Dirac方程要求波函数（表示空间）必须是有偶数个分量（即表示空间必须是偶数维的）；那么从群论的角度看，Lorentz群的表示空

自旋为半整数的粒子为波函数交换反对称的费米子，整数则是交换对称的玻色子。 上次我问一位老师，有没有理论解释为什么自旋为半整数的波函数就是交换反对称，整数就是交换对称，他想了想说，他想不到有什么理论能解释，所以就当成由实验总结出来的定律。 那么，果真没有吗？
	顶 0
2011-03-09 13:05 回复

dkcxp 53位粉丝 正式会员 5	2楼 和量子态有没有关系？ 半整数自旋的不能同时处于同一量子态
2011-03-09 13:12 回复

风行者 坂上中微子 365位粉丝 正式会员 5	3楼 不能同时处于同一量子态——这是波函数交换反对称的推论，而不能成为解释为什么自旋半整数就会导致这种情况的原因。
2011-03-09 13:14 回复

dkcxp 53位粉丝 正式会员 5	4楼 哦，我明白了，坐等高手回答
2011-03-09 13:43 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1	5楼 可以查查QFT里的spin-statistics theorem
2011-03-09 16:56 回复

_半颗烟_ 9位粉丝 正式会员 5	6楼 你老师说的没错这个在非相对论量子力学里确实有一半实验结论的嫌疑。电子的自旋为半整数时相对论量子力学的自然结果，可以说是一种相对论效应。
2011-03-09 23:25 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1	7楼 回复：6楼 你混淆了许多东西，第一自旋1/2并不是相对论效应，将非相对论性的薛定谔方程写成关于时间空间的一阶导数，依然可以得到1/2自旋;第二波色子也有可以有自己的相对论性量子力学。
2011-03-10 01:43 回复

风行者 坂上中微子 365位粉丝 正式会员 5	8楼 回复：5楼
2011-03-10 14:09 回复

弦疯K CloudK 554位粉丝 正式会员 5

9楼 这个问题如果从纯理论的角度来解释的话，可以追溯到场论当中对于Fermi场和Bosen场所用到的量子化方案的区别。 我们知道把一个经典理论变成量子理论需要采用量子化方案。通常的量子化方案是所谓的正则量子化，即找出体系的Lagrangian,然后找出体系的正则变量x,p，然后赋予正则变量对易关系：[x,p]=i；然便完成了量子化。 对于Bosen,量子理论就是采用的上面的这种方法去量子化Bosen体系，然而对于Fermion体系，上述量子化方案的结果就会导致因果律的矛盾，以及体系出现负能解的矛盾。因此，为了解决这些问题，对于Fermion场我们采用了赋予正则变量反对易关系的办法，这样就可以解决Fermion体系出现的负能量问题和因果律矛盾的问题了。 总而言之，从理论上讲，Fermi体系存在波函数交换反称是由于{x,p}=i所致的；而Bose体系出现的波函数交换对称是由于[x,p]=i所致的。

2011-03-10 17:06 回复

风行者 坂上中微子 365位粉丝 正式会员 5	10楼 表示理解起来有困难。。。= = 而且我看不出这为什么会落实到“自旋”上。。。
2011-03-10 17:11 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1	11楼 回复：10楼 简单理解逻辑上是这样的：一般量子化一个场要选择对易或反对易关系，对易关系会导致交换对称性，反对易会导致交换反对称性（这点通过写一下场的升降算符，作用在态矢上，很容易看出），就是说统计是由对易或反对易决定的。 现在再来看自旋，整数自旋和半整数自旋的场算符的一般形式是不一样的，写下半整数自旋的场的数学形式，代入对易关系里，会发现出现9楼所说的问题；同样的整数自旋用反对易关系也会出现类似的问题。也就是说整数自旋只能用对易，半整数自旋只能用反对易。 所以第一段提到了对易反对易与统计是有直接关系的，第二段提到了对易反对易与自旋的关系，那么我们也就建立了自旋和统计之间的关系。这个大体上就是spin-statistics theorem了
2011-03-10 20:12 回复

弦疯K CloudK 554位粉丝 正式会员 5

12楼 回复：10楼 额...我觉得这个和自旋的关系不是很容易说清楚...简而言之就是满足Dirac方程的场量采用的是正则坐标和正则动量反对易的方法做的量子化，这样的结果就会导致满足Dirac方程的场量出现交换反称的情况，也就是量子力学中所谓的波函数交换反称的情况，然而Dirac方程描述的都是自旋为半整数的Fermion，所以Fermion会存在波函数交换反称的情况。而对于Bosen场则采用的是正则坐标和正则动量对易的方案，因此Bosen具有波函数交换对称的性质，而且Bosen的自旋都是整数倍。 下面用比较数学的话来说明一下为什么Dirac方程描述的是自旋为半整数的粒子。应该对LZ理解这个问题有点 帮助~~ 如果严格一点说的话，Fermion必须服从Dirac Eq.而Dirac方程要求波函数（表示空间）必须是有偶数个分量（即表示空间必须是偶数维的）；再严格一点说，满足Dirac方程的波函数叫做Dirac旋量，如果Dirac旋量存在N个分量，那么N则必须是偶数，这一点可以用相对论量子力学中对α、β矩阵的分析得出。当然如果你学过群论，那么从群论的角度看，Lorentz群的表示空间是由两个不可约的表示空间直和得到的，因此它的维数必然是偶数。另一方面按照角动量的理论，我们知道自旋的取值有2s+1个，换句话说Dirac旋量的表示空间必须是2s+1维的，显然就有2s+1=N,然而N是偶数则说明s必须是半整数，因此这就说明Dirac Eq描述的粒子必须是自旋为半整数的粒子，也就是Fermion。然而我们对满足Dirac Eq的场量采用的是反对易关系的量子化方案，由于有别于一般的情况下[x,p]=i的这种情形，所以导致了Dirac场（也就是Fermion的波函数）存在交换反称的现象~~~ 需要指出一点，一般描述电子的情况，Dirac旋量的表示空间通常是N=4的情况，那么s按理说应该是s=3/2,然而电子的自旋却是s=1/2，原因很简单，因为前面说过了，Dirac旋量的表示空间是两个二维的表示空间直和得到的，因此这里面的N实际上应该取2，因此得出的结果就是s=1/2，也就是电子的自旋是s=1/2。从物理一点的角度来说，这两个不可约的表示空间暗示了电子存在一种与它对应的共轭粒子------反电子。因此描述电子的时候需要用两个不可约表示空间的直和。

2011-03-10 20:50 回复

风行者 坂上中微子 365位粉丝 正式会员 5	13楼 完全。。。不懂。。。 我还是只看11楼，和12楼的第一段好了。。。 呵呵，没办法，现在只能勉强接受一些定性解释。。。
2011-03-10 20:55 回复

相关长度 2位粉丝 正式会员 5	14楼 将云大吧的话说简单点就是, 为了满足相对论协变要求, Dirac方程会自动要求引入1/2自旋. 到了量子场论中, 就是要求拉氏密度和作用量满足相对论协变要求, 这时也会自动引入自旋, 但是具体是多少则跟场的量子化规则有关(量子化规则是人定的, 是假设是公理, 由实验检验). 自旋只是经典类比, 自旋到底是什么我们并不清楚, 只要满足角动量对易规则的量就是角动量, 而如果其中不牵涉到轨道, 那么就只能说其是自旋了, 由满足相对论协变性要求, 正好可以导出某些量满足角动量对易规则, 这些量就被称为自旋.
2011-03-10 22:12 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1	15楼 自旋1/2并不是相对论效应，这是个常见误区，可以看一下 Greiner, "Quantum Mechanics, an introduction" chapter 13： "A nonrelativistic wave equation with spin".对这个问题的讨论。
2011-03-10 22:45 回复

相关长度 2位粉丝 正式会员 5	16楼 回复：15楼 看过了, 这并不能说明1/2自旋不是相对论效应. 在Greiner的推导中, 他采用了线性化假定, 这个假定的适用范围是什么并没有说清楚, 这个线性化假定也不是一个基本原理, 人为凑的. 实际上这个做法和Dirac推导Dirac方程的做法几乎一样, 只不过将能量用非相对论形式表示而已. 满足相对论协变性要求是普适的, 只要满足这个要求必然会出现自旋. 如果要说错, 那么就回到更原始的问题上了, 相对论是否是关于时空唯一正确的理论. 有人说以太是存在的, 用以太也可以解释所有实验现象(相吧里有许多这样的讨论), 而爱因斯坦并不能驳斥以太存在, 他的回答是我们不需要以太(摘pipi老师的话), 相对论比以太简单得多.
2011-03-10 23:10 回复

弦疯K CloudK 554位粉丝 正式会员 5	17楼 14L说的基本没问题，所谓的自选其实是角动量局限在静止系中的情况。在静止系可以测得粒子存在角动量，那么就把这个叫做自旋角动量，也就解释成是粒子的内秉自由度。 把自旋理解成是由于引入相对论协变性的导致的物理结果并没有什么原则上的错误。严格说是由于量子理论的线性性和Lorentz协变性共同导致了自旋的出现，因为毕竟最初的Klein-Gordon Eq（非线性的方程）并没有要求理论中必须包含自旋。 再确切点说，所谓的自旋只不过是Lorentz群的六个生成元当中与boost有关的那三个生成元，因此把自旋说成是由于Lorentz变换（相对论协变性）所导致的效应并没有什么本质性的错误。
2011-03-10 23:23 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1	18楼 回复：16楼 狄拉克的方程做了两件事，一是采用相对论色散关系，二是将时空导数都写成一阶，Greiner的推导告诉你是第二点导致了自旋1/2,也就是说根本不是来自相对论。 “满足相对论协变性要求是普适的, 只要满足这个要求必然会出现自旋”克莱因高登也满足洛伦兹协变，但没有自旋自由度。 回复：17楼 克莱因高登方程是线性的啊，只不过是二阶的
2011-03-11 00:48 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1	19楼 而且如果从现代观点看，自旋其实根本无所谓能“自然地推导出来”，自旋在你选取场的数学形式时就已经决定了。我们至多能做到的是构造一个场使其正确描述某一特殊类型的粒子，却不能从某个第一原则出发“自然推导出”自旋1/2之类的结论。 另外，我相信构造一个非相对论性的旋量场不成什么问题，虽然我没自己算过。
2011-03-11 01:00 回复

相关长度 2位粉丝 正式会员 5	20楼 回复：18楼 明白你的意思了, 线性化导致1/2自旋, 但是我觉得这仅仅对s=1/2成立. 从量子场论的观点看, 不管自旋量子数是多少, 都应该被同一个理论所描述, 而在推导这样的理论时正好要利用相对论协变性. 回复: 19楼 在推导自旋时, 推导过程与场的具体形式无关, 得到的表达式是普适的, 在具体应用时, 只要给出拉氏密度函数的具体形式, 代入表达式, 就可以得到对应的自旋. 参考Greiner, Field Quantization(第一版) 第2章第4小节中的Lorentz不变性(44页), 他写了如何从Lorentz变换下系统拉氏量不变的要求自然得到自旋.
2011-03-11 08:42 回复

相关长度 2位粉丝 正式会员 5	21楼 补充: Klein-Gordon方程在场论中对应自旋为零的粒子而已, 而Dirac方程对应1/2自旋, Maxwell方程对应自旋为1. 它们都在一个理论框架中得到描述.
2011-03-11 09:04 回复

风行者 坂上中微子 365位粉丝 正式会员 5	22楼 一大早刚喝完感冒冲剂，见此表示鸭梨很大。。。呵呵~
2011-03-11 09:14 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1	23楼 回复：21楼 自旋为0不就是没有自旋自由度么，这个我应该没说错吧。 回复：20楼 看了一下，其实那个推导和我们讨论的问题关系不大，任何一个有旋转不变性的经典场都会存在角动量这个守恒量，即使在非相对论理论里也可以类似的量。 我觉得在我们讨论到的话题里，唯一相对论和自旋之间产生必然关系的，是相对论导致了spin-statistics connection
2011-03-11 11:34 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1	24楼 话说greiner的书的确本本精品，可惜我一本也没大块地读过
2011-03-11 11:37 回复

弦疯K CloudK 554位粉丝 正式会员 5

25楼 额...先说一下17L里面说的“非线性方程”意思是说“非一阶的线性方程”。起初的说法不正确，但是并没有引起歧义，因此这不是重点... 你们讨论的问题重点在于能不能由相对论的协变形式，即Lorentz协变性得到“相对论性量子理论要求理论中包含自旋”的这个结论。我觉得这个问题的答案是肯定的，而且原因是清楚的。 可以从数学上来看这件事。因为相对论性的量子理论都是要求存在Lorentz协变性，因此只要对Lorentz群的性质稍加分析就能看出结论。首先按照Lorentz群的群代数可以给出Lorentz群的生成元和所谓的李代数规则，然后按照Noerher Therem可以给出所谓的守恒流，算出的结果就是：守恒流的明显表达式：J=∫dx^3*（ψ^+）(x×p+∑/2)（ψ） 由于J是守恒的，而且由Lorentz的群代数可知J满足的代数规则是J×J=iJ，因此物理上把J诠释成角动量。然后把J限制在静止系上来看，不难得出在静止系下，J的分量都存在本征值为±1/2的本征态也即是∑/2的本征态，由于∑/2与J服从同样的代数关系，因此把S=∑/2诠释为为内秉角动量（自旋角动量）。 以上是只从数学的角度分析Lorentz群的代数得出的Lorentz协变的理论中要求存在内秉角动量原因。 再看Dirac理论的情况，由于Dirac理论中，γ矩阵满足Dirac代数（反对易关系），因此很容易证明Dirac理论中Lorentz群的表示空间必须是偶数维度的。然而可以证明Lorentz群的表示空间是由两个不可约的表示子空间直和得到的，而且Pauli矩阵的反对易关系也要求Pauli算符的表示空间也必须是偶数维的，而表示空间的维数又等于2s+1（其中s是旋量的阶数），所以每个表示子空间的维数也必须是偶数维的，因此可以得到2s+1=偶数，所以Dirac理论中（Dirac方程）可以描述旋量阶数为半整数的情况，也即是自旋为半整数的粒子。 然而如果抛去Dirac理论中要求的γ矩阵满足Dirac代数，那么只需要满足Lorentz群的每个表示子空间的维数是整数的就行了，因此得到的关系就是2s+1=整数，所以只考虑Lorentz协变性的量子理论中，要求粒子存在自旋是整数或者半整数的内秉角动量。 所以综上可知，单单分析Lorentz群的代数与其表示空间就可以得出理论要求粒子存在内秉自由度；因此不论是Klein-Gordon理论还是Dirac理论还是Maxwell理论，由于都是在Lorentz群的表示空间上建立的量子理论，所以都要求理论本身存在自旋为整数或者半整数的粒子。分析Lorentz群等于分析Lorentz协变性，所以认为“Lorentz协变性导致了理论存在自旋”是可以的。 另外还有一点，由于Lorentz群的表示空间可以拆成两个不可约的子表示空间的直和，所以这暗含着相对论性的粒子都都存在一种与之对应的共轭粒子--------反粒子。这个也是可以从分析Lorentz群的数学性质得到。

2011-03-11 12:58 回复

超光速v sxq深 65位粉丝 初级粉丝 1	26楼 啊，看下来表示鸭梨好大。。
2011-03-11 13:24 回复

相关长度 2位粉丝 正式会员 5	27楼 云大吧就是棒!
2011-03-11 14:26 回复

风行者 坂上中微子 365位粉丝 正式会员 5	28楼
2011-03-11 15:06 回复

inempty 193位粉丝 正式会员 5

29楼 一般的spin-statistics关系（即自旋大小和粒子为玻色子还是费米子）可以看做一个实验事实，也可以通过量子场论的Lorentz不变性要求来论证。具体的论证比较麻烦，也没体现出什么明确的物理思想。参考Weinberg 5.7。 简单说来，量子场论中散射S矩阵的Lorentz不变性要求类空距离上的局域相互作用Hamiltonian密度对易，由于Cluster Decompostion principle和Hamiltonian的标量性同时要求局域相互作用Hamiltonian密度可以表示成湮灭场和产生场与适当delta函数的乘积，这有两种可能：1.玻色子，产生场与湮灭场各自对易，相互的对易子为delta函数；2.费米子，产生场与湮灭场各自反对易，相互的反对易子为delta函数，且局域相互作用hamiltonian为偶数个产生场、湮灭场算符的多项式。对一般场算符形式的考察表明，自旋半整数粒子只能满足后者，自旋整数粒子只能满足前者。 云娘说的基本没问题，不过有一点小瑕疵：承载旋量表示的并非Hilbert空间，而是Dirac场算符张成的线性空间，Lorentz群在Hilbert空间中的表示只能是幺正或反幺正的，而旋量表示不是幺正或反幺正表示。实际上，将Lorentz变换作用在Hilbert空间上，其表示要用诱导表示的方法构造，而有质量粒子的little group(Lorentz群的一个保持静止粒子始终静止的子群)正好是SO(3)，这个子群作用在p=(M,0,0,0)子空间即形成SO(3)群的表象。这时粒子静止，所以角动量显然不能是轨道角动量，可见一般来说粒子有自旋角动量。

2011-03-11 16:44 回复

kof9595995 20位粉丝 初级粉丝 1

30楼 回复：25楼 你的阐述没什么问题， 问题是逻辑上，lorentz协变可以说明有自旋这么个物理量（我相信伽利略协变也可以得出这个结论），自旋是多少却是由变换群具体的表示决定的，而这个表示并不是单独由洛伦兹协变性决定的。 也就是说,我们同时可以有 洛伦兹协变+某种群表示=>自旋1/2理论 伽利略协变+某种群表示=>自旋1/2理论 那还能说自旋1/2只是相对论效应吗？

所有跟帖： 

• phymath01 找出体系的Lagrangian,然后找出体系的正则变量x,p，然后赋予正则变量对易关系：[x,p]=i；:能 -marketreflections- ♂ (774 bytes) () 10/01/2011 postreply 07:33:05

• phymath01 完整的360度旋转使态矢量回到负的态矢量，而不是回归到自身，需要再旋转360度，即总共720度其态矢量才回归 -marketreflections- ♂ (22496 bytes) () 10/01/2011 postreply 07:41:14

• phymath01 ，一个物理体系的固有能量（角动量）不变，但其可测态矢量却是可以控制的有规律的变化 -marketreflections- ♂ (3133 bytes) () 10/01/2011 postreply 07:45:31

• phymath01 电子的S=1/2,自旋S在Z轴的投影可以取两个不同的数值.那就是说对于电子,当(x,y,z)点确定之后,我们 -marketreflections- ♂ (1360 bytes) () 10/01/2011 postreply 09:03:19

• 现在一个空间点事实上与两个量对应,如何引入函数概念(或定义)? 如数学上的Gauss定理等.原因是:Gauss定理涉及到通量的定 -marketreflections- ♂ (401 bytes) () 10/01/2011 postreply 09:09:22

• phymath01 •幽灵蝶 声子01的概念是很有用的，但它是一种元激发的准粒子，其目的更倾向于是为了解决存在强关联 -marketreflections- ♂ (9902 bytes) () 10/01/2011 postreply 08:02:53

• 声子有三个自由度，有两个横波分量(sr)和一个纵波分量(gr) -marketreflections- ♂ (1469 bytes) () 10/01/2011 postreply 08:12:29

• phymath01 纵波模式，$，/ 表示横波模式! ..... 而零阶纵、横波分量是不耦合的 -marketreflections- ♂ (2414 bytes) () 10/01/2011 postreply 08:17:58

• phymath01 固体中某种振动或波的能量量子。固体物理中的元激发或准粒子的概念和粒子物理中的“物理”粒子或重正化了的粒子的概 -marketreflections- ♂ (6070 bytes) () 10/03/2011 postreply 16:30:03

• phymath01 阿·热先生在《可怕的对称》从数学上讲，一个群只不过是可以通过乘法联系到一起的一组变换。我们首先对一堆以某种方 -marketreflections- ♂ (19657 bytes) () 10/01/2011 postreply 08:30:31

• sr01 物理实在的结构变易性——广义协变性（连续对称性,女或男的定义就是纯粹而抽象的，女就是女，男就是男，其定义是具有绝对意义 -marketreflections- ♂ (334 bytes) () 10/01/2011 postreply 08:34:31

• 哥德尔不完全定理 数学基础:群论的精髓在于我们可以把两个表示（概念、定义），通过规定的组合规则胶合到一起从而得到其它表示，从十维 -marketreflections- ♂ (1179 bytes) () 10/01/2011 postreply 15:28:23

• "哥德尔定理噪声" -marketreflections- ♂ (14700 bytes) () 10/01/2011 postreply 16:01:14

• "哥德尔定理噪声" -marketreflections- ♂ (14700 bytes) () 10/01/2011 postreply 16:01:15

• stock01 VRNG arpu -marketreflections- ♂ (152 bytes) () 10/01/2011 postreply 16:53:45

• cck01 quant.stackexchange.com The required assumptions for these -marketreflections- ♂ (18174 bytes) () 10/01/2011 postreply 17:01:16

• 回复：phymath01 纯Chern-Simons理论中的统计规范场没有独立的动力学自由度 -marketreflections- ♂ (248 bytes) () 10/01/2011 postreply 09:20:43

• 自旋01 电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子的内禀性质一种非定域 ;从群角度讲时空是由物质外自由度SO3群与内自 -marketreflections- ♂ (22571 bytes) () 10/01/2011 postreply 10:08:09

• brain01 Hodgkin—Huxley模型的本质是一个积分发火的过程。 -marketreflections- ♂ (1047 bytes) () 10/01/2011 postreply 14:10:37

• 对于较复杂的三体、四体甚至五体系统，往往需要很大数目的基矢：r能得到满意的解 -marketreflections- ♂ (135 bytes) () 10/01/2011 postreply 12:30:23

• phymath01 动力学自由度是指在一定的几何、运. 动学和动力学约束条件下，系统在物理上可以实现的运动学变量的数目 -marketreflections- ♂ (25367 bytes) () 10/01/2011 postreply 14:58:26

• qm01 经典力学的基本运动学变量也是广义坐标与广义动量，服从的却是. Poisson 代数 -marketreflections- ♂ (2296 bytes) () 10/02/2011 postreply 01:34:00

• 在很多物理体系中,作用量在一些连续性变换下是不变的。如果是这样，那么就存在着与电动力学中电荷守恒和电流守恒相类似的局域和整体的守 -marketreflections- ♂ (1060 bytes) () 10/02/2011 postreply 02:23:31

• phymath01 量子力学中状态的波函数就是平方可积函数空间（一种希尔伯特空间）中的一个点，而不同的表象也就是选择相应的正交函 -marketreflections- ♂ (94562 bytes) () 10/02/2011 postreply 02:32:33

• 牛顿 空间由矢量x = (x1,x2,x3)来参数化，而点粒子在. 其中的运动由轨迹x(t) 来描述，轨迹的分量qi(t)(i -marketreflections- ♂ (9661 bytes) () 10/02/2011 postreply 02:46:04

• phymath01 Models are metaphors.模型的隐喻。 They allow us to see one t -marketreflections- ♂ (204173 bytes) () 10/02/2011 postreply 04:10:40

• phymath01 "希尔伯特空间模型的隐喻” -marketreflections- ♂ (80311 bytes) () 10/02/2011 postreply 04:37:20

• phymath01 "希尔伯特空间模型的隐喻”Mumford的题为“随机性时代的曙' -marketreflections- ♂ (37046 bytes) () 10/02/2011 postreply 04:48:36

• brainwash洗脑deadline最后期限从隐喻的新鲜程度和使用的频 -marketreflections- ♂ (26236 bytes) () 10/02/2011 postreply 06:17:36

• brain01 康托尔宏伟的元叙述　（ｍｅｔａ．ｎａｒｒａｔｉｖｅ）—— 集合论 -marketreflections- ♂ (0 bytes) () 10/02/2011 postreply 06:24:25

• brain01 用来产生词与词之间联系的大脑左侧, the other half of brain is more "pictu -marketreflections- ♂ (1110 bytes) () 10/02/2011 postreply 06:26:57

• phymath01 Ｍｕｍｆｏｒｄ的题为 “随机性时代的曙　 ’的论文是意味深长的．他向我担保，他无意谈及　Ｇ．Ｖｉｃｏ的　历史 -marketreflections- ♂ (82982 bytes) () 10/02/2011 postreply 04:29:40

• Mumford， 1895—1988） 以人类学为基础， ...... 性、 非决定性、 非对称性、 随机性、 不完全性等属性， -marketreflections- ♂ (2502 bytes) () 10/02/2011 postreply 05:12:24

• phymath01 纯Chern-Simons理论中的统计规范场没有独立的动 -marketreflections- ♂ (790 bytes) () 10/15/2011 postreply 03:45:52

• qm01 有关量子力学中对易括号的思考 第四章 量子力学中的力学量 -marketreflections- ♂ (6059 bytes) () 10/02/2011 postreply 03:31:49

• 相空间01 刘维定理泊松括号和泊松定理 -marketreflections- ♂ (1235 bytes) () 10/02/2011 postreply 03:56:11

• qm01 qmdictionary 安徽大学物理学院 整数自旋只能用对易(对易ab=ba)，半整数自旋只能用反对易(反对易ab= -marketreflections- ♂ (129869 bytes) () 10/02/2011 postreply 01:45:49

• 两种对同一物理体系的再参数化方案是等价的 -marketreflections- ♂ (14802 bytes) () 10/02/2011 postreply 02:59:33

• Dirac01 topos01 与观察者有关的逻辑学 拓扑斯理论的时空观 如果有一个适用于宇宙学的逻辑的话，它必须建立在命题真 -marketreflections- ♂ (18726 bytes) () 10/02/2011 postreply 05:59:59

• 生活中的矢量都是非坐标矢量，因为矢量只有两个本质属性，即大小和方向。当把这个向量放在坐标系下，它就成了坐标矢量，就可以用坐标（x -marketreflections- ♂ (609 bytes) () 10/02/2011 postreply 06:31:50

• 黑天鹅- 挣钱不是问题- 挣钱不是问题- 不论我们假设世界符合怎样的模型，我们都难以知道模型的参数 -marketreflections- ♂ (1646 bytes) () 10/02/2011 postreply 06:48:30

• 希尔伯特曾写道：“在每个数学分支中，那些最初、最老的问题肯定是起源于经验……但是，随着一门数学分支的进一步发展……而只是借助于逻 -marketreflections- ♂ (4312 bytes) () 10/02/2011 postreply 06:57:30

• west01 数学真理属于 “西方文化中最难以动摇的元叙述 -marketreflections- ♂ (100349 bytes) () 10/02/2011 postreply 07:04:46

• 现代数学的问题实际上主要都是由牛顿和莱布尼茨的微积分所引起的，是由那个极限下的相等公式：dr/dt=lim(t0rt)所引起的。 -marketreflections- ♂ (773 bytes) () 10/02/2011 postreply 07:12:31

• no-go定理，这条定理指出，如果希尔伯特空间的维数大于2，就无法指望所有的量子理论算子能指派一个实数作为它们的值。用数学语言讲 -marketreflections- ♂ (823 bytes) () 10/02/2011 postreply 09:39:22

• 季候风：系统在某一时刻实际上确定地处于某个微观态, 只是我们不知道关于这个微观态的信息. 所以系综的使用是有条件的, 这就是 " -marketreflections- ♂ (13190 bytes) () 10/02/2011 postreply 18:33:02

• 国物理学家玻恩就发现算子增加与矩阵（数列）的增加其实是一回事。于是他把海森堡的结论统统搬到这种代数语境中来，拉开了最初的量子力学 -marketreflections- ♂ (1673 bytes) () 10/02/2011 postreply 18:49:43

• 谱01 年轻的沃纳•海森堡正在努力研究热气体发出的光。这些光谱的特殊之处在于，它们只表现出来某些特定的波长。在为这一 -marketreflections- ♂ (493 bytes) () 11/22/2011 postreply 17:39:54

• 客观逻辑的特点是没有绝对的偶然，从有限的几个逻辑起点，可以推演出某个逻辑的系统，系统内的大事小情都可以顺藤摸瓜的找到前家后家。这 -marketreflections- ♂ (341 bytes) () 11/22/2011 postreply 17:45:34