伽利略大船,各向同性,匀速，匀时空，匀动量，匀场，牛顿本质

来源: marketreflections 于 2009-12-04 12:21:30 [] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (23574 bytes)

和平，各向同性，自然光，直到外力出现，局部惯性系，平衡系,匀速，匀时空，匀动量，匀场，牛顿本质


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第二章狭义相对论
本章简要地复习在大学物理和电动力学课程中已经学习过的狭义相对论，讲解的视角可能与过去学
习的狭义相对论课程有所不同，强调为广义相对论学习作准备的一些概念和方法.
2.1 闵可夫斯基时空
基本原理狭义相对论建立在2条基本原理之上. 它们是(1)伽利略相对性原理：在所有惯性系里的
物理定律都相同. 亦即在任何惯性系里当对1个物理过程给定同样的初始条件，该物理过程以后的进程完
全相同. (2)光速不变原理：在任何惯性系里测量的真空中的光速都相同，不依赖于地点和方向.
1632年伽利略在《两个主要世界体系的对话|托勒密和哥白尼》一书中首次清晰地阐述了他的相对
性原理. 他写道\把自己和一些朋友关闭在一艘大船甲板下的主舱里. 舱里有一些苍蝇，蝴蝶和一些能飞
翔的动物，还有一大盆水里养着鱼. 舱顶悬挂着一瓶水，一滴滴地落入正下方的一个广口容器里. 当船静
止的时候，仔细地观察飞翔的动物如何在船舱中朝所有的方向飞都有相同的速度，鱼在沿不同方向游动
时也并无不同，水滴落入正下方的容器中. 当你扔东西给距离相同的朋友时，不觉得朝一个方向要比另
一个方向更为费力. 你双脚起跳时，望所有的方向都跳了相同的距离. 在你仔细地观察了所有这些现象之
后(毫无疑问，当船静止时事情本应如此)，让船以任何你所希望的速度行进，但是船速是完全均匀的，
没有任何方式的波动. 你会发现所有的现象没有一丁点变化，你无法从任何一种现象来辨别船是在运动
还是保持静止. ".¤ 这里他只涉及力学定律. 爱因斯坦把它推广到所有的物理定律. 对当时来说，主要是指
电磁定律.
19世纪中叶以后，电磁学在物理学中占据越来越重要的位置. 然而，由实验证实了的电磁学的麦克
斯韦方程组却与牛顿力学产生了矛盾. 在牛顿力学里从1个惯性系到另1个惯性系的坐标变换是伽利略变
换，然而在伽利略变换下麦克斯韦方程组的形式不能保持不变. 这就有2种可能：一是修改麦克斯韦方程
组，二是修正伽利略变换. 由实验支持的光速必变原理强烈地支持了修正伽利略变换，从而也修正了牛
顿力学.
在对原理的叙述中用了\速度"这个词. 显然，速度涉及到时间，空间及其计量. 注意在相对论理论的
各个参考系里，应当用完全相同的方式来计量时间和长度. 国际上现在规定的单位制如下. 时间是用稳
定的周期运动来计量的. 定义铯133原子的电子在零磁场中2个超精细能级之间跃迁时释放的辐射波的周
期的9192631770倍为1秒，称为SI秒. 现代的原子钟就是按这一标准制造的. 规定真空中的光速的数值每
秒299792458米为一个不变的值. 在时间的单位秒定义之后，长度的单位米也就确定了. 在狭义相对论框
架中的任何一个惯性系里，应当用结构完全相同的标准钟来计量时间，然后根据真空光速固定的数值可
以制造出标准的量尺，这样就可以度量时间，长度和速度了.
闵可夫斯基度规闵可夫斯基提出当采用直角坐标fx®g，狭义相对论的时空可以用下面的度规来
表示
ds2 = ´®¯dx®dx¯: (2.1)
改用符号x0 = ct，x1 = x，x2 = y，x3 = z，其中c为光速，闵可夫斯基度规可写成
ds2 = ¡c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2: (2.2)
¤转译自V. A. Ugarov著《Special Theory of Relativity》，MIR Publishers，1979 英文版，p. 20
1
2 第二章狭义相对论
这里将x0 定义成ct 而不是t 是为了和空间坐标的量纲一致，以便在繁复的推导中用量纲检查结果的正
确性.
今后将把使时空度规具(2.1)和(2.2)形式的坐标系称为闵氏系. 在狭义相对论的时空中即使选取惯性
系，只要坐标不是直角坐标系，度规就不具有闵可夫斯基的形式，或者说基底不是正交归一的，这样的
坐标系不是闵氏系.
类时、类空和零间隔图2.1中(ct; x) 标示了闵氏
ct
w’
A
B
C
D
A’
B’
w
O x
图2.1: 类时、类空和零间隔.
系的时空坐标轴，另2维在图中没有显示. w是静止质量
为零的粒子(例如光子)的时空轨迹，称为世界线. 世界
线表示粒子的历史，线上的每一点则是粒子生命中的
一个事件，s是世界线的弧长. 事件A和相邻事件B的4维
间隔ds 可用A和B的坐标差从(2.2)式计算. 对于静止质
量为零的粒子，它在惯性系中的速度恒为光速c，得到
ds2 = 0，这时称A和B之间的间隔为零间隔或类光间隔.
w0表示一静止质量不为零的粒子的世界线，它的速度小
于c，得到A0和B0之间的间隔ds2 图中事件C和D之间的间隔对应ds2 > 0，称为类空间
隔，这2个事件之间没有任何因果关系.
洛伦兹变换从一个惯性系到另一个惯性系之间的坐标变换应当保持闵可夫斯基度规(2.1)
和(2.2)的形式不变. 这样的变换称为洛伦兹变换. 显然，3维空间旋转一个固定的角度或者4维时空原点作
一个常数的平移都是从惯性系到惯性系的变换.
在牛顿力学中，惯性系之间的坐标变换为伽利略变换. 用矢量r 表示空间坐标(x; y; z)，该变换是
ct0 = ct; r0 = r ¡ vt; (2.3)
其中v 表示一个固定不变的速度矢量. 在伽利略变换中，时间是绝对的，不随坐标变换而改变. 不难验证
伽利略变换不能保持闵可夫斯基度规的形式，从而和光速不变原理相矛盾.
在狭义相对论中，在惯性系里做匀速直线运动的参考系仍是惯性系. 选择坐标系使运动参考系的空
间速度矢量v恰好沿着x轴的方向，变换的数学表达式为
ct0 =
1
p1 ¡ v2=c2
(ct ¡
v
c
x);
x0 =
1
p1 ¡ v2=c2
(x ¡ vt); (2.4)
y0 = y;
z0 = z;
其中v 为3维速度矢量v = (dx=dt; dy=dt; dz=dt) 的大小. 注意，狭义相对论的3维空间具有欧氏空间的
结构，这里v 是v 的欧氏模. 容易验证上面的变换保持闵可夫斯基度规的形式不变. 从变换式中也可以看
到在变换中时间和空间是纠缠在一起的. 在一个惯性系里不同地点发生的同时事件，在另一个惯性系里
不再是同时事件. 空间位置上的差异可以转化成时间上的差异，这就是同时性的相对性.
当速度不沿着任何一个坐标轴的方向时，可以将坐标向量r 分解为沿速度方向的分量rk 和垂直于速
x2.2 原时和坐标时3
度方向的分量r?，即
rk = (r ¢
v
v
)
v
v
;
r? = r ¡ rk: (2.5)
显然洛伦兹变换可写成如下形式
ct0 =
1
p1 ¡ v2=c2
(ct ¡
1
c
v ¢ r);
r0
k
=
1
p1 ¡ v2=c2
(rk ¡ vt); (2.6)
r0
?
= r?:
什么是惯性系在本节的最后来讨论一下什么是惯性系. 我们不能简单地用作匀速直线运动的参考
系来定义惯性系. 既然说匀速直线运动，就要涉及相对于哪个参考系运动，这就陷入了恶性循环. 比较准
确的说法是狭义相对论的物理定律在其中成立的参考系是惯性参考系，也称为洛伦茨系. 例如，只有在
惯性系中电动力学的麦克斯韦方程才成立.
在牛顿力学中，伽利略变换把1个惯性系变换成另1个惯性系，在各个惯性系中每一条物理定律的基
本形式都相同，都是同样的一些物理量之间的关系. 因此可以说在牛顿力学中物理定律是伽利略不变的.
在狭义相对论中，同样可以说物理定律是洛伦茨不变的.
在牛顿力学中引入非惯性系，例如1个相对惯性系作加速运动的参考系. 在这样的参考系中会出现惯
性力，物理定律也要作相应的修改，因此可以说没有惯性力出现的参考系是惯性系. 在狭义相对论中，
是否也可以说没有惯性力出现的参考系是惯性系呢？
引力的存在使问题复杂化. 牛顿理论中的引力是以无限大的速度传播的，而狭义相对论中信息传播
的最大速度是光速c，两者相互矛盾，狭义相对论不能讨论引力. 因而在狭义相对论中可以说，存在引力
或惯性力的参考系不可能是是惯性系. 在学习过x3.1后将会认识到没有引力和惯性力的参考系就是惯性
系.
爱因斯坦不喜欢惯性系在狭义相对论中的特殊和优越的地位. 取消惯性系的特殊地位和建立1个新的
引力理论是他探索广义相对论的重要动力.
2.2 原时和坐标时
概念设想一个标准钟¤在平直的时空中运动，它不一定作匀速直线运动. 钟的世界线如图2.1的w0
所示. 当钟从点A0到点B0，其4维间隔的长度ds 与坐标差dx® 的关系用闵可夫斯基度规来表示，重写如
下
ds2 = ¡c2d¿ 2 = ¡c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2: (2.7)
钟走的间隔应当是类时间隔，ds2 别.
t 是所选取的惯性系里的时间. 从洛伦兹变换(2.4)式可以看到不同的惯性系有不同的时间. 因此t 依
赖于惯性系的选择，表示惯性系的时间属性，称为坐标时. 相反，4维弧长s 是一个几何量，用张量的语
¤标准钟指的是理想的，走时完全没有误差的钟. 此外，我们认为所有的标准钟有完全相同的时间单位，例如都用SI秒为时间单
位.
4 第二章狭义相对论
言来说是一个标量，与坐标系的选择无关. ¿ 和s 只差一个常数比例因子，也是标量，所以¿ 表示钟的
时间属性，称为原时，也称为固有时.
设想标准钟有一个钟面，从上面可以读出时间. 那么钟面所指示的时间是坐标时还是原时呢? 显然，
钟面的读数与坐标系的选取无关，所以钟面读数显示的只能是钟的原时. 一个理想的钟就是要制造得无
论钟在什么环境下和如何运动，都要准确地显示钟的原时. 这番讨论表明，原时是可以直接测量的. 其实
不仅是钟，每一个物体，包括人在内，都有自己的世界线和自己的原时，可以用与物体始终保持相对静
止的标准钟来测量.
现在假设钟在惯性系中保持静止，这时dx = dy = dz = 0，该标准钟的世界线为与t 轴平行的直线.
从(2.7)式可见，t 与¿ 的速率相同. 选取相同的零点，t = ¿ . 因此，一个惯性系的坐标时可以用在该惯性
系中的静止钟的原时来度量. 这就是说，惯性系的坐标时是可以测量的，当然也有明确的物理意义.
既然能直接测量的是原时，为什么要引入坐标时呢？注意任何钟的原时仅在该钟的世界线上有定义.
要研究一个全局性的事件，例如各地的代表要约定时间举行一次电话会议，就需要一个全局的时间，坐
标时是必不可少的.
时间的洛伦兹膨胀今后用\粒子"这个词表示大小可以忽略的物体. 设想一个粒子在惯性系中运
动，它不一定作匀速直线运动. 记v 为它的瞬时速度的大小. 从度规(2.7)立即可得
d¿ = r1 ¡
v2
c2 dt: (2.8)
上式说明，原时比坐标时走得慢，只有当粒子在坐标系中静止时原时才和坐标时有相同的速率. 这就是
著名的时间膨胀效应：运动使钟变慢. 在区分了原时和坐标时的概念后，这一效应变得分外清晰.
现在来看一下所谓的双生子佯谬. 双生子甲和乙在地球上几乎同时出生，甲留在地球上，而乙外出
做高速宇宙航行，当乙回来两人重逢时，发生了什么现象呢？首先，需要忽略地球和其他天体的引力
场，使得狭义相对论可以适用，这也是一个合理的近似. 这样，与甲固连的参考系是一个惯性系，而乙
要远行还要折回，与他固连的参考系不是惯性系. 其次，甲和乙的生物钟都是由他们的原时决定的. 甲在
自己的参考系中保持静止，那又是一个惯性系，甲的原时就是该惯性系的坐标时. 根据原时比坐标时走
得慢，他们再相见时乙肯定比甲年轻. 如果他们都携带标准钟，且出发前两人对好钟，回来时乙的钟肯
定比甲的钟慢.
在学习了广义相对论后，会知道引力也会使钟变慢. 在双生子佯谬问题里，假定只有地球而无其他
天体，与乙相比，甲处于更强的引力场中，引力效应会使它的钟走慢. 然而地球的引力场是弱场，设想
宇宙航行以接近光速的速度进行，这时引力场效应可以忽略，上述讨论仍成立.
直尺的洛伦兹收缩图2.2显示一把直尺在惯性系做匀速直线运动. 该惯性系选取了直角坐标系
(ct; x)，另外的2维空间不在图中显示. 直尺放置在x 轴上并沿x 轴正向运动. w 和d 是直尺两端的世界
线，箭头表示与直尺固连的参考系(ct0; x0) 的时间t0 增加的方向. 两个惯性系之间的洛伦兹变换如(2.4)所
示. 图上标出在t = t0 = 0 时的直尺一端O，另一端在世界线d 上. 端点A对应t = 0，与O为t同时. 端
点B对应t0 = 0，与O为t0同时. 规定在一个惯性系里去量度尺子的长度时，要同时去量尺子的两端，
则A点的x = l 是在(ct; x) 系里量得的直尺的长度，而B点的x0 = l¤ 是在(ct0; x0) 系里量得的尺子长
度，亦即直尺的静止长度，常称为固有长度或原长度. 注意A和B应当有相同的x0 坐标，于是从(2.4)的
第2式立即可得
l¤r1 ¡
v2
c2 = l: (2.9)
这就是著名的沿运动方向长度收缩的现象.
x2.2 原时和坐标时5
在上面的讨论中，直尺不一定要做匀速直线运动，
w
l
l
ct
A
B
d
O x
图2.2: 直尺的洛伦茨收缩.
结论仍然成立. 这时在每一瞬间，有一个与直尺瞬时随
动的参考系，简记为MCRF. 该系相对惯性系(ct; x) 具
有直尺在该瞬间的速度. 在上面的陈述里，(ct; x0) 可看
成是直尺的MCRF.
4速度长久以来习惯使用的3维空间速度vi =
dxi=dt 并不是4维时空中的一个张量. dxi 不是一个1阶
张量，dt 也不是一个与坐标变换无关的标量. 如第一章
中所述，1个粒子运动的4维间隔dx® 是一个1阶张量的
逆变坐标分量. 用它来构造一个表示速度的张量，显然
应当用粒子的原时间隔d¿ 而不能用坐标时间隔dt. 定义
u® =
dx®
d¿
(2.10)
为粒子的4速度. 显然它是一个张量.
现在来看u® 时间和空间分量的表达式. 从(2.8)有
u0 = cdt
d¿
= c
p1 ¡ v2=c2
;
ui =
dxi
d¿
=
dxi
dt
dt
d¿
= vi
p1 ¡ v2=c2
: (2.11)
注意上面的表达式仅对闵氏系才成立. 对于任意的坐标系fx®g，定义(2.10)仍然成立，但是(2.11)不再成
立.
狭义相对论的物理定律只对惯性系才成立，这并不等于在狭义相对论中只能采用惯性系. 回忆一下
更为人熟知的牛顿力学，它的物理定律也只在惯性系中成立，但常常根据需要采用非惯性系，只要加入
惯性力就行了. 分析力学更提供了采用任意的广义坐标的手段. 引入张量的一个目的，就是可以采用任意
的坐标系.
采用任意坐标系fx®g，平直时空的度规形式为
ds2 = g®¯dx®dx¯: (2.12)
现在来计算粒子4速度的大小. 因为ds2 = ¡c2d¿ 2，从上式和(2.10)式立即可得
kuk2 = g®¯u®u¯ = ¡c2: (2.13)
也就是说，4速度的4个分量中只有3个是独立的.
4速度的几何意义十分清晰. 它是粒子世界线上的类时切矢量，指向粒子原时增加的方向，其长度为
c.
4动量记m¤ 为粒子的静止质量，粒子的4动量定义为
p® = m¤u® = m¤
dx®
d¿
: (2.14)
它也是一个张量.
6 第二章狭义相对论
在闵氏系(ct; xi) 里，利用(2.11)式，4动量各个分量的物理意义为
p0 = m¤c
p1 ¡ v2=c2
= mc = E
c
;
pi = m¤vi
p1 ¡ v2=c2
= mvi: (2.15)
用(2.13)式，得
kpk2 = ¡m2
¤c2: (2.16)
前式中m 是粒子的动质量，E = mc2 是粒子的能量. 这样，在闵氏系里4动量的时间分量与能量有关，
而第i 个空间分量是动量在xi 方向的分量. 注意，当度规是闵可夫斯基度规的情况下，p0 = ¡p0，
pi = pi，协变和逆变坐标分量几乎相同，但是在任意坐标系里，4动量的坐标分量不一定有明确的物理意
义，指标的升降也由度规g®¯ 和g®¯ 来进行，协变和逆变坐标分量可以完全不同.
当粒子的静止能量为零时，仍可以定义4动量. 光子仍然有能量和动量. 能量E = hº，其中º 是频率
而h 是普朗克常数. 能量和动量由kpk2 = 0 相联系. 这样，p0 和pi 仍有明确的定义和物理意义.
原时和坐标时物体的原时是该物体的属性，惯性系的坐标时是该惯性系的属性. 尽管一个惯性系
的坐标时可以用该惯性系中静止钟的原时来度量，区分两者的差别仍然十分重要. 对于广义相对论的弯
曲时空，作为物体属性的原时是坐标变换的不变量，有明确的物理意义，但那时不存在全局的惯性系，
坐标时的物理意义常常模糊不清. 引入原时的概念后就可以建立4速度和4动量张量，逐步走向相对论动
力学.
2.3 观测和测量
测量的要素这里把问题局限在一次个别的测量. 讨论在时空点x® 发生的一次测量. 测量(观测)的
结果显然取决于两个要素：观测者(测量者)和观测(测量)的对象.
首先要说明观测一定是观测者和观测对象在同时同地发生的事件. 日常的语言往往引起一些误解. 例
如，常常说观测到了遥远新星的一次爆发. 实际上，天文学家看到的是新星爆发时异常强的辐射. 辐射到
达天文望远镜并被记录下来. 天文学家由此推断发生了一次新星爆发. 这次测量是观测者(天文望远镜) 和
观测对象(光子)的世界线相交时的一次事件.
可以合理地假定一次观测的结果与观测者的加速度无关. 这样观测者可以用(x®; u®) 表示，其中x®
是观测发生的时间和空间坐标，而u® 是观测者的4速度. (x®; u®) 称为一个瞬时观测者. 观测的对象应当
是x® 处的一个物理量，也就是一个张量.
粒子能量的测量现在来看惯性系里对一个粒子能量的一次测量. 这时的瞬时观测者是该惯性系
里的静止观测者，观测对象是粒子的4动量，而能量是4动量的一个分量. 再次提醒只有在闵氏系里4动量
的时间分量才是E=c. 为了要计算E，似乎是一定要在直角坐标系中计算才能得到正确的结果. 然而，当
观测者和观测对象确定以后，观测的结果不应当和坐标系的选取有关，依赖于特殊坐标系的做法是不能
令人满意的.
一个瞬时观测者测量一个粒子的能量，结果应当是粒子的4动量在观测者时间轴上的分量. 观测者的
时间轴方向是它的4速度方向，所以应当计算该4动量p 在观测者4速度u 方向的投影. 注意4速度矢量的
大小是c，而4动量的时间分量是E=c，于是有
E = ¡p ¢ u: (2.17)
x2.4 理想流体的能量动量张量7
点积前面的负号是闵可夫斯基度规的双曲性质造成的. 当p = m¤u，也就是自己观测自己，上式
和(2.13)式给出E = m¤c2.
(2.17)式是一个张量之间运算的表达式，与坐标系的选取无关，可以在任意坐标系中计算. 先来看在
本小节开始时提出的闵氏系中来计算. 瞬时观测者为闵氏系中的静止观测者，这时观测者的原时和闵氏
系的坐标时相同. 按定义(2.10)式，有u® = (c; 0; 0; 0). 此时度规为闵可夫斯基形式，按内积的定义，再
次得到E = cp0，结果正确.
转盘系里对粒子能量的测量在闵氏系里，(2.17)似乎并不具备任何优点，不如直接运用(2.15)式.
下面用一个例子来看张量表达式(2.17)的优越性.
考虑在平直时空中一个以角速度! 转动的圆盘，忽略圆盘的质量，也就是说忽略圆盘产生的引力
场，时空仍是平直的. 第一章(1.7)式给出与圆盘固连的柱坐标系中的时空度规，重写如下
ds2 = ¡(1 ¡
!2r2
c2 )c2dt2 + dr2 + r2dµ2 + dz2 +
2!r2
c
cdtdµ: (2.18)
设盘上的静止观测者看到一个粒子在某一瞬间沿径向运动，速度为dr=dt = v，问盘上的静止观测者测
量到的粒子在该瞬间的能量为多少?
可以在转盘系中应用(2.17)式，为此要写出u 和p 的各个分量. 对于静止观测者，dr = dµ =
dz = 0，有u® = (cdt=d¿; 0; 0; 0). 在上面的度规中，引入ds2 = ¡c2d¿ 2，立即得到dt=d¿ =
1=p¡g00. 对于沿径向运动的粒子，dµ = dz = 0，dr = vdt，同样代入度规，得到对于粒子有
dt=d¿ = 1=p1 ¡ !2r2=c2 ¡ v2=c2. 从而在转盘系中有
u® = ( c
p1 ¡ !2r2=c2
; 0; 0; 0);
p® = ( c
p1 ¡ !2r2=c2 ¡ v2=c2
;
v
p1 ¡ !2r2=c2 ¡ v2=c2
; 0: 0):
上面略去了粒子的静止质量因子. 最后按内积的定义计算得到粒子单位静止质量所具有的能量为
E = ¡g®¯u®p¯ = ¡g00u0p0 = c2p1 ¡ !2r2=c2
p1 ¡ !2r2=c2 ¡ v2=c2
: (2.19)
熟悉狭义相对论的读者会不用上面的计算过程. 可以通过洛伦兹变换从不转动的惯性系转换到转盘
上静止观测者为中心的瞬时惯性系，计算出粒子相对该静止观测者的速度，就可以得到能量. 这两种过
程的推导工作量可能大致相当，然而(2.17)式可以在任意坐标系中应用. 特别是到了广义相对论，不再存
在全时空的惯性系，不能应用狭义相对论中的方法了.
本节强调了观测和测量的结果取决于观测者和观测对象，与坐标系的选取无关，因此应当把观测量
的理论计算写成张量计算的表达式，这样的表达式可以在任意坐标系中计算.
2.4 理想流体的能量动量张量
表示物质及其分布的张量广义相对论是处理引力的理论. 在绪论中已经说到，在广义相对论中引
力表现为时空的弯曲. 在第一章里提到，时空的弯曲用度规张量g®¯ 来表示. 那么，表示引力的度规又是
由谁来决定的呢? 在牛顿力学里，有一个从物质及其分布决定引力势的泊松方程
r2U = 4¼G½; (2.20)
8 第二章狭义相对论
其中U 是引力势，½ 是物质的密度，r 是梯度算子，而G 是牛顿引力常数. 给定密度分布之后，从这
个2阶偏微分方程可以解出牛顿引力势. 在相对论里，应当有一个与泊松方程相当的方程去求解度规张量.
对应地，也应该有一个与密度分布对应的表示物质及其分布的张量. 本节的目的是在理想流体模型的假
设下，导出这一张量.
众所周知，在相对论中，能量和质量是等价的，所以不仅是质量密度，任何形式的能量密度都会
产生引力. 此外，物质的运动状态也必须考虑在内. 对于单个粒子的情况，已经看到粒子的能量和动量
是4动量的坐标分量，相互间可以转化. 还有，物质内部的应力也蕴含着能量，对引力也应有贡献. 代表
物质的这一张量称为能量动量应力张量，常称为能量动量张量.
尘埃的能量动量张量对于流体，不能用一个个的粒子来表示物质，而要用密度的概念. 流体内部
应当有相互作用，也就是应力. 先来做一个简化的假设，假定流体内部没有任何相互作用，这时所有的
流体元在每一瞬间一定都有相同的速度，否则就会发生碰撞或磨擦. 这样的物质模型，称为尘埃. 对于尘
埃，一定存在一个全局的参考系，在其中所有的流体元都静止.
单个粒子的质量不是一个标量，在洛伦兹变换下动质量和静质量之间差一个因子1=p1 ¡ v2=c2，这
使得单个粒子的质量是一个1阶张量4动量的时间分量. 流体的质量密度是单位体积的质量. 在洛伦兹变换
下除了质量变化外，体积还要经历洛伦兹收缩. 所以质量或能量密度应当是1个2阶张量的分量. 容易猜测
这个2阶张量是
T®¯ = ½¤u®u¯; (2.21)
其中½¤ 是物质元的静止质量密度，亦即是在其瞬时随动参考系MCRF测量的质量密度，u® 是流体元
的4速度. 尘埃的能量动量张量T®¯ 是一个对称的2阶张量.
相对于某一个闵氏系(ct; xi)，设流体元的空间3速度为dxi=dt = vi，借助于(2.11)式得
T00 = ½c2;
T0i = Ti0 = ½vic; (2.22)
Tij = ½vivj :
其中½ = ½¤=(1 ¡ v2=c2) 是该闵氏系中测量的流体元的质量密度. 时时分量T00 是该闵氏系中流体元的能
量密度. 不考虑常数c 因子，时空分量T0i 是该系中流体元具有的动量密度沿xi 轴方向的分量，也可以
看作是沿xi 轴方向能通量(单位时间通过单位面积的能量). 空空分量Tij 是动量密度的xi 分量沿xj 方
向的通量，将i 和j 交换一下说也对.
尘埃运动的局部守恒定律现在来计算尘埃能量动量张量的4维散度@T®¯=@x¯ = T®¯
;¯ . 今后将用
逗号简记普通偏导数. 在一个闵氏系里，利用(2.22)式得到
T0¯
;¯ = T00
;0 + T0j
;j = c(½;t + r ¢ (½v)); (2.23)
Ti¯
;¯ = Ti0
;0 + Tij
;j = (½vi);t + r ¢ (½viv): (2.24)
(2.23)式右端的第一项是单位体积流体元内的质量经过单位时间的增加量，第二项是单位时间内流
出和流入该单位体积流体元的质量之差. 当尘埃物质是孤立的，没有任何外力对它做功的情况下，两项
应当相互抵消. 这就是著名的连续性方程
½t + r ¢ (½v) = 0: (2.25)
x2.4 理想流体的能量动量张量9
也就是局部的能量(质量)守恒律. 类似地从(2.24)得到局部动量守恒定律
(½vi);t + r ¢ (½viv) = 0: (2.26)
于是，在闵氏系里孤立尘埃的4维散度构成局部的能量动量守恒定律
T®¯
;¯ = 0: (2.27)
注意这里\局部"两字不能去除.
理想流体的能量动量张量尘埃是没有内部应力的流体，实际的流体当然是有应力的. 假定流体没
有粘滞力，即没有沿作用面切向的应力，只有与作用面垂直的压力，这时也就没有热耗散，这样的流体
称之为理想流体. 理想流体的能量动量张量有两部分，一部分相当于尘埃部分，另一部分是内部应力的
贡献. 写成T®¯ = T®¯
DUST + T®¯
IN = ½¤u®u¯ + T®¯
IN . 需要导出应力部分T®¯
IN .
在一个闵氏系里，重新审视(2.23)，(2.24)，(2.25)和(2.26)式. 对于没有外力作用的孤立的理想流
体，它的能量动量张量应当仍满足局部守恒律(2.27)式. 应力的存在使得
T0¯
DUST;¯ = ¡T0¯
IN;¯ = wIN=c; (2.28)
Ti¯
DUST;¯ = ¡Ti¯
IN;¯ = fi
IN: (2.29)
其中wIN 和fi
IN 分别是应力做的功率密度和应力密度沿xi 方向的分量. 选择与流体元瞬时随动的闵氏系
来表达这些量. 在随动系里流体元静止，有wIN = 0. 对于理想流体有fi
IN = ¡p;i，其中p 为压强. 于是
T®¯
IN 的形式应当是
T®¯
IN =0BBBB@
0 0 0 0
0 p 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p
1CCCCA
: (2.30)
这样，可以猜出当度规为闵可夫斯基度规时，理想流体的能量动量张量为
T®¯ = (½¤ + p
c2 )u®u¯ + ´®¯p: (2.31)
在瞬时随动闵氏系中，流体元静止，有dt = d¿ , u® = (c; 0; 0; 0)，上式和前面的论证相符，所以它在任
何闵氏系中都正确.
在任意的坐标系中，度规不一定是´®¯ 而是g®¯，这一张量应当写成
T®¯ = (½¤ + p
c2 )u®u¯ + g®¯p: (2.32)
注意在任意坐标系中，虽然局部守恒律仍成立，但是不再具有(2.27)的数学形式. 关于这一问题，将在第
四章中作进一步的讨论.
能量动量张量是表示物质及其分布的物理量. 当度规为闵可夫斯基度规时，它的4维散度给出了流体
元处的局部能量动量守恒定律，也就给出了流体元的运动方程. 理想流体是自然天体的一个常用的近似
物质模型. 本节得到了理想流体在任意坐标系中的能量动量张量.
10 第二章狭义相对论
2.5 第二章习题
2.1 试讨论下面的悖理. 钟A相对钟B作匀速直线运动. 按运动使钟变慢的论断，在钟B系里看钟A走
得比钟B慢，但钟B相对钟A也作匀速直线运动，钟A系认为B钟走得慢. 这似乎产生了矛盾. 请对此问题
做一个正确的剖析.
2.2 在爱因斯坦转盘上沿径向的不同地点放置多个钟，试问如何来比较各钟走时的快慢？在转盘静
止和转动两种情况下比较这些钟走时的快慢，并分别从地面系和转盘系的观测者的角度（假定转盘系的
观测者看不到盘外任何物体）解释观测到的现象.
2.3 在惯性系K 中有2个事件A和B，它们的空间位置都位于K 系的x 轴上，时空坐标分别为
(tA; xA) 和(tB; xB). 讨论能否通过洛伦茨变换找到参考系K0，使得(1)A和B在K0 系中是同一地点发
生的事件，或者(2)A和B在K0 系中是同时发生的事件.
2.4 惯性系K 中观测到1个粒子在某一瞬间的速度分量为(vx; vy; vz)，同时测到1个观测者在该瞬间
沿x 轴运动，速度为u. 计算该观测者测量到的粒子在该瞬间的速度的各坐标分量.
2.5 在一惯性系中一观测者和一粒子在某一瞬间相遇，此时他们正沿着相互垂直的方向运动，速度
分别为v 和w. 求相遇时观测者测量到粒子单位静止质量所具有的能量和动量.
参考答案：粒子单位静止质量所具有的能量为
E = c2
p(1 ¡ v2=c2)(1 ¡ w2=c2)
;
而单位静止质量所具有的动量为
P = cs 1
(1 ¡ v2=c2)(1 ¡ w2=c2) ¡ 1:

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