qm01 qmdictionary 安徽大学物理学院整数自旋只能用对易(对易ab=ba)，半整数自旋只能用反对易(反对易ab=

来源: marketreflections 于 2011-10-02 01:45:49 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 阅读数 : (129869 bytes)

回答: 对于较复杂的三体、四体甚至五体系统，往往需要很大数目的基矢：r能得到满意的解由 marketreflections 于 2011-10-01 12:30:23

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第4章力学量用算符表达与表象变换

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安徽大学物理学院. 第4章. 力学量用算符表达与表象变换. Observables expressed as operators and the transformation of representation ...

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Dirac方程要求波函数（表示空间）必须是有偶数个分量（即表示空间必须是偶数维的）；那么从群论的角度看，Lorentz群的表示空

来源: marketreflections 于 2011-10-01 07:27:22[档案] [博客] 旧帖] [转至博客] [给我悄悄话] 本文已被阅读：3次

回答: phymath01 与玻色子不同，另一类粒子在一种状态上只能有一个存在，如电子、质子、中子、3种中微子等，原子的K层上有2个状态由 marketreflections 于 2011-10-01 07:06:14

自旋为半整数的粒子为波函数交换反对称的费米子，整数则是交换对称的玻色子。上次我问一位老师，有没有理论解释为什么自旋为半整数的波函数就是交换反对称，整数就是交换对称，他想了想说，他想不到有什么理论能解释，所以就当成由实验总结出来的定律。那么，果真没有吗？
	顶 0

2011-03-09 13:05 回复

dkcxp 53位粉丝正式会员 5	2楼和量子态有没有关系？半整数自旋的不能同时处于同一量子态
2011-03-09 13:12 回复

风行者坂上中微子 365位粉丝正式会员 5	3楼不能同时处于同一量子态——这是波函数交换反对称的推论，而不能成为解释为什么自旋半整数就会导致这种情况的原因。
2011-03-09 13:14 回复

dkcxp 53位粉丝正式会员 5	4楼哦，我明白了，坐等高手回答
2011-03-09 13:43 回复

kof9595995 20位粉丝初级粉丝 1	5楼可以查查QFT里的spin-statistics theorem
2011-03-09 16:56 回复

_半颗烟_ 9位粉丝正式会员 5	6楼你老师说的没错这个在非相对论量子力学里确实有一半实验结论的嫌疑。电子的自旋为半整数时相对论量子力学的自然结果，可以说是一种相对论效应。
2011-03-09 23:25 回复

kof9595995 20位粉丝初级粉丝 1	7楼回复：6楼你混淆了许多东西，第一自旋1/2并不是相对论效应，将非相对论性的薛定谔方程写成关于时间空间的一阶导数，依然可以得到1/2自旋;第二波色子也有可以有自己的相对论性量子力学。
2011-03-10 01:43 回复

风行者坂上中微子 365位粉丝正式会员 5	8楼回复：5楼
2011-03-10 14:09 回复

弦疯K
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9楼

这个问题如果从纯理论的角度来解释的话，可以追溯到场论当中对于Fermi场和Bosen场所用到的量子化方案的区别。
我们知道把一个经典理论变成量子理论需要采用量子化方案。通常的量子化方案是所谓的正则量子化，即找出体系的Lagrangian,然后找出体系的正则变量x,p，然后赋予正则变量对易关系：[x,p]=i；然便完成了量子化。
对于Bosen,量子理论就是采用的上面的这种方法去量子化Bosen体系，然而对于Fermion体系，上述量子化方案的结果就会导致因果律的矛盾，以及体系出现负能解的矛盾。因此，为了解决这些问题，对于Fermion场我们采用了赋予正则变量反对易关系的办法，这样就可以解决Fermion体系出现的负能量问题和因果律矛盾的问题了。
总而言之，从理论上讲，Fermi体系存在波函数交换反称是由于{x,p}=i所致的；而Bose体系出现的波函数交换对称是由于[x,p]=i所致的。

2011-03-10 17:06
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风行者坂上中微子 365位粉丝正式会员 5	10楼表示理解起来有困难。。。= = 而且我看不出这为什么会落实到“自旋”上。。。
2011-03-10 17:11 回复

kof9595995
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11楼

回复：10楼
简单理解逻辑上是这样的：一般量子化一个场要选择对易或反对易关系，对易关系会导致交换对称性，反对易会导致交换反对称性（这点通过写一下场的升降算符，作用在态矢上，很容易看出），就是说统计是由对易或反对易决定的。
现在再来看自旋，整数自旋和半整数自旋的场算符的一般形式是不一样的，写下半整数自旋的场的数学形式，代入对易关系里，会发现出现9楼所说的问题；同样的整数自旋用反对易关系也会出现类似的问题。也就是说整数自旋只能用对易，半整数自旋只能用反对易。
所以第一段提到了对易反对易与统计是有直接关系的，第二段提到了对易反对易与自旋的关系，那么我们也就建立了自旋和统计之间的关系。这个大体上就是spin-statistics theorem了

2011-03-10 20:12
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弦疯K
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12楼

回复：10楼
额...我觉得这个和自旋的关系不是很容易说清楚...简而言之就是满足Dirac方程的场量采用的是正则坐标和正则动量反对易的方法做的量子化，这样的结果就会导致满足Dirac方程的场量出现交换反称的情况，也就是量子力学中所谓的波函数交换反称的情况，然而Dirac方程描述的都是自旋为半整数的Fermion，所以Fermion会存在波函数交换反称的情况。而对于Bosen场则采用的是正则坐标和正则动量对易的方案，因此Bosen具有波函数交换对称的性质，而且Bosen的自旋都是整数倍。

下面用比较数学的话来说明一下为什么Dirac方程描述的是自旋为半整数的粒子。应该对LZ理解这个问题有点帮助~~

如果严格一点说的话，Fermion必须服从Dirac Eq.而Dirac方程要求波函数（表示空间）必须是有偶数个分量（即表示空间必须是偶数维的）；再严格一点说，满足Dirac方程的波函数叫做Dirac旋量，如果Dirac旋量存在N个分量，那么N则必须是偶数，这一点可以用相对论量子力学中对α、β矩阵的分析得出。当然如果你学过群论，那么从群论的角度看，Lorentz群的表示空间是由两个不可约的表示空间直和得到的，因此它的维数必然是偶数。另一方面按照角动量的理论，我们知道自旋的取值有2s+1个，换句话说Dirac旋量的表示空间必须是2s+1维的，显然就有2s+1=N,然而N是偶数则说明s必须是半整数，因此这就说明Dirac Eq描述的粒子必须是自旋为半整数的粒子，也就是Fermion。然而我们对满足Dirac Eq的场量采用的是反对易关系的量子化方案，由于有别于一般的情况下[x,p]=i的这种情形，所以导致了Dirac场（也就是Fermion的波函数）存在交换反称的现象~~~

需要指出一点，一般描述电子的情况，Dirac旋量的表示空间通常是N=4的情况，那么s按理说应该是s=3/2,然而电子的自旋却是s=1/2，原因很简单，因为前面说过了，Dirac旋量的表示空间是两个二维的表示空间直和得到的，因此这里面的N实际上应该取2，因此得出的结果就是s=1/2，也就是电子的自旋是s=1/2。从物理一点的角度来说，这两个不可约的表示空间暗示了电子存在一种与它对应的共轭粒子------反电子。因此描述电子的时候需要用两个不可约表示空间的直和。

2011-03-10 20:50
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风行者坂上中微子 365位粉丝正式会员 5	13楼完全。。。不懂。。。我还是只看11楼，和12楼的第一段好了。。。呵呵，没办法，现在只能勉强接受一些定性解释。。。
2011-03-10 20:55 回复

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14楼

将云大吧的话说简单点就是, 为了满足相对论协变要求, Dirac方程会自动要求引入1/2自旋. 到了量子场论中, 就是要求拉氏密度和作用量满足相对论协变要求, 这时也会自动引入自旋, 但是具体是多少则跟场的量子化规则有关(量子化规则是人定的, 是假设是公理, 由实验检验).

自旋只是经典类比, 自旋到底是什么我们并不清楚, 只要满足角动量对易规则的量就是角动量, 而如果其中不牵涉到轨道, 那么就只能说其是自旋了, 由满足相对论协变性要求, 正好可以导出某些量满足角动量对易规则, 这些量就被称为自旋.

2011-03-10 22:12
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kof9595995 20位粉丝初级粉丝 1	15楼自旋1/2并不是相对论效应，这是个常见误区，可以看一下 Greiner, "Quantum Mechanics, an introduction" chapter 13： "A nonrelativistic wave equation with spin".对这个问题的讨论。
2011-03-10 22:45 回复

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16楼

回复：15楼
看过了, 这并不能说明1/2自旋不是相对论效应. 在Greiner的推导中, 他采用了线性化假定, 这个假定的适用范围是什么并没有说清楚, 这个线性化假定也不是一个基本原理, 人为凑的. 实际上这个做法和Dirac推导Dirac方程的做法几乎一样, 只不过将能量用非相对论形式表示而已.

满足相对论协变性要求是普适的, 只要满足这个要求必然会出现自旋. 如果要说错, 那么就回到更原始的问题上了, 相对论是否是关于时空唯一正确的理论. 有人说以太是存在的, 用以太也可以解释所有实验现象(相吧里有许多这样的讨论), 而爱因斯坦并不能驳斥以太存在, 他的回答是我们不需要以太(摘pipi老师的话), 相对论比以太简单得多.

2011-03-10 23:10
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弦疯K
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17楼

14L说的基本没问题，所谓的自选其实是角动量局限在静止系中的情况。在静止系可以测得粒子存在角动量，那么就把这个叫做自旋角动量，也就解释成是粒子的内秉自由度。

把自旋理解成是由于引入相对论协变性的导致的物理结果并没有什么原则上的错误。严格说是由于量子理论的线性性和Lorentz协变性共同导致了自旋的出现，因为毕竟最初的Klein-Gordon Eq（非线性的方程）并没有要求理论中必须包含自旋。

再确切点说，所谓的自旋只不过是Lorentz群的六个生成元当中与boost有关的那三个生成元，因此把自旋说成是由于Lorentz变换（相对论协变性）所导致的效应并没有什么本质性的错误。

2011-03-10 23:23
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kof9595995
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18楼

回复：16楼

狄拉克的方程做了两件事，一是采用相对论色散关系，二是将时空导数都写成一阶，Greiner的推导告诉你是第二点导致了自旋1/2,也就是说根本不是来自相对论。
“满足相对论协变性要求是普适的, 只要满足这个要求必然会出现自旋”克莱因高登也满足洛伦兹协变，但没有自旋自由度。
回复：17楼
克莱因高登方程是线性的啊，只不过是二阶的

2011-03-11 00:48
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kof9595995
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19楼

而且如果从现代观点看，自旋其实根本无所谓能“自然地推导出来”，自旋在你选取场的数学形式时就已经决定了。我们至多能做到的是构造一个场使其正确描述某一特殊类型的粒子，却不能从某个第一原则出发“自然推导出”自旋1/2之类的结论。
另外，我相信构造一个非相对论性的旋量场不成什么问题，虽然我没自己算过。

2011-03-11 01:00
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20楼

回复：18楼
明白你的意思了, 线性化导致1/2自旋, 但是我觉得这仅仅对s=1/2成立. 从量子场论的观点看, 不管自旋量子数是多少, 都应该被同一个理论所描述, 而在推导这样的理论时正好要利用相对论协变性.

回复: 19楼
在推导自旋时, 推导过程与场的具体形式无关, 得到的表达式是普适的, 在具体应用时, 只要给出拉氏密度函数的具体形式, 代入表达式, 就可以得到对应的自旋. 参考Greiner, Field Quantization(第一版) 第2章第4小节中的Lorentz不变性(44页), 他写了如何从Lorentz变换下系统拉氏量不变的要求自然得到自旋.

2011-03-11 08:42
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相关长度 2位粉丝正式会员 5	21楼补充: Klein-Gordon方程在场论中对应自旋为零的粒子而已, 而Dirac方程对应1/2自旋, Maxwell方程对应自旋为1. 它们都在一个理论框架中得到描述.
2011-03-11 09:04 回复

风行者坂上中微子 365位粉丝正式会员 5	22楼一大早刚喝完感冒冲剂，见此表示鸭梨很大。。。呵呵~
2011-03-11 09:14 回复

kof9595995
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23楼

回复：21楼
自旋为0不就是没有自旋自由度么，这个我应该没说错吧。

回复：20楼
看了一下，其实那个推导和我们讨论的问题关系不大，任何一个有旋转不变性的经典场都会存在角动量这个守恒量，即使在非相对论理论里也可以类似的量。
我觉得在我们讨论到的话题里，唯一相对论和自旋之间产生必然关系的，是相对论导致了spin-statistics connection

2011-03-11 11:34
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kof9595995 20位粉丝初级粉丝 1	24楼话说greiner的书的确本本精品，可惜我一本也没大块地读过
2011-03-11 11:37 回复

弦疯K
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25楼

额...先说一下17L里面说的“非线性方程”意思是说“非一阶的线性方程”。起初的说法不正确，但是并没有引起歧义，因此这不是重点...

你们讨论的问题重点在于能不能由相对论的协变形式，即Lorentz协变性得到“相对论性量子理论要求理论中包含自旋”的这个结论。我觉得这个问题的答案是肯定的，而且原因是清楚的。

可以从数学上来看这件事。因为相对论性的量子理论都是要求存在Lorentz协变性，因此只要对Lorentz群的性质稍加分析就能看出结论。首先按照Lorentz群的群代数可以给出Lorentz群的生成元和所谓的李代数规则，然后按照Noerher Therem可以给出所谓的守恒流，算出的结果就是：守恒流的明显表达式：J=∫dx^3*（ψ^+）(x×p+∑/2)（ψ）
由于J是守恒的，而且由Lorentz的群代数可知J满足的代数规则是J×J=iJ，因此物理上把J诠释成角动量。然后把J限制在静止系上来看，不难得出在静止系下，J的分量都存在本征值为±1/2的本征态也即是∑/2的本征态，由于∑/2与J服从同样的代数关系，因此把S=∑/2诠释为为内秉角动量（自旋角动量）。

以上是只从数学的角度分析Lorentz群的代数得出的Lorentz协变的理论中要求存在内秉角动量原因。

再看Dirac理论的情况，由于Dirac理论中，γ矩阵满足Dirac代数（反对易关系），因此很容易证明Dirac理论中Lorentz群的表示空间必须是偶数维度的。然而可以证明Lorentz群的表示空间是由两个不可约的表示子空间直和得到的，而且Pauli矩阵的反对易关系也要求Pauli算符的表示空间也必须是偶数维的，而表示空间的维数又等于2s+1（其中s是旋量的阶数），所以每个表示子空间的维数也必须是偶数维的，因此可以得到2s+1=偶数，所以Dirac理论中（Dirac方程）可以描述旋量阶数为半整数的情况，也即是自旋为半整数的粒子。

然而如果抛去Dirac理论中要求的γ矩阵满足Dirac代数，那么只需要满足Lorentz群的每个表示子空间的维数是整数的就行了，因此得到的关系就是2s+1=整数，所以只考虑Lorentz协变性的量子理论中，要求粒子存在自旋是整数或者半整数的内秉角动量。

所以综上可知，单单分析Lorentz群的代数与其表示空间就可以得出理论要求粒子存在内秉自由度；因此不论是Klein-Gordon理论还是Dirac理论还是Maxwell理论，由于都是在Lorentz群的表示空间上建立的量子理论，所以都要求理论本身存在自旋为整数或者半整数的粒子。分析Lorentz群等于分析Lorentz协变性，所以认为“Lorentz协变性导致了理论存在自旋”是可以的。

另外还有一点，由于Lorentz群的表示空间可以拆成两个不可约的子表示空间的直和，所以这暗含着相对论性的粒子都都存在一种与之对应的共轭粒子--------反粒子。这个也是可以从分析Lorentz群的数学性质得到。

2011-03-11 12:58
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超光速v sxq深 65位粉丝初级粉丝 1	26楼啊，看下来表示鸭梨好大。。
2011-03-11 13:24 回复

相关长度 2位粉丝正式会员 5	27楼云大吧就是棒!
2011-03-11 14:26 回复

风行者坂上中微子 365位粉丝正式会员 5	28楼
2011-03-11 15:06 回复

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29楼

一般的spin-statistics关系（即自旋大小和粒子为玻色子还是费米子）可以看做一个实验事实，也可以通过量子场论的Lorentz不变性要求来论证。具体的论证比较麻烦，也没体现出什么明确的物理思想。参考Weinberg 5.7。

简单说来，量子场论中散射S矩阵的Lorentz不变性要求类空距离上的局域相互作用Hamiltonian密度对易，由于Cluster Decompostion principle和Hamiltonian的标量性同时要求局域相互作用Hamiltonian密度可以表示成湮灭场和产生场与适当delta函数的乘积，这有两种可能：1.玻色子，产生场与湮灭场各自对易，相互的对易子为delta函数；2.费米子，产生场与湮灭场各自反对易，相互的反对易子为delta函数，且局域相互作用hamiltonian为偶数个产生场、湮灭场算符的多项式。对一般场算符形式的考察表明，自旋半整数粒子只能满足后者，自旋整数粒子只能满足前者。

云娘说的基本没问题，不过有一点小瑕疵：承载旋量表示的并非Hilbert空间，而是Dirac场算符张成的线性空间，Lorentz群在Hilbert空间中的表示只能是幺正或反幺正的，而旋量表示不是幺正或反幺正表示。实际上，将Lorentz变换作用在Hilbert空间上，其表示要用诱导表示的方法构造，而有质量粒子的little group(Lorentz群的一个保持静止粒子始终静止的子群)正好是SO(3)，这个子群作用在p=(M,0,0,0)子空间即形成SO(3)群的表象。这时粒子静止，所以角动量显然不能是轨道角动量，可见一般来说粒子有自旋角动量。

2011-03-11 16:44
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kof9595995
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30楼

回复：25楼
你的阐述没什么问题，
问题是逻辑上，lorentz协变可以说明有自旋这么个物理量（我相信伽利略协变也可以得出这个结论），自旋是多少却是由变换群具体的表示决定的，而这个表示并不是单独由洛伦兹协变性决定的。
也就是说,我们同时可以有
洛伦兹协变+某种群表示=>自旋1/2理论
伽利略协变+某种群表示=>自旋1/2理论
那还能说自旋1/2只是相对论效应吗？