作用量说白了就是粒子的动能和势能的差动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系

http://www.douban.com/group/topic/4943161/
正定矩阵怎么理解较好？
2008-12-22 19:51:54 来自: whale|抛砖引玉的砖
老是发问题都不好意思啦


正定矩阵我一直没搞懂，为什么要发明这个东西？

. 2008-12-22 19:52:51 Hwa:欧迪在哪儿？ 讨论线代的人好多啊
> 删除 . 2008-12-22 19:53:37 Hwa:欧迪在哪儿？ 特征值都大于零，多好看啊
> 删除 . 2008-12-22 19:53:49 whale|抛砖引玉的砖 是啊
我的悟性比较差，如果大家都来讨论的话，就会比较清楚点
> 删除 . 2008-12-22 19:56:22 Hwa:欧迪在哪儿？ 没想过为什么要发明，但是满秩的东西就是很好嘛，算起来也很好算，看着就爽
> 删除 . 2008-12-23 14:17:32 四爷 (……) 为什么？其实矩阵这套东西，就是先发明出来，然后才发现有用的
> 删除 . 2008-12-26 11:44:45 E.Georgina (how u fancy rain in ashtray) 正定矩阵首先必须是对称矩阵。
其次，正定矩阵和正定二次型是相对应的。
一些常用的判定方法有：1正定矩阵A与单位矩阵E合同。2正定矩阵对应的正定二次型它的标准形式系数都是正的，也就是说它的正惯性指数都为n。3A的顺序主子式都大于0。4A的特征值都大于0.

PS其实把A的特征值就写在主对角线形成的对角矩阵就是与A合同的矩阵。


> 删除 . 2008-12-26 13:51:53 whale|抛砖引玉的砖 谢谢ls的关注，我想知道这样做的目的和意义是什么
> 删除 . 2008-12-26 14:56:44 leafhopper (请勿邀请我参加种种活动) 如果我们认为正定二次型是椭圆，那么这种说法不知道是否能赋予你意义？

> 删除 . 2008-12-26 14:58:49 leafhopper (请勿邀请我参加种种活动) 楼主很有想法，希望能将这些问题整理一个答案出来。本来我有一点笔记，今天找了一下，想起来前几天认为可能没有用，将它删除了。
后悔中……
> 删除 . 2008-12-26 17:14:17 E.Georgina (how u fancy rain in ashtray) 如果LZ问的是正定矩阵有什么用的话，就我粗浅的认识而言，正定矩阵广泛运用于欧式空间里面。欧式空间主要就是关于实数域上定义的函数，这个函数就是内积。在解析几何中，二维平面，三维空间都是属于欧式空间的。若我们以有限N维空间为例，我们就可以借助“度量矩阵”来求空间内两个向量的内积，即定义 = x'Ay为x,y的内积.A为“度量矩阵”，其必定是正定矩阵，反之，每个正定矩阵也必然可以作为一个度量矩阵，也就说每个正定矩阵都可以定义一个内积，也就是定义一个欧式空间。

比较直观的例子，解析几何中的空间曲线。（这部分知识我忘得差不多了）
我上面说的正定二次型是一种比较特殊的情况，相当于 = x'Ax，LS应该说的对的吧，像平面里面的椭圆，空间里面的椭球面。
> 删除 . 2008-12-27 15:20:07 Being-Human 唉，不懂。

想当初研究一篇论文，其中的矩阵运算，看了一年多愣是没看懂。从此对自己有了更实际的评价。

含泪奔过
> 删除 . 2008-12-27 15:27:03 咋冬眠 (以前好像原来还记得) 一个欧氏空间的本质？判定后，可以就对矩阵作其它分析，结果就能给出此空间中的规律，并且可以信任结果是此空间内普适的？
> 删除 . 2008-12-27 15:58:20 E.Georgina (how u fancy rain in ashtray) LS讲得挺哲学化的。
本质？！本质的东西我就不敢乱讲。
度量矩阵是基础，内积运算需要用。如果欧式空间化为向量讨论，的确都可以从正定矩阵出发，就我目前的了解而言。
> 删除 . 2009-01-22 03:56:26 楚天舒 特征值反映了矩阵的很多本质东西，
正定矩阵在计算上有很多很好的性质。
> 删除 . 2009-01-24 00:07:46 newone (认真是美德) 物理上有应用

数学上就按定义理解,正定矩阵,就是正定的矩阵,很清楚么~~~
> 删除 . 2009-01-24 00:38:29 十年 (十年之前我是瘦头陀) 正定矩阵不必须是对称矩阵。
> 删除 . 2009-01-24 22:11:14 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) LS的，不对称咋定义的正定？
> 删除 . 2009-01-24 22:35:35 Everett 我来说一个正定矩阵在物理上的应用。

物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。

作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。

好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。
为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0.
作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。

> 删除 . 2009-01-24 22:59:48 Everett 嗯，还有一个例子，就是量子力学。

量子力学的数学基础之一是Hilbert空间。Hilbert空间是一个内积空间。向量和自己的内积也是二次型，一般都是正定的。更*****一点地说，就是Hilbert空间的度规是正定的。但是在相对论性量子力学里，我们发现Hilbert空间再也不能完备所有的波函数了，我们必须引入非定度规的线性向量空间。在非定的度规下，波函数和自己的内积可以是负的，整个量子力学的测量理论都要为此而改写。

一个向量的模方还可以是负的？不要感到诧异，这有着非常重要的物理意义，这代表了反物质的出现。描写正常物质的波函数的模方是正的，而描写反物质的波函数的模方是负的。从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。
> 删除 . 2009-01-24 23:02:28 鸟枪换炮 (天子万年百姓花钱) 以后学了高维概率论就知道了，有些重要分布（e.g.正态分布）一般必须定义于正定矩阵，最次也得是非负定的。
> 删除 . 2009-01-25 01:08:47 十年 (十年之前我是瘦头陀) 2009-01-24 22:11:14 eulen≡猫头鹰枭|人在天津 (天津) 　　
LS的，不对称咋定义的正定？

嗯？我记得定义是说一个矩阵，对于任意非零向量，左右分别乘上向量的转置和向量本身，永远大于零，这就是正定了，不需要对称的。
> 删除 .2009-01-25 09:18:49 [已注销] 这个就...ls还是把它当作线代习题证明一次吧.
> 删除 . 2009-01-25 17:49:04 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 2009-01-25 01:08:47 瘦头陀|我在顺义有棵树 (北京) 　　2009-01-24 22:11:14 eulen≡猫头鹰枭|人在天津 (天津) 　　
　　LS的，不对称咋定义的正定？
　　
　　嗯？我记得定义是说一个矩阵，对于任意非零向量，左右分别乘上向量的转置和向量本身，永远大于零，这就是正定了，不需要对称的。

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我看到的定义是对称阵然后才分别左乘再右乘。。。。
> 删除 . 2009-01-25 19:20:29 栋栋 平稳随机过程的自相关函数也是正定的

> 删除 . 2009-01-25 23:46:31 楚天舒 正定矩阵的重要性看来是在实践中发现discovered，而不是发明invented的。一切人为的东西都难免有斧凿的痕迹，只有上帝创造者乃自然天成。
> 删除 . 2009-12-20 15:59:46 荒野大嫖客 (Je pense donc je suis!) 我建議從雙線性函數的角度來看,
因為不論是二次型還是正交變換, 實際上都可以統一的理解到雙性性函數來, 而進一步的, 我們就會想到會不會和算子有關? 會不會有空間的理論有關, 那麼由此引出用特徵值來描繪一下:
A正定 iff. 其每個特徵值均為正數!
為什麼呢? 比如lamda是特徵值, 那麼alpha^{'}Aalpha=alpha^{'}lamdaalpha, 整理成lamda的式子就得到了.
好了, 再進一步, 我們又知道, 對於對稱矩陣而言, 一定正交相似於diag{lamda_1,cdots,lamda_n}, 那麼對於正定矩陣呢?
首先, 可以看到正定矩陣正交合同於diag{lamda_1,cdots,lamda_n};
然後, 再看看, for each kge2, 一定有A=B^k, 其中B為正定矩陣

當然, 如果你還記得矩陣的QR分解, 那麼除了你先前明白的正定陣可以表為P^{'}P, P為可逆陣, 還可以進一步的發現正定陣可以表為R^{'}R, R為正線上三角陣

至於說到應用, 別的不說, 就來談談比較兩個簡單的數學應用好了:
1.分析裡講到的多元函數極佳法的原理;
2.解析幾何對二次曲線的分類討論
etc...

如果你是念數學科的, 建議你多看看泛函方面的知識, 如果實在不行, 看看矩陣論之類的書應該也行

> 删除 . 2009-12-21 09:23:51 楚天舒 正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。

线性代数的理论在历史上发展的比较晚。而线性几何则很久了。
> 删除 . 2009-12-21 11:33:46 songtao (穿鸟衣背鸟包骑鸟车！) 这个讨论我喜欢。
> 删除 . 2009-12-21 17:42:19 [已註銷] 2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
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這個比較有趣。
> 删除 . 2009-12-22 19:21:12 whale|抛砖引玉的砖 2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
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• E2=m02c^4+p2c2,无质量的粒子必须以光速运动！静能零，无势场? -marketreflections- ♂ (602 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:46:52

• 爱因斯坦质能方程E=mc2是怎么推导出来的？ -marketreflections- ♂ (2308 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:50:30

• 广义相对论：光子是具有引力质量 -marketreflections- ♂ (3996 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:55:25

• 狭义相对论也是符合因果律的时间次序要求 -marketreflections- ♂ (1157 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:57:54

• 闵可夫斯基把t换成了ict。i呢，就是虚数单位，也就是√-1。c则是光速 -marketreflections- ♂ (451 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:00:06

• 场内信息成本低，调整快:当u很小时，u2/ c2趋于０,伽利略变换式中，认为t＝t’，说到本质上，就是承认了无限大信号传播速度的 -marketreflections- ♂ (765 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:21:53

• 按照牛顿的理解，引力的传递是不需要时间的，它可以不知不觉地霎那间从这里传到了那里。为了取缔这种超距作用，类比电荷之间依靠电场来相 -marketreflections- ♂ (1137 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:05:27

• 惯性质量确实等于引力质量: 两个小球都是无初速度释放，而且走过了相同的位移，更是同时落地！很明显，它们的加速度必定是一样的 -marketreflections- ♂ (1128 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:07:31

• 对于动力学效应来说，引力场跟非惯性系是不可区分的！等效 -marketreflections- ♂ (1198 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:10:06

• 局域的真实引力场和局域的非惯性系是不可区分的！：整个地球吧，我们着实找不到一个和它等价的非惯性系！ -marketreflections- ♂ (429 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:12:19

• 欧美各国文化相互等价测度，老中等价难找 -marketreflections- ♂ (90 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:14:50

• 广义相对性原理：惯性系可以用牛顿第一定律（就是物体在不受外力时的运动状态那条）来描述，那么，非惯性系也应该可以吧？牛顿第一定律对 -marketreflections- ♂ (602 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:16:41

• 曲线: 这就跟球面的小蚂蚁一样，它走的是球面上的直线 -marketreflections- ♂ (2729 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:19:46

• 物理好图 聊聊狭义相对论 -marketreflections- ♂ (287766 bytes) () 11/17/2010 postreply 11:25:11

• 双生子徉谬：each other 相对高速运动,站在弟弟的立场来说，是哥哥时间过得更慢更年轻；而站在哥哥的角度上看，却应该是弟弟 -marketreflections- ♂ (985 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:26:11

• 双生子徉谬过程复杂 先从静止开始加速，达到既定速度之后，才能进行匀速直线的航行；然后要想回来，就得转身呀，得掉头，所以就必须先减 -marketreflections- ♂ (1183 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:29:39

• 无数的微观粒子从太空中向着我们射过来,中子，它的寿命就有886.7（误差±1.9）秒，它到了晚年，就会衰变成为一个质子和一个电子 -marketreflections- ♂ (831 bytes) () 11/17/2010 postreply 10:34:13

• 原子吸收光谱法 -marketreflections- ♂ (39 bytes) () 11/15/2010 postreply 11:49:50

• 物理学2/第16章电子和原子/ 原子壳层.ppt -marketreflections- ♂ (542 bytes) () 11/15/2010 postreply 13:46:40

• 对于原子的 只考虑开壳层 -marketreflections- ♂ (312 bytes) () 11/15/2010 postreply 13:55:06

• 物理好图：物理学2/第16章电子和原子/ 原子壳层.ppt -marketreflections- ♂ (56 bytes) () 11/15/2010 postreply 16:45:17

• David Woo: MACD was 0.0753 today, above the signal line of minus -marketreflections- ♂ (2684 bytes) () 11/16/2010 postreply 09:05:28

• 物理好图：傅立叶变换 用具有不同频率的相位复数矢量来贴合这个函数，这样所获得的是一个以频率为变量的新的复数函数 (图) -marketreflections- ♂ (12175 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:25:46

• F(sin（wt）) 会在正负 w处有一个相等脉冲。两个脉冲的和 正比于正余弦的幅值 -marketreflections- ♂ (500 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:34:02

• 单脉冲信号与周期化后的周期信号的傅立叶变换之间的关系 -marketreflections- ♂ (345 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:44:16

• 信号与系统 作者：乐正友 -marketreflections- ♂ (286 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:52:05

• 0频处有一个冲击 直流分量在时域中表现为平行于x轴的一条直线：频谱上，0频那里有幅度的话，就是直流分量 出了直流分量还有基波、二 -marketreflections- ♂ (4136 bytes) () 11/14/2010 postreply 20:59:47

• 纯粹的直流是很难获得的，要求不能有丝毫的波动，任何波动傅立叶展开是由频率为零的直流分量和频率大于零的交流分量共同组成 -marketreflections- ♂ (5922 bytes) () 11/14/2010 postreply 21:03:51

• 任一信号可以近似地分解为许多矩形脉冲的叠加 任一信号可以分解为直流分量和交流分量(t)之和，其中信号的直流分量 即信号的平均值 -marketreflections- ♂ (2372 bytes) () 11/14/2010 postreply 21:12:42

• 《信号处理原理》清华大学 -marketreflections- ♂ (38 bytes) () 11/14/2010 postreply 21:15:41

• 真正的、严格的、可以物理实现的状态就是L^2(R) =H中的态矢，不多不少。象|x》,|p》这样的东西，并不能真正实现。但这并不 -marketreflections- ♂ (614 bytes) () 11/13/2010 postreply 08:07:12

• Michael Atiyah：二十世纪的数学 -marketreflections- ♂ (34202 bytes) () 11/13/2010 postreply 08:11:37

• 量子场理论就属于无穷自由度系统 泛函分析 -marketreflections- ♂ (971 bytes) () 11/13/2010 postreply 09:23:53

• 由于φ是具有连续无穷维自由度系统，每一维自由度都会不断发射或吸收虚光子、及由于真空极化形成的正负虚电子对的产生与湮灭，它与电子场 -marketreflections- ♂ (7499 bytes) () 11/13/2010 postreply 09:40:28