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第五章思想方法指导
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第五章思想方法指导
------*§5.8定积分思想方法选讲
积分学分成两个部分: 定积分与不定积分. 定积分为中心, 在一定意义下说,不定积分是为定积分计算服务的. 因此, 通常谈及积分时, 指的是定积分.
§5.8.1 定积分是一种新型的极限
回忆数列的极限un,考虑的是当n时un的变化状态,其中un由n唯一确定;极限f (x),考虑的是当xa时f (x)的变化趋势,其中f (x)由x唯一确定.
在定积分的定义中,我们考虑的是Riemann(黎曼)和S:=(xi)xi当l 0时的极限,其中Dxi = xi - xi-1( i = 1, 2,…, n),,x i是小区间[xi -1, xi]上任意选取的一点 ( i = 1, 2,…,n).
这里,S并不是由l唯一确定的. 事实上,对于每一个l,不仅区间的分法有无穷多种,而且对于每一种分法,代表点 x i [xi -1, xi]的确选取方法也有无穷多种. 因此S不是l的函数. 从而Riemann和的极限异于数列或函数的极限. 在拓扑学中,人们采用点网来推广数列的概念,可对这种新的极限给出准确的描述.
这里我们仅指出,一方面,Riemann和S的极限的存在性有类似于数列或函数的极限的基本描述:当l充分小时,|S - A| §5.8.2 微分与积分的产生与发展
1. 微积分产生的背景
微积分的创立是在解决16,17世纪自然科学提出的大量数学问题的过程中酝酿和创立的. 这些问题主要是来自力学与天文学且与运动变化有关,大体可分为五类:
第一类问题是描述非匀速运动物体的轨道. 如行星绕太阳运动的轨迹,各类抛射体的运动轨迹.
第二类问题是求变速运动物体的速度,加速度和路程. 如已知变速运动物体在某段时间内经过的路程,求物体在任意时刻的速度和加速度,或反过来由速度求路程.
第三类是求曲线在任一点的切线. 如光线在曲面上的反射角问题,运动体在其轨迹上任一点的运动方向问题.
第四类是求变量的极值. 如行星运行的椭圆轨道中的近日点和远日点问题,在力学中求抛射体的最大射程与最大高度等.
第五类问题是计算曲线长度,曲边梯形面积,曲面柱体的体积,物体的重心等.
从数学思想方法上看,上述五类问题都有一个共性,就是要研究变量及其相互关系,这也是16,17世纪数学研究的中心课题. 正是对这个课题的研究,最终导致了变量数学的产生.
微积分由英国的数学家牛顿(I.Newton,1642 1727)和德国的数学家莱布尼兹(G.Leibniz,1646~1716)各自独立完成. 莱布尼兹是从几何学的角度来创立的,而牛顿则是以运动学为原型来研究问题的.
微积分的创立是17世纪数学的最重要的成就. 它的创立说明了在数学发展进程中,完成了由常量数学到变量数学,由初等数学到高等数学的转变. "无穷小量"被作为数学研究的对象,是数学思想和方法上的一次革命. 微积分的发明开创变量数学的新时代.
2. 微积分的发展
关于"无穷小"的概念,中国古代以及古希腊的数学家们都曾经有过这种思想萌芽. 在西方近代,微积分的思想也经过了大约一个世纪的酝酿,很多数学家都为此做出了贡献. 而最终还是牛顿,莱布尼兹分别独立地迈出了关键的一步.
微积分学虽然已经创立,但是,它的最基本的概念――无穷小,微商等等都不够严密. 因而,遭到大主教贝克莱(G. Bekkeley,1685~1753)等人的强烈攻击. 其后的150年间,又经过许多数学家艰苦努力,微积分才得以严格化. 尽管微积分创立初期有一些缺陷,但它经受住了实践方面的检验,足以使人们信服,连贝克莱也不得不在事实的面前低头. 他说:"流数术(微积分的别称)是一把万能的钥匙,借着它,近代数学家打开了天体以至大自然的秘密. "有人认为,17,18世纪的数学史几乎全部是微积分的历史,当时绝大部分数学家的注意力都被这新兴的,有无限发展前途的学科所吸引. 在这方面有特殊功劳的,首先是瑞士的伯努利家族,欧拉,拉格朗日等人的工作,使得微积分学飞快地向前发展,在18世纪达到了空前灿烂的程度.
微积分内容的丰富,应用的广泛,极大地推动了科学技术的发展,也促进了数学自身的发展. 同时,在它自身不断完善化的过程中,派生出许多新的分支学科,如级数论,函数论,微分方程,积分方程,泛函分析等,形成一个庞大的数学分析体系. 从此之后,变量数学在内容,思想方法及应用范围上迅速地占据了数学的主导地位,一直影响着近代和现代数学的发展方向.
3. 关于微分与积分的直观理解
一般地, 关于微分与积分有如下比喻.
对一个量的微分,相当于对这个量无限细分,"化整为零". (定)积分则恰恰相反,它是将无限多个微分进行"累积","积零为整". 二者恰好是一个相反的过程. 恩格斯曾这样来比喻微积分的过程:"如果一杯水的最上面一层分子蒸发了,那么水层的高度x就减少了dx. 这样一层分子又一层分子地继续蒸发,事实上就是一个连续不断的微分. 如果热的水蒸气在同一个容器中由于压力和冷却又凝结为水,而且分子一层又一层地积累起来(在这里,我们必须撇开那些使过程变得不纯粹的附带情况),直到容器满了为止,那么这里就真正进行了一次积分,这种积分和数学上的积分不同之处只在于:一种是由人的头脑有意识地完成,另一种是自然界无意识地完成的."
实际上, 通过建立定积分来解决实际问题时,我们就经历了先考虑量的微分再考虑它的积分的过程.
§5.8.3定积分与不定积分的差异与联系
1. 定积分与不定积分是不同的概念
就定义而言,[a, b]上的函数f (x)的不定积分dx是其原函数的一般表达式, 若已知F(x)是f (x)在[a, b]上的一个原函数,则不定积分dx =F(x)+C,其中C是任意常数;而f (x)在[a, b]上的定积分dx是Riemann和S:=(xi)xi当l0时的极限,是一个常数.
就概念的产生的背景和对立统一性而言,原函数与不定积分是作为逆运算的研究需要而提出的, 即求原函数(不定积分)是与求导数(微分)互逆的运算;定积分是根据研究面积与路程等实际问题的需要建立起来的, 微分(微元)f (x)dx与定积分之间则是局部与整体的关系(粗略地说,定积分是无穷多个微元之"和",参见§5.5.1定积分的微元法).
2.定积分与不定积分于存在条件上的差异
i) [a, b]上的可积函数f (x)未必存在原函数.
例1 讨论 f (x)= sgn x = 在[-1,1]上的可积性与原函数存在性.
解 f (x)在[-1,1]上只有一个间断点,所以它可积. 令F(x) =dx, 那么F(x) = | x |. 注意到,在(0, 1) 和 (-1, 0)上F (x) = sgn x,但在x=0处| x |不可导.
如果f (x) 在[-1,1]上的原函数存在,我们不妨把它记作G(x),那么根据原函数的定义,G(x) 在[-1,1]上必可导从而连续,且G(x) = sgn x. 因此,在(0, 1)应有G(x) = x+C1,在 (-1, 0) 应有G(x) = -x+C2,其中C1和C2都是常数. 由于G(x) 在[-1,1]上连续,当然应在x=0处连续,令x0, 可推出,G(0) = C1 = C2 = 0. 从而G(x) = | x | = F(x),x [-1, 1]. 由假设,G(x)在x=0处可导,但F(x)在x=0处不可导,矛盾. 因此f (x) 在[-1,1]上的原函数G(x)不存在.
ii)函数f (x) 在[a, b]上存在原函数时f (x)在[a, b]上未必可积.
例2 讨论f (x) =在[-1,1]上的可积性与原函数存在性.
解 易知, f (x) 在x=0处不连续, 在x=0的邻域无界. 事实上,当x0时, 2x sin是无穷小量(因它是无穷小量与有界量的乘积),是无界量(在x0 =的值为2,当n增大时,其值可以任意大). 由于x0((0, 1), 因此f (x)在[-1,1] 上无界,从而不可积. 但是f (x)在[-1,1]上存在原函数. 事实上,不难验证(留给读者自行验证)
F(x) =
就是f (x)在[-1,1]上的一个原函数.
3.定积分与不定积分的联系
(i) 积分上限函数dt的双重身分.
假定f (x)在[a, b]上可积. 当x 是[a, b]中的一个取定的点时, dt是一个定积分, 因此F (x)是一个确定的值. 当x 在[a, b]中变动时, dt定义了[a, b]上的一个函数积分上限函数. 而且, § 5.2定理1指出了,当f (x)在[a, b]上连续时,
, (5.2.1)
这就是说, F (x)是f (x)的一个原函数. 这是一个由变动上限的定积分所表示的原函数. 因此可以说, F (x)既是定积分,又是原函数. 这种双重身分终于使得定积分与不定积分这两个原来似乎没关系的概念建立起联系来了,并为定积分提供了新的有效的计算方法.
§ 5.2定理1同时证明了,连续函数的原函数必存在, 而且F (x)是其中一个. 不过,必需指出,函数f (x) 在[a, b]上连续不是原函数存在的必要条件, 即有的不连续函数也存在原函数(见上面例2).
(ii)Newton-Leibniz公式和微积分的基本定理.
§ 5.2定理2指出: 如果f (x)在[a, b]上连续,并且F (x)是f (x)在[a, b]上的一个原函数,则
(5.2.3)
公式(5.2.3)称为牛顿―莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式. 它表明连续函数在[a, b]上的定积分等于它的任一原函数在[a, b]上的增量. 这就给定积分的计算提供了一个十分有效的方法.
§ 5.2定理1和定理2非常重要, 通常合称为微积分基本定理.之所以称为微积分的基本定理, 是因为它通过公式(5.2.1)和(5.2.3)揭示了微分与积分的互逆运算关系, 定积分与不定积分的联系,同时给出了利用求不定积分来计算定积分的方法.
§5.8.4 可积性与绝对可积性的关系.
在§ 5.1, 我们对函数f (x)在[a, b]上的可积性只给出一个必要条件(定理1)和两个充分条件(定理2和定理3). 是否可以给出一个既充分又必要的条件呢 答案是肯定的.为了避免太多的预备知识,这里仅列举一个这样的定理.
对[a, b]的子区间[xi, xi+1], 用wi表示f (x)在区间[xi, xi+1]的振幅,即
wi = sup{ f (x)| x[xi-1, xi]}- inf{ f (x)| x[ xi-1, xi]}, 其中sup, inf分别表示上,下确界. 特别, 当f (x)连续时, wi就是f (x)在区间[xi, xi+1]的最大值与最小值之差.
定理 函数f (x)在[a, b]上可积的充分必要条件是:
Dxi = 0,
其中Dxi是对应于 [a, b]的分法T:
a = x1的子区间[xi, xi+1]的长度, 即 Dxi= xi- xi-1, i =1,2,..,n;
l = max {Dxi | i =1,2,..,n}.
这个定理的几何意义是, 图5-8-1中带斜线的,即
包含曲线y= f (x)的n个小矩形面积之和可以任意小
(当l充分小时).
利用积分的存在性定理可以证明,一个有界函数
f (x)若可积必定绝对可积(指|f (x)|可积). 这个结论在《数学分析》教材中都有证明(参见[15]).
读者自然会问, 它的逆命题是否成立 即:
一个有界函数若绝对可积,其本身是否必可积
显然,若该函数f (x)在[a, b]上连续,则 |f (x)| 也在[a, b]上连续,所以二者皆可积. 若f (x)不连续,则需要仔细考虑. 请看下面例子.
例3 讨论如下广义Dirichlet函数在 [0, 1]上的可积性与绝对可积性, 其中Q表示[0, 1]上的有理数集合.
解 显然D(x)在[0, 1]上处处不连续, 因此它是不可积的. 但是|D(x)| 1, x [0, 1], 所以,| D(x)| 在 [0, 1]可积. 这说明了一个有界函数若绝对可积, 其本身未必可积.
但是,对于广义积分来说,情况却不一样.
在研究广义积分时,为了区别于通常积分,且便于与级数(见第十一章)比较, 人们常把"可积"称"收敛", "绝对可积"称为"绝对收敛". 下面例子说明了收敛的广义积分未必绝对收敛, 即对于广义积分而言, 一个函数若可积(收敛)未必绝对可积(收敛). 本身收敛而不绝对收敛的广义积分被称为是条件收敛的.
例4 讨论, x0, 1在 [0, 1]上的收敛性与绝对收敛性.
解 广义积分(x)dx收敛,但是(x)|dx发散,即广义积分dx是条件收敛的. 注意到有界区间上的广义积分与无穷区间上的广义积分的转化关系,可知dt 也是条件收敛的(做变量替换t =, 就可化成上一广义积分).
第五章 定积分及其应用
高等数学
图5-8-1

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