作用量说白了就是粒子的动能和势能的差动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系

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正定矩阵怎么理解较好？
2008-12-22 19:51:54 来自: whale|抛砖引玉的砖
老是发问题都不好意思啦


正定矩阵我一直没搞懂，为什么要发明这个东西？

. 2008-12-22 19:52:51 Hwa:欧迪在哪儿？ 讨论线代的人好多啊
> 删除 . 2008-12-22 19:53:37 Hwa:欧迪在哪儿？ 特征值都大于零，多好看啊
> 删除 . 2008-12-22 19:53:49 whale|抛砖引玉的砖 是啊
我的悟性比较差，如果大家都来讨论的话，就会比较清楚点
> 删除 . 2008-12-22 19:56:22 Hwa:欧迪在哪儿？ 没想过为什么要发明，但是满秩的东西就是很好嘛，算起来也很好算，看着就爽
> 删除 . 2008-12-23 14:17:32 四爷 (……) 为什么？其实矩阵这套东西，就是先发明出来，然后才发现有用的
> 删除 . 2008-12-26 11:44:45 E.Georgina (how u fancy rain in ashtray) 正定矩阵首先必须是对称矩阵。
其次，正定矩阵和正定二次型是相对应的。
一些常用的判定方法有：1正定矩阵A与单位矩阵E合同。2正定矩阵对应的正定二次型它的标准形式系数都是正的，也就是说它的正惯性指数都为n。3A的顺序主子式都大于0。4A的特征值都大于0.

PS其实把A的特征值就写在主对角线形成的对角矩阵就是与A合同的矩阵。


> 删除 . 2008-12-26 13:51:53 whale|抛砖引玉的砖 谢谢ls的关注，我想知道这样做的目的和意义是什么
> 删除 . 2008-12-26 14:56:44 leafhopper (请勿邀请我参加种种活动) 如果我们认为正定二次型是椭圆，那么这种说法不知道是否能赋予你意义？

> 删除 . 2008-12-26 14:58:49 leafhopper (请勿邀请我参加种种活动) 楼主很有想法，希望能将这些问题整理一个答案出来。本来我有一点笔记，今天找了一下，想起来前几天认为可能没有用，将它删除了。
后悔中……
> 删除 . 2008-12-26 17:14:17 E.Georgina (how u fancy rain in ashtray) 如果LZ问的是正定矩阵有什么用的话，就我粗浅的认识而言，正定矩阵广泛运用于欧式空间里面。欧式空间主要就是关于实数域上定义的函数，这个函数就是内积。在解析几何中，二维平面，三维空间都是属于欧式空间的。若我们以有限N维空间为例，我们就可以借助“度量矩阵”来求空间内两个向量的内积，即定义 = x'Ay为x,y的内积.A为“度量矩阵”，其必定是正定矩阵，反之，每个正定矩阵也必然可以作为一个度量矩阵，也就说每个正定矩阵都可以定义一个内积，也就是定义一个欧式空间。

比较直观的例子，解析几何中的空间曲线。（这部分知识我忘得差不多了）
我上面说的正定二次型是一种比较特殊的情况，相当于 = x'Ax，LS应该说的对的吧，像平面里面的椭圆，空间里面的椭球面。
> 删除 . 2008-12-27 15:20:07 Being-Human 唉，不懂。

想当初研究一篇论文，其中的矩阵运算，看了一年多愣是没看懂。从此对自己有了更实际的评价。

含泪奔过
> 删除 . 2008-12-27 15:27:03 咋冬眠 (以前好像原来还记得) 一个欧氏空间的本质？判定后，可以就对矩阵作其它分析，结果就能给出此空间中的规律，并且可以信任结果是此空间内普适的？
> 删除 . 2008-12-27 15:58:20 E.Georgina (how u fancy rain in ashtray) LS讲得挺哲学化的。
本质？！本质的东西我就不敢乱讲。
度量矩阵是基础，内积运算需要用。如果欧式空间化为向量讨论，的确都可以从正定矩阵出发，就我目前的了解而言。
> 删除 . 2009-01-22 03:56:26 楚天舒 特征值反映了矩阵的很多本质东西，
正定矩阵在计算上有很多很好的性质。
> 删除 . 2009-01-24 00:07:46 newone (认真是美德) 物理上有应用

数学上就按定义理解,正定矩阵,就是正定的矩阵,很清楚么~~~
> 删除 . 2009-01-24 00:38:29 十年 (十年之前我是瘦头陀) 正定矩阵不必须是对称矩阵。
> 删除 . 2009-01-24 22:11:14 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) LS的，不对称咋定义的正定？
> 删除 . 2009-01-24 22:35:35 Everett 我来说一个正定矩阵在物理上的应用。

物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。

作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。

好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。
为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0.
作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。

> 删除 . 2009-01-24 22:59:48 Everett 嗯，还有一个例子，就是量子力学。

量子力学的数学基础之一是Hilbert空间。Hilbert空间是一个内积空间。向量和自己的内积也是二次型，一般都是正定的。更*****一点地说，就是Hilbert空间的度规是正定的。但是在相对论性量子力学里，我们发现Hilbert空间再也不能完备所有的波函数了，我们必须引入非定度规的线性向量空间。在非定的度规下，波函数和自己的内积可以是负的，整个量子力学的测量理论都要为此而改写。

一个向量的模方还可以是负的？不要感到诧异，这有着非常重要的物理意义，这代表了反物质的出现。描写正常物质的波函数的模方是正的，而描写反物质的波函数的模方是负的。从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。
> 删除 . 2009-01-24 23:02:28 鸟枪换炮 (天子万年百姓花钱) 以后学了高维概率论就知道了，有些重要分布（e.g.正态分布）一般必须定义于正定矩阵，最次也得是非负定的。
> 删除 . 2009-01-25 01:08:47 十年 (十年之前我是瘦头陀) 2009-01-24 22:11:14 eulen≡猫头鹰枭|人在天津 (天津) 　　
LS的，不对称咋定义的正定？

嗯？我记得定义是说一个矩阵，对于任意非零向量，左右分别乘上向量的转置和向量本身，永远大于零，这就是正定了，不需要对称的。
> 删除 .2009-01-25 09:18:49 [已注销] 这个就...ls还是把它当作线代习题证明一次吧.
> 删除 . 2009-01-25 17:49:04 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 2009-01-25 01:08:47 瘦头陀|我在顺义有棵树 (北京) 　　2009-01-24 22:11:14 eulen≡猫头鹰枭|人在天津 (天津) 　　
　　LS的，不对称咋定义的正定？
　　
　　嗯？我记得定义是说一个矩阵，对于任意非零向量，左右分别乘上向量的转置和向量本身，永远大于零，这就是正定了，不需要对称的。

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我看到的定义是对称阵然后才分别左乘再右乘。。。。
> 删除 . 2009-01-25 19:20:29 栋栋 平稳随机过程的自相关函数也是正定的

> 删除 . 2009-01-25 23:46:31 楚天舒 正定矩阵的重要性看来是在实践中发现discovered，而不是发明invented的。一切人为的东西都难免有斧凿的痕迹，只有上帝创造者乃自然天成。
> 删除 . 2009-12-20 15:59:46 荒野大嫖客 (Je pense donc je suis!) 我建議從雙線性函數的角度來看,
因為不論是二次型還是正交變換, 實際上都可以統一的理解到雙性性函數來, 而進一步的, 我們就會想到會不會和算子有關? 會不會有空間的理論有關, 那麼由此引出用特徵值來描繪一下:
A正定 iff. 其每個特徵值均為正數!
為什麼呢? 比如lamda是特徵值, 那麼alpha^{'}Aalpha=alpha^{'}lamdaalpha, 整理成lamda的式子就得到了.
好了, 再進一步, 我們又知道, 對於對稱矩陣而言, 一定正交相似於diag{lamda_1,cdots,lamda_n}, 那麼對於正定矩陣呢?
首先, 可以看到正定矩陣正交合同於diag{lamda_1,cdots,lamda_n};
然後, 再看看, for each kge2, 一定有A=B^k, 其中B為正定矩陣

當然, 如果你還記得矩陣的QR分解, 那麼除了你先前明白的正定陣可以表為P^{'}P, P為可逆陣, 還可以進一步的發現正定陣可以表為R^{'}R, R為正線上三角陣

至於說到應用, 別的不說, 就來談談比較兩個簡單的數學應用好了:
1.分析裡講到的多元函數極佳法的原理;
2.解析幾何對二次曲線的分類討論
etc...

如果你是念數學科的, 建議你多看看泛函方面的知識, 如果實在不行, 看看矩陣論之類的書應該也行

> 删除 . 2009-12-21 09:23:51 楚天舒 正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。

线性代数的理论在历史上发展的比较晚。而线性几何则很久了。
> 删除 . 2009-12-21 11:33:46 songtao (穿鸟衣背鸟包骑鸟车！) 这个讨论我喜欢。
> 删除 . 2009-12-21 17:42:19 [已註銷] 2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
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這個比較有趣。
> 删除 . 2009-12-22 19:21:12 whale|抛砖引玉的砖 2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
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good!