物理好图 混沌世界的分形描述 庞加莱定性而非定量 拓扑思想

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2010年5月16日 ... 哈密顿函数是动力学系统中与总能量有关的状态函数, 根据哈密顿函数表示的运动 ...... 他把早期人们对分形集和维数理论的研究成果进行总结,集其大成, ...
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第十五讲 混沌世界的分形描述 混沌是 20 世纪 70 年代才发展起来的一门科学理论,十年后即 80 年代到 90 年代便掀起了研究热潮,同时受到《自然》《科学美国人》等著名国际媒体的关 , 注.由此可见,这个新兴理论的特殊魅力. 混沌学隶属于非线性动力学,是非线性科学的主体内容.混沌学中的混沌不 同于通俗意义上的混沌,也不同于一般科学中的混沌,而是具有确切意义的科学 概念.这里的混沌是指确定性系统的无规行为.对于三百多年牛顿力学中的确定 性原则,混沌理论无疑是一次重大的科学革命. 一,混沌的发现混沌研究的渊源可以上溯到十九世纪末,前后共有一百多年的历史. 最早对混沌研究作出贡献的是俄国女数学家卡瓦列夫斯卡娅 (Kovalevskaya) ,她在 1889 年给动力学系统稳定性下定义时,提出了度量小偏 差增长率平均值的概念,这是朝混沌的独立理论迈出的第一步.此后,俄国数学 家李雅普诺夫(Liapunov AM)将上述概念推广为李雅普诺夫指数,进而第一个 给出了运动稳定性的定义,奠定了运动稳定性理论和方法.李雅普诺夫指数概念 是确定运动稳定性问题的关键,至今仍是判定运动稳定性的基本方法. 哈密顿函数是动力学系统中与总能量有关的状态函数, 根据哈密顿函数表示 的运动方程,可以把动力学系统划分为可积的和不可积的两类.这种划分使人们 逐步认识到,牛顿理论实质上只是关于可积系统的理论,这样的系统具有周期运 动和准周期运动的特征,它们在动力学系统中所占比例极小,小到"测度为零" 的程度.而一般的动力学系统,包括多体问题都是不可积的,而其典型行为正是 混沌.首先发现这种不可积系统动力学行为的是法国数学家庞加莱 (H.Poincaré) .他因此而被公认为真正研究混沌的第一位科学家. 庞加莱的发现是在研究天体力学时作出的. 天体力学是随着牛顿力学的建立 诞生的.微积分为描述行星运行提供了数学工具,借此可以概括运动定律,从某 个初始状态出发,确定系统过去和未来的状态.这种模式在刻划天体力学中的二 体问题(比如太阳和地球)时,的确非常成功.然而,天文观测发现,太阳系中 有些行星的轨道在变化.比如,土星轨道在扩大,木星轨道在缩小.照此下去, 木星岂不冲向太阳, 而土星却将飞离太阳系?太阳系是稳定的吗?这在当时无疑 是一个引人入胜的实际问题. 1887 年,瑞典国王奥斯卡二世(OscarⅡ)悬赏2500克朗,征解这个经 魏尔斯特拉斯进一步明确化并呈交给国王的问题.两年后,庞加莱获得了此项大 奖, 他的获奖论文题目是 《论三体问题和动力学方程》 这篇论文发表于 1890 年, . 长达 270 页,分三部分,第一部分确立动力学方程的普遍性质;第二部分把结果 应用于牛顿万有引力作用下的任意多体运动问题. 由于太阳系中有许多天体, 它的稳定性问题需要研究这些天体在万有引力作 用下的运动规律.此即天体力学中的 N 体问题.19 世纪的数学家已经知道,N 体 问题属于不可积的难题,只能近似求解.庞加莱考虑的是限制性三体问题.所谓 限制性三体问题,是当所讨论的 3 个天体中,有一个天体的质量与其他两个天体 的质量相比,小到可以忽略.庞加莱说,这个问题尽管很简单,但不能用一般的 分析方法来解决.他着手去寻找小质量体(考虑另外两个大质量体时被忽略掉的 那一个天体)的周期运动.这是在论文的第三部分里,庞加莱试图解决微分方程 周期解的存在性问题.他在得出形式上的级数解后,没有直接去证明收敛性,却 从另外一个角度审视这个问题,意在严格地证明周期解的存在,同时隐含着级数 的收敛.他的这种思想是独一无二的,其实用到了拓扑方法,是一种定性而非定 量的方法. 系统只要在某个时刻重复先前的特定时刻的状态,运动就一定是周期性的. 这由微分方程解的唯一性保证.系统的状态是由相空间中的点的坐标表示的.当 系统随时间演化时,这点的运动描出一条曲线.要使状态再次回复,这条曲线必 须围成一个环. "曲线何时成为闭合的环?"这问题与环的形状,大小,位置统 统无关, 它取决于一点在此刻的位置与它在一个周期后的位置之间的关系的拓扑 性质. 正是在这种拓扑思想的指导下,庞加莱发明了一种像病理切片一样的"庞加 莱截面" :抛开相空间的轨道曲线,只记录每次穿过截面时截点的变换情况,从 而推知系统的运动特征.如果系统作简单的周期运动,那么轨道每次由同一处穿 过截面,截面上只有一个不动点.如果运动是非周期的,截面上将有无穷多个无 规则的点.庞加莱还为动力系统理论贡献了一系列的概念和方法,如动力系统, 奇异点,极限环,同宿的概念和摄动方法等.他是微分方程定性理论的奠基人之 一,他创立的组合拓扑学是当今研究混沌学必不可少的工具. 庞加莱证明,三体问题一方面有周期解,另一方面某些周期是不稳定的.他 在详细研究周期轨道附近流的结构时, 发现在所谓的双曲点附近存在着无限复杂 精细的"栅栏结构" .他描述说: "当人们试图画出这两条曲线和它们的无穷次相 交(每一次相交都对应于一个双渐近解)构成的图形时,这些相交形成一种网, 丝网或无限密集的网状结构;这两条曲线从不会自相交叉,但为了无穷多次穿过 丝网的网节,它们必须以一种很复杂的方式折叠回自身之上.这一图形的复杂性 令人震惊,我甚至不想画出来.没有什么能给我们一个三体问题复杂性的更好的 概念" .庞加莱的发现表明,即使像限制性三体这样简单的系统,也会产生极其 复杂的行为,确定性动力学方程的某些解有不可预见性,这其实就是我们今天所 说的混沌. 庞加莱没有解决太阳系的稳定性问题. 但却回答了一个影响深远的普遍性问 题:怎样研究复杂动力学系统中的稳定性问题.他因此成为通过数学推理发现混 沌的第一个人. 庞加莱并没解决 N 体问题,这个问题的解决依赖于 KAM 定理.1954 年,前 苏联学者柯尔莫果洛夫(Kolmogorov A)在阿姆斯特丹的国际数学家大会上,宣 读了《在具有小改变量的哈密顿函数中条件周期运动的保持性》 .在这篇划时代 的科学论文中,他提出了一个重要定理.后来他的学生阿诺德(V.I.Arnold)及 瑞士数学家莫泽(J.Moser)分别给出了定理的严格证明.因此,这个定理称为 KAM 定理.柯尔莫果洛夫研究了解析哈密顿系统的椭圆周期轨道的分类,发现了 一个充分接近可积系统的不可积系统, 对此系统若把不可积当作可积哈密顿函数 的扰动来处理,则在小扰动条件下,系统运动图象与可积系统基本一致;当扰动 足够大时,系统图象就发生了性质改变,成了混沌系统.这是 19 世纪以来,人 们用微扰方法处理不可积系统,所取得的最成功的结果,具有极为重要的理论意 义.它说明了不可积系统的混沌运动的发生机制.KAM 定理被国际混沌学界公认 为这一新学科的第一开端. 美国气象学家洛仑兹(E.N.Lorenz)在天气预报中的发现是混沌认识过程中 的一个里程碑. 洛仑兹本来是学数学的,1938 年大学毕业后,由于第二次世界大战,使他 成了一名气象学家.战后他继续从事气象研究,在麻省理工学院他操作着一台当 时比较的先进工具——计算机进行天气模拟.在二十世纪五,六十年代,人们普 遍认为气象系统虽然非常复杂,但仍是遵循牛顿定律的确定性对象,只要计算机 功能足够强大,天气状况就可以精确预报.冯纽曼(Von Noumann)在设计第 一批计算机的时候,就以天气模拟为理想任务.他甚至设想通过使用计算机计算 流体运动的方程,人类就可以控制天气. 天气变化是一种特殊的流体运动——对流. 洛仑兹将萨尔茨曼 (B.Saltzman) 的简化对流模型做了进一步的简化,最后得到 3 个一阶微分方程,后称为洛仑兹 方程.洛仑兹把这个方程作为大气对流模型,用计算机做数值计算,观察这个系 统的演化行为. 洛仑兹终于得出了一个惊人的发现.这个发现的过程本身也很有趣,是个偶 然性的小插曲. 1961 年冬天有一天,他先算出了一个解,还想观察更长时间的演化情况. 这次他没有重新输入初始值,而是把中间值作为初值输入节省运算时间,然后他 下楼去喝咖啡.当他回到机房取结果时,却惊奇地发现,新一轮运行未按设想去 重复旧运行的后一半.两条曲线渐行渐远,直到完全分道扬镳,毫无相像之处. 起初,他以为计算机又出了故障.但他很快意识到,问题出在他记录并敲入 的小数是三位的,而机器内存储使用的是六位的.这个不到千分之一的误差导致 了截然不同的演化结果,表明最初小小的误差可以产生两种完全不同的天气.这 正是混沌对初始条件的敏感依赖性.洛仑兹后来把它称为"蝴蝶效应" ,并通俗 地比喻为:一只蝴蝶在巴西煽动翅膀会在得克萨斯引起一场龙卷风. 洛仑兹的模型是对原型的简化,他把一组对流方程简化到只剩下了骨架.他 本质上仍是一位数学家,他的数学思维在这里发挥了根本作用.这完全是一个理 想的超现实的模型,除了非线性之外,后来的模型几乎什么也没有剩下.这样的 模型更能定性地说明气象的本质. 如果采用更能确切地刻划系统特点的高阶微分 方程, 那么数值结果的无规行为, 就会被归咎于方程的复杂, 因而不便发现混沌. 洛仑兹的简单化数学处理,让人们从最简单的模型观察到奇怪,复杂的行为,并 理所当然地承认,这种不确定行为源自确定性系统产生的内在随机性.斯图尔特 总结说: "多数科学家对那些削去部分的作用忧心忡忡.他们未理解,洛仑兹根 本不在意他的方程是否有物理意义.洛仑兹打开了通往一个新世界的大门" . 物理上将动力学系统分为保守系统和耗散系统.如果系统中不存在摩擦,粘 滞等因素,运动过程中能量守恒,这类系统称为保守系统;如果系统中有摩擦, 黏滞性的扩散或热传守性质或过程,在运动过程中消耗能量,系统的能量不能保 持恒定不变,这样的系统称为耗散系统.庞加莱在保守系统中发现了混沌,而洛 仑兹则是在耗散系统中第一个发现了混沌. 通过长期反复的数值实验和理论思考, 洛仑兹以巨大的勇气向传统理论提出 了挑战, 揭示了计算机模拟结果的真实意义. 在耗散系统中首先发现了混沌运动. 他提示了一系列混沌运动的基本特征. 如确定性非周期性, 对初值的敏感依赖性, 长期行为的不可预测性等,他还发现了第一个奇怪吸引子——洛仑兹吸引子,并 开辟了用计算机进行数值计算来研究混沌的道路. 然而,洛仑兹的重大发现并未在当时引起重视.1963,他把第一篇题为《确 定性非周期性》发表在美国的《大气科学杂志》 .数学家很少有人翻阅气象学刊 物,而气象学家们会把这个修剪过的对流方程视为左门歪道.因此,他的论文十 年内湮没无闻.直到七十年代掀起混沌研究的热潮时,人们才惊奇地发现了洛仑 兹的工作成果并开始理解他超越时代的思想. 到 20 世纪 70 年代,混沌的数学理论和研究工具均已问世.KAM 定理和洛仑 兹的工作更把物理学家吸引到这个领域中来.物理学家阐明了混沌的实质,并在 实验中证实了它的存在,混沌理论进一步得到确认,混沌研究的高潮来到了. 二,混沌的产生及特征混沌理论研究的是具有确定性的非线性系统, 混沌可以看作是决定论方程的 无规运动.混沌的正常状态不同于通常概念下确定性运动的三种状态:静止(平 衡) ,周期运动和准周期运动.比如,它的轨道永不重复但却囿于有限范围,局 部不稳定而整体稳定,无限自相似等等,所有这些复杂性特征及其产生机制都是 混沌理论所最关注的核心话题. 考察混沌的发生不必寻找很复杂的动力系统,选择一个理想的简单"标本" 反而可以收到事半功倍的效果.历史上的探索是从一个非常简单的差分方程— Logistic 方程开始的,由此洞开的混沌世界令人惊奇不已,一系列混沌的实质 内容浮出水面,将人们对其特征和涵义的认识引向深入.郝柏林院士将此方程与 二体问题模型,布朗运动模型相并列,用以说明经典自然科学的三次飞跃.研究 二体运动揭示了确定论范式,研究布朗运动揭示了随机论范式,研究 Logistic 方程(映射)则揭示了复杂系统的浑沌论范式——确定论与随机论相结合的综合 范式. 1.Logistic 方程 这是一个种群生物学模型.经典的马尔萨斯模型是无限制增长的线性函数 y = x , 参数 代表种群增长率. 显然这种增长不受食物供应或道义约束的限制. 而现实的模型中,生态学家需要带有附加项的方程,以期在种群数太大时限制增 长.按生态学家的设想,最简单的模型莫过于稍稍修改一下马尔萨斯的模型,令 y = x (1 x) . 新的因子 (1 x) 把增长限制到一定幅度内, 因为当 x 上升时,1 x 下降.这个函数被称为逻辑斯蒂映射.20 世纪 50 年代,曾有好几位生态学家考 察过这个函数的修正形式. R.梅(Robert May)是美国的数学生态学家.他先在家乡悉尼学理论物理, 后到哈佛大学做应用数学方面的博士后研究工作.1971 年他来到普林斯顿高等 研究所进行为期一年的访问,他没有做原本应该做的事,转而致力于逻辑斯蒂方 程的研究,试图用它来揭示非线性种群模型的古怪特性.梅对这个初中生就已熟 悉的最简单方程的行为,进行了大量的数值探索,意在一举弄清这个简单方程的 全部行为,不是局部地,而是整体地看清楚这个非线性方程的动力学演化. 1976 年,R.梅在《自然》杂志上发表论文《表现非常复杂的动力学的简单 数学模型》 ,提请大家对简单模型的复杂状态多加注意.这位美国生物学家知道, 在全部科学中,专家们都曾看到和讨论过系统的复杂行为,但每一个学科却为混 沌贴上了不同的标签.他正在探索的这些惊奇结构,与生物学并无内在联系.如 果这些简单模型可以用于不同领域的复杂行为, 该有多少其他领域的科学家会同 他一样感到激动.他把自己发表的文章想象为"救世箴言" .他从这样一个简单 的生态方程出发,讨论一个系统是怎样走向混沌的. R.梅实际观察的是离散化的逻辑斯蒂差分方程 x n +1 = x n (1 x n ) 他研究了成百个参数值.对每个参数,他观察这成串的迭代数字是否以及在何处 趋向一个不动点.比如 = 2.7 时,种群数为 0.6292.随着参数增大时,种群数 也稍有增加.如果参数表示在横轴上,种群数表示在纵轴上,则当参数限定在 0 与 3 之间,这种种群数依赖于参数变化就会形成一条从左向右微微上升的曲线. 但当参数超过了 3 时,曲线突然地一分为二, x n 的值在两个不同数之间振荡. 这是周期 2 循环.此时定态失稳,成为周期性的. 当把 增大到 3.444…时,周期 2 吸引子也失稳,出现周期 4 循环,即种群 数在 4 个不同值之间跳跃,周期再次加倍.当 增大到 3.56,周期又加倍到 8; 到 3.567,周期达到 16,此后便是更快速的 32,64,128…周期倍增数列,这种 现象叫做倍周期分岔.这种倍周期分岔速度如此之快,以至到 3.5699…就结束 了:倍周期分岔现象突然中断,周期性让位于混沌,表现为一种永不落入定态的 涨落. 所有这一切看起来是非常简单的,当 从 0 趋向 4 时,动力学性态的复杂性 稳定增长: 定态→周期性态→混沌性态 倍周期分岔则是使混沌开始发生的机制. 但这并非尽然!R.梅还会更深层的发现! 参数值继续上升, 非线性对系统的驱动越来越强, 稳定的周期又突然地出现, 形成有规则性的窗口, 倍周期分岔以更快的速度全面展开, 很快地经过 3,6,12, … 或 7,14,28,…这些周期,然后再次中断,进入新的混沌. R.梅把不同参数的迭代结果画在一张图上,得到倍周期分岔图,从中可以了 解逻辑斯蒂映射的全部动力学性态. 分岔是动力学系统的吸引子定性形式的任何 变化;逻辑斯蒂映射恰恰充满着分岔.如此复杂的动力学行为使 R.梅深感震惊, 他把它描述为"数学草丛中的一条蛇" .进一步的观察还发现,即使在混沌区也 还包含着复杂,精细的几何结构. 首先,从参数由大到小看混沌区的变化会发现, 为 4 时呈单片混沌.当参 数降至 3.6786 时,混沌区一分为二,迭代数值在两个混沌带来回跳跃. 为 3.5926 时,两个混沌带分成四个,然后八个带,十六个带……,直到临界参数 3.5699 为止. 混沌区以与周期区相反的方向从右向左依次分为 21, 2, 2 …, n, 2 … 个带,叫做混沌区的倒分岔. 其次,混沌区的窗口内也非空白.窗口内的演化是周期性的,最大的一个窗 口是周期 3 窗口,位于 3.828 处.往左还有 5,7,9,…等周期窗口.在 2n 带区 内有 2n×3,2n×5,2n×7…等周期窗口.若把周期窗口中某一部分放大,会发现 与分岔图相同的精细结构.这种二级结构与一级结构构成奇妙的自相似嵌套结 构.进一步把二级结构放大,还会发现嵌套在内的三级结构,四级结构,……. 可见,混沌区中存在着无穷层次的自相似结构. 这确实有点不可思议!这么一个简单的确定性方程,却产生了如此多的随机 内容!而且,这么久以来人们还未曾把它产生有序和无序的可能性研究穷尽.事 实上就是没有穷尽, 梅的计划只是一个开端. 美国物理学家费根鲍姆 (Mitchell, Feigenbaum)从中发现了更多的东西. 2.费根鲍姆的普适常数 费根鲍姆在美国的洛斯阿拉莫斯实验室工作. 他同事谁也搞不清他在从事什 么工作,包括他本人.他的雇主卡拉瑟斯是一位和蔼的但雄心勃勃的物理学家兼 科学管理工作者,他知道,好的科学工作往往不出自计划.他认为"费根鲍姆具 有正确的背景.他在正确的时候做正确的事,而且做得很出色.他不是做局部的 事情.他把整个问题弄清楚了" . 费根鲍姆有一个信念,物理科学未能理解艰难的非线性问题.当他开始在洛 斯阿拉莫斯思考非线性时,他意识到正规教育中没有任何有用的东西.除了教科 书中专门设计的特例,求解非线性微分方程组是不可能的.通过微扰技术求解, 希望它与真正问题相接近,看来是愚蠢的.费根鲍姆最终确定从简单的类似于 R.梅研究过的映射开始.他同时进行数值工作和理论分析,但迟迟看不到方程的 整体图象,但能够看出,各种可能性非常复杂,分析起来会极其困难.他知道洛 斯阿拉莫斯的三位数学家 1971 年已经研究过这类映射,其中的 P.斯坦还提请他 注意:这类映射甚至比任何人想象的还要复杂.于是,问题曾一度被束之高阁. 然而,1975 年夏天,他去科罗拉多的山间小镇参加了一次会议,会上他听 了拓扑学和动力学专家斯梅尔(S.Smale)有关动力学系统的介绍.斯梅尔先介 绍了逻辑斯蒂映射和倍周期分岔走向混沌.斯梅尔指出,某些有意义的现象可能 就发生在周期转为混沌的临界处. 同以往一样, 斯梅尔对重要问题有敏锐的直觉. 费根鲍姆又一次受到鼓舞,他决定重新研究逻辑斯蒂方程. 费根鲍姆决定先精确算出分岔点的参数值.由于计算器太慢,每一次周期倍 分的精确参数值要用好几分钟才能算出来,而且越往前走,时间越长.为了节省 时间,他试图猜测下一个参数会在何处.忽然他发现一个出乎意料的规律:这些 数字是几何收敛的.也就是说,相邻两分岔点的间距是几何收敛的.如果将 2n 周期点分岔处对应参数记为 n , n 表示 n 和 n+1 之间的距离,且记 n n = n +1 . δn = n +1 n n 1 费根鲍姆发现当 n 逐渐增大时, δ n 趋于一个固定的极限值,即有 δ = lim δ n = 4.669201609 n →∞ 费根鲍姆还发现,周期轨道之间的距离也是收敛,这个极限值 α = 2.502907875 R.梅从逻辑斯蒂方程得到丰富的定性信息,他也曾看到过这个几何收敛,但 很快就忘记了.他为方程的整体行为而激动,但没有意识这些数值细节会证明是 重要的.费根鲍姆知道这些定量信息的重要性,因为几何收敛意味着方程中有些 标度变换性质.在这样不守规矩的系统中,蕴含着某些标度变换下能保持下来的 性质.在方程的湍流表面之下,藏着某种规律性.现在需要进一步确证这两个常 数的普适性. 费根鲍姆想起了他的同事斯坦等人还观察过其他方程, 并发现了同样的周期 倍增现象.发现 δ 和 α 一个多月之后,他终于下定决心把超越函数 y = r sin πx 拿 来做迭代试验.这一次,计算器算得更慢.但他还是很快发现,这个超越函数的 迭代,其分岔间距比也是几何收敛的,更令他激动的是收敛速度(每次缩小的倍 数)也是 4.669. 后来人们进一步发现,一维单峰映射都有相同的收敛速率 δ 和标度因子 α . 而且,在许多包含耗散的高维非线性系统中,只要出现倍周期分岔序列,就会有 同样的普适常数.当然,对于明显不同的峰形(如扁平峰或尖峰)和多峰来说, δ 和 α 就不是这两个数值了.对于保守系统,与一维单峰映射对应的普适常数 δ = 8.721097,α = 4.018076 .因此,根据普适常数的不同可以划分不同的普适类, 每一类内的映射的普适常数相同.同类映射中,我们只要研究一个最简单的典型 实例即可. 斯图尔特说: "费根鲍姆像一个魔术师,他从混沌大礼帽中抓出了普适性的 兔子" .普适性的重要意义不仅在于他是一个伟大的思想结果,而且在于由此可 以找到定量上完全相同的性质,可以预言的性质. 1977 年物理学家利布沙伯( A.Libchaber)设计了一个理想化的但却真实 的对流实验.随着温度的升高,他观察到了周期振荡的周期倍增效应,并验证了 标度比 4.669.费根鲍姆的普适常数从数学理想变成了物理现实,可以测量,可 以再生.此后几年,世界各地进行的一大批实验证实了费根鲍姆的预言.不仅仅 在湍流中,而且在电子学,光学,甚至生物学中.费根鲍姆的发现,改变了人类 对宇宙的认识. 3.奇怪吸引子 为了描述动力学系统的演化,要用到物理学中的相图.在物理学中,把表 示动力学系统在任一时刻所处的状态(即速度和位置)叫做相,用相空间中一 个点表示;这个点就是该时刻的动力系统;动力学系统的演化用相空间的一条 曲线表示.系统的时间史全部包含在这条相空间中的轨道上,这有利于观察系 统 的 变 化 . 相 空 间 是 庞 加 莱 发 明 , 并 由 美 国 拓 扑 学 家 斯 梅 尔 ( Stephen Smale,1930-)继承和发展的定性方法,这是现代科学最强有力的发明之一. 斯梅尔的思想非常独特.他对动力学作出过非常重要的贡献,包括 1906 年证明庞加莱猜想五维以上情形(他为此获菲尔兹奖) .他研究动力学系统时 依据的是相图的拓扑特性,而不是定义他们的公式.为强调新的观点,斯梅尔 用术语"动力学系统"来代替"微分方程系统" .在他看来,动力学系统最重 要的属性是它的长期性态.吸引子作为它稳定下来成为的任何东西,即系统的 稳定态,无疑是最值得的关注的.系统的运动只有到达吸引子上,才能稳定下 来并保持下去. 就平面内的结构稳定系统而言,吸引子只有两种:不动点和根限环.这就 是说,系统的长期运动状态只能是静正和周期性重复某种运动系列.比如单摆 运动,无摩擦力时,相图是一个闭环,这说明吸引子为极限环.当考虑摩擦时, 摩擦会使摆的运动慢下来,最后停在一个定点,即中心点上.即系统趋于相空 间中一个特定的点——不动点.另外,逻辑斯蒂映射即有不动点,也有极限环 (2 周期点,4 周期点等等都是极限环) . 在经典动力学系统中还有第三种吸引子——二维环面,它表示准周期运 动.在这种运动中,质点同时作两种周期运动,是两重周期运动的叠加运动. 那么这两种运动的合成还是周期运动吗?事实上,当两周期之比为有理数时, 合成运动依然是周期运动;当两周期之比为无理数时,合成运动不再是周期运 动.但可以证明,在经过足够长的时间之后,质点总可以转回到与其出发点任 意接近的地方.也就是说,运动从不重复却又"几乎重复" ,故称为准周期运 动.这种运动常常出现在经典动力学中,因为天体力学中存在许多叠加现象. 湍流是困扰物理学家的一个古老难题, 同时也是促发混沌发现的一个重要 因素. 法国的数学物理学家吕埃勒 (D.Ruelle) 和荷兰数学家塔肯斯 (F.Takens) 正是在解释湍流的形成机理时,提出奇怪吸引子的概念. 湍流究竟是什么?它是各种尺度上的一堆无序,大涡流中套着小涡流.它 是不稳定的.它是高度耗散的,是一种变得随机的运动.然而,流体怎么越过 从平滑层流到湍流的分野的呢?20 世纪 40 年代, 俄国科学家朗道 (Landa L D) 提出了一个假说. 他认为, 湍流是许许多多互不相容的频率叠加在一起的结果. 后经德国数学家霍普夫(Hopf E)补充,形成了流行三四十年之久的朗道一霍 普夫理论. 吕埃勒其实并不精通流体流动,但他认为,新事物总是非专家发现的,况 且湍流还没有深奥的理论,只有一些非专家就可以理解的性质.他听过斯梅尔 的报告,知道斯梅尔的通过伸缩和折叠进行马蹄变换的拓扑思想.基于斯梅尔 的语言,他和来访的塔肯斯合作,于 1971 年发表了《论湍流的本质》一文, 提出用混沌来说明湍流形成机制的新观点.他们认为,湍流中的能量消耗必然 要导致相空间的收缩,从而收向某种其他类型的吸引子.这种吸引子应该具有 稳定性,低维性和非周期性.它是相空间中有限区域中的一条无限长轨道.两 位数学家是靠数学推论作出这个断言的,他们自己从来没有见过,也没在文章 里给出示意图.但是仅有这个论断就足以奠定他们在混沌研究中的历史地位 了,他们提出了一个完全不同的通往湍流的道路. 其实,吕埃勒和塔肯斯设想的图像早在十年前就已经存在了.1963 年,洛 仑兹在自己的论文中附了一张图,图中画了一条十分复杂的曲线,正是奇怪吸 引子,后称为洛仑兹吸引子.这条曲线分左右两叶,左叶画出五道环,右叶画 出两道环.仅这七个环线,洛仑兹就进行了 500 次数值计算.就当时他的计算 机能力所及很难给出这个图象的全貌.但他看到的比画出的要多.这是一种双 螺旋,像一只蝴蝶的翅膀,两翼的曲线巧妙地交织着,但永远不会自交.因为 一旦自交,此后的运动就会按周期重复.在有限的范围内永不重复,无限地向 纵深卷曲,正是这个吸引子的美妙之处.当吕埃勒看到洛仑兹吸引子时,其惊 讶和激动之情可想而知.据说,在以后的年代中,吕埃勒还专门去拜访过洛仑 兹一次. 就吕埃勒和旨塔斯提出的线索,人们分别从理论上和实验上进行了探索. 洛仑兹吸引子典型吗?奇怪吸引子适用于自然中的混沌吗? 在德国,1976 年一位名叫若斯勒(Otto Rssler)的医生发现了一种特别 简单的吸引子,它是洛仑兹吸引子的一个变种. 在法国,一位远离流体力学的天文学家——埃侬(M.Henon),建立了一个 由能级决定性态的动力学系统, 发现了高能级时的轨道解体, 得到一个卵形图. 他在听到吕埃勒和洛仑兹吸引子之后,决定抛开系统的物理意义,集中探究其 几何实质.关键在于斯梅尔的马蹄变换思想.经过伸缩和折叠,得到一幅像一 轮弯月一样的图象.其精妙之处在于,图的轮廓可以分解成不同的线,然后两 条线分解成四条,其中一对靠得很近,另一对离得较远.再放大后,四条线中 的每一条原来都由双线组成.……如此嵌套,直至无穷. 一般来说,天文学家在计算中忽略耗散.没有耗散,相空间就不会折叠和 收缩得产生无穷的自相似层次,从而永远不会出现奇怪吸引子.然而,埃侬也 是一位跟数学有着未了缘的科学家. 他发现了混沌, 并且变换出了奇怪吸引子. 他开始时就对微分方程组作了些简化.正如他说的, "为了多一些实验自由度, 我们暂时忘掉问题的天文学来源" .他的确从简化中获得了报偿.他抽象出的 实质内容同样适用于其他更重要的系统. 他在获得奇怪吸引子之前再次抛开系 统的实际背景,施行了一些纯数学的手段. 另一方面, 科学家们在自然界看来具有随机性行为的一切领域寻求奇怪吸 引子. 1981 年, 美国加州大学克鲁兹分校的几位物理学家, 通过龙头流水实验, 从实验数据中重建了滴水龙头动力学中奇怪吸引子的拓扑结构. 奇怪吸引子的 混沌动态是造成某些湍流现象的原因已得到认可. 在耗散系统的混沌研究中,奇怪吸引子是一个中心问题.耗散系统的混沌 与保守系统的混沌的根本区别在于有无吸引子. 对耗散系统的混沌研究一个常 规模式是:寻找奇怪吸引子,刻划奇怪吸引子. 4.混沌的特征 一般认为,混沌具有以下三个主要的定性特征: (1)内在随机性.从确定性非线性系统的演化过程来看,它们在混沌区 的行为都表现出随机不确定性. 而且这种不确性是没有受到外部干扰对系统运 动的影响, 而是系统自发产生的, 是一种内在的随机性. 上述的混沌研究表明, 只要确定性系统具有稍微复杂的非线性, 就会在一定控制参数范围内产生出内 在随机性.混沌常被称为自发混沌,确定性的随机性等,它所强调的就是混沌 现象产生的根源在系统自身,而不在外部的影响. 内在随机性往往导致局部不稳定性.一般来说,产生混沌的系统具有整体 稳定性.但与有序态比较,混沌态的不同在于它同时还有局部不稳定性.所谓 局部不稳定性是指系统运动的某些方面(如某些维度上)的行为强烈地依赖于 初始条件.从两个非常接近的初值出发的两条轨线在经过长时间演化之后,可 能变得相距"足够"远,表现出对初值的极端敏感.即所谓"失之毫厘,谬以 千里" .洛仑兹称这种现象为"蝴蝶效应" .正因为具有内在随机性的系统对初 值的极端敏感,系统的长期行为才不可预测. (2)分维性质.混沌态具有分维性质.非整数维可以用来描述系统运动 轨道在相空间的行为特征.比如奇怪吸引子的无穷层次的自相似结构. (分形 和分维将在下一节介绍) . (3)普适性和费根鲍姆常数.混沌不是纯粹的无序,而是种种不具备周 期性和其他明显对称特征的"高级"有序运动.如果数值的或实验的分辨率足 够高,可以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动花样.混沌区的系统行为往往 体现出无穷嵌套的自相似结构, 这种标度不变性代替了通常的空间和时间的周 期性,成为混沌运动的规律性.费根鲍姆在研究逻辑斯蒂方程时,发现了其中 隐藏着的内在规律 , 获得了两个反映自 然 界本质的新的普适 常 数.其中 δ = 4.669 …反映了倍周期分岔速度的几何收敛性,α = 2.5029 反映了前后分岔宽度之间的倍数关系.这两个常数虽然得自一个生态方程,但它们与种群演 化过程无关,也不是该方程特有的而是普适的,是混沌现象深层规律的一种体 现.这种普适性为研究和把握混沌带来了许多方便,只要研究一种最简单的模 型,就可以将所得结论放心地运用到同类运动形态中去. 在混沌运动中发现自然常数的意义是十分深远的, 在物理学中普朗克常数 h,光速 c 的发现都已作为物理学理论发展的一个重要的里程碑.费根鲍姆常 数的发现标志着混沌理论的相对成熟. 三,分形几何 1967 年,法国数学家曼德勃罗(B.Mandelbrot)在《科学》杂志发表文章 《英国海岸线有多长》 .他用分形思想,对海岸线的本质作了独特的分析,其 结论震惊了学术界:任何一条海岸线的长度都是不确定的,它取决于测量所用 的尺度. 曼德勃罗提出了一个怎么认识非线性复杂世界的根本问题. 长期以来,人们一直在使用欧几里德几何学的方法,对复杂的对象进行简 化和抽象,建立起各种理想模型(几乎都是线性的) ,把问题纳入可解的范畴. 对这种模式,由于从中学到大学的不断熏陶,人们已经习以为常.这种线性的 近似处理方法, 在许多情况下是卓有成效的, 从而在科学上取得了丰硕的成果. 然而,环顾四周,自然界的各种事物都是不规则的.正如曼德勃罗所说: "云 团不是球形,山峦不是锥形,海岸线不是圆的,树皮不是光的,闪电不会沿直 线引进" .复杂世界需要更贴近自然的几何学.而分形正是直接从非线性复杂 系统的本身入手,从未经简化和抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性. 因此,分形几何与传统的欧氏几何不同,是自然界的几何学. 曼德勃曼是美国 IBM 公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学系教授. 他于 1924 年出生在华沙,父亲是成衣批发商,母亲是牙医.1936 年迁往巴黎. 由于战争,他受的中学教育并不正规.但巴黎解放之后,他在缺乏准备的情况 下, 却通过了巴黎高师的入学考试. 他的思维极其图形化, 无论什么数学问题, 他几乎都能把它转化为几何问题,通过图形变换求解.他正是用这种方法掩盖 了自己的训练不足,顺利地通过了这次考试.当时布尔巴基的形式主义统治着 高师的数学,曼德勃罗因不堪忍受而转到巴黎高工读书.10 年后,他因同样的 原因而离开法国到美国定居.他不愿放弃自己的几何直觉. "分形(英文 fractal) "是曼德勃罗新造的,原义是"不规则的,分数的, 支离破碎的" 他是参考了拉丁文 fractus(弄碎的)后造出来的, . 它既是英文又 是法文,既是名词又是形容词.曼德勃罗对不规则的形状和不规则的现象特别 感兴趣,他对早期人们遇到的"病态"集合进行了研究,包括康托尔集,魏尔 斯特拉斯曲线,皮亚诺曲线和科克曲线等等.他还研究过海岸线,通信中的噪 声,尼罗河水位的记录,棉花价格和股票市场的涨落等不规则的东西,取得了 一系列令人瞩目的成功. 他把早期人们对分形集和维数理论的研究成果进行总 结,集其大成,于 1975 年以《分形:形,机会与维度》为名发表了他划时代 的专著.这标志着分形理论的正式诞生. 什么是分形呢?事实上,目前对分形还没有严格的数学定义,只能给出描 述性的定义.粗略地说,分形是对没有特征长度, (所谓特征长度,是指所考 虑的集合对象所含有的各种长度的代表者,例如一个球,可用它的半径作为它 的特征长度) ,但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称.曼德勃罗曾建 议将分形定义为整体与局部在某种意义下的对称性的集合, 或者具有某种意义 下的自相似集合;他也曾给出一个尝试性的定量刻画,说分形是其豪斯道夫维 数严格大于其拓扑维数的集合.但是所有这些定义都不够精确,不够全面.不 过,一般来说,自相似性和分数维数代表着分形的两个基本特征. 自相似性是分形最本质的几何特征.用不同的尺度观察分形,看到的是相 同的图形.不仅局部与整体形状相似,而且局部的局部也与整体相似. 维数是刻划图形占据空间的规模和整体复杂性的量度, 是图形最基本的不 变量.分数维数是描述分形特征的一个定量指标.设一个几何对象的线度 L 放 大 a 倍,若其本身的体积为原来的 b 倍,而 b = a D ,则称数 D 为该几何对象分 维数,且 D= ln b ln a 一个几何体的分形维数 D 大于其欧氏维数. 根据上述定义,科克曲线的分维数 D=ln4/ln3≈1.2618,而其欧氏维数为 1,分维数大于欧氏维数,故科克曲线是分形.再如康托尔集,D= ln2/ln3≈ 0.630929,而欧氏维数为 0,康托尔集也是分形.这两个曲线都是典型的数学 分形,而自然界中的分形有所不同.像山脉,流川,海岸线以及布朗粒子的运 动轨迹都是分形.它们没有数学上严格意义的自相似性,只有随机的自相似分 布;而且,自然界分形的相似层次是有限的,分形只存在于特定的限度内,不 存在无限的自相似层次. 从 1978 年开始,曼德勃罗等人开始研究在非线性变换(即允许以简单放 大与平移更复杂的操作如平方,立方等)下保持不变的分形.他们利用计算机 来产生这样的分形图形,并研究它们的性质,又发现了混沌现象,导致了混沌 动力学的建立. 曼德勃罗是从简单的复平面迭代 Z←Z +C 开始的,这里 C 是常数.对于一 定的参数值 C,观察发现每一个初始点 Z0 的迭代结果,要么趋向无限,要么在 某几个值之间循环振动,这些值正是吸引子.导致无限的初始点集的边界称为 朱利亚(Julia)集.而对于某些特定的参数值 C,迭代结果出现无规则振动 的现象,就是混沌. 朱利亚集是分形.根据连通性可分为两类.如果连通,把对应的 C 涂黑, 否则不涂,则得到曼德勃罗集. 曼德勃罗集被称为"数学恐龙" ,是当今数学上最为复杂而又有序的对象 之一.它已经成为混沌的一种国际标志.这个集合有许多奇妙之处,比如在其 内部隐藏着所有可能的朱利亚集,它们和谐地合并着,每个都精确地位于它自 身的常数 C 值之上.曼德勃罗集只有一个,它就像是无数朱利亚集的目录.关 于曼德勃罗集,人们还有许多问题正在探究,每一次深入的研究,都会带来新 的发现. 与欧氏几何不同,分形几何中没有像点,线,圆这样的基本元素.应该说 它首先是一种几何语言,是由算法及程序来描述的,并可借助计算机转换成几 何形态.由于分形的自相似性,这些算法中多有递归,迭代的特点.回顾逻辑 斯蒂迭代方程,我们可以将其同复映射 Z←Z2+C 作一类比.前者的吸引子可与 后者的朱利亚集相比(作为无穷大点处的吸引域) ;前者的倍周期分岔图可与 这里的曼集对应. 由此可窥混沌与分形的内在一致性. 分形是混沌的几何结构, 2 而混沌则是分形形成和演化的动力学.混沌的典型特征是奇怪吸引子,而奇怪 吸引子具有无穷嵌套的自相似性和分维数,因而奇怪吸引子都是分形.在应用 中,分形和混沌常常形影不离,比如在湍流的研究中,涡旋的嵌套结构显然是 分形.总之,分形与混沌有着密切的联系,我们可以用分形定量地刻划混沌, 同时从混沌研究中得出的定性结论进一步发展分形几何. 分形的应用发展远远超过了理论的发展.八十年代中期,许多国际大公司 组织人力研究分形的应用,诸如石油,冶金,化工等行业的应用都卓有成效. 保温性能最佳的人造羽绒便是根据分形原理合成的. 金属表面分形能够提供有 关金属强度的重要资料.核反应堆的安全问题也是分形应用的用武之地.分形 在电影事业中也大有可为,它可以创造出人世间从未有过的绚丽多彩,奇妙无 比的景象.因此好莱坞立意发展这种新的电影艺术.随着分形的广泛应用,一 些新的数学方法和工具被不断提出,对分形的理论提出了更高的要求,这将会 促进分形几何的进一步发展.
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文档关键词
数学 物理学 力学
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• 弦论中有许多标量场，如果这些场象引力场一样是无质量的，可能在宏观的尺度上修改引力的牛顿定律 -marketreflections- ♂ (4275 bytes) () 07/26/2010 postreply 19:20:07

• 标量场也是力的媒介，相同的荷在标量场的作用下是吸引的。如果标量场有质量，那么力就不是长程的，有一个指数衰减，力程是标量长质量的倒 -marketreflections- ♂ (264 bytes) () 11/18/2010 postreply 16:16:18

• 静电场,基本方程归结为静电势嗞(r)的泊松方程 -marketreflections- ♂ (3497 bytes) () 07/26/2010 postreply 19:24:32

• 拉普拉斯方程 div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场 -marketreflections- ♂ (4703 bytes) () 07/26/2010 postreply 19:26:44

• 格林定理反映了两种标量场之间满足的关系 -marketreflections- ♂ (269 bytes) () 07/26/2010 postreply 19:31:12

• 多体格林函数代表某时某地向体系外加一个粒子，又于它时它地出现的几率振幅。格林函数描写粒子的传播行为，又称为传播子。 -marketreflections- ♂ (2416 bytes) () 07/27/2010 postreply 12:06:04

• 用格林函数讨论格林互易定理得到其根源与本质 -marketreflections- ♂ (1217 bytes) () 07/27/2010 postreply 12:21:42

• 泊松方程的格林函数法 -marketreflections- ♂ (789 bytes) () 07/27/2010 postreply 12:31:43

• 由于光子的质量为零，所以它只有两个与其动量方向垂直的横极化方向。而一般的有质量的矢量粒子应该有三个极化方向，其中两个是横极化，一 -marketreflections- ♂ (708 bytes) () 07/26/2010 postreply 19:42:02

• “莫培督把‘作用量’定义为质量、速度和所通过的距离三者之积 -marketreflections- ♂ (31359 bytes) () 07/27/2010 postreply 12:01:29

• 光子位置算符的不同分量之间彼此不对易（这与光子的横极化特征相关 -marketreflections- ♂ (196 bytes) () 07/26/2010 postreply 19:50:33

• 经典场论：重力是两个物质之间的相互作用 相对论场论 数学上用拉格朗日量来表达。这是一个函数，用于作用原理，并给出场方程和一个该理 -marketreflections- ♂ (3399 bytes) () 07/26/2010 postreply 20:43:59

• 物理好图：我们有一个场张量（可以是任意阶的张量），为简单起见，我们将采用一个标量，φ。我们从这个量和它的导数构造一个标量，称为拉 -marketreflections- ♂ (1532 bytes) () 08/07/2010 postreply 09:19:23

• 力学 能量概念 作用量概念 -marketreflections- ♂ (13334 bytes) () 08/07/2010 postreply 11:06:00

• 当我们用能量概念去思索系统的力学过程时，必须把“能量守恒原理”确立为“公理”．若实验发现动能(活力）不守恒时，我们的态度是不放弃 -marketreflections- ♂ (633 bytes) () 08/08/2010 postreply 09:07:05

• www.riskcenter.com Eugene Peroni -marketreflections- ♂ (307 bytes) () 08/09/2010 postreply 09:29:38

• www.ciovaccocapital.com (图) -marketreflections- ♂ (611 bytes) () 08/09/2010 postreply 09:40:15

• http://cobrasmarketview.blogspot.com/ 大牛市期间，VIX的200日均线会一直保持在20以下 -marketreflections- ♂ (380 bytes) () 08/14/2010 postreply 17:22:20

• "under 20" or "over 30" :the last time the VIX had fallen this l -marketreflections- ♂ (6178 bytes) () 08/14/2010 postreply 18:52:05

• selling January $22.50 call: The 72-cent premium is 3.6% of the -marketreflections- ♂ (4308 bytes) () 08/14/2010 postreply 17:31:56

• www.oftwominds.com: Bollinger Bands offer another charting tool -marketreflections- ♂ (5737 bytes) () 08/14/2010 postreply 17:43:03

• VIX returning, often speedily, to its home between Mr. Upper and -marketreflections- ♂ (2150 bytes) () 08/14/2010 postreply 18:06:28

• http://www.dailyfinance.com/writers/charles-hugh-smith/ (图) -marketreflections- ♂ (6349 bytes) () 08/14/2010 postreply 17:56:32

• EQUITIES Magazine (图) -marketreflections- ♂ (6766 bytes) () 08/14/2010 postreply 18:35:28

• check moneycentral.msn.com earnings estimate dailyfinance.com -marketreflections- ♂ (75 bytes) () 12/15/2010 postreply 17:28:52

• www.roseysoutlook.blogspot.com $SPX/$VIX. It prices the market -marketreflections- ♂ (5882 bytes) () 08/14/2010 postreply 18:59:18

• ur du Plessis ECRI Leading Indicator: Slight Improvement in Gro -marketreflections- ♂ (90 bytes) () 08/15/2010 postreply 08:02:16

• David Taggart,Hussman and Rosenberg ：risk assets are overpriced, -marketreflections- ♂ (2426 bytes) () 08/15/2010 postreply 13:36:11

• Joe Weisenthal：emphasize the Conference Board’s composite leadin -marketreflections- ♂ (2678 bytes) () 08/15/2010 postreply 13:41:39

• data check, imarketnews.com：Next Wk/US: -marketreflections- ♂ (5287 bytes) () 08/15/2010 postreply 14:20:37

• best data check, www.tradingeconomics.com/World-Economy/Calendar -marketreflections- ♂ (59 bytes) () 08/16/2010 postreply 15:30:19

• best data check, www.forexfactory.com/calendar.php?s=b7b4dbde552 -marketreflections- ♂ (75 bytes) () 08/16/2010 postreply 15:42:52

• hedge fund manager：‘Diary of a Very Bad Year’ -marketreflections- ♂ (7622 bytes) () 08/16/2010 postreply 15:56:07

• best daily data check, "appetite aversion risk" -marketreflections- ♂ (75 bytes) () 08/16/2010 postreply 16:13:21

• www.tradingfloor.com yields ended the day close to the low in As -marketreflections- ♂ (3791 bytes) () 08/16/2010 postreply 16:29:26

• http://forex.tradingcharts.com/chart/Australian%20Dollar_US%20Do -marketreflections- ♂ (73 bytes) () 08/16/2010 postreply 18:55:38

• http://www.ac-markets.com/forex-news/daily-snapshot-2010-8-16.as -marketreflections- ♂ (66 bytes) () 08/16/2010 postreply 21:14:04

• Leo Grohowski Robert Sinche shift expectations,in the middle of -marketreflections- ♂ (8648 bytes) () 08/15/2010 postreply 16:24:43

• industrial commodity prices have risen, suggesting that there is -marketreflections- ♂ (7269 bytes) () 08/15/2010 postreply 16:35:55

• http://yrah53.wordpress.com/ 坐标系变换 risk -marketreflections- ♂ (343 bytes) () 08/16/2010 postreply 09:28:34

• This morning the premarket action is modestly weaker with the in -marketreflections- ♂ (1049 bytes) () 08/16/2010 postreply 09:54:09

• Sean Egan："stress point", key "technincal lines" -marketreflections- ♂ (1099 bytes) () 08/16/2010 postreply 14:54:42

• Japanese Yen ："stress point", of carry trade -marketreflections- ♂ (3077 bytes) () 08/17/2010 postreply 11:21:06

• BALTIC DRY INDEX -marketreflections- ♂ (51 bytes) () 08/17/2010 postreply 14:25:54

• Guppytraders.com：Hindenburg Omen -marketreflections- ♂ (4232 bytes) () 08/16/2010 postreply 15:11:14

• 高善文：现在炒新能源正确的部分大概只有15%,最多也不会超过30%。 -marketreflections- ♂ (4363 bytes) () 08/16/2010 postreply 17:57:30

• Johnson & Johnson on a dividend yield of 3.7% ,US Treasuries yie -marketreflections- ♂ (6028 bytes) () 08/16/2010 postreply 21:27:11

• "Donald Broughton goods flow"predicts recession better -marketreflections- ♂ (176 bytes) () 08/17/2010 postreply 08:27:34

• FT rolling Global Market Overview -marketreflections- ♂ (78 bytes) () 08/17/2010 postreply 09:19:18

• yen Risk Aversion currency (图) -marketreflections- ♂ (3191 bytes) () 08/17/2010 postreply 11:17:17

• Wednesday's VIX 'Carpet Bomb' -marketreflections- ♂ (1797 bytes) () 08/18/2010 postreply 09:21:08

• The McClellan Oscillator is negative (suggesting that money is b -marketreflections- ♂ (6347 bytes) () 08/18/2010 postreply 09:27:43

• www.fxtraders.eu：Daily Market Report -marketreflections- ♂ (5670 bytes) () 08/18/2010 postreply 09:40:40

• Per-Erik Karlsson, TA= “资本形成”,密度算符 -marketreflections- ♂ (9337 bytes) () 08/18/2010 postreply 11:32:05

• http://www.nasdaq.com/aspx/mostactive.aspx?exchange=nasdaq&mosta -marketreflections- ♂ (73 bytes) () 08/18/2010 postreply 12:56:25

• Keith McCullough：Star Wars traders -marketreflections- ♂ (8796 bytes) () 08/18/2010 postreply 13:15:25

• 回复：The higher the timeframe, the more powerful the setup and lev -marketreflections- ♂ (6499 bytes) () 08/18/2010 postreply 13:27:15

• www.twsinvestments.com The high frequency trading world has very -marketreflections- ♂ (4337 bytes) () 08/18/2010 postreply 13:34:27

• 在一秒前市获悉场交易的消息，是什么交易呢？ -marketreflections- ♂ (1286 bytes) () 08/18/2010 postreply 14:04:18

• www.housingwire.com -marketreflections- ♂ (27 bytes) () 08/18/2010 postreply 15:10:22

• VIX futures huge premium over the spot VIX -marketreflections- ♂ (247 bytes) () 08/18/2010 postreply 15:33:03

• 能量本征态 -marketreflections- ♂ (4492 bytes) () 08/18/2010 postreply 15:59:11

• 科普一下:杨振宁与非阿贝尔规范场 -marketreflections- ♂ (5806 bytes) () 08/18/2010 postreply 16:06:51

• 规范场 首先解释啥是杨-Mills场：那是为了描述原子核里的核子们(当时认为就是质子和中子）为什么会被紧紧拉在一起，而不会被正电 -marketreflections- ♂ (247 bytes) () 09/05/2010 postreply 09:02:01

• 物理好图：独立的态只是相对于环境（在经济中就是可能契约环境，在宇宙中就是势场环境）而言 -marketreflections- ♂ (3178 bytes) () 08/18/2010 postreply 16:18:29

• 有的粒子，它们的每一道轨迹（更准确地说是波函数）都是为了追求作用量最小 -marketreflections- ♂ (2416 bytes) () 08/18/2010 postreply 16:28:40

• 在宇宙中，势能（交易的价值）从不属于任何一方，永远是相互作用双方的共有财产 -marketreflections- ♂ (1174 bytes) () 08/18/2010 postreply 16:46:08

• 对变量的概率分布需要作假设。一般的研究都选择正态分布，但是其实说不出任何道理 -marketreflections- ♂ (126 bytes) () 11/12/2010 postreply 10:26:53

• 物理好图#1：只要环境改变，就要小心本征态的改变。如果环境的变化导致本征态改变了，原来稳定不变的态（必然是原来本征态的某种叠加） -marketreflections- ♂ (3068 bytes) () 11/12/2010 postreply 10:35:19

• http://unifytruth.vip.bokee.com/ -marketreflections- ♂ (32 bytes) () 11/12/2010 postreply 15:22:42

• http://www.blogchina.com/20100107875933.html -marketreflections- ♂ (44 bytes) () 11/12/2010 postreply 15:24:38

• 物理学家将粒子的作用量定义为负，用“负作用量”取代“作用量”意义更明确 -marketreflections- ♂ (8399 bytes) () 11/12/2010 postreply 17:45:15

• 作用量说白了就是粒子的动能和势能的差动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系 -marketreflections- ♂ (8209 bytes) () 11/12/2010 postreply 19:47:21

• 莱布尼兹认为，以落体运动来说，物体升起的高度是与初速度的平方成正比，因之作用在物体上的力的效应必定是与其重量所给予的速度平方而不 -marketreflections- ♂ (12042 bytes) () 11/13/2010 postreply 07:31:48

• 表示作用量，使∫=10ttTdtII最小的便是真实运动。拉格朗日称之为最小作用量原理 -marketreflections- ♂ (241 bytes) () 11/13/2010 postreply 07:34:04

• 一个由全同粒子组成的多粒子系统的状态，在交换两个粒子“1”和粒子“2”时，我们可以证明，不是对称的 ，就是反对称的 。对称状 -marketreflections- ♂ (31606 bytes) () 11/13/2010 postreply 07:52:57

• 纯量子状态：通过使用适当的过滤，一个已知的量子物理系统，可以被预备到一个一定的状态 -marketreflections- ♂ (1070 bytes) () 11/13/2010 postreply 07:56:13

• 物理学家的希尔伯特空间：这样的X和另一个X_1在H里作“内积”，得到的不是一个数，而是一个delta -marketreflections- ♂ (3578 bytes) () 11/13/2010 postreply 08:04:28

• 动能随速度的增大而增大，势能随高度的增大而增大，机械能吗，乘电梯上升时增大下降时减小。 -marketreflections- ♂ (91 bytes) () 11/13/2010 postreply 09:42:51

• 申璐：氢原子是一个最简单的二体问题，包含一个质子和一个电子，则薛定谔中哈密顿量包含质子动能、电子动能、势能三部分，波函数同时是质 -marketreflections- ♂ (2385 bytes) () 11/13/2010 postreply 09:48:49

• d函数作用的对象是一个函数，而不是一个实数，是一个将函数映射到实数集的映射，于是，人们把它叫做广义函数，有时又叫算子，这是一个有 -marketreflections- ♂ (4604 bytes) () 11/13/2010 postreply 12:32:34

• 测度把集合(研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分)映射到非负实数，带有超集被映射到更大的数 (图) -marketreflections- ♂ (4521 bytes) () 11/13/2010 postreply 12:43:21

• 齐次问题中，由于没有了激励项，也就没有了使源空间上的激励量和场空间上的场量如何相等的问题。所以很长时间以来，在力学问题中人们总是 -marketreflections- ♂ (8632 bytes) () 11/13/2010 postreply 12:48:00

• 频谱密度就象物理中物质密度， 原始信号中的每一个点就象是一个混合物，这个混合物是由不同密度的物质组成的，混合物中含有的每种物质的 -marketreflections- ♂ (8364 bytes) () 11/13/2010 postreply 13:25:32

• 两个函数相乘，为什么定义域是这两个函数的交集？_百度知道2010年9月24日 ... 设f(x)的定义域是A g(x)的定义域为 -marketreflections- ♂ (200 bytes) () 11/13/2010 postreply 13:29:20

• 谱分析方法，本质上是时间分辨率较低的短时傅立叶变换 -marketreflections- ♂ (51 bytes) () 11/13/2010 postreply 19:18:00

• 谱分析本质上是一种拟动力分析，它首先使用动力方法计算质点地震响应，并使用统计的方法形成反应谱曲线，然后再使用静力方法进行结构分析 -marketreflections- ♂ (213 bytes) () 11/13/2010 postreply 19:23:10

• 卷积概念和线性系统的定义 -marketreflections- ♂ (17732 bytes) () 11/13/2010 postreply 19:27:15

• 物理好图：卷积概念和线性系统的定义 一阶线性系统的瞬时响应,谐波响应,为一个指数曲线 -marketreflections- ♂ (1432 bytes) () 11/13/2010 postreply 19:35:23

• 当系统阻尼为弱阻尼的时候，二阶线性系统的步进响应曲线均会产生瞬时过冲的现象。这种过冲现象和阻尼值有关，阻尼值愈小，过冲值就愈大 -marketreflections- ♂ (126 bytes) () 11/13/2010 postreply 19:36:47

• 这个函数用图象表示见图1.2。它的的实数部分是一个偶函数，它的虚数部分是一个奇函数。整个函数以逆时针的方向沿着变量轴螺旋形地前进 -marketreflections- ♂ (918 bytes) () 11/13/2010 postreply 19:48:17

• 频谱分析:函数的基本频率: 利用无界的正余弦函数来描写函数的变化情况，可以对函数在全部时间内或全部空间内的变化起伏的情况有一个整 -marketreflections- ♂ (16043 bytes) () 11/13/2010 postreply 20:03:50

• 物理好图：南京大学数学物理方法 第8章：广义函数和Dirac Delta 函数,"点源","点电荷","质点",以及"脉 冲"经 -marketreflections- ♂ (13722 bytes) () 11/13/2010 postreply 20:22:43

• "脉 冲"广义函数: I'll be giving it only a couple strides to show any i -marketreflections- ♂ (704 bytes) () 11/14/2010 postreply 08:20:45

• 实变中的上极限与下极限？ - 泛函分析用数列的上下极限定义来帮着理解 -marketreflections- ♂ (2116 bytes) () 11/14/2010 postreply 08:35:33

• 博士数学论坛 » 研究生公共数学课 » 泛函分析 -marketreflections- ♂ (46 bytes) () 11/14/2010 postreply 09:22:13

• 冯向军: <<平等遍历论>> 第十八章 因果泛函极值点概念出场 -marketreflections- ♂ (1946 bytes) () 11/14/2010 postreply 09:26:54

• Cauchy收敛准则给出了数列极限存在的充要条件，它的优点在于：无需借助数列以外的数，只要根据数列自身的特性就可以鉴别其敛散性。 -marketreflections- ♂ (4674 bytes) () 11/14/2010 postreply 09:41:33

• 学者王伟华 ：泛函分析 关于微分中值定理 Tayor定理的本质是：对于具有n阶连续导数，且具有n+1阶导数的函数而言，可以用一个 -marketreflections- ♂ (642 bytes) () 11/14/2010 postreply 09:50:09

• 一个函数y0相“邻近”的一切函数，这就向人们暗示:Y 中的函数(“点”)与函数(“点”)之间有着某种衡量远近的几何度量，从而Y是 -marketreflections- ♂ (581 bytes) () 11/14/2010 postreply 09:51:54

• 希尔伯特谱论：实连续积分核K(x，y)是对称的(即K(x，y)=K(y，x))的条件下，获得许多比弗雷德霍姆更深入的结果。例如， -marketreflections- ♂ (894 bytes) () 11/14/2010 postreply 09:54:37

• 希尔伯特谱论：特征值 泛函分析 -marketreflections- ♂ (500 bytes) () 11/14/2010 postreply 11:41:43

• 实变函数的本质内容就是泛函分析，测度论,它与高等数学的区别就在于一个偏于计算，一个偏于理论。泛函分析的基础是实数的7个基本定理， -marketreflections- ♂ (5057 bytes) () 11/14/2010 postreply 10:03:11

• 数列收敛的有界单调准则,实数的“固有大小关系”；建立了实数序结构与拓扑结构之间的关系 -marketreflections- ♂ (1038 bytes) () 11/14/2010 postreply 10:10:47

• “周期三则乱七八糟”：“三体问题”,李天岩完全地证明了这个后来出了名的李－约克定理：若实数轴 R 到其中的连续映射 f 有一个周 -marketreflections- ♂ (1252 bytes) () 11/14/2010 postreply 10:22:04

• 李－约克定理之第二部分才深刻地揭示了混沌的本质特征：混沌动力 .... 学过代数拓扑或非线性泛函分析的人都知道有名的布劳尔不动点 -marketreflections- ♂ (320 bytes) () 11/14/2010 postreply 10:25:28

• 周期1：主要是原场；周期2：主要还是原场，对立统一开始;周期3：对立统一，败家子，牛变熊，新场开始 -marketreflections- ♂ (101 bytes) () 11/14/2010 postreply 10:28:39

• 简论不动点在一般经济均衡证明中的应用- 罗猛 -marketreflections- ♂ (2896 bytes) () 11/14/2010 postreply 11:28:17

• 一个空间的对偶空间与它的本身结构有关：研究奥巴马，如果不好研究它，就研究他的朋友，和他有关系的人 -marketreflections- ♂ (3341 bytes) () 11/14/2010 postreply 11:34:28

• 利用随机李雅普诺夫泛函,特征值方法和线性矩阵不等式方法得到了随机时滞静态神经网络全局渐近鲁棒稳定的充分条件 -marketreflections- ♂ (812 bytes) () 11/14/2010 postreply 11:45:58

• 傅立叶变换:图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的 -marketreflections- ♂ (4407 bytes) () 11/14/2010 postreply 16:11:59

• 在任何一个频率上，都含有同相和正交相两个部分,一组基，比如exp(j)和exp(-j); 商与儒对电磁波的解释，电场x轴和磁场y -marketreflections- ♂ (17725 bytes) () 11/14/2010 postreply 16:26:50

• pku.edu.cn:傅立叶变换的物理 意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是 ... 由于运算过程 -marketreflections- ♂ (368 bytes) () 11/14/2010 postreply 16:31:34

• 陈怀琛 方海燕：傅立叶变换的任务。从它的核已经可以清楚地看到，正是它摒弃（或发展）了原始的频率定义，采用了角频率的概念。单位是 -marketreflections- ♂ (10764 bytes) () 11/14/2010 postreply 16:35:21

• 孤鴻萬里云 小猪的物理世界 负频率表明相位相反，做的是负贡献 -marketreflections- ♂ (1633 bytes) () 11/14/2010 postreply 16:42:14

• 第三章连续信号的正交分解：理论体系是：泛函分析 -marketreflections- ♂ (258 bytes) () 11/14/2010 postreply 16:52:20

• Parseval’s定理的实质 定理的实质 Parseval’s定理的实质是能量守恒：无论从时 域的角度计算能量，还是从频域的角 -marketreflections- ♂ (13846 bytes) () 11/14/2010 postreply 17:47:17

• 一类模拟生物复眼几何结构的数据处理方法：泛函分析 -marketreflections- ♂ (492 bytes) () 11/14/2010 postreply 17:59:57

• [PDF] 2.1 广义粒子动力学 相因子eiA=&sup1;h 系统 路径积分遍历每一时刻所有的位置和动量变量 -marketreflections- ♂ (1245 bytes) () 11/14/2010 postreply 16:59:39

• http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/b11/psfiles-ch/ -marketreflections- ♂ (79 bytes) () 11/14/2010 postreply 17:22:31

• 高斯函数变换后还是高斯函数，洛仑兹函数变换后是震荡衰减函数 -marketreflections- ♂ (3470 bytes) () 11/14/2010 postreply 17:06:40

• 第03讲光谱线增宽 -marketreflections- ♂ (39 bytes) () 11/14/2010 postreply 17:12:06

• 物理好图 谱分析本质上是一种拟动力分析 存在即合理，在德语中的原意是：凡是符合逻辑的，那一定是必然的 -marketreflections- ♂ (2784 bytes) () 11/15/2010 postreply 08:12:15

• 本来价格变化是好事，投机潮一起，逻辑就扭曲了，价格没有信号意义了 -marketreflections- ♂ (9947 bytes) () 11/15/2010 postreply 08:29:36

• 第二章人眼的视觉特性与图像探测 -marketreflections- ♂ (125 bytes) () 11/15/2010 postreply 08:58:10

• 麦克斯韦利用拉格朗日和哈密顿的方法，给出了未来将以自己的大名命名的方程组，并且证明了电磁波的传播速度就等于光速 -marketreflections- ♂ (3335 bytes) () 11/17/2010 postreply 09:20:42

• 奥卡姆剃刀原理:第一个说法明显多了一条假设，但它的解释也不见得比第二种好多少，只不过解释了一样的事实。而第二种简洁明了，达到了一 -marketreflections- ♂ (572 bytes) () 11/17/2010 postreply 09:37:47

• 以太是存在的，以太是不可测度的 -marketreflections- ♂ (164 bytes) () 11/17/2010 postreply 09:39:16

• 一个公理体系一般应该满足这样三个条件。保守场 -marketreflections- ♂ (676 bytes) () 11/17/2010 postreply 09:47:37

• 布朗运动中的花粉正是由于受到水分子的随机碰撞才做这种无规则运动的，以此作为证明分子存在的证据 -marketreflections- ♂ (722 bytes) () 11/17/2010 postreply 09:50:55

• 在所有惯性系中，所有的物理规律都是一样的,力学的,电磁学的 -marketreflections- ♂ (198 bytes) () 11/17/2010 postreply 09:54:08

• 光速速度都是c！三个惯性系看到了三种相异的事件！事件 defined by and it diffs in t and x -marketreflections- ♂ (67 bytes) () 11/17/2010 postreply 09:57:47

• 第二条，在所有的惯性系看来，真空的光速都是一个确定的常数——c！ -marketreflections- ♂ (63 bytes) () 11/17/2010 postreply 09:59:31

• 伽利略变换：蜘蛛's x=兔子's x’+ut’,t=t’ -marketreflections- ♂ (1105 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:02:50

• 低速,时空是均匀的：伽利略变换式x’=x-ut和x=x’+ut’改写成x’=γ(x-ut),γ线性因子 -marketreflections- ♂ (754 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:06:28

• 兔子：ct’=γ(ct-ut) ; 蜘蛛ct=γ(ct’+ut’) -marketreflections- ♂ (862 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:09:35

• 当u很小时，而c却是很大的哟，等于30万呀，那分母就近似等于1，而γ就回到1了！就回到伽利略变换式 -marketreflections- ♂ (672 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:12:33

• 洛伦兹变换式,用你的坐标来表示的兔子 的t’的式子 -marketreflections- ♂ (575 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:15:22

• 时间膨胀: μ子以0.9966c的速度“飞翔”时，它走过了8000米，8公里！时间膨胀 -marketreflections- ♂ (1051 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:38:05

• 在经典物理学的时空观里面，时间间隔是绝对的 -marketreflections- ♂ (889 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:39:45

• E2=m02c^4+p2c2,无质量的粒子必须以光速运动！静能零，无势场? -marketreflections- ♂ (602 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:46:52

• 爱因斯坦质能方程E=mc2是怎么推导出来的？ -marketreflections- ♂ (2308 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:50:30

• 广义相对论：光子是具有引力质量 -marketreflections- ♂ (3996 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:55:25

• 狭义相对论也是符合因果律的时间次序要求 -marketreflections- ♂ (1157 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:57:54

• 闵可夫斯基把t换成了ict。i呢，就是虚数单位，也就是√-1。c则是光速 -marketreflections- ♂ (451 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:00:06

• 场内信息成本低，调整快:当u很小时，u2/ c2趋于０,伽利略变换式中，认为t＝t’，说到本质上，就是承认了无限大信号传播速度的 -marketreflections- ♂ (765 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:21:53

• 按照牛顿的理解，引力的传递是不需要时间的，它可以不知不觉地霎那间从这里传到了那里。为了取缔这种超距作用，类比电荷之间依靠电场来相 -marketreflections- ♂ (1137 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:05:27

• 惯性质量确实等于引力质量: 两个小球都是无初速度释放，而且走过了相同的位移，更是同时落地！很明显，它们的加速度必定是一样的 -marketreflections- ♂ (1128 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:07:31

• 对于动力学效应来说，引力场跟非惯性系是不可区分的！等效 -marketreflections- ♂ (1198 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:10:06

• 局域的真实引力场和局域的非惯性系是不可区分的！：整个地球吧，我们着实找不到一个和它等价的非惯性系！ -marketreflections- ♂ (429 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:12:19

• 欧美各国文化相互等价测度，老中等价难找 -marketreflections- ♂ (90 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:14:50

• 广义相对性原理：惯性系可以用牛顿第一定律（就是物体在不受外力时的运动状态那条）来描述，那么，非惯性系也应该可以吧？牛顿第一定律对 -marketreflections- ♂ (602 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:16:41

• 曲线: 这就跟球面的小蚂蚁一样，它走的是球面上的直线 -marketreflections- ♂ (2729 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:19:46

• 物理好图 聊聊狭义相对论 -marketreflections- ♂ (287766 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:25:11

• 双生子徉谬：each other 相对高速运动,站在弟弟的立场来说，是哥哥时间过得更慢更年轻；而站在哥哥的角度上看，却应该是弟弟 -marketreflections- ♂ (985 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:26:11

• 双生子徉谬过程复杂 先从静止开始加速，达到既定速度之后，才能进行匀速直线的航行；然后要想回来，就得转身呀，得掉头，所以就必须先减 -marketreflections- ♂ (1183 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:29:39

• 无数的微观粒子从太空中向着我们射过来,中子，它的寿命就有886.7（误差±1.9）秒，它到了晚年，就会衰变成为一个质子和一个电子 -marketreflections- ♂ (831 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:34:13

• 原子吸收光谱法 -marketreflections- ♂ (39 bytes) () 11/15/2010 postreply 11:49:50

• 物理学2/第16章电子和原子/ 原子壳层.ppt -marketreflections- ♂ (542 bytes) () 11/15/2010 postreply 13:46:40

• 对于原子的 只考虑开壳层 -marketreflections- ♂ (312 bytes) () 11/15/2010 postreply 13:55:06

• 物理好图：物理学2/第16章电子和原子/ 原子壳层.ppt -marketreflections- ♂ (56 bytes) () 11/15/2010 postreply 16:45:17

• David Woo: MACD was 0.0753 today, above the signal line of minus -marketreflections- ♂ (2684 bytes) () 11/16/2010 postreply 09:05:28

• 物理好图：傅立叶变换 用具有不同频率的相位复数矢量来贴合这个函数，这样所获得的是一个以频率为变量的新的复数函数 (图) -marketreflections- ♂ (12175 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:25:46

• F(sin（wt）) 会在正负 w处有一个相等脉冲。两个脉冲的和 正比于正余弦的幅值 -marketreflections- ♂ (500 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:34:02

• 单脉冲信号与周期化后的周期信号的傅立叶变换之间的关系 -marketreflections- ♂ (345 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:44:16

• 信号与系统 作者：乐正友 -marketreflections- ♂ (286 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:52:05

• 0频处有一个冲击 直流分量在时域中表现为平行于x轴的一条直线：频谱上，0频那里有幅度的话，就是直流分量 出了直流分量还有基波、二 -marketreflections- ♂ (4136 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:59:47

• 纯粹的直流是很难获得的，要求不能有丝毫的波动，任何波动傅立叶展开是由频率为零的直流分量和频率大于零的交流分量共同组成 -marketreflections- ♂ (5922 bytes) () 11/14/2010 postreply 21:03:51

• 任一信号可以近似地分解为许多矩形脉冲的叠加 任一信号可以分解为直流分量和交流分量(t)之和，其中信号的直流分量 即信号的平均值 -marketreflections- ♂ (2372 bytes) () 11/14/2010 postreply 21:12:42

• 《信号处理原理》清华大学 -marketreflections- ♂ (38 bytes) () 11/14/2010 postreply 21:15:41

• 真正的、严格的、可以物理实现的状态就是L^2(R) =H中的态矢，不多不少。象|x》,|p》这样的东西，并不能真正实现。但这并不 -marketreflections- ♂ (614 bytes) () 11/13/2010 postreply 08:07:12

• Michael Atiyah：二十世纪的数学 -marketreflections- ♂ (34202 bytes) () 11/13/2010 postreply 08:11:37

• 量子场理论就属于无穷自由度系统 泛函分析 -marketreflections- ♂ (971 bytes) () 11/13/2010 postreply 09:23:53

• 由于φ是具有连续无穷维自由度系统，每一维自由度都会不断发射或吸收虚光子、及由于真空极化形成的正负虚电子对的产生与湮灭，它与电子场 -marketreflections- ♂ (7499 bytes) () 11/13/2010 postreply 09:40:28

• 相对论性量子力学里，我们发现Hilbert空间再也不能完备所有的波函数了，我们必须引入非定度规的线性向量空间。在非定的度规下，波 -marketreflections- ♂ (609 bytes) () 11/12/2010 postreply 19:49:11

• 普朗克發現如果它把電磁波駐波振幅的能量當作不連續，且其基本單位的大小正比於頻率則他的預測光譜形狀就與實驗完全吻合。他進一步由實驗 -marketreflections- ♂ (4860 bytes) () 11/12/2010 postreply 19:56:40

• 物理:冗余并不是多余,相关性? -marketreflections- ♂ (1969 bytes) () 11/12/2010 postreply 20:19:14

• 爱丁顿说，可能作用量就是概率的函数，然而当把一些概率连乘，则作用量就相加，从而作用量可以认为是概率的对数。由于概率的对数是负数， -marketreflections- ♂ (2638 bytes) () 11/12/2010 postreply 20:24:12

• 爱丁顿提出在广义相对论中对作用量这一概念意义的极为精细、深刻的说法。他指出：对时空连续统而言，作用量扮演着类似于能量在空间关系上 -marketreflections- ♂ (218 bytes) () 11/12/2010 postreply 20:26:00

• 作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度 :多维空间的点代表动力学系统的观点开始起着很重要的作用。在这种情 -marketreflections- ♂ (31522 bytes) () 11/12/2010 postreply 20:52:12

• 爱因斯坦-希尔伯特作用量：作用量是曲率的量度，即决定质点运动的四维连续统的基本特性的量度 :多维空间的点代表动力学系统的观点开始 -marketreflections- ♂ (1093 bytes) () 11/13/2010 postreply 06:00:31

• 标量 O(n) 规范场论：该系统用一个作用量(拉格朗日量)表示，它是每个标量场φi的作用量之和 (图) -marketreflections- ♂ (662 bytes) () 11/13/2010 postreply 06:06:08

• 伽利略:确定打击的力和活力,动能定理的演化，《理论力学》教材，区分矢量方法和能量方法，把动能定理与拉氏方程并列作为能量方法的一部 -marketreflections- ♂ (11908 bytes) () 11/13/2010 postreply 06:15:49

• 陈立群的博客 《理论力学》教材时，就是明确区分矢量方法和能量方法，把动能定理与拉氏方程并列作为能量方法的一部分。这样不完全是从逻 -marketreflections- ♂ (468 bytes) () 11/13/2010 postreply 06:20:49

• 如：“两个物体相互碰撞时，它们的质量乘其速度平方之和在碰撞前后保持 -marketreflections- ♂ (538 bytes) () 11/13/2010 postreply 07:21:31

• 多个时间尺度下的，由地缘带来的架构于不同心理文化层面上的中西方政治经济的对抗合作史。 -marketreflections- ♂ (493 bytes) () 11/13/2010 postreply 06:29:33

• 中国的人情味只发生在自己的圈圈，也就是所谓的友情、亲情。我们的人情味是有限制的，超过了界限连人味都没有了 -marketreflections- ♂ (369 bytes) () 11/13/2010 postreply 06:42:12

• 静力学的两种路线：一条路线是直接研究力的性质与平衡，我们现今采用的工程力学教材中，大多是沿着这条路径展开讨论的；另一条路线是研究 -marketreflections- ♂ (402 bytes) () 11/13/2010 postreply 07:38:00

• 从虚功原理开始的分析力学 -marketreflections- ♂ (639 bytes) () 11/13/2010 postreply 07:40:11

• 物理好图：我仅仅发现了谁是上帝以及它们为什么是上帝，也就是说，成为上帝具有了可操作性 -marketreflections- ♂ (180 bytes) () 11/12/2010 postreply 10:45:45

• 物理好图: 选举制度就是在行政首脑之间构成竞争，但是竞选周期过长往往造成空许诺言的弊病，而且对长时间之后的政策做出承诺也是不正确 -marketreflections- ♂ (3889 bytes) () 11/12/2010 postreply 10:51:30

• 物理好图：时空是局部性的，有限真理，bidu 涨是有限真理 -marketreflections- ♂ (5580 bytes) () 11/12/2010 postreply 10:58:21

• 竞选周期过长往往造成空许诺言的弊病，而且对长时间之后的政策做出承诺也是不正确的。所以，应该使竞争时刻存在，竞选者只需要对短时间内 -marketreflections- ♂ (178 bytes) () 11/12/2010 postreply 11:00:30

• 商品对社会的价值应该按照预期价值来判断。商品的预期价值和卖价有巨大的差别。一件商品的预期价值是按照它的存在和不存在对社会影响的差 -marketreflections- ♂ (3439 bytes) () 11/12/2010 postreply 11:10:04

• 微软采用“正版认证计划”之后应该可以对遗失windows、office光盘按照边际成本补盘 -marketreflections- ♂ (3450 bytes) () 11/12/2010 postreply 11:21:30

• 粒子在无限的空间中自由选择自己的状态，这是完美的市场选择权：独立的态只是相对于环境（在经济中就是可能契约环境，在宇宙中就是势场环 -marketreflections- ♂ (222 bytes) () 11/12/2010 postreply 11:31:45

• 宇宙中无数的粒子相互作用关系就相当于无穷无尽的供求关系，这是实现完美追求的第一要素。因此，经济发展的关键是大量增加商品的数量和品 -marketreflections- ♂ (209 bytes) () 11/12/2010 postreply 11:33:24

• 独立是一个完美追求方法。在宇宙中，每个粒子都具有独立的追求能力，不依赖于其它粒子。在人类社会中，每个人也应该是独立的，而未成年人 -marketreflections- ♂ (296 bytes) () 11/12/2010 postreply 11:37:11

• 在宇宙中，数不清的粒子时时刻刻在交易并从中获利，这表明，交易是完美追求方法。在不牵涉基本制度的时候，解决问题的最佳方法永远是交易 -marketreflections- ♂ (249 bytes) () 11/12/2010 postreply 11:40:43

• 在足够短时间内，追求量是趋近于0的，但是追求量密度在很短时间内是一个稳定的值 -marketreflections- ♂ (4379 bytes) () 11/12/2010 postreply 11:52:50

• 在经济中，幸福随欲望和商品变化的模糊性较小，这种稳定性是千百年来通过交换而逐步实现的 -marketreflections- ♂ (474 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:04:14

• 人因此更加是微观的，流形的:每个粒子虽然很小，但是其生命的价值是无限大，因为他们有无限长的寿命 -marketreflections- ♂ (234 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:26:13

• 边际动力学:在宇宙中，能量-动量是对于时空中位移的边际负作用量；在经济中，对一种商品的欲望是消费最后一个单位该种商品获得的边际幸 -marketreflections- ♂ (1778 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:35:51

• 前文已经阐述了长期合同侵犯了未来欲望的自由，对爱情也不应该作出长期承诺，而婚姻是典型的长期契约，对退出契约施加了很多限制，为了保 -marketreflections- ♂ (218 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:37:30

• 每个粒子每一时刻只决定自己下一时刻的运动，这表明，在完美追求系统中，每一时刻的欲望只能代替未来极短时间的欲望进行决策，长期合同是 -marketreflections- ♂ (1611 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:40:09

• 经验经济，租经济货币流动快 -marketreflections- ♂ (4592 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:48:03

• 有些原子核自宇宙诞生以来一直没有改变，寿命长达几百亿年，但是他们没有获得任何优待，他们长寿部分是由于自身结合能高，部分是由于环境 -marketreflections- ♂ (2661 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:50:57

• 消费与生产对应于正负电荷，价格分布对应于电磁场;粒子的唯一优势就是掌握了真理，付诸实施后就建立起了完美的追求系统 -marketreflections- ♂ (1847 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:53:54

• 在物理学中，空间是连续的、单连通的，这是定律、公理，但是在目的论解释中，这意味着建立统一、自由的市场，是追求系统的最好市场组织方 -marketreflections- ♂ (1190 bytes) () 11/12/2010 postreply 12:56:41

• http://www.unifytruth.com/ -marketreflections- ♂ (1033 bytes) () 11/12/2010 postreply 13:02:28

• 在十岁之前要赶上天才可能也要多工作成千上万个小时，但是在20岁之前赶上可能就只需要多工作几百个小时，这是指数增长的特色 -marketreflections- ♂ (741 bytes) () 11/12/2010 postreply 13:06:56

• 阈值;“一分汗水一分收获”只有在固定方法的条件下才是近似成立的 -marketreflections- ♂ (1022 bytes) () 11/12/2010 postreply 13:09:24

• 由于多普勒效应，随着追求者的加速，光的能量在该追求者看来会逐渐降低，这就相当于经济学中的边际递减，固定方向的能量就相当于固定资源 -marketreflections- ♂ (4430 bytes) () 11/12/2010 postreply 13:14:51

• TraderMark http://www.fundmymutualfund.com/ -marketreflections- ♂ (32 bytes) () 11/12/2010 postreply 13:20:38

• 连续两个1%的边际递增比连续两个1%的边际递减幅度更大 -marketreflections- ♂ (4430 bytes) () 11/12/2010 postreply 13:29:10

• 在顶段100，1%，then 1% 能量要求大于 -1%，-1% -marketreflections- ♂ (152 bytes) () 11/12/2010 postreply 13:39:22

• http://www.unifytruth.com/bioch.html -marketreflections- ♂ (36 bytes) () 08/18/2010 postreply 16:51:38

• Conor Sen Tracking the Liquidity Trade, (图) -marketreflections- ♂ (5901 bytes) () 08/19/2010 postreply 09:08:13

• sectors -marketreflections- ♂ (1304 bytes) () 08/19/2010 postreply 14:39:29

• 古道老井的博客 -marketreflections- ♂ (52 bytes) () 08/19/2010 postreply 15:53:08

• 定期存款也称为货币，但属于M2货币，它代表的货币量与纸面印的数量不一致。印的数量代表的是未来某个具体时期的货币量，到时候能不能兑 -marketreflections- ♂ (6949 bytes) () 08/19/2010 postreply 16:16:47

• 因为有这些模糊性，大家对这些模糊货币的预期不同,定价权一定是掌握在最有力量的拳头手里 -marketreflections- ♂ (25 bytes) () 08/19/2010 postreply 16:18:14

• 康德对分析判断和综合判断的区分,分析判断不增加知识,唯有综合判断才是增加知识的 -marketreflections- ♂ (26336 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:03:23

• 康德,，“一切单身汉都未婚”这一陈述是分析性的，而“一切单身汉都不想结婚”则是综合性的 -marketreflections- ♂ (229 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:16:54

• 黑格尔：对分析与综合作了辩证的解释 -marketreflections- ♂ (2128 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:37:47

• 康德的著名论断就是：人是万物的尺度,古典哲学中的真理被看成是语言与事物的一致相应，康德问道：这种一致如何才成为可能？ -marketreflections- ♂ (5943 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:09:09

• 康德,绵延，持续和共存,第一类推是实体永恒性原理。第二类推是持续状态的确定秩序原理，而第三类推是交相作用或共同相处的原理。康德认 -marketreflections- ♂ (2585 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:14:29

• 哲人论孤独和独处 -marketreflections- ♂ (1245 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:19:29

• 杨振宁与非阿贝尔规范场：一个人如果自身具备足够的内涵，以致根本没有与别人交往的需要 -marketreflections- ♂ (6397 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:59:24

• 反者道之动，老子提出弱者道之用。所谓弱者道之用，也即是守中、守雌，常无，常有。换句话说，保持始源的状态，坚守在生命的原点 -marketreflections- ♂ (23458 bytes) () 08/22/2010 postreply 08:13:54

• 智者：烟民们吸烟，不过是贪恋于一时的快乐,语言 (点)的低维性, -marketreflections- ♂ (5669 bytes) () 08/22/2010 postreply 08:26:44

• 数学闲话：“结构”不是一种实物，而是一种关系 -marketreflections- ♂ (2990 bytes) () 08/22/2010 postreply 08:34:21

• 数学闲话由运算产生的关系然后定义出数学结构，这样的数学结构我们叫它“代数结构”， -marketreflections- ♂ (3236 bytes) () 08/22/2010 postreply 08:38:01

• 如何分摊秘密：这是一个被多个个体所分摊的秘密。每个个体都不单独掌握秘密，但是在所有个体一起决定要揭开秘密时，他们就能够知道完整的 -marketreflections- ♂ (3902 bytes) () 08/22/2010 postreply 08:44:28

• 后相对论时代的先验哲学 -marketreflections- ♂ (19585 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:25:19

• 由于空间是弯曲的，时间一进入空间，就失去了线性的特征，也呈现为弯曲的 -marketreflections- ♂ (25032 bytes) () 08/22/2010 postreply 07:33:37

• 海德格尔所理解的“道” (图) -marketreflections- ♂ (16615 bytes) () 08/24/2010 postreply 10:48:30

• 张祥龙：海德格尔所理解的“道” -marketreflections- ♂ (531 bytes) () 08/24/2010 postreply 10:51:22

• 西方哲学建立在可“说”之上，不可“说”时也可以认为哲学已死，但如果换种方式来看，哲学并未死，而是在更高的层次永生。 -marketreflections- ♂ (20679 bytes) () 08/24/2010 postreply 11:05:22

• “dark pool”：Chi-X accounts for 25 per cent of trading in FTSE 10 -marketreflections- ♂ (3676 bytes) () 08/24/2010 postreply 11:09:43

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• Tyler Durden ：How To Predict Market Capitulation Days -marketreflections- ♂ (10003 bytes) () 08/25/2010 postreply 11:17:25

• zerohedge.com,investment-analytics.com,‘STEEPENERS’：&#1048708;Be -marketreflections- ♂ (1739 bytes) () 08/25/2010 postreply 11:36:18

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• http://www.cboe.com/DelayedQuote/DQBeta.aspx -marketreflections- ♂ (44 bytes) () 08/26/2010 postreply 14:31:23

• 04112010:The Spot VIX is currently trading at 16.62, while May f -marketreflections- ♂ (3440 bytes) () 08/26/2010 postreply 14:38:31

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• http://www.surlytrader.com/ -marketreflections- ♂ (167 bytes) () 08/26/2010 postreply 15:03:41

• ftalphaville.ft.com, Izabella Kaminska -marketreflections- ♂ (11326 bytes) () 08/26/2010 postreply 15:18:11

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• With a VIX at 25, we can expect the S&P 500 to trade up or down -marketreflections- ♂ (150 bytes) () 08/26/2010 postreply 15:44:59

• http://uptrendingequity.blogspot.com/ The longer I trade, the le -marketreflections- ♂ (2378 bytes) () 08/26/2010 postreply 16:00:03

• 08/05/10 ：VIX 22.22,aug 24, sept 27.45 -marketreflections- ♂ (2283 bytes) () 08/26/2010 postreply 16:22:49

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• forum.incrediblecharts.com:caution against buying at apparent in -marketreflections- ♂ (36879 bytes) () 08/27/2010 postreply 15:22:59

• Michael Kahn：www.quicktakespro.com/blog (图) -marketreflections- ♂ (5001 bytes) () 08/27/2010 postreply 15:48:19

• http://quicktakespro.blogspot.com: H&S, if prices dip to the Jul -marketreflections- ♂ (227 bytes) () 08/27/2010 postreply 15:54:35

• Michael A. Alexander ： P/R is 2.4 standard deviations above the -marketreflections- ♂ (8061 bytes) () 08/27/2010 postreply 16:14:15

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