外微分形式把Stokes,Gauss公式联系起来,而且推广到高维空间,外微分形式把Stokes,Gauss公式联系起来,而且推广

学习外微分形式的一些感受

                                          PB07210141   焦凡书

外微分形式把Stokes,Gauss公式联系起来,而且推广到高维空间。初学时觉得很“神奇”，查阅了一些书籍后才知道Poincare’指出多重积分的体积元素应有一个正负定向导致了外微分的出现。而外微分的出现可以说标志着微积分从古典走向现代。在物理，力学，偏微分方程，微分几何中，外微分发挥了巨大的作用。外微分有其更本质的含义，下面是我的一些总结和感受。

如果我们研究曲面（双侧曲面）的方向性，那么：在双侧曲面上任意取定一点M，并在M处选定一个单位法向量n(M)，对于曲面S上任意一点M’，在S上做一条连接M,M’的曲线，由n(M’)沿曲线连续变化的原则，就可以唯一的确定M’处的单位法向量n(M’)，从而就完全确定了双侧曲面的一个侧。曲面S在M处的单位法向量有且仅有两个，它们是互为相反方向的单位向量，这两个向量正好确定了曲面的两个定侧。

在双侧曲面内令：x=x(u,v) y=y(u.,v)

则面积元素dA=dxdy=| |dudv=| |dudv=( )dudv

若将x,y对换dA=dydx=| |dudv=| |dudv=( )dudv

 

可得dxdy=-dydx

dxdx=0

我们把满足上述关系即：两个相同微分乘积为零，不同微分乘积变换顺序时变号的微分之间的乘积称为微分外积，用  表示。由微分的外乘积乘上函数组成的微分形式称为外微分形式。若P,Q,R,H是x,y,z的函数，则Pdx+Qdy+Rdz为一次外微分形式。Pdy dz+Qdz dx+Rdx dy为二次外微分形式，Hdx dy dz为三次外微分形式。

可以证得（1）Newton-Leibniz公式用外微分表示 =f(b)-f(a)=

         （2）Green公式用外微分表示 Pdx+Qdy, = ,

         

         （3）Gauss公式用外微分表示 Pdy dz+Qdz dx+Rdx dy, Pdy dz+Qdz dx+Rdx dy= dx dy dz,

         （4）Stokes公式用外微分表示 Pdx+Qdy+Rdz, ,

   而数量场的梯度，向量场的散度，旋度分别与之对应。因此他们的关系可以表示为     

外微分形式的次数	空间	公式	对应的度
0	直线段	Newton-Leibniz	梯度
1	平面区域	Green	旋度
1	空间曲面	Stokes	旋度
2	空间区域	Gauss	散度

 

由此得出公式的一般形式：

定理  设为 外微分形式，d 是它的外微分，则有

G是d 的积分区域， G表示G的边界。

Stokes公式揭示了微分与积分在空间上的关系。若令 ，d为算子，则它们对偶.

所以说Stokes公式是微积分中最本质的，由它引出了微分几何，广义相对论的很多内容，我的知识有限，希望以后有能力了解更多。

参考书目：《高等数学导论》

          《微积分五讲》龚升