《庞加莱大奖》中文版（翻译by linboll）——
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代数拓扑的时代可以说开始于1892年10月31日，星期一。Félix Joseph Henri de Lacaze-Duthiers--一位杰出的动物学家和具有圣经中提到的紫蓝色的地中海软体动物的发现者--主持这一天在巴黎举行的法兰西科学院会议。大量关于化学、物理、天文学、力学、植物学、地质学和生理学的通信在与会者面前被宣读，还有外交部长的一份关于法国驻亚美尼亚大使观测月虹的报告。在四点半的时候，一个秘密委员会召开会议选举出保罗·埃米尔·阿佩尔（Paul émile Appell）,庞加莱以前在南希的同学和奥斯卡奖（译者注：参见第四章）的第二名获得者，作为科学院几何学部的一名新成员。在五点一刻的时候会议结束了。 这天的会议日程之一是庞加莱的一个题为“关于位置分析”的报告。它很短，而且后来发表在科学院会议录的论文只有三页。庞加莱宣读他的论文的时候还沉浸在父亲去世的痛苦中，他的父亲死于五周前一次不幸摔倒的后遗症。巧合的是，那时也仅是恩里克·贝蒂（Enrico Betti）逝世的十周之后。 报告的开头并不吸引人。“我们知道曲面的连接顺序在函数理论中扮演的重要角色，即使这一概念是借用于一个完全不同的数学分支，就是位置几何学或者说位置分析，”庞加莱告诉科学院的成员们。不过他多少有点不安，尽管他坚信这一学科的重要性。很明显，他认为他需要让自己对如此神秘的领域的研究合理化。"回避大于三维的几何学的人们可能认为这些结果只是智力游戏，"他承认，但补充道“因为这些研究会有几何以外的应用，所以研究它们并推广到大于三维的空间还是有些用的。”为了进一步为自己的选择正名，他指出埃米尔·皮卡（émile Picard）对贝蒂数的巧妙利用已经展示了这一新理论的工具在纯分析学和普通几何学上的应用。 之后庞加莱直奔要点。“有人也许会问--从位置分析的观点--贝蒂数足够刻画一个闭曲面的特征吗？”答案是肯定的，他解释道，在三维空间中可以把一个曲面通过连续形变变为另一个，只要两个曲面的贝蒂数相同。于是贝蒂数已经足以拓扑地描述三维空间中的二维曲面。从这一点出发，有人也许会相信在高维空间中结论也成立。但真的成立吗？在报告的这个时候，庞加莱语出惊人：“相反的命题是正确的”，他断言，并接着通过构造一个四维空间中的反例证明了自己的断言。而我们都知道，一个反例足以否定一个数学命题。 有了这篇小作品——一篇记录而不是一篇论文——舞台已经搭好，只待后人了。然而即使庞加莱把“位置分析”视为极为重要的分支，他自己却对它没有多少信心。当他1901年应瑞典数学家约斯塔·米塔格·列夫勒（G?sta Mittag-Leffler）的请求来总结自己到那时为止的工作时，他在总共103页中只给了位置分析4页。（而且这四页也未收入11卷的庞加莱文集中）当然，那时只有前两份补充写好了，但是即使如此人们也会期待庞加莱在这个之后仍然很新的学科多花些精力。不过明显的缺乏热情并不意味着庞加莱忽视拓扑学的影响力。相反地，他认为其影响力无处不在。“我踏上的每条分开的路径最终都指向位置分析，”他在对自己工作的评价中写道。他指的路径包括微分方程定义出的曲线、三体问题、二元函数、重积分、扰动函数、群论。“正是这些原因让我在这一数学的新分支贡献了相当长的论文。” 而论文确实长。《巴黎综合理工大学学报》，该大学的学术期刊，创刊于大革命三年（即1795年），当时刚刚发行了一百年。这正是重新开始的时候，而庞加莱的论文就占据了新一辑的首卷的前121页，他对长度表示遗憾，但表示他自己是控制不住。“当我试图控制篇幅的时候，论文就变得难以理解了。所以我还是选择稍微啰嗦一点。” 庞加莱的论文以强调几何图形对数学研究的重要性开始。它们对两个变量的函数理论非常有用。他断言并提醒读者，当人们研究四个变量的函数时对于几何图形的缺乏是多么遗憾。它们的贡献是什么方式呢？庞加莱断言，通过唤起人的感觉，对几何图形的仔细考察弥补了人思维的局限性。进一步他断言：“几何学是对制作得糟糕的图形进行分析推理的艺术。” “制作得糟糕”不能太从字面上理解。如果它们不是为了让读者迷惑，图形各部分的相对位置就不应该变动。但是它们的比例可能大变。我们回顾一下拓扑学的标准定义：拉伸和压缩是允许的，但是撕开和粘合不是。我们也将发现庞加莱处理代数拓扑的方法是直觉的。 不幸的是，直觉往往和不严谨相关联。今天没人会承认一个不是完全严谨的证明，因为如果不严谨的话数学就什么都不是了。人们在处理几何对象的时候可能不要求非常严谨，毕竟每个人都能想象漂浮在三维空间中的它们。不过一小部分拓扑学家也许应该早点意识到这一点，即使是早在1890年代，因为警钟已经敲响了。在处理二维物体（一个数学家们可能相信他们不会被直觉误导或欺骗的领域）的工作中，一些知名数学家在若干年前写的论文被发现了错误。 不过数学界愿意原谅庞加莱的不严谨（译者注：原文为exuberance，不知何意）。尽管几何、数论、代数和微积分已经是根深蒂固的领域而且有自尊的数学家都不会接受虚张声势的证明，在这个新学科里，直觉即使不是被完全接受，却也心照不宣地被宽容。而要等到二十年之后，数学家们才把坚决的严谨性施加给拓扑学。 严格的证明和准确的定义都未出现在庞加莱开创性的论文中。读者经常需要通过上下文仔细揣摩作者心里的想法。事实上《位置分析》这篇论文尽管有很多细节，却只贡献了进一步研究的一个提纲。但是只要放下架子仔细读论文的缺点之外的东西，你很快就会意识到它充满了新发现。“几乎每部分都是新颖的想法。”著名法国数学家让·迪厄多内（Jean Dieudonné）在近一个世纪后惊呼道。他被论文吸引了，庞加莱不凡的直觉和想象力让他很少迷惑。 论文的开头先定义了拓扑空间、子空间和流形。流形可以被想象成飘在空中的飞毯。（在这本书中我会交换着使用“对象”、“空间”、“物体”和“流形”这几个词。）用术语来说，飞毯就对应着嵌入三维空间的有界二维流形。飘浮的被子也算，因为二维流形可以通过粘合平面物体得到。莫比乌斯带也是流形——因为它们是通过把平的带子扭转后与自己粘合得到的——圆柱，甚至是球，也是流形。相比之下想象一个球是流形是更难的，不过别忘了拓扑学不管有没有角，所以球可以通过把六个正方形粘成一个立方体得到，或者是把四个三角形粘成一个四面体。 庞加莱也解释了同胚的概念：两个对象称为同胚的，或者拓扑等价的，如果一个可以通过拉伸、折叠、压缩形变成另一个，但不包括撕开和粘合。一块地毯和一床被子同胚，但是和雨披就不同胚。（译者注：雨披的中间有个洞，以便把头套进去。） 庞加莱在他的论文中还提出了很多概念、想法和术语，包括同调、单侧流形（例如莫比乌斯带，以及相应的高维单侧流形），基本群，单纯形，复形，单连通复形——简直是一群抽象、珍奇的事物的展览。在这本书中，当有需要时我会介绍并解释它们。现在我限制关注其中两个概念：贝蒂数和对偶定理。 庞加莱称之前的数学家们已经知道并使用了对偶定理，尽管没有证明它。“我相信这个定理甚至从没被表述过。然而很多发现了它的一些应用的人都知道它。”不幸的是他并未指出“很多人”是谁，就继续给出了他认为的对定理的一个证明。在之前的一章我写过，贝蒂数描述了流形的形状。k维贝蒂数与一个n维流形的k维连通性有关。 对偶定理称，对于n维闭流形，k维贝蒂数和(n-k)维贝蒂数是相等的。我们可以验证一下，例如圆（贝蒂数是（1，1））、球（贝蒂数是（1，0，1））、面包圈（贝蒂数是（1，2，1）），或者四维空间中的三维面包圈（（1，3，3，1））。这个定理的惊人推论是这些流形不同维的连通情况不是相互独立的，而是遵从某些规律的！ 《位置分析》变成了代数拓扑学的《圣经》。然而和《圣经》相比人们在数学论文中会期待证明，而不是预言和教诲的故事。在1980年代末，迪厄多内给出了对《位置分析》各部分的深入总结和分析。在他认为应该批评的地方他用词并不委婉。“总是懒得证明”“不系统的假设”“完全没有说服力”“相当难懂”“不加区分的断言”“没有任何理由”和“不完整”是他的一些评论。令人惊讶的是，迪厄多内的评论也充满了称赞。他的评论这样结尾：“这样这篇迷人又气人的论文就结束了。尽管有缺点，它却包含了代数拓扑学今后三十年大部分发展的萌芽。”
