冯向军: <<平等遍历论>> 第十八章 因果泛函极值点概念出场

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> 第十八章 因果泛函极值点概念出场(2010-02-17 20:42:17)
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冯向军著

> 第十八章 因果泛函极值点概念出场

18.1 因果泛函极值点

>认为：很多物理现象都不光是一般的因果现象也不是无中生有的泛函极值点而是“因果泛函极值点”！

因果泛函极值点的特点是既满足广义的牛顿第二定律，又满足拉格朗日-欧拉方程。

自然界和不断增长的复杂网络中有很多现象都服从幂分布(Power Law)。我们要问：
为什么大自然和不断增长的复杂网络偏爱幂分布？

我们的解释是幂分布既满足广义的牛顿第二定律，又满足拉格朗日欧拉方程。是一种因果泛函极值点！

18.2 证明幂分布是一种因果泛函极值点

考虑广义的牛顿第二定律的特例

dP/dx = f(P) (18.1)

这其中P为概率分布

令
f(P) = - KP/x
有

dP/dx =-KP/x (18.2)

假设
P1=x^(K1)，这其中K1是待定常数

就有

dP1/dx =K1P1/x (18.3)

(18.2)、(18.3)两式相乘

(dP/dx)(dP1/dx) = (-KK1/x^2) P1P (18.4)

于是有拉格朗日算子

L = (dP/dx)(dP1/dx)+( KK1/x^2) P1P + 常数C (18.5)

因为
dL/dP1' = dP/dx
dL/dP1 = (KK1/x^2)P

按拉格朗日-欧拉方程就有

d^P/dx^2 =(KK1) P/x^2

命P = x^(-alpha)
d^P/dx^2 = alpha(alpha+1) P/x^2
于是
K=alpha
K1 =alpha + 1 (18.6)


可见(18.1)式中
f(P) =-(alpha)P/x
幂分布P = x^(-alpha)既满足广义的牛顿第二定律又满足拉格朗日尤拉方程，是一因果泛函极值点！

18.3 一个重要注释
拉格朗日-欧拉方程的推导过程的关键是连锁求导法则而连锁求导法则对两个全同的函数都成立。例如：dx^2 /dx=2x 可由连锁求导法则对两个全同函数x, x连锁求导而成。
dx^2/dx = d(xx)/dx =xd(x)/dx +xd(x)/dx = x+x =2x
所以在构造拉格朗日泛函算子时，匹配函数P*有极大的选择余地！！！