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第三章 晶格振动与格波
§3.7 声子的热导率（非简谐效应）
我们在(3.4)式中展开相互作用能时仅保留了δ2项，而忽略了δ的三次方以上的高次项，即作简谐近似。在这样的近似下，晶格的原子振动可以描述成为一系列线性独立的谐振子。由于振动是线性独立的，相应的振子之间不发生作用，因而不能交换能量，这样，在晶体中某种声子一旦被激发出来，它的数目就一直保持不变，它既不能把能量传递给其它频率的声子，也不能使自己处于热平衡分布。
实际晶体中δ三次项及高次项的存在，晶格振动就不是严格的线性独立谐振子。当原子位移小时，δ三次项及高次项与δ2项相比为一小量，则可把这些高次项看成微扰项。这样，这些谐振子就不再是相互独立的，而是相互间要发生作用，即声子与声子间交换能量。如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子，即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的声子会产生。经过一定时间弛豫之后，各种声子的分布就达到热平衡。
两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三个声子，这可看成是两个声子相互碰撞，最后变成为第三个声子。声子之间的相互作用必须遵守能量守恒定律和动量守恒定律。
(3-42)
（正常过程Normal process） (3-43)
或 
（倒逆过程Umklapp process） (3-44)
图3-16
问题11：如何理解倒逆过程？
1. 热导率
定义： 
(3-45)
其中Q为热能流密度，即单位时间内通过单位面积的热量，κ为热导率。
对绝缘体，晶体中的热导主要由声子来完成。把声子与气体分子相比较，借助气体分子论的图像和推导，我们将证明：
. (3-46)
设晶体的单位体积热容量为C，晶体存在温度差，高温的一端，晶体的晶格振动将具有较多的振动模式和较大的振动幅度，也即较多的声子被激发。当这些格波传至晶体的另一端，使那里的晶格振动趋于具有同样多的振动模式和幅度，这样声子就把热量从晶体一端传到另一端。如果晶格振动间也即声子间不存在相互作用，则热导系数κ将为无穷大，即在晶体内不能存在温度梯度。（对存在相互作用的正常过程，如图3-16，由于总动量守恒，热导也为无穷大）。实际上，声子之间存在相互作用，当它们从一端移向另一端时，相互间会发生碰撞，也会与晶体中的缺陷发生碰撞，因此声子在晶体中移动时，有一个自由路程l，这是在两次碰撞之间声子所走过的路程。假设晶体内温度梯度为dT/dx，则在晶体中距离相差l的两个区域间的温度差△T可写成：
△T=－(dT/dx)l
图3-17
声子移动l后，把热量C△T从距离l的一端携带到另一端。若声子在晶体中沿x方向的移动速率为vx，则单位时间内通过单位面积的热量，即热能流密度Q或写成：
Q=(C△T)vx=－CvxldT/dx，
因为 l= τvx，，其中τ为声子两次碰撞间的相隔时间，
这里，
应是对所有声子的平均值，由能量均分定理可知，
于是有(3-46)式.
在高温下，
；而在低温下 
[问题12：为什么？]。所以T→0K，κ→∞。[转问题13b]实际上，存在杂质、缺陷，则声子的平均自由程由D决定，D为常数，(3-38)式变为
低温下，
。
电介质晶体有很高的热导，如Al2O3单晶（Saphire），在30K，其热导率达到最大值： 200Wcm-1K-1，比金属Cu的最大值100Wcm-1K-1还高；金属Ga在1.8K达到最大值：845Wcm-1K-1。
（有关金属电子的热导率见第四章）
图3-18
2. 热膨胀
物体的热膨胀是由势能曲线的不对称性所导致的。（详见量子力学）
问题13：
a)声子的速度是由什么决定的？与温度关系如何？与格波关系又如何？
b)声子有几种可能的散射机制？它们与温度的关系又如何？
c)声子参与各种物理过程，与其他元激发等产生相互作用，导致或影响多种物理现象，设想发现了一种新的现象，请设计一个实验判断声子是否参与影响该现象。
