物理好图：南京大学数学物理方法 第8章：广义函数和Dirac Delta 函数,"点源","点电荷","质点",以及"脉 冲"经

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第8章：广义函数和Dirac Delta 函数

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第8章:广义函数和Dirac Delta 函数 8.1 广义函数的定义 8.2 广义函数的运算法则 8.3广义函数的Fourier变换 8.4 弱收敛和Dirac Delta 函数 1 8.1 广义函数的定义经典函数 对每一个x∈E, 有唯一确定的数 f(x)∈R1 与之 对应,则称 f 是定义在 E 上的一个函数. R1 E 对 应 经典函数——数与数的对应关系! 2 经典函数的困难 "点源","点电荷","质点",以及"脉 冲"经典函数无法描述! 例 0, if t h 显然函数的积分为 "1" 并且与 h 无关 1/h O h t 3 δh ∫ ∞ ∞ δ h (t )dt = ∫ h 0 1 dt = 1 h 但当 h→0, 函数本身的变化 0, if t h 关,而有意义! =δ(x) 显然,这样的极限无意义!但是,函数的积分与 h 无 物理上,可以认为 h→0 的过程为:信号宽度 变窄,但能量保持不变. 4 因此,必须推广函数的定义,新的定义: (1) 反映通常的数量关系, 能包含经典函数在内, 且又能反映物理上"点源"分布问题; (2) 可求任意阶导数, 对经典函数, 新定义应与之 一致; (3) 推广的函数对求导,求积和求极限可任意交 换运算. ——广义函数 5 基本函数(试验函数 ) 空间D为所有在Rn中无穷可微且在不同有界域外 恒等于零的函数组成的空间 D( R ) ≡ C ( R ) n n ∞ 0 D中函数序列{n}收敛于零定义为 (1)所有 n 在某同一有界域K外恒为零 (2) {n}及其各阶导数在K上一致收敛于零, 记作 n → 0( D) 6 D中函数例子 b2 exp 2 a x 2 , | x | 0 f (cx) ( x)dx = 1 ∞ ∫ f ( x) ( x / c), c 0 17 [H ' ( x), ( x)] = ∫0 ′( x)dx = ( x) | ∞ = (0) = [δ ( x), ] 0 ∞ H ′( x) = δ ( x) 例2:计算广函 δ( x a) 的导数 [δ ' ( x a), ( x)] = [δ ( x a), ' ( x)] = ' (a) [δ (k ) ( x a), ( x) = (1) k ( k ) (a) ] ——可见δ-函数的导数只能用泛函来表示, 而H(x) 的导数可用δ-函数写成显式. 形式上, δ-函数的导 数可表示成微分算子 d dδ( x a) = δ( x a) dx dx 18 例3:g(x)=δ ′(x)函数, 卷积为 [ f g , ( x)] = { f ( x), [δ ′( y ), ( x + y )]} = [ f ( x), ′( x)] = [ f ′( x), ( x)] f * δ ′ = δ ′ * f = f ′( x) δ ( n ) * f = f ( n ) ( x) 例4:对存在第一类间断点的函数f(x), 证明卷积 为 ∫ +∞ ∞ 1 f ( y )δ ( y x)dy = [ f ( x + 0) + f ( x 0)] 2 证明:设f(x)在x0点存在第一类间断点 19 f(x) f(x) fc(x) h x0 x0 令: ( x) = f c ( x) + hH ( x x0 ) ——fc(x)是连续函数 f h = f ( x0 + 0) f ( x0 0) +∞ +∞ ∫ ∞ f ( y )δ ( y x0 )dy = ∫ +∞ ∞ [ f c ( y ) + hH ( y x0 )]δ ( y x0 )dy +∞ ∞ 20 = ∫ f c ( y )δ ( y x0 )dy + h ∫ H ( y x0 )δ ( y x0 )dy ∞ 首先看第二个积分 ∫ +∞ ∞ H ( y x0 )δ ( y x0 )dy +∞ 因此 dH ( y x0 ) = ∫ H ( y x0 ) dy ∞ dy +∞ 1 +∞ 1 2 1 2 = ∫ dH ( y x0 ) = H ( y x0 ) = ∞ ∞ 2 2 2 ∫ +∞ ∞ f ( y )δ ( y x0 )dy h 1 = f c ( x0 0) + = [ f ( x0 + 0) + f ( x0 0)] 2 2 对连续点x≠x0,上式显然成立! 21 同样可得 df ( x) lim = lim f c′( x) + hH ′( x x0 ) x → x0 ± 0 dx x → x0 ± 0 = lim f c′( x) + [ f ( x0 + 0) f ( x0 0)]δ ( x x0 ) x → x0 ± 0 因此存在第一类间断点的函数f(x)的导数为 ′ f 左 ( x) df ( x) = [ f ( x0 + 0) f ( x0 0)]δ ( x x0 ) + ′ dx f 右 ( x) 例5:求下列函数的导数 ln | x |, x > 0 ln x = ln( | x |), x 0 ln | x |, x > 0 ln x = = ± iπ ln(e | x |), x a, =0, 在半径为r=a和r=ε 的球壳内应用Green公式 2 1 1 2 1 dτ = ∫∫ dS ∫∫∫r ε r r r r r r ε 24 在r>ε区域: 1 =0 r 2 在r=a的球面上, =0.因此只有r=ε球面上的贡 献 1 1 2 ∫∫∫r ε r dτ = ∫∫r =ε r r r r dS 在r=ε球面上 2 1 1 ∫∫r =ε r r dS = ε ∫∫r =ε r ε dd = O(ε ) 1 1 dS = 2 ∫∫ ε 2 dd = ∫∫ dd ∫∫r =ε r r r =ε ε r =ε 25 因此 21 dτ = lim ∫∫ dd , = lim ∫∫∫r ≥ε ε →0 ε → 0 r =ε r r = 4π (0,0,0) = 4π (δ , ) 2 故得到 1 = 4πδ ( x)δ ( y )δ ( z ) ≡ δ (r ) r 2 26 8.3 广义函数的Fourier变换首先考虑经典函数 因为 1 Ff = (2π ) n / 2 ∫ f (t )e ir t d n t 1 ir t n f ( t )e d t ( r ) d n r ( Ff , ) = ∫ (2π ) n / 2 ∫ 1 ir t n n = ∫ f (t ) (r )e d r d t = ( f , F ) n/2 ∫ (2π ) 27 于是,对一般的广函 f , 可以定义其Fourier变换为 广函 (Ff , ) = ( f , F ) 问题: F 不一定属于D! 因此 F 不一定都可作 为 D 中的试验函数! 寻找新的函数空间,定义广义函数! 其Fourier变换仍属这个空间, 这样就可以由上式定 义广函的Fourier变换 28 1,空间局域函数 Rect(t) 谱域扩散函数 0.8 PSD 0.6 |h (f)| 2 0.4 0.2 -t0 t0 t 0 -1.5 -1 -0.5 0 Frequency 0.5 1 1.5 1, | t | t0 F (ω ) = t 0 2 sin ω t 0 π ω t0 29 2,空间速降函数 1.2 谱域速降函数 0.4 a =1.0 a =1.0 0.9 0.3 0.6 h(k) f(x) 0.2 a =2 0.3 a =5 a =2 0.1 a =5 0 -2 -1.5 -1 -0.5 0 x 0.5 1 1.5 2 0 -8 -6 -4 -2 0 k 2 4 6 8 f ( x) = e ax 2 1 F (k ) = e 2a k2 4a 30 1,由速降函数组成的空间L(Rn)中的函数具有这 样好的性质. 显然D(Rn)是L(Rn)的一个子空间 L( R n ) D( R n ) 2,因为D中的元素总可视为速降函数. 因此, 我 们定义广函 f 的Fourier变换为广函 (Ff , ) = ( f , F ), ∈ L( R n ) 3,因速降函数的Fourier变换仍是速降函数, 故仍 是试验函数. 上式右边确实能定义一个广函, 这个 广函即是f的Fourier变换. 31 例1:求 δ( x a ) 的Fourier变换. (Fδ , ) = [δ ( x a ), F ] 1 ixξ = δ ( x a ), ∫ (ξ )e dξ 2π 1 1 iaξ = (ξ )e dξ = (e iaξ , ) ∫ 2π 2π F[δ ( x a)] = 1 2π e iaξ 1 F[δ ( x)] = 2π ——δ-函数的谱为常数.脉冲含有丰富的频率 成分. 32 例2:求f(x)=1的Fourier变换.根据经典的Fourier 变换理论, f(x)=1的Fourier变换不存在, 但在广函 意义下则存在. 1 2π 证明: 由定义 ∫ ∞ ∞ 1 e ikx dk = 2π δ ( x) [F(1), ] = (1, F ) ≡ (1, φ ) 其中 = ∫ φ ( x)dx = ∫ φ ( x)ei0 x dx ∞ ∞ 1 +∞ +∞ 1 φ (k ) = F( ) ( x) = F (φ ) = 2π ∫ +∞ ∞ φ (k )eikx dk 33 即 因此 1 (0) = 2π ∫ +∞ ∞ φ (k )e i0k dk [F(1), ] = (1, F ) ≡ (1, φ ) = 2π (0) = 2π (δ , ) 于是 即 1 2π δ ( x) = F(1) = 2π F (1) 1 δ ( x) = = 2π 2π ∫ +∞ ∞ 1 eikx dx ∫ +∞ ∞ e ikx dx 34 对二维情况 δ (r ) ≡ δ ( x)δ ( y ) = 对三维情况 1 (2π ) 1 (2π ) 3 2 ∫ +∞ ∞ e i ( kx x + k y y ) dxdy δ (r ) ≡ δ ( x)δ ( y )δ ( z ) = = 1 (2π )3 ∫ +∞ ∞ e i ( kx x + k y y + kz z ) dxdydz ∫ +∞ ∞ eik r d 3 r 例3 求Heaviside函数的Fourier变换 1, x > 0 H ( x) = 0, x 0 sgn( x) = 0, x = 0 1, x 0 1 + ∞ sin ωx sgn( x) = ∫ dω = 0, x = 0 π ∞ ω 1, x 0 2π 1 + ∞ e sgn( x) = 2π ∫∞ ω dω = 0, x = 0 iπ 1, x 1 / k ( f k , ) = ∫∞ f k ( x) ( x)dx = ( x ) ∞ 显然有 当 故 于是 k → ∞, ( x ) = (0) k →∞ lim ( f k , ) = (0) lim f k = δ ( x ) k →∞ 40 ( x ξ )2 lim exp = δ (x ξ ) 2 t →0 2a π t 4a t 2 1 1 r lim = δ ( ) 2 r →1 2π 1 2r cos( ) + r 1 sin kx lim = δ ( x) k →∞ π x 1 ε lim = δ ( x) 2 2 ε →0 π x + ε 1 41 如果{fk}弱收敛到 f, 则微分和极限运算能交换次序 f k f lim = k →∞ x xi i 例:分析Fourier 级数 sin nx f ( x) = ∑ n n =1 k sin nx f k ( x) = ∑ n n =1 因此 k f k = ∑ cos nx x n=1 ∞ 0 π 2π x 周期为2π 的周期函数 42 另一方面,直接求导 +∞ f 1 = +π δ ( x 2πn) 2 x n = ∞ ∑ 所以 ∞ +∞ 1 ∑ cos nx = 2 + π n∑ δ ( x 2πn) n =1 = ∞ 43 Dirac Delta 函数 δ(t) 函数可看作满足运算法则的算符 ∫ 或者 +∞ ∞ δ (t ) f (t )dt = f (0) 其中 f(t) 是任意一个在 t=0 点连续的函数. ∞ ∞, t = 0 δ (t ) = , 且有:∫ δ (t )dt = 1 ∞ 0, t ≠ 0 严格地,上式定义是一个极限过程 ∫ +∞ ∞ δ (t ) f (t )dt = lim ∫ δ h (t ) f (t )dt h →0 ∞ h ∞ 事实上, 有许多函 数序列满 足上列极 限过程, 因而可定 义δ(t) . = lim ∫ h →0 0 f (t ) f (θh) dt = lim h = f (0) h →0 h h 44 (1)sinc 函数序列 sin Kt δ (t ) = lim K →∞ πt 6 5 4 K= 8 K= 16 3 s inKt/(pi*t) 2 K= 4 1 0 -1 -2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 t 0.5 1 1.5 2 45 (2) 函数序列 a δ (t ) = lim 2 2 a →0 a + t 60 50 a = -0.02 40 a /(a 2 + t 2 )/pi 30 a = 0.04 20 a = 0.1 10 0 -0.5 -0.3 -0.1 t 0.1 0.3 0.5 46 (3) 函数序列 t2 δ (t ) = lim exp 4a a → 0 2 πa 1 10 8 a = 0.001 6 4 a = 0 .005 2 a = 0.00 25 0 -1 -0 .6 -0.2 t 0.2 0.6 1 47 多维δ函数和其他形式的δ函数一,多维δ函数定义为 y δ ( x1 , x2 ,...., xn ) = δ ( x1 )δ ( x2 ) ... δ ( xn ) 二,平面极坐标 ρ x δ ( x )δ ( y ) = δ ( r )δ ( ) r ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ ∞ δ ( x )δ ( y )dxdy = ∫ ∫ ∞ 2π δ ( r )δ ( ) r 0 1 0 0 rdrd = 1 三,柱坐标 δ ( x )δ ( y )δ ( z ) = 1 ρ δ ( ρ )δ ( )δ ( z ) 48 体积元 d 3r = dxdydz = rdrd dz 四,球坐标 z (x,y,z) r o δ ( x)δ ( y )δ ( z ) 1 = 2 δ (r )δ ( )δ ( ) r sin 体积元 x ρ y d 3r = dxdydz = r 2 sin drd d 49 例一,求 f(t)=sinω0t 的 Fourier 变换 解 1 ∞ F (ω ) = sin ω 0 te iωt dt 2π ∞ 1 ∞ i (ω 0 ω )t = [e e i (ω 0 +ω )t ]dt 4πi ∞ 1 = 2i [δ (ω 0 ω ) δ (ω 0 + ω )] ∫ ∫ 即 1 F (ω ) = [δ (ω0 ω ) δ (ω0 + ω )] 2i 50 例二,求F(ω)=ωsinωt0 的逆 Fourier 变换 解 f (t ) = ∫ ∞ ∞ ω sin ωt0 e dω = i i ωt ∫ ∞ ∞ sin ωt0 ( d i ωt e )dω dt 即 d ∞ 1 iω ( t 0 + t ) = i [e e iω ( t0 t ) ]dω dt ∞ 2i d = π [δ (t t0 ) δ (t + t0 )] dt ∫ f (t ) = ∫ ∞ ∞ ω sin ωt0eiωt dω d = π [δ(t t0 ) δ(t + t0 )] dt ——微分算 符的形式! 51
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贡献者： P60714033 蜻蜓点水 一级
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南京大学
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• "脉 冲"广义函数: I'll be giving it only a couple strides to show any i -marketreflections- ♂ (704 bytes) () 11/14/2010 postreply 08:20:45