度规,广义空间距离;联络,物理场势;曲率,物理场强;测地线,运动方程,变分原理,物理最小作用量原理

度规：度规是坐标变换下保持不变的几何量，其物理意义是广义空间距离
(2)联络：几何联络对应物理场势。
(3)曲率：几何曲率对应物理场强。
(4)测地线：几何测地线即短程线，其物理意义是运动方程，也就是作用量变分之解。
(5)变分原理：几何变分原理对应物理最小作用量原理，是几何场和物理学的核心原理。

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Finsler几何统一场与信息物理学
叶 鹰
浙江大学信息资源管理研究所(310028)
[e-mail]
摘要：将Finsler几何的数学形式与物理意义相结合，确立了Finsler几何统一场与信息物理学的数学表示。用Finsler几何中的Hilbert形式作为统一场势A，以Chern联络的曲率形式作为统一场强F，提出用TrF∧*F代表的偶数维作用项和Chern-Simons形式代表的奇数维作用项共同构成统一作用量，将序间、空间、时间对应的Cartan张量作为真实物理状态，从而获得Finsler几何中的信息物理统一场。
关键词：Finsler几何；Finsler空间；几何场论；统一场论；信息物理学
1985年Asanov曾对Finsler几何中的相对论、宇宙论进行过探讨[1]，近年的研究揭示了Finsler空间对物理学的重要意义[2-3]，参考主流数学物理研究的几何统一论、超弦理论和M理论[4-6]，在笔者前期工作[7]和曹盛林教授研究成果[8-10]基础上赋予Finsler几何以实在的信息物理意义，结果具有统一场论价值。数学方法取自[11-12]。
1 Finsler几何场
Finsler几何是Riemann几何的自然拓广，或者说是没有二次限制的Riemann几何，其中去掉齐性条件的Finsler几何也称Lagrange几何。
Finsler几何相应于Riemann几何的有关参量如下：
对于纤维丛(E,p,B,F,G)(E为丛空间，B为底空间，p:E→B是满连续映射，F即纤维，G是有效作用于F上的变换群)，相应于切丛TM上的Riemann度规：
(1) 2/121)(jiijdxdxgd=τ
射影化切丛PTM或球丛SM上的Finsler度规为：
),...;,...(11nndxdxxxfd=τ (2)
其中f是Finsler函数。
相应于Riemann几何的Levi-Civita联络：
, (3) jjiieDeEMTEDω=8855;Γ→Γ),*()(:ijjidωωω∧=
式中代表张量积，T*M是余切丛，是矢量丛E的标架。Finsler几何的Chern联络为： 8855;je
jjiieDeTMpPTMTTMpDω=8855;Γ→Γ),*)(*()*(:, (3) ijjidωωω∧=
相应于Riemann曲率：
ljikjlikRωω∧=Ω21 (4)
Finsler几何的Chern曲率由两部分构成：
mnjikjmljikjlikPRωωωω∧+∧=Ω21 (5) - 1 -
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其中分别为第一类Chern曲率张量和第二类Chern曲率张量。满足： ikjmikjlPR和
fxRCRRnmnklijmjiklijkl28722;=+ (6)
(7) ijkmikjmPP=
其中是Cartan张量。旗曲率K(b)则定义为： ijmC
(8) jii*****bKbK8722;=)(
(9) kljlikijRKδ8722;=
其中ikδ是Kronecker符号。
用Finsler几何的旗曲率替换Riemann几何的截面曲率，Riemann几何的结果一般都能平移到Finsler几何中。如Bianchi恒等式和测地线方程在形式上就完全相同：
Bianchi恒等式： (10) 0=++ilkjijlkikjlRRR
测地线方程： 022=Γ+dsdxdsdxdsxdkjijki (11)
其中是Riemann联络，也称Christoffel符号，取决于度规： ijkΓ
)(21ljkkljjlkilijkxgxgxgg8706;8706;8722;8706;8706;+8706;8706;=Γ (12)
对于一个几何统一场，关键的几个几何概念与物理概念的对应意义理解为：
(1)度规：度规是坐标变换下保持不变的几何量，其物理意义是广义空间距离。由于每个变换均对应一个变换群G，所以不同对称性可用不同对称群来表征，如SU(5)、SU(6)、SO(10)、SO(12)等等。
(2)联络：几何联络对应物理场势。
(3)曲率：几何曲率对应物理场强。
(4)测地线：几何测地线即短程线，其物理意义是运动方程，也就是作用量变分之解。
(5)变分原理：几何变分原理对应物理最小作用量原理，是几何场和物理学的核心原理。
在数学上，对矢量，外积(wedge product)∧定义为： ba和
abba∧8722;=∧ (13)
k次微分形式(k-形)定义为：
(14) jiiiiiikiidxdxdxxakk≠∧∧∧=,...)(121...ω
其中1-形；2-形；3-形；等等。微分形式比张量形式在数学表达上更加简洁明晰。 iidxxa)(1=ωjiijdxdxxa∧=)(2ωkjiijkdxdxdxxa∧∧=)(3ω
k-形的相应外微分为： jiiiikiidxdxdxxadk≠∧∧∧8706;8706;=,...1ω (15) - 2 -
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在三维空间中，0-形的外微分相当于梯度，1-形的外微分相当于旋度，2-形的外微分相当于散度。
协变外微分则相当于规定了一个联络(势)：
(16) iikkiidDΩ=∧8722;=ωωωω
此即第一Cardan方程或第一结构方程。同时有第二Cardan方程或第二结构方程成立：
(17) jijkkijidΩ+∧=ωωω
对于无挠场，，故有： 0=iDω
ikkidωωω∧= (
3)
这就是Levi-Civita联络和Chern联络，它们都是无挠联络。
对于具有光滑边界的定向微分流形S，Stokes定理成立： Σ8706;
(18) ∫∫Σ8706;Σ=ωωd
Gauss-Bonnet公式也应成立：
)(2MdKMπχσ=∫ (19)
其中K为Gauss曲率，χ(M)为流形M上的Euler示性数。Gauss-Bonnet公式揭示的全曲率与示性类的关系成为几何量与拓扑量之间的纽带。
对于一个实n维可微流形M及其切丛TM上的双变量集标量函数f(x,y)，Finsler曲面是指积分
(20) ∫=dxdyydxyyxf/',)',,(
Riemann几何则是时的特例。 '),(),(2),(2yyxGyyxFyxEf++=
2 信息物理中的Finsler几何统一场
考虑任意可微且对是r阶的正齐次函数f(x,y)： iy
),(),(yxfkkyxfr= (21)
其中k>0，r为实数。
jiijyyyxgyxf),(),(2= (22)
Finsler度规为： jiijyyyxfyxg8706;8706;8706;=),(21),(22 (23)
其基本张量为：
jiijggωω8855;= (24)
Hilbert形式为：
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iidxyf8706;8706;=ω (25)
Cartan张量为：
(26) kjiijkCCωωω8855;8855;=
jikjiijkyyfyyyfC8706;8706;8706;=8706;8706;8706;8706;=22232141 (27)
Cartan张量是Finsler几何偏离Riemann几何程度的度量。
Chern联络为，满足： ijω
无挠性 (3) ijjidωωω∧=
几乎与度量相容性 (28) kmijkjiijCωωω28722;=+
在信息物理中，f(x,y)→f(r,s,t)，r,s,t分别为序间、空间、时间。以Hilbert形式ω作为场势A，以Chern联络的曲率形式 作为场强F，由于曲率形式的F只描述了偶数维，应加上描述奇数维的参量，所以选用Chern-Simons形式ikΩ128722;kω，将Lagrange函数写为：
12*8722;+∧=kFTrFLω (29)
其中*为Hodge算符。相应于k=3，Chern-Simons形式为： )5323)(()10121(5325325AdAAdAATrAFAAFTr++=+8722;=ω (30)
其中F2是F∧F的缩写，余类似。一般情况下，Chern-Simons形式为：
),(110128722;8722;∫=ktkFATrdtkω (31)
或 (32) )(12kkFTrd=8722;ω
TrF∧*F和128722;kω相结合，即统一了偶数维和奇数维几何，也统一了Abel规范(交换群)和非Abel规范(非交换群)。作用量函数S为：
12*8722;∫∫+∧=kFTrFSω (33)
结合以上各式，对于Finsler几何统一场来说，问题是能否在将第一项解释为弱电相互作用的同时，把其余几项分别解释成引力相互作用、强相互作用以及耦合作用。
3 Finsler几何中的信息物理学
将信息物理的序间(order)、空间(space)、时间(time) 概念[7]充实到Finsler几何中，以m, E, I分别表示质量、能量和信息，ρ, ε, η 分别为质量密度、能量密度和信息密度(序率密度)。由定义引进：
或 dssM)(∫=ρdsdMs/)(=ρ (34)
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或 dttE)(∫=εdtdEt/)(=ε (35)
或 drrI)(∫=ηdrdIr/)(=η (36)
质量、能量和信息之间的关系有：
(37) 2mcE=
(38) 2IThE=
TmhcI22= (39)
其中c为光速，h为Planck常数，k为Boltzmann常数；T是温度。
按照用Chern联络的曲率形式 作为场强F的思想，有： ikΩ
mnjikjmljikjlPRFωωωω∧+∧=21 (40)
)(21jiijkmijkCωωω+8722;= (41)
kjiijktsrfC8706;8706;8706;8706;=2341 (42)
与Riemann几何中曲率与能量-动量张量平衡而获得Einstein场方程类似，Finsler几何中应有与Cartan张量C相平衡的应力张量T，使得：
ijkijkTtsrfC),,(= (43)
成立。这应是在广义相对论基础上扩展出的信息物理学的基本方程。
于是关键是确定f(r,s,t)和相应作用量S的具体表达式并求解。
4 Finsler几何统一场和信息物理学的可检验性
首先关注包容Riemann度规的如下Finsler度规：
(44) 4/14321)(lkjiijkldxdxdxdxgd=τ
曹盛林教授已经研究过形式的Finsler度规，并提出包容狭义相对论的如下曹氏变换442224)(dsdtvcd+8722;=τ[9]：
9130;9130;9130;9130;9133;9130;9130;9130;9130;9132;9131;===+8722;+=+8722;+=cvzzyyvtxxxcvtt/';')21('')21(''4/1424/1422βββββ (45)
Finsler-Cao时空可以容纳超光速运动，由此可对王力军激光脉冲反常色散实验中存在的超
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光速现象进行解释[10]。这是在Finsler时空中对狭义相对论的逻辑拓展。同时，曹盛林教授发展的几何统一理论将Finsler几何与突变理论以及分维理论有机结合起来，可作为未来物理学研究的一个重要方向。
信息物理学在曹氏理论基础上考察如下Finsler型度规：
4/144222442])([dsdtvcdrhTd8722;8722;+=8722;8722;τ (46)
4/144222442]'')('['dsdtvcdrhTd8722;8722;+=8722;8722;τ (47)
为使
ττdtsrfd),,('= (48)
关键是要研究函数f(r,s,t)的状况。如果f(r,s,t)=1，则构成广义Poincare变换；如果f(r,s,t)≠1，则构成广义共形变换。然后可以通过与温度相关的所有宇宙物性来进行实验检验。
目前的重要基本问题是需要阐明以上Finsler度规的存在性和找出其有物理意义的具体形式，并求出合理的相应作用量。
同时，以下形式的Finsler度规也值得关注：
(49) 3/1321)(kjiijkdxdxdxgd=τ
5/154321)(mlkjiijklmdxdxdxdxdxgd=τ (50)
(51) 6/1654321)(nmlkjiijklmndxdxdxdxdxdxgd=τ
因此，Finsler几何统一场和信息物理学是已有物理理论的扩展，具备一个统一理论应有的基本要素和结构，而关键则是需要设计实验进行检验。
5 小结
综上所述，将Finsler几何的数学形式与物理意义相结合，确立了Finsler几何统一场与信息物理学的数学表示。用Finsler几何中的Hilbert形式作为统一场势A，以Chern联络的曲率形式作为统一场强F，可用TrF∧*F代表的偶数维作用项和Chern-Simons形式代表的奇数维作用项共同构成统一作用量，将序间、空间、时间对应的Cartan张量作为真实物理状态，就获得Finsler几何中的信息物理统一场。该理论形态不需要超对称假设。未来发展的关键一是需要找出Finsler几何中的物理学效应与Riemann几何或广义相对论的偏差，二是需要设计有效的判决实验来检验Finsler几何统一场和信息物理学中特有的现象。
参考文献
[1]Asanov, G. S. Finsler geometry, relativity and gauge theories[M]. New York: D.Reidel Publishing Co., 1985
[2]Asanov, G. S. Finsleroids reflect future-past asymmetry. Reports on Mathematical Physics[J], 2001, 47(3): 323-347
[3]Vacaru, S. I. Locally anisotropic gravity and strings[J]. Annals of Physics, 1997, 256: 39-61; Vacaru, S. I. Superstrings in higher order extensions of Finsler superspaces[J]. Nuclear Physics B, 1997, B494[PM]: 590-656 - 6 -
http://www.paper.edu.cn
[4]Vafa, C. et al. A geometric unification of dualities[J]. Nuclear Physics B, 2002, B628(1-2):3-78
[5]Witten, E. String theory dynamics in various dimensions[J]. Nuclear Physics B, 1995, B443(1-2): 85-126
[6]Smolin, L. M theory as a matrix extension of Chern-Simons theory[J]. Nuclear Physics B, 2000, B591(1-2): 227-242
[7]Eldon, F.Y. Triad philosophy and triad science based on triad logic[J]. Journal of Zhejiang University (Science) 2000, 1(4): 467-475; 叶鹰. 论信息的物理基础和场的统一. 中国科技论文在线200408-38，http://www.paper.edu.cn; 分析与创造[M].中国社会出版社，2005，159-174
[8]曹盛林; 莫小欢. 芬斯勒时空中的宇宙演化[J]. 北京师范大学学报（自然科学版），2000， 36(4): 441-450
[9]曹盛林. 芬斯勒时空中的相对论和宇宙学[M]. 北京师范大学出版社，2002
[10]曹盛林. 爱因斯坦的相对论与超光速运动. 21世纪100个交叉科学难题[M], 科学出版社，2005, 123-142
[11]陈省身; 陈维桓. 微分几何讲义(第二版)[M]. 北京大学出版社，2001, 254-321, 363-369
[12]侯伯元; 侯伯宇. 物理学家用微分几何(第二版)[M]. 科学出版社，2004
Finsler Geometric Unification and Information Physics
Fred Y. Ye
(Zhejiang University, Hangzhou 310028 CHINA)
Abstract: Combining mathematical form and physical meaning of Finsler geometry, the author sets up the mathematical system of Finsler geometric unification and information physics. With Hilbert form as field potential A and curvature of Chern connection as filed strength F, a unified action is constructed by TrF∧*F plus Chern-Simons form. When order-space-time is introduced into Cartan tensor, Finsler information physics is established.
Keywords: Finsler geometry; Finsler space; Geometric unification; Unified field theory; Information physics
作者简介：叶鹰，字福翔，1962年4月生。理学学士；文学硕士；哲学博士。美国Fulbright研究学者。浙江大学教授；上海交通大学兼职教授。主要研究领域：信息科技。
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