应后2式. 这里涉及F[^®^¯;^°]
中的方括号是一种反
对称运算，关于它的准确定义请阅读附录A.
于是，广义相对论中广义协变的麦克斯韦方程为
F®¯
;¯ =
4¼
c
j®; (4.49)
F[®¯;°] = F[®¯;°] = 0: (4.50)
在(4.50)式中，由于方括号运算的反对称性，分号和逗号2种偏导数是等价的，证明如下：
F[®¯;°] = F[®¯;°] + ¡½
[®°F¯]½ ¡ ¡½
[¯°F®]½:
注意方括号中的任何2个指标都有反对称性. 第2项对指标®° 是反对称的，然而®° 又是克氏符号的2个
下指标，应当是对称指标. 这样唯一的可能是该项恒等于零. 同样的理由表明第3项也恒等于零.
电磁势在牛顿力学里，只要力不是耗散的，有3个分量的力矢量就可以用1个标量势函数的梯度
来表示，这样可以大大简化数学运算，也引入了势能这样的物理概念. 在狭义相对论框架里的电动力学
中，选取闵氏系，对2阶电磁场张量F^®^¯
可以引入1个4维电磁势A^®. 关系为
F^®^¯ = A^¯;^® ¡ A^®; ^¯: (4.51)
上式可以写成更为熟知的形式. 将4维电磁势的4个分量记成
A^® = (Á; A^1; A^2; A^3 ): (4.52)
其中Á 为标量电磁势，而3维矢量A = (A^1 ; A^2 ; A^3) 称为矢量电磁势. (4.51)式等价于
E = rÁ ¡
@A
c@t
; (4.53)
B = r £ A: (4.54)
按照逗号改为分号的原则，在广义相对论的任意坐标系中也可以引入4维电磁势A®，它和电磁场张
量的关系是
F®¯ = A¯;® ¡ A®;¯ = A¯;® ¡ A®;¯: (4.55)
上式中的分号可以改为逗号，因为2项中的克氏符号部分相互抵消.
麦克斯韦方程组(4.49)和(4.50)是电磁场张量的1阶偏微分方程组，可以用(4.55)转换成电磁势的2阶
偏微分方程组. 这一部分的内容请阅读附录B. 那里还有对逗号改分号，´®¯ 换成g®¯ 的规则更多的讨论.
建议在学习过第五章的x5.1后再阅读附录B.
洛伦茨力密度在狭义相对论中，电荷在电磁场中运动时要受到洛伦茨力的作用，具体的公式为
f = ½(E +
1
c
v £ B); w = f ¢ v = ½v ¢ E; (4.56)
12 第四章弯曲时空中的物理定律
其中½ 和v 分别为电荷在所选取的惯性系中的密度和速度矢量. 这样f 和w 分别有力密度和功率密度的
量纲.
构造1个4维洛伦茨力密度张量f ^¹，它的时间分量是w=c，而空间分量是洛伦茨力密度，(4.56)式可
以写成张量关系的形式：
f ^¹ =
1
c
F ^¹^ºj^º:
这是一条狭义相对论的定律. 它在形式上无需作任何改变就得到了广义协变的在弯曲时空中任意坐标系
里都适用的物理定律：
f¹ =
1
c
F¹ºjº: (4.57)
电磁场的能量动量张量电磁场是物质，它有能量和动量. 按照质量和能量等价的观点，电磁场也
应当产生引力，因而对时空弯曲有贡献. 在x4.3里给出了以理想流体为代表的能量动量张量，那里并没有
考虑电磁场的贡献. 在没有更多的场存在时，物质的能量动量张量可写成
T¹º = T¹º
MS + T¹º
EM: (4.58)
这里T¹º
EM 表示电磁场的能量动量张量，而前一项则表示电磁场以外的能量动量张量.
物质的能量和动量局部守恒律应当是
T¹º
;º = T¹º
MS;º + T¹º
EM;º = 0: (4.59)
完全模仿x2.4中从尘埃的能量动张量到理想流体的能量动量张量的过程. 在有电磁场存在时，有
T¹º
MS;º = f¹
EM. 它不等于零完全是电磁场造成的，所以标以下标EM. 与x2.4中类似的论证表明f¹
EM 正是电
磁场产生的4维力密度，也就是洛伦茨力密度. 于是，
T¹º
EM;º = ¡f¹
EM = ¡
1
c
F¹ºjº: (4.60)
对上式应用广义协变的麦克斯韦方程，可以得到(见习题4.8)
T¹º
EM =
1
4¼
(F½¹F º
½ ¡
1
4g¹ºF®¯F®¯): (4.61)
容易看到这个张量是对称而无迹的. 无迹是指T¹
EM¹ = 0.
4.5 自由光子的运动方程
除引力外不受任何力作用的光子在4维时空中的路径是零测地线. 测地线方程如(4.3)所示. 方程的自
变量是仿射参数¸. 对于静止质量不为零的粒子，它的原时是仿射参数. 对于静止质量为零的光子，仿射
参数没有明确的物理量与之对应，需要给出有实用价值的运动方程.
3维空间中自由光子的运动方程对时间坐标x0 = ct 和空间坐标xi，零测地线方程可分解成该坐
标系中的空间和时间2部分：
d2xi
d¸2 + ¡i
¹º
dx¹
d¸
dxº
d¸
= 0;
c
d2t
d¸2 + ¡0
¹º
dx¹
d¸
dxº
d¸
= 0:
x4.5 自由光子的运动方程13
上二式中可消去仿射参数¸ 而改用坐标时t 为自变量，得到
d2xi
dt2 + (¡i
¹º ¡ ¡0
¹º
dxi
cdt
)
dx¹
dt
dxº
dt
= 0: (4.62)
从度规有
g¹º
dx¹
dt
dxº
dt
= 0: (4.63)
(4.62)和(4.63)是自由光子在3维空间的运动方程，其中用dx0=dt = c 和dxi=dt = vi 可以写成更为实用的
形式.
静态时空中的Fermat原理在牛顿光学中，光子在3维空间的A点和B点之间传播时，在所有可能
的路径中实际的路径使传播所需的时间为最短. 这就是所谓Fermat原理，可写成
± Z B
A
dt = 0: (4.64)
换成对路径的变分，设空间介质的折射率为n，则光速为c=n，Fermat 原理可写成
± Z B
A
ndl = 0: (4.65)
其中dl 是空间距离线元.
有必要注意(4.64)和(4.65)的差别. 对于(4.64)式，在不同的路径上过A点或B点的时刻可以各不相同.
对于(4.65)式，被积函数只含空间坐标xi 及其导数，不含时间t, 变分把±xi 看为独立的变量，而且对所
有的路径在端点A和B处±xi = 0，
在x3.5中定义了静态的时空，亦即度规满足g®¯;0 = 0; g0i = 0. x3.5论证了在静态的时空中，可以用
爱因斯坦同时性自洽地建立起全局的坐标时t. 这里将进一步证明对于静态的时空，有相对论的Fermat原
理成立，亦即在静态时空中，自由光子的空间路径满足变分(4.64).
对于静态时空，度规表示式(4.63)可写成
c2dt2 = gij
¡g00
dxidxj =
1
¡g00
dl2: (4.66)
这里dl正是坐标系中的静止观测者量度的距离线元(参见x3.5). Fermat原理可进一步写为
± Z B
A
1
p¡g00
dl = 0: (4.67)
将它与牛顿力学的对应形式(4.65)比较，可以看到虽然这里讨论的相对论空间中并无介质，时空弯曲等
价于在牛顿的平直空间中充满了折射率为(¡g00)¡1=2 的介质.
从(4.67)可以导出自由光子的空间路径所应当满足的微分方程. 用t 为参数，(4.67)可以写成拉格朗
日函数变分的形式：
± Z B
A
pLdt = ± Z B
A s gij
¡g00
dxi
dt
dxj
dt
dt = 0: (4.68)
从(4.66)知道对于光子的实际空间路径，L = c，和x3.2中的讨论类似，上式中的根号可以去掉，成为
± Z B
A
Ldt = ± Z B
A µ gij
¡g00
dxi
dt
dxj
dt ¶dt = 0: (4.69)
14 第四章弯曲时空中的物理定律
按照变分原理的欧拉-拉格朗日方程(3.8)式，静态时空中自由光子空间路径满足的微分方程是
d
dt µ gij
¡g00
dxj
dt ¶¡
1
2 µ gjk
¡g00¶;i
dxj
dt
dxk
dt
= 0: (4.70)
一般说来，物理中的原理是不需要用理论予以证明的，而是需要实验的证实，然而这里所用的\原
理"一词只是从牛顿光学的借用，Fermat原理必须与广义相对论的理论相一致. 这就是说(4.70)应当
和(4.62) 在静态时空的情况一致. 一个更简单的数学证明如下.
对于静态时空，写出推导测地线方程的拉格朗日函数为
L =
1
2g00 µcdt
d¸ ¶2
+
1
2gjk
dxj
d¸
dxk
d¸
: (4.71)
因度规不显含时间t ，有积分
g00
dt
d¸
= 1: (4.72)
这里已选取仿射参数¸ 使积分常数为1. 空间部分的测地线方程为
d
d¸ µgij
dxj
d¸ ¶¡
1
2g00;i µcdt
d¸ ¶2
¡
1
2gjk;i
dxj
d¸
dxk
d¸
= 0: (4.73)
对于光子L = 0，可用于消去上式的第2项. 再用(4.73)将自变量从¸ 变换成t，立即可得到(4.70)式.
4.6 第四章习题
4.1 2维欧氏空间E2 中选取及坐标系后的度规为ds2 = dr2 + r2dµ2. 计算径向和横向基底各坐标分
量对坐标r 和µ 的协变导数.
4.2 证明(4.13)所定义的T®(P ! Q) 是时空点Q处而不是时空点P处的张量.
4.3 证明协变向量的平移公式(4.14)可以用指标升降公式(4.15)推导得到.
4.4 设» 为无穷小矢量场，为坐标的函数，进行无穷小坐标变换¹x® = x® ¡ »®. 证明经这类坐标变换
后¹g¹º(x®) ¡ g¹º(x®) = »®;¯ + »¯;® = 0，使度规形式保持不变的»® 应满足的条件为»®;¯ + »¯;® = 0.
4.5 满足»®;¯ + »¯;® = 0 的矢量»® 称为Killing矢量. 证明自由粒子的4速度u® 和Killing矢量»® 的内
积是自由粒子运动的守恒量.
4.6 证明以下重要公式，其中g 是度规的行列式.
(1) 对任意1阶张量T¹ 有Tº
;º = 1 p¡g (p¡gTº);º .
(2) 对任意2阶反对称张量T¹º 有T¹º
;º = 1 p¡g (p¡gT¹º);º .
4.7 证明当度规g¹º 不显含坐标时t 即g¹º;0 = 0 时，第0个基底e®
(0) = (1; 0; 0; 0) 是1个Killing矢量(定
义见习题4.6).
4.8 证明电磁场的能量动量张量为(4.61)式.

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• 广义协变原理 -marketreflections- ♂ (440 bytes) () 12/04/2009 postreply 12:34:23