查看完整版本: 漫谈几何量子化（十，十一，十二）
季候风 2008-2-7 22:33
漫谈几何量子化（十，十一，十二）
漫谈几何量子化（十）量子条件“量子化”问题在数学上可以这么说：给一个辛流形 [tex](M,\omega)[/tex], 希望构造一个 Hilbert 空间，使得 M 上的函数对应到这个 Hilbert 空间上的算子，[tex]f\mapsto \hat{f}[/tex], 满足以下条件：（1）线性。函数的加法和数乘保持为相应算子的加法和数乘。（2）常函数对应到常数算子。这样物理常数才能作用于波函数。（3）Dirac 量子条件 [tex][\hat{f}, \hat{g}]=\mathrm{i}\hbar \widehat{\{f,g\}}[/tex].
把量子条件和上一节提到的 Poisson 括号同切向量场的关系作一比较，发现 [tex]f\mapsto \mathrm{i}\hbar X_f[/tex] 满足线性和量子条件。切向量场作为算子，作用于 M 上的光滑函数。包含光滑函数的 Hilbert 空间，最方便的当然是平方可积函数空间 [tex]L^2(M)[/tex]. 好像胜利就在眼前。可惜，常函数对应的切向量场是 0，不符合条件（2）。立即想到的办法是，稍微修正一下，[tex]f\mapsto \mathrm{i}\hbar X_f + \mathcal M_f[/tex]. 这里 [tex](\mathcal M_f \psi)(x) = f(x)\psi(x)[/tex]. 这样条件（2）满足了，再计算交换子，
[tex][ \mathrm{i}\hbar X_f + \mathcal M_f,\ \mathrm{i}\hbar X_g + \mathcal M_g] = \mathrm{i}\hbar \Big(\mathrm{i}\hbar X_{\{f,g\}} + 2 \mathcal M_{\{f,g\}}\Big)[/tex]
第一遍算的时候肯定会怀疑算错了，一切都那么完美，除了那个2倍。还需要再想办法修正。首先，必须保证条件（2），所以修正项最好含有 [tex]X_f[/tex]. 然而希望消去的是一个“乘上函数”的算子，那么修正项最好也是乘上函数。从切向量场得到函数的办法，无非是用一个 1-形式 [tex]\theta[/tex] 作用一下。看看最简单的例子，粒子的动量是相空间上的函数，它决定的切向量场是 [tex]-d/dq[/tex], 按照现在的计划，[tex]p\mapsto -\mathrm{i}\hbar d/dq -\theta(-d/dq)+p[/tex]. 跟 Schordinger 表示相比较，发现 [tex] \theta = -p\,dq[/tex]. 它是辛形式的“原形式”，[tex]d\theta=dq\wedge dp[/tex]. 从这个例子得到提示，假设有一个 1-形式满足 [tex]d\theta=\omega[/tex], 那么可以把相空间上的函数对应到算子
[tex]\hat{f}= \mathrm{i}\hbar X_f -\mathcal M_{\theta(X_f)}+\mathcal M_f[/tex]
计算交换子，
[tex][\hat{f},\hat{g}] = \mathrm{i}\hbar \Big(\mathrm{i}\hbar X_{\{f,g\}}-\mathcal M_{X_f(\theta(X_g))}+\mathcal M_{X_g(\theta(X_f))} + 2 \mathcal M_{\{f,g\}}\Big)[/tex]
再应用外微分公式
[tex]\omega(X_f,X_g)=d\theta(X_f,X_g)=X_f(\theta(X_g))-X_g(\theta(X_g))-\theta([X_f,X_g])[/tex]
就得到完美结果 [tex][\hat{f},\hat{g}]=\mathrm{i}\hbar\widehat{\{f,g\}}[/tex]. 如果辛形式的确有一个“原形式”，那么以上构造就给出了 Hilbert 空间和代表可观察量的算子。需要指出，这并没有得到跟量子力学原理吻合的量子化，只要计算一下粒子的正则坐标对应的算子就能看到。其原因是，现在的 Hilbert 空间是坐标和动量的函数，而量子力学原理要求波函数要么只是坐标的函数，要么只是动量的函数。因此以上过程称为“预量子化”。
一般的辛流形，其辛形式并不是恰当的，就是说，不存在一个“原形式”。但是如果限制在局部，就像欧氏空间一样，闭形式总是恰当形式。因此在每个局部都可以进行预量子化。这显然强烈依赖于局部坐标的选取。怎样把这些局部的数据“拼接”起来是下一节要说的问题。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-2-7 22:38 编辑 [/i]]
季候风 2008-2-8 04:16
漫谈几何量子化（十一）丛与联络
取流形 M 的一个开覆盖，就是一族开集 [tex]\{U_\alpha\}[/tex] 使得 [tex]\cup_\alpha U_\alpha =M[/tex]. 它们可以取得比较好，比如，它们都同胚于欧氏空间，它们之间任意的交集也都同胚于欧氏空间。这种覆盖叫一个好的覆盖。它的好处是，在它们重叠的地方，Poincare 引理总成立：闭形式一定是恰当形式。这样在每一个开集 [tex]U_\alpha[/tex] 上，辛形式有原形式 [tex]\theta_\alpha[/tex]. 上一节的程序就构造了算子 [tex]\hat{f}_\alpha[/tex]，作用在局部的函数上，
[tex] \mathrm{i}\hbar X_f\psi(x) -\theta_\alpha(X_f)\psi(x)+f(x)\psi(x)[/tex]
如果 [tex]U_\alpha\cap U_\beta\neq \emptyset[/tex], 在这个交集上就有两个算子 [tex]\hat{f}_\alpha,\ \hat{f}_\beta[/tex]，来自两个开集上的预量子化程序。它们作用在同一函数上得到不同的结果，相差 [tex] (\theta_\beta-\theta_\alpha)(X_f)\psi(x)[/tex]. 因为两个1-形式的外微分都是辛形式，所以在重叠部分它们的差是一个闭的 1-形式，这个闭的1-形式是局部恰当的，可以写成一个局部函数（定义在重叠部分）的微分，
[tex]\theta_\beta-\theta_\alpha=d\lambda_{\alpha\beta}[/tex]
对每一对开集，都有这么一个定义在重叠区域上的函数。这些局部函数可以用来拼接局部数据。做法如下。既然来自于两个开集的算子作用在同一函数上得到不同结果，那么最好各司其职，只作用在自己那个开集的局部函数 [tex]\psi_\alpha[/tex] 上。在两个开集重叠的部分，自然希望两个算子作用在各自的局部函数上得到的结果之间有某种简单关系。也就是说，希望把
[tex] (\theta_\beta-\theta_\alpha)(X_f)\psi = d\lambda_{\alpha\beta}(X_f)\psi[/tex]
吸收到某种简单关系中去。解过微分方程的人都比较熟悉的技巧是，将函数乘上积分因子可以把线性项吸收到导数之中。这提示我们可以通过积分因子 [tex]\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_{\alpha\beta}/\hbar}[/tex] 将不同开集的局部函数联系起来，即，如果在 [tex]U_\beta[/tex] 上取了局部函数 [tex]\psi_\beta[/tex], 那么在 [tex]U_\alpha[/tex] 上就相应地取局部函数 [tex]\psi_\alpha = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_{\alpha\beta}/\hbar} \psi_\beta[/tex], 再分别用 [tex]\hat{f}_\alpha, \ \hat{f}_\beta[/tex] 作用，得到
[tex]\hat{f}_\alpha\psi_\alpha = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_{\alpha\beta}/\hbar}\ \hat{f}_\beta\psi_\beta [/tex],
也就是说，作用以后的局部函数之间的关系跟作用以前局部函数之间的关系是一样的。有了这个结果，就可以定义流形上一个整体的量（暂时叫做一个“波”），它在各个开集上的限制都是局部函数，在两个开集重叠的部分满足以上变换关系。再定义一个整体的算子，它作用在一个“波”上面，就是之前的分片作用 [tex]\{\hat{f}_\alpha\}[/tex]，作用之后，发现局部得到的结果还可以拼成一个“波”。(上一个式子保证这一点。）所以可以把所有的“波”放在一起组成一个空间，它上面有可观察量 [tex]\hat{f}[/tex] 的作用。现在可以说，在辛形式不是恰当的时候，也可以做预量子化，只不过这个时候的 Hilbert 空间里面不再是流形上整体定义的函数了，而是由局部函数根据某种变换规则拼接起来的“波”。
以上的拼接过程并不严密。比如，如果有三个开集，两两相交，那么从开集1的局部函数得到开集3的相应局部函数的办法有两个：直接乘上1，3 之间的积分因子，或者先乘上1，2之间的积分因子找到开集2里相应的局部函数，再通过2，3之间的变换找到开集3里相应的局部函数。如果三个开集没有共同的部分，那就不会有什么问题。如果三个开集的交不空，在这个交上面，第三个局部函数的值可能因为上述两种方式而不相符。这就是说，如果局部函数要能拼接成一个整体对象，这些积分因子必须满足条件
[tex] \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_{\alpha\beta}/\hbar}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_{\beta\gamma}/\hbar}\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_{\gamma\alpha}/\hbar} =1, \qquad \textrm{or}\qquad \lambda_{\alpha\beta}+\lambda_{\beta\gamma}+\lambda_{\gamma\alpha} \in 2\pi\hbar\ \mathbb Z[/tex]
这个条件并不容易满足。虽然这些和一定是常数（微分一下就看到了），不过注意到固定了 [tex]\theta_\alpha[/tex] 以后，[tex]\lambda_{\alpha\beta}[/tex] 的选取也不是唯一的，还可以加上任意的实常数。
这个整性条件有一个同调论的解释。在覆盖中的每个开集里取一个点，如果两个开集的交非空，就用一条线段连接两个开集里的点（使线段在它们的并里面），如果三个开集的交非空，就填入相应的三角形（也在并里面），...... 这些单形可能在流形中是退化的（比如二维流形的四个开集相交的情况）。流形的上同调可以用这个单纯复形来计算。特别地，容易看到辛形式 [tex]\omega[/tex] 在每个这样的三角形上的积分都是 [tex] \lambda_{\alpha\beta}+\lambda_{\beta\gamma}+\lambda_{\gamma\alpha} [/tex] 加上一些边界修正项。这样辛形式在单纯复形的一个2维闭链上的积分就等于所有这种形式的“三项和”加在一起（边界修正都抵消了）。因此，如果存在 [tex]\lambda[/tex] 使得这些“三项和”都是 [tex]2\pi[/tex] 的整数倍，那么辛形式 [tex]\omega[/tex] 在 M 里的闭曲面上积分一定是 [tex]2\pi\hbar [/tex] 的整数倍，或者用同调的语言，[tex]\omega/(2\pi\hbar)[/tex] 所在的 de Rham 同调类一定要落在整系数同调群在实系数同调群的像里。
这一节已经涉及到了很不浅显的数学。将局部函数拼接成整体对象，在数学上是构造了一个 M 上的“复线丛”。一个“波”就是这个复线丛的一个“截面”。对任何 M 上的光滑函数 f 构造的算子的前两项（某个局部坐标系下）
[tex]\mathrm{i}\hbar \Big(X_f+\frac{\mathrm{i}\theta_\alpha}{\hbar}(X_f)\Big) [/tex]
合起来称为“协变导数”，是流形上的整体对象，记作 [tex]\nabla_{X_f}[/tex]. 它作用于线丛的截面。其中只在局部有定义的 1-形式 [tex]\theta_\alpha[/tex] 称为“联络形式”，在坐标变换下作“规范变换”[tex]\theta_\beta= \theta_\alpha+d\lambda_{\alpha\beta}[/tex].
在对辛形式“整性”的分析中，用到了 Cech 上同调的想法，就是通过好的开覆盖的相交性质来计算和看待流形的同调群。那些“三项和”放在一起称为一个 Cech 2-上链，它来自于 “函数值的 Cech 1-上链” [tex]\lambda[/tex]. 积分因子也组成一个“函数值的 1-上链”。“整性条件”用同调的语言，就是说这个积分因子的 1-上链是闭的。闭上链一般称为“上循环”。所以在一般的纤维丛上，转移函数（积分因子）需要满足这个“上循环”条件。Cech 上同调可以看作好的开覆盖给出的那个单纯复形的上同调。
用数学语言总结一下：对于辛形式满足整性条件的辛流形 [tex](M,\omega)[/tex]，可以进行预量子化。首先，构造一个线丛和丛上一个联络，使得这个联络的曲率是 [tex]\mathrm{i}\omega/\hbar[/tex]. 然后，取线丛的所有光滑截面，组成线性空间 V, 这些截面是“波函数”的推广。最后，对 M 上每一个光滑函数 f（经典力学变量），构造作用在 V 上的算子 [tex]\hat{f}= \mathrm{i}\hbar \nabla_{X_f} + \mathcal M_f[/tex]. 这些算子满足 Dirac 量子条件，且常数变量对应到常数算子。
虽然这里的数学很漂亮，但这还不是真正的量子化。要同量子力学原理相一致，需要去掉一些“波函数”（截面），还要在剩下的截面之间定义内积，使量子力学的概率解释有效。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-2-8 21:13 编辑 [/i]]
星空浩淼 2008-2-8 13:14
等你写完十二，再一起看
joyer2 2008-2-8 20:22
闻香下马，赶紧凑过来蹭季老师这顿年饭，太丰盛了，十几道菜样样不俗，样样好吃......现在在等第12道菜，口水直流.......谢谢。
老师也别忘了喝一杯啊。
柄分解对我而言是新词，不知它有没有类似欧拉式性数或Betti数之类的东西？季老师见笑。
老师也别忘了喝一杯啊。
柄分解对我而言是新词，不知它有没有类似欧拉式性数或Betti数之类的东西？季老师见笑。
季候风 2008-2-8 21:26
错误更正
别叫“老师”，呵呵，很不习惯。你的问题让我发现了错误，不应该滥用“柄分解”这个词，误导网友。这里的开覆盖相交结构最好看成一个抽象的东西，而不是流形里的点线面等等。只是为了把“整性”在辛形式上的体现直接“看”出来，用了不严格的说法。现在修正了一下，也许还是有漏洞。真正想弄清楚这个问题的细节，需要关于 de Rham-Cech 双链复形的知识。真正的 “柄分解” 的确可以用于得到流形的同伦型。而得到“柄分解” 的办法通常是研究流形上的一个 Morse 函数的临界点。这是很有意思的理论。
参考：
Bott & Tu: Differential forms in algebraic topology
Milnor: Morse theory
季候风 2008-2-13 01:56
漫谈几何量子化（十二）正则变换
量子力学的波函数只依赖于相空间的“一半”坐标。一般的辛流形没有自然的“坐标”，“动量”分离，或者说，在局部上有多种选择“坐标”“动量”分离的方式。在经典力学里，虽然有自然的坐标和动量，但仍然可以通过所谓“正则变换”选择新的“坐标”“动量”，它们没有物理上的含义，但可以把运动方程化为比较简单的形式。Hamilton-Jacobi 方法假定有一个正则变换可以把运动方程化为“最简”形式，然后得到这个变换的“生成函数”所满足的方程，这就是著名的 Hamilton-Jacobi 方程。当年量子力学以两种形式出现，矩阵力学实现为 Hamilton 正则方程形式，波动力学受到 Hamilton-Jacobi 方程的启发。这不是偶然，因为早在19世纪初年，Hamilton 就已经非常深刻地理解了“波”和“粒子”的统一性。说到这里，想起来上周还看到这里图书馆门口放着有人还回来的 《Hamilton 论文集》。我自己一直没有勇气去读他的东西，但我想对于做数学物理的人来说，Hamilton 的全集值得挖掘。
现在用微分几何的语言描述一下正则变换和 Hamilton-Jacobi 方法。为了同先贤们保持一致，我们就研究最原始的辛流形---位形空间的余切丛 [tex]T^*Q[/tex]. 首先来看这个辛流形上有趣的数学。
它上面的辛形式是恰当的，有一个原形式 [tex]\theta[/tex]。在局部坐标下的表达式大家都很熟悉了。这个原形式有一个有趣的内在描述。它是一个 1-形式，要定义它，只需定义它在任何切向量 [tex]\xi \in T(T^*Q)[/tex] 的值。这里涉及到两个投影，[tex]\Pi: T(T^*Q)\to T^*Q, \quad \pi_*: T(T^*Q)\to TQ[/tex]. 定义 [tex] \theta(\xi) = -\langle \Pi\xi, \pi_*\xi\rangle[/tex]. 这里的尖括号是 Q 的余切空间和切空间的配对。在局部坐标下，[tex]\theta= -\sum p_i\,dq^i[/tex]. （这里的负号看上去很不和谐，它说明 [tex]\sum dp_i\wedge dq^i[/tex] 才是更自然的辛形式。不过为了同经典力学保持一致，还是采用 dq 在前面的辛形式。）
位形空间的一个 1-形式 [tex]\alpha\in \Omega^1(Q)[/tex] 是向量丛 [tex]T^*Q[/tex] 的一个截面，也就是一个光滑映射 [tex]\alpha: Q\to T^*Q, \quad q\mapsto \alpha_q[/tex] 使得 [tex]\pi\circ \alpha =\mathrm{Id}_Q[/tex]。有趣的是，[tex]\alpha^*(-\theta) =\alpha[/tex], 因为
[tex] (\alpha^*(-\theta))_q(X)=-\theta((\alpha_*)_qX) = \langle \alpha_q, X_q\rangle [/tex]
[tex]\alpha[/tex] 的像 [tex]R(\alpha)[/tex] 与 Q 微分同胚。那么以上关系实际上意味着， [tex]\alpha[/tex] 是闭形式当且仅当 [tex]R(\alpha)[/tex] 是 Lagrange 子流形，即，辛形式在其上的限制恒等于0的极大子流形。局部上闭形式是恰当形式，所以局部上存在 Q 上的函数 S, 使得 [tex]dS =\alpha[/tex]. 这个函数叫做相应的 Lagrange 子流形 [tex]R(\alpha)[/tex] 的“生成函数”。
下面先把正则变换同 Lagrange 子流形联系起来，这样正则变换也会有生成函数。本来正则变换是在一个相空间上发生的，但为了让符号更清晰，来看两个同维数的位形空间。正则变换就是保持辛形式的微分同胚，
[tex]\rho: T^*Q\to T^*Q' \qquad \textrm{such that}\qquad \rho^*\omega'=\omega[/tex]
两个辛流形的乘积还是一个辛流形 [tex](T^*Q\times T^*Q', \ \omega+\omega')[/tex]. 计算两个辛形式的和在正则变换的“图像”[tex]Gr(\rho) =\{(m,\rho(m))\ |\ m\in T^*Q\} \subset T^*Q\times T^*Q'[/tex] 上的限制，
[tex] \omega(\xi)+ \omega'(\rho_*\xi) = \omega(\xi)+\rho^*\omega(\xi) = \omega(\xi)+\omega(\xi)[/tex]
如果其中一个辛形式有个负号，就正好抵消。引入“反正则变换” [tex]\bar{\rho}(\alpha_q)= -\rho(\alpha_q)[/tex]，则它的图像 [tex]Gr(\bar{\rho})[/tex] 是乘积空间的 Lagrange 子流形。
要写出这个 Lagrange 子流形的局部生成函数，需要它局部上是一个 [tex]Q\times Q'[/tex] 上的 1-形式的图像。引入局部辛坐标，假定 [tex]\rho: (q,p)\mapsto (q',p')[/tex]. 它对应的反正则变换 [tex]\bar{\rho}: (q,p)\mapsto (q',-p')[/tex] 的图像如果是一个 1-形式 [tex](\alpha_{(q,q')}, \ \alpha_{(q,q')}')[/tex] 的像集，那么对任何 [tex](q^*,{q'}^*)\in Q\times Q'[/tex], 存在唯一的 [tex]p^*[/tex], 使得 [tex] \pi_1\circ \bar{\rho}(q^*,p^*) = {q'}^*[/tex]. 由隐函数定理，这个方程在局部有唯一解的条件是 Jacobi 矩阵 [tex]\partial q'/\partial p[/tex] 处处非退化。解出 [tex]p^*=p^*(q^*,{q'}^*)[/tex] 之后，记
[tex]{p'}^* = \pi_2\circ\rho(q^*,\ p^*(q^*,{q'}^*))=:p^*(q^*,{q'}^*) [/tex]
则可写出 1-形式 [tex] p^*(q,q')dq - {p'}^*(q,q')dq'[/tex], 它是闭的（因为对应于 Lagrange 子流形），所以局部存在原函数
[tex]S(q,q') = \int^{(q,q')} p^*(q,q')dq - {p'}^*(q,q')dq'[/tex]
定义到相差一个常数。这个函数就称为正则变换 [tex]\rho[/tex] 的局部生成函数。
反过来，如果有一函数 [tex] S(q,q')\in C^{\infty}(Q\times Q')[/tex] ，它的微分给出 [tex]T^*(Q\times Q')= T^*Q\times T^*Q'[/tex] 的一个 Lagrange 子流形。这个子流形可以实现为一个反正则变换的图像的条件为（用局部坐标），对任意 [tex](q^*,p^*)[/tex], 存在唯一的 [tex]{q'}^*[/tex], 满足方程
[tex]\frac{\partial S}{\partial q}(q^*,{q'}^*) = p^* [/tex]
这个方程在局部有唯一解的条件是 Hessian 矩阵 [tex]\frac{\partial^2 S}{\partial q'\partial q}[/tex] 处处非退化。解出 [tex] {q'}^*={q'}^*(q^*,p^*)[/tex] 之后，得到 S 生成的局部正则变换
[tex](q,p) \quad\mapsto\quad \Big({q'}^*(q,p),\ -\frac{\partial S}{\partial q'}(q, {q'}^*(q,p))\Big) [/tex].
看一个重要例子。经典系统的时间演化由一个相空间上的函数 H (Hamiltonian) 决定如下：它对应到切向量场 [tex]X_H[/tex], 而切向量场会在局部生成单参数变换群 [tex]\rho_t: T^*Q \to T^*Q[/tex]. 这个群里每一个变换都保持辛形式，所以是正则变换。现在固定一个时间 t, 看怎样写出 [tex]\rho_t[/tex] 的局部生成函数。回顾之前的讨论，首先要对任意 (q,q') 找到相应的 p 使得具有初相 (q,p) 的系统在 t 时间后位置为 q'. 这是 Hamilton 运动方程的边值问题。解边值问题，得到 (q(t),p(t)), 那么初动量和末动量就分别为 p=p(0) 和 p'=p(t). 这个由边值得到初动量的过程可以看作是一个局部微分同胚 [tex]h: Q\times Q\mapsto T^*Q [/tex]. 这个微分同胚把我们寻找的 [tex]Q\times Q [/tex] 上的 1-形式（见前面两段分析） “推进”到相空间上的 1-形式 [tex] -\theta +\rho_t^*\theta [/tex]. 因为
[tex]\frac{d}{dt}(\rho_t^*\theta-\theta)= \mathcal L_{X_H} \theta = X_H\lrcorner d\theta + d(\theta(X_H)) = d(\theta(X_H)-H)[/tex]
右边外微分符号里面实际上是 H 的 Legendre 变换，即 Lagrange 量。所以这个 1-形式在相空间上可以写成 Lagrange 量（作为相空间上的函数）的微分 dL 沿真实运动轨迹的积分
[tex] \int_0^t dL(q(s),p(s))\ ds = d\Big(\int_0^t L(q(s),p(s))\ ds\Big)[/tex]。
很明显这个形式的原函数是所谓 “Hamilton 主函数”( Lagrange 量的时间积分)
[tex]\widetilde{S}(q,p,t) = \int_0^t L(q(s),p(s))\ ds \quad \textrm{with}\quad (q(0),p(0))=(q,p)[/tex]
它是相空间上的函数（系统初相的函数）。而 [tex]Q\times Q[/tex] 上的生成函数就是复合
[tex] S(q,q',t) = \widetilde{S}(h(q,q'),t)[/tex]
反过来，由这个生成函数得到等价于系统演化的一系列正则变换 [tex]\rho_t[/tex] 的过程实际上蕴涵了所谓“Hamilton 原理”（最小作用量原理之一），即，系统用时间 t 从 q 到 q' 的真实演化使 [tex]S(q,q',t)[/tex] 作为运动轨迹的泛函取到临界值。
用 Lagrange 子流形来代表正则变换，是几何学家 Weinstein 的创见。用这个观点来看待经典力学，更容易把正则变换，生成函数，系统演化之间的关系理清楚。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-2-13 02:17 编辑 [/i]]
星空浩淼 2008-2-14 16:23
嗯，前面10和11我又看得很吃力，12有点像是用辛几何语言重述分析力学
我为了研究时间算符T，曾经有过这样的想法：用d表示偏微分符号，我们知道，在位置空间{q}，动量算符为p=-id/dq；而在动量空间{p}，位置算符q=id/dp。取动量空间为底流形（记为P），该底流形上的余切空间（也可能是切空间，这里姑且假定是余切空间）对应通常的位置空间，这样得到的余切丛T*P，相当于把通常的相空间辛流形T*Q中的坐标q与动量p互换角色（当然这只是一种比方性的说法，直接互换T*Q中的坐标q与动量p，是不能得到T*P的）。此时，时间算符T取代原Hamilton算符H的地位，同时需要引进[color=Blue]能量参数[/color]（具有能量量纲，取值在正负无穷大之间，通常的能量对应能量参数的差值），取代原[color=Blue]时间参数[/color]的地位。我们知道，Hamilton算符推动系统的态随时间参数而演化，而这里的时间算符则推动系统的态随能量参数而演化。通常的“守恒量”，指不随时间参数t变化而变化的量，推广到“广义守恒量”概念，指某个量不随某个参数变化而变化的量。例如不随能量参数e而变化的量，就是这样的一个广义守恒量，它表示这样的一个物理量：该量与零能参考点的选取无关。事实上，物理学中有意义的量常常是能量差值而不是能量的绝对值，这样的量就跟零势能参考点的选取无关。总之，我得到的理论系统与通常的分析力学之间有以下对偶关系：q←→p；H←→T；T*Q←→T*P.
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-2-14 16:32 编辑 [/i]]
我为了研究时间算符T，曾经有过这样的想法：用d表示偏微分符号，我们知道，在位置空间{q}，动量算符为p=-id/dq；而在动量空间{p}，位置算符q=id/dp。取动量空间为底流形（记为P），该底流形上的余切空间（也可能是切空间，这里姑且假定是余切空间）对应通常的位置空间，这样得到的余切丛T*P，相当于把通常的相空间辛流形T*Q中的坐标q与动量p互换角色（当然这只是一种比方性的说法，直接互换T*Q中的坐标q与动量p，是不能得到T*P的）。此时，时间算符T取代原Hamilton算符H的地位，同时需要引进[color=Blue]能量参数[/color]（具有能量量纲，取值在正负无穷大之间，通常的能量对应能量参数的差值），取代原[color=Blue]时间参数[/color]的地位。我们知道，Hamilton算符推动系统的态随时间参数而演化，而这里的时间算符则推动系统的态随能量参数而演化。通常的“守恒量”，指不随时间参数t变化而变化的量，推广到“广义守恒量”概念，指某个量不随某个参数变化而变化的量。例如不随能量参数e而变化的量，就是这样的一个广义守恒量，它表示这样的一个物理量：该量与零能参考点的选取无关。事实上，物理学中有意义的量常常是能量差值而不是能量的绝对值，这样的量就跟零势能参考点的选取无关。总之，我得到的理论系统与通常的分析力学之间有以下对偶关系：q←→p；H←→T；T*Q←→T*P.
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-2-14 16:32 编辑 [/i]]
季候风 2008-2-15 00:44
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2008-2-14 16:23 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=1268&ptid=180][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
嗯，前面10和11我又看得很吃力，12有点像是用辛几何语言重述分析力学
我为了研究时间算符T，曾经有过这样的想法：用d表示偏微分符号，我们知道，在位置空间{q}，动量算符为p=-id/dq；而在动量空间{p}，位置算符q=id/dp。取动量空间为 ... [/quote]
这个问题对我来说太深。我没有进过实验室，不知道测量是怎么一回事。也不懂时间的物理含义是什么。从数学上来看，时间就是系统演化的参数，跟坐标有本质的不同，即使是含时的 Hamiltonian，运用增广相空间，也只是自治系统与不自治系统的差别。如果要把时空平权，都作为演化的动力学量，那么演化过程自有其底层参数，能量和时间将都成为正则变量。能量不能成为参数。这样的理论已经有了，就是弦论。
嗯，前面10和11我又看得很吃力，12有点像是用辛几何语言重述分析力学
我为了研究时间算符T，曾经有过这样的想法：用d表示偏微分符号，我们知道，在位置空间{q}，动量算符为p=-id/dq；而在动量空间{p}，位置算符q=id/dp。取动量空间为 ... [/quote]
这个问题对我来说太深。我没有进过实验室，不知道测量是怎么一回事。也不懂时间的物理含义是什么。从数学上来看，时间就是系统演化的参数，跟坐标有本质的不同，即使是含时的 Hamiltonian，运用增广相空间，也只是自治系统与不自治系统的差别。如果要把时空平权，都作为演化的动力学量，那么演化过程自有其底层参数，能量和时间将都成为正则变量。能量不能成为参数。这样的理论已经有了，就是弦论。
捡柴郎 2008-2-15 01:24
[quote]原帖由 [i]季候风[/i] 于 2008-2-15 00:44 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=1285&ptid=180][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这个问题对我来说太深。我没有进过实验室，不知道测量是怎么一回事。也不懂时间的物理含义是什么。从数学上来看，时间就是系统演化的参数，跟坐标有本质的不同，即使是含时的 Hamiltonian，运用增广相空间，也只是自治系统与不 ... [/quote]
这里引入时间算符，不是为了让时空平权而引入，因为量子力学告诉我们，可观测的物理量对应力学量算符。时间除了作为演化参数，它本身还是一个可观测量，因此至少有两种不同角色意义上的时间概念，例如粒子的衰变寿命，粒子的到达时间，等等，都是可观测量，因此这激发人们研究时间算符。
这里引入能量参数，不是把现有物理学中的能量当作参数，这完全是两回事。
这里做的，相当于从位置空间到动量空间的一种对偶操作。在量子力学那里，位置空间和动量空间之间，存在一种对偶。在这个对偶关系下，与Hamiltonian算符对偶的对应物，就是时间算符。
这个问题对我来说太深。我没有进过实验室，不知道测量是怎么一回事。也不懂时间的物理含义是什么。从数学上来看，时间就是系统演化的参数，跟坐标有本质的不同，即使是含时的 Hamiltonian，运用增广相空间，也只是自治系统与不 ... [/quote]
这里引入时间算符，不是为了让时空平权而引入，因为量子力学告诉我们，可观测的物理量对应力学量算符。时间除了作为演化参数，它本身还是一个可观测量，因此至少有两种不同角色意义上的时间概念，例如粒子的衰变寿命，粒子的到达时间，等等，都是可观测量，因此这激发人们研究时间算符。
这里引入能量参数，不是把现有物理学中的能量当作参数，这完全是两回事。
这里做的，相当于从位置空间到动量空间的一种对偶操作。在量子力学那里，位置空间和动量空间之间，存在一种对偶。在这个对偶关系下，与Hamiltonian算符对偶的对应物，就是时间算符。
季候风 2008-2-15 01:56
所以我说这里的物理我不懂。我只是说在经典力学和量子力学的数学模型中，能量都是正则变量的函数，不涉入任何共轭关系。
[quote] 这里引入能量参数，不是把现有物理学中的能量当作参数，这完全是两回事。
这里做的，相当于从位置空间到动量空间的一种对偶操作。在量子力学那里，位置空间和动量空间之间，存在一种对偶。在这个对偶关系下，与Hamiltonian算符对偶的对应物，就是时间算符。 [/quote]
我怎么觉得这两段话自相矛盾？你说的“能量”到底是不是现有物理学中的能量？
[quote] 这里引入能量参数，不是把现有物理学中的能量当作参数，这完全是两回事。
这里做的，相当于从位置空间到动量空间的一种对偶操作。在量子力学那里，位置空间和动量空间之间，存在一种对偶。在这个对偶关系下，与Hamiltonian算符对偶的对应物，就是时间算符。 [/quote]
我怎么觉得这两段话自相矛盾？你说的“能量”到底是不是现有物理学中的能量？
星空浩淼 2008-2-15 10:35
我怎么觉得这两段话自相矛盾？你说的“能量”到底是不是现有物理学中的能量？
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这个解释起来话就长了。等过段时间我专门开贴详细说明一下（可惜我不会latex），那时我想借此机会请教季兄，看看如果用微分几何的语言来严格论述这个理论，是否存在什么问题，如果在微分几何的角度上它也没有什么问题，估计至少理论上是没有问题的。
下面我可以先大致说一些基本思想。前面只提到部分对偶关系中，还有以下对偶关系：
1）时间参数t被能量参数e取代。可以把e写成e=e_0+E，e_0是一个新的自由度，代表零能参考点，也可以看作一个均匀的常数势（即势与时空坐标都无关）。把一个物理系统放入一个均匀的常数势中，系统的物理规律不会变，这个变换不变性即是零能参考点的选取无关性，其变换被描述为能量平移(energy shift)，对应的生成元即是时间算符T。与之对偶地我们知道，物理系统具有时间平移（time translation）不变性，系统的Hamilton量H对应时间平移变换的生成元；
2）质壳关系E^2=p^2+m^2被四维时空间隔关系T^2=x^2+τ^2取代(这里用x而不是q表示位置坐标），其中m是固有质量，τ是固有时间。所描述的态由“固有质量本征态”ψ(t)变为“固有时间本征态”φ(e)，或者说由“粒子态”变为“事件态”，而Schrodinger方程
idψ(t)/dt=Hψ(t) (1)
被方程
-idφ(e)/de=Tφ(e) (2)
替代
设A是作用量，方程（1）和（2）可以分别由定义H+dA/dt=0和T－dA/de＝0再根据Hamilton-Jacobi方程推导出来。
一个具体的例子是：考虑一个沿X轴正向自由运动的电子，它的Hamilton算符H=αp+βm，其中p和m是电子的动量与固有质量，其他系数是Dirac矩阵。可以证明，通过把电子的到达时间用位置坐标x和动量p表达出来，再把表达式中的力学量x和p换成算符，把算符的排序对称化，就可以得到电子的到达时间算符为T=αx+βτ，因此有以下对偶关系：
电子的Hamilton算符H=αp+βm←→电子的到达时间算符为T=αx+βτ
不过，直接得到的时间算符T=αx+βτ中，τ是固有时间算符（也是非相对论到达时间算符，传统理论中对它有过大量研究），而不是一个c数。只有转到由上面方程(2)描述得“固有时间本征态”φ(e)上来，τ才变成c数的固有时间形式。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-2-15 11:14 编辑 [/i]]
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这个解释起来话就长了。等过段时间我专门开贴详细说明一下（可惜我不会latex），那时我想借此机会请教季兄，看看如果用微分几何的语言来严格论述这个理论，是否存在什么问题，如果在微分几何的角度上它也没有什么问题，估计至少理论上是没有问题的。
下面我可以先大致说一些基本思想。前面只提到部分对偶关系中，还有以下对偶关系：
1）时间参数t被能量参数e取代。可以把e写成e=e_0+E，e_0是一个新的自由度，代表零能参考点，也可以看作一个均匀的常数势（即势与时空坐标都无关）。把一个物理系统放入一个均匀的常数势中，系统的物理规律不会变，这个变换不变性即是零能参考点的选取无关性，其变换被描述为能量平移(energy shift)，对应的生成元即是时间算符T。与之对偶地我们知道，物理系统具有时间平移（time translation）不变性，系统的Hamilton量H对应时间平移变换的生成元；
2）质壳关系E^2=p^2+m^2被四维时空间隔关系T^2=x^2+τ^2取代(这里用x而不是q表示位置坐标），其中m是固有质量，τ是固有时间。所描述的态由“固有质量本征态”ψ(t)变为“固有时间本征态”φ(e)，或者说由“粒子态”变为“事件态”，而Schrodinger方程
idψ(t)/dt=Hψ(t) (1)
被方程
-idφ(e)/de=Tφ(e) (2)
替代
设A是作用量，方程（1）和（2）可以分别由定义H+dA/dt=0和T－dA/de＝0再根据Hamilton-Jacobi方程推导出来。
一个具体的例子是：考虑一个沿X轴正向自由运动的电子，它的Hamilton算符H=αp+βm，其中p和m是电子的动量与固有质量，其他系数是Dirac矩阵。可以证明，通过把电子的到达时间用位置坐标x和动量p表达出来，再把表达式中的力学量x和p换成算符，把算符的排序对称化，就可以得到电子的到达时间算符为T=αx+βτ，因此有以下对偶关系：
电子的Hamilton算符H=αp+βm←→电子的到达时间算符为T=αx+βτ
不过，直接得到的时间算符T=αx+βτ中，τ是固有时间算符（也是非相对论到达时间算符，传统理论中对它有过大量研究），而不是一个c数。只有转到由上面方程(2)描述得“固有时间本征态”φ(e)上来，τ才变成c数的固有时间形式。
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-2-15 11:14 编辑 [/i]]
windowsxp 2008-2-15 21:16
[quote]用数学语言总结一下：对于辛形式满足整性条件的辛流形 ，可以进行预量子化。首先，构造一个线丛和丛上一个联络，使得这个联络的曲率是 . 然后，取线丛的所有光滑截面，组成线性空间 V, 这些截面是“波函数”的推广。最后，对 M 上每一个光滑函数 f（经典力学变量），构造作用在 V 上的算子 . 这些算子满足 Dirac 量子条件，且常数变量对应到常数算子。
虽然这里的数学很漂亮，但这还不是真正的量子化。要同量子力学原理相一致，需要去掉一些“波函数”（截面），还要在剩下的截面之间定义内积，使量子力学的概率解释有效。
[/quote]
从物理意义上讲
辛流形这里是指的是约束粒子系统的相空间么？
这里为什么要“构造”一个线丛呢？对其有什么拓扑的要求？截面“波函数”应该满足怎样的薛定谔方程？
丛上一个联络是如何构造的？有没有自然的联络？这个联络有什么用？
分析力学里面有辛几何表述的话是不会涉及联络的，也没有度规测度等问题，完全是一个动力系统的问题。
如何剩下的截面之间定义内积？
虽然这里的数学很漂亮，但这还不是真正的量子化。要同量子力学原理相一致，需要去掉一些“波函数”（截面），还要在剩下的截面之间定义内积，使量子力学的概率解释有效。
[/quote]
从物理意义上讲
辛流形这里是指的是约束粒子系统的相空间么？
这里为什么要“构造”一个线丛呢？对其有什么拓扑的要求？截面“波函数”应该满足怎样的薛定谔方程？
丛上一个联络是如何构造的？有没有自然的联络？这个联络有什么用？
分析力学里面有辛几何表述的话是不会涉及联络的，也没有度规测度等问题，完全是一个动力系统的问题。
如何剩下的截面之间定义内积？
季候风 2008-2-15 22:47
[quote]原帖由 [i]windowsxp[/i] 于 2008-2-15 21:16 发表 [url=http://www.fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=1358&ptid=180][img]http://www.fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
从物理意义上讲
辛流形这里是指的是约束粒子系统的相空间么？
这里为什么要“构造”一个线丛呢？对其有什么拓扑的要求？
丛上一个联络是如何构造的？有没有自然的联络？这个联络有什么用？
[/quote]
你引的是我的总结，这些问题正是十一，十二两个帖子讨论的内容啊
[quote]
分析力学里面有辛几何表述的话是不会涉及联络的，也没有度规测度等问题，完全是一个动力系统的问题。
[/quote]
所以第十二个帖子里没有联络，度规和测度。但是量子化的过程中需要这些。
[quote]
截面“波函数”应该满足怎样的薛定谔方程？
如何剩下的截面之间定义内积？ [/quote]
截面之间有自然内积，就是点点内积然后积分。
[tex](\psi,\psi')(x) := \psi(x)\overline{\psi'(x)}[/tex].
因为线丛的转移函数取值在 U(1) 中，以上定义不依赖局部坐标选取。
这样点点内积是一个函数，可以在辛流形上积分，
[tex](\psi,\psi')=\int_M \psi(x)\overline{\psi'(x)}\omega^{n/2} [/tex].
截面的时间演化会在以后的帖子中讨论。这些都是预量子化的方面，接下来会谈到真正的量子化。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-2-15 23:09 编辑 [/i]]
从物理意义上讲
辛流形这里是指的是约束粒子系统的相空间么？
这里为什么要“构造”一个线丛呢？对其有什么拓扑的要求？
丛上一个联络是如何构造的？有没有自然的联络？这个联络有什么用？
[/quote]
你引的是我的总结，这些问题正是十一，十二两个帖子讨论的内容啊
[quote]
分析力学里面有辛几何表述的话是不会涉及联络的，也没有度规测度等问题，完全是一个动力系统的问题。
[/quote]
所以第十二个帖子里没有联络，度规和测度。但是量子化的过程中需要这些。
[quote]
截面“波函数”应该满足怎样的薛定谔方程？
如何剩下的截面之间定义内积？ [/quote]
截面之间有自然内积，就是点点内积然后积分。
[tex](\psi,\psi')(x) := \psi(x)\overline{\psi'(x)}[/tex].
因为线丛的转移函数取值在 U(1) 中，以上定义不依赖局部坐标选取。
这样点点内积是一个函数，可以在辛流形上积分，
[tex](\psi,\psi')=\int_M \psi(x)\overline{\psi'(x)}\omega^{n/2} [/tex].
截面的时间演化会在以后的帖子中讨论。这些都是预量子化的方面，接下来会谈到真正的量子化。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-2-15 23:09 编辑 [/i]]
ccmmjj126 2010-6-9 17:13
辛几何与酉空间恰成绝对。
看了，粗粗学习一下。不是很懂。不过看得出来，是好东西。我见识过一个副教授，也搞“几何量子化”，出了一本书，是什么水利出版社出的，说是和一名正教授合作写的，书名我没记住，内容略知一二，大概说是点有宽度的，点和点之间是有缝隙的，于是推理下来，糠脱的无穷集合理论是错误的。长篇大论，一百多贴发在我以前去的一个论坛上，引起大哗，说严重鄙视他所在大学的学术水平。骂这两教授是民科。想起来，也挺好笑的。
我就是这样，言语直率，有冒犯季老师之处，尚请原谅。古人有云：“善戏谑兮，不为虐兮”是我的言语守则。
看了，粗粗学习一下。不是很懂。不过看得出来，是好东西。我见识过一个副教授，也搞“几何量子化”，出了一本书，是什么水利出版社出的，说是和一名正教授合作写的，书名我没记住，内容略知一二，大概说是点有宽度的，点和点之间是有缝隙的，于是推理下来，糠脱的无穷集合理论是错误的。长篇大论，一百多贴发在我以前去的一个论坛上，引起大哗，说严重鄙视他所在大学的学术水平。骂这两教授是民科。想起来，也挺好笑的。
我就是这样，言语直率，有冒犯季老师之处，尚请原谅。古人有云：“善戏谑兮，不为虐兮”是我的言语守则。
小李飞刀 2010-6-9 20:18
回复 14# 的帖子
我还看过最新出版的一本书，国防工业大学出版的。 说是在.......思想的指导下，作者大胆破除迷信，质疑权威云云，否定了方程伽罗瓦理论，我那个汗啊。页: [1]
查看完整版本: 漫谈几何量子化（十，十一，十二）
Powered by Discuz! Archiver 6.0.0 © 2001-2006 Comsenz Inc.
