数学上说，用群的信息来描述世界，叫做代数和对称群的实现

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从空间到超空间
六 10th, 2009 by pekingli

（一）

空间是什么？

如果我们不关心时间和时空的统一，仅仅看空间，这个问题是相对简单的。

假设某个地方的人们拥有无穷多不同质量的弹球，还有测量长度很不错的尺子和相当精确的钟表，那么他们可以重复地进行碰撞的实验，也就是用手把两个球滚到一起，记录下相碰之前与之后球滚动的快慢。在实验的过程中他们会发现一

些近似的规律，并且随着年月增长学会了改进实验器材和数据分析方法，那么总有一天，他们会进化到我们这个世界近代物理学家的水平，发现弹性碰撞实验中的物理定律。

我们暂时不关心相对论，所以不妨认为那里的人们并不能把小球滚得非常快，滚得太快了也许会有新的规律产生，我们不想惹这个麻烦。经过研究那些缓慢滚动的小球，人们会发现什么重要信息呢？

首先，科学研究是需要可重复性的，并且将类似的结果不断比较。为了做到这一点，那里的人们将发明“坐标”。坐标是什么？所谓迪卡尔坐标，就是为独立正交的每一个空间维度都设定一个方向。这个坐标看来很依赖我们对空间维度的理解，因此用它来研究小球碰撞并发现空间维度，就变成循环论证了。跳出循环的方法很简单，不妨认为人们选择的坐标并不是正交独立的，而是不正交也不独立的，唯一的要求只是选定坐标之后，不再改变这个选择。让我们假设至少人们有足够的几何知识来测量两条线段之间的角度，也就是说他们至少会平面几何。但这里有一个潜在问题，那就是如果已经会了平面三角，原则上已经可以测量空间维度了，方法是找一块石头，磨成平行正多边形，找另一块磨成最光滑的球形，然后都敲碎了，数碎片的多少（相同直径的球和菱形的体积比是一个跟空间维度有关的常数）。为了让我们的故事能进行，只能剥夺纯几何学家门的发言权，只相信物理学家的结果。

物理学家们用着那套既不正交也不独立的奇怪坐标，终于渐渐明白一件事：那就是这些坐标是既不正交也不独立的。这简直是废话。我们的物理学家不会太复杂的数学，于是有人提出这么一个办法，让我们研究一下，什么物理观测量是不依赖于坐标的吧。

随后的故事就简明了，人们发现了旋转不变性和平移不变性，由对称性研究发现了群论和表示论，保持观测量不变的对称变换将决定一组独立的生成元，其中平移生成元的数量就是那个世界空间的维度。

（二）

现在，让我们去一个更抽象的世界，那里只有哲学家，没有物理学家。进化了很久之后，有人思考了这样一个问题：
如果我们的世界有一些物理学家，他们拥有无穷多的小球、尺子和钟表，这个世界的维度是不是可以被测量出来呢？

你知道，这就是哲学家，宁愿自己泡在浴缸里空想，也不愿动手做一点点事。

以下为哲学家的思路：

如果物理学家们最终发现了对称群，那个群的生成元总数是大N，这个世界的维度究竟是多少呢？是大N吗？还是另一个跟N有关的数字。
如果我们所有能知道的信息只有这个数字，我们的世界，会是什么样呢？世界是真实的吗？还是只是一个数学游戏？

这个问题的答案其实并不复杂，但是带有一点哲学的味道，世界的维度是多少取决于你生活的状态。

数学上说，用群的信息来描述世界，叫做代数和对称群的实现。实现可以是忠实的（最简单的），也可以是多值的（冗余的）。物理上说，碰撞实验的对称群是包含了转动群的庞加略群，其中转动群是它的一个子群。我们教科书中的描述方法，是为每一个非转动群生成元赋予一个坐标。而转动群的生成元，并没有被赋予坐标。在这种做法下，平移算符造成空间延某个方向的移动，而转动算符造成空间的整体转动。另一种做法不是不行，就是为每一个生成元都赋予坐标，这样的空间相比于上一种实现显然有更高的维度，在这里连转动算符的作用都变成了延某个轴的移动。有什么问题吗？

确实有一点问题，那就是常识告诉我们，转动的角度太大之后，转动的后果可能反而变得很小，转360度之后，反而跟没有转动一样，这是一个很强烈的信息，告诉我们这些转动坐标，如果当作平移坐标一样实现的话，必须是周期性的。进一步的研究将发现，两次转动的顺序颠倒之后并不一定是相同的效果，这一点与平移操作相反。以上说明，这些转动坐标，并不是形成一个平坦的空间，而是非平坦空间。仔细研究后，它们形成的是球面。

于是，这就是另一种实现的空间结构：平移坐标生成平坦空间，转动坐标形成球面，平坦空间上的每一点都带有一个球面，这种直乘的积，就是全空间。

这个结果看起来很复杂，其实是很有用的，这实际上是说，在研究空间的时候，我们可以在每一点取定不同的坐标，这些坐标在不同的点可以不同。任意点上的坐标可以随便转动，这样的局部操作并不会改变物理观测结果。

（三）

一点细节

刚刚我们说到转动生成元对应的坐标将会形成一个球面，这个球面的维度是多少？跟转动生成元的数目一样吗？回答是否定的。举个例子，三维转动群生成元数目是3，三维中的球面维度却是2。因为生成元间的对易关系不再如平移群中那样平凡，第一号转动与第二转动的对易便等于第三号转动了。这是为什么群空间只有两维，群空间的维度其实等于群的rank。SO(3)是2，SO(2)是1。

我们可以为刚才提到的平坦X球面起一个时髦的名字叫超空间。但更合适的名字其实是积空间。这是因为平坦空间的操作和球面上的操作完全是分开的，

[P,P]=0，[M,M]=M

如果我们推广这种对易关系，如

[P,P]=M，[M,M]=M

则P对应的坐标也不再是无穷的，而是一样的有周期性。这一点与我们刚才说的球面类似。空间结构取决于[P,P]对易子是否生成所有的M算子，如果有剩下的，那么这些M将生成球面乘在P生成的那个球面上；如果所有的M都可以用P生成，则空间简单地为P生成的球面。

什么是超空间

我们还剩下一种可能性没有列举

[P,P]=0，[Q,Q]=P

但是原则上，我们还是可以反过来理解，Q生成的空间上直乘P生成的空间，这就回到了刚才讨论的情况。但是这里有一个特例，如果Q生成元没有物理测量量的含义，Q生成的空间就没有物理意义了，这时候我们只能从P生成的空间出发，并且为每个Q附加特殊的没有物理含义的坐标，这种情况，就叫做超空间。

如果你想看什么是时间，请移步到

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