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什么叫可积系统？？ 一个hamitonian是相空间上的函数，如果存在守恒量多于多少个，于是就说，这个系统是可积的？？？ 还有微分几何里，矢量场是可积的，是不是说它可以推到整个流形？？？ 在kerr时空，一个粒子走测地线，它当然是四个参数，是不是需要四个受恒量，才说它是可积的？？？质量，能量，角动量受恒，还有什么呢？？？ 思路很乱的说。 我无知到了只懂相对论了。 http://zhangxuanzhong.blog.edu.cn/ 《相对论通俗演义》 i will love you till the null infinity.
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星空浩淼 
发表文章数: 1743 |
我以前熟悉过，现在忘的很干净。 为了理解上有一个统一性，我觉得应该先从数学上有一个最原始的概念： 如果一个函数，（可以对这个函数添加一些乘积因子）可以表达成另外一个函数的全微分，就可以说，这个函数是可积的。 我记得“可积系统”这个概念，就是跟上面这个数学概念直接相关。 然后，人们会去研究哪些物理系统有可积性，满足什么样的一些条件的物理系统才能有可积性，以致于这些物理条件有时候就成了“可积性”的代名词。 一些初学者，不知来龙去脉时，很容易用某些具体的物理条件本身来理解“可积性”的含义（其实它们只是可积性的条件，不同的情形下有不同的条件），结果容易理解得比较死，换了一个物理问题时，可积性的条件以及条件的物理含义可能完全变了，结果就觉得原来的理解好象完全不对，其实都对。 唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
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THANXmm 
发表文章数: 914 |
一个矢量场是可积的是说，存在一个子流行，使得这个矢量场限制在任意点上是属于那个子流行的切空间。 对于一个16岁的孩子，小说和诗歌不再吸引Abel了，他到图书馆只找纯数学和应用 数学的书看：Newton的书、天文的书、d'Alembert的力学的书……他把自己研究的一些 东西记在一本大簿子里。这时他发现Euler对二项式的证明只证明有理数指数情形，于是 他给出了对一般情形都成立的证明。
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Arithmetic 
发表文章数: 179 |
Q：KAM代表什么？ A：KAM理论是经典力学里讨论近可积保守系统（哈密顿系统，可逆系统，保体积映射）的动力学性态的著名的理论。K ，A，M 分别代表公认的于上个世纪五六十年代创立该理论的三位数学家，他们是:俄罗斯数学家 Kolmogorov和 Arnold，以及德国数学家 Moser. 此三人都是 Wolf 数学奖得主, 其中只有年龄最小的 Arnold 尚在人世。 Q：可积的哈密顿系统是什么样子？ A：大家都知道经典力学中的哈密顿系统，其重要性大家也都知道。 对于可积的哈密顿系统，其相空间中解的性态是非常清楚的，简单的说，在适当选取（不破坏哈密顿系统典则形式）相空间的坐标之后，可积系统的相空间总可以用不变环面来分层（或者说具有叶层构造），而且每个环面都具有与自由度相同的维数。例如，相空间是 2N 维的，则自由度为 N，因此2N 维空间就被无数互不相交的 N 维环面所划分（直观地，你可以想象二维平面被无数的同心圆所划分的样子）。这里的环面称为是不变的，是指相流只能在该环面上走因此，每个环面都是相流的不变集。而且可积系统的每个环面上的相流是非常简单的，都是形如 q(t)=q(0)+w*t 的线性流，而 w 就称为环面的频率。另外，我们还要考虑到能量守恒，因此任何相流又只能在一个等能面上走，一般来说，等能面是相空间中的余维数是一的曲面，实际上每个等能面也就被上述的不变环面所划分。这样可积的哈密顿系统可以说是被我们完全了解的。 Q：不可积的哈密顿系统又是什么样子？ A：直到现在也不完全清楚，也许永远也搞不清。但是由已知的东东出发探索未知的方法提醒我们应该先去了解充分接近可积的系统是什么样子。 Q：经典的KAM理论讲些什么？ A：经典的KAM理论就是要告诉大家充分接近可积的哈密顿系统相空间大致是什么样子。其实，我们总可以把一个接近可积的哈密顿系统看作是一个可积系统加上一个保守的（哈密顿的）扰动。Kolmogorov 在1954年世界数学家大会上指出：非退化的可积系统在保守的微小扰动后，虽然某些不变环面一般说来会被扰动破坏掉（称为共振环面），但仍会有相当多的环面被保存下来，也就是说整个相空间中仍然有许多的相流的运动是非常简单的（直观地，可以想象二维平面虽然没有被同心圆分层，但仍有许许多多的同心圆保存了下来，每个圆上的相流都共扼于一个旋转，只是相邻的两个同心圆之间相流的运动会比较复杂一些）。这个发现后来被 Arnold 和 Moser 分别给予了严格的证明。Arnold 则称此结果为Kolmogorov 定理（Arnold 最恨俄罗斯数学家的成果被西方资本主义国家的数学家无偿掠夺了）。但是，由于 Kolmogorov 定理并没有能刻画在扰动后破掉的环面上相曲线的性态，因此我们只能说大致了解了近可积系统相空间是什么样子。 Q：证明 Kolmogorov 定理用的是什么方法？ A：改进的牛顿迭代法。粗略的讲，就是找一系列的典则变换（不破坏哈密顿方程的式）一步步地变换近可积的系统使之越来越靠近一个可积系统（只要对参数的大部分点能做到就行）。由于在迭代过程中会出现所谓的“小分母”，用通常的牛顿迭代法无法保证最终无穷多步变换的复合收敛，但 Arnold 和 Moser 利用改进的牛顿迭代方法克服了小分母带来的麻烦，从而完成了定理的证明。值得指出的是，另一位德国的著名 数学家 Sigel 早年在考虑圆周映射的线性化时，也曾提出过类似的证明思想，而Moser 和 Sigel 关系密切，相信多少也会受到他前辈的一些影响，所以可以说 KAM 理论的创立也应该有 Sigel 的一份功劳。后来，Moser 在降低该理论对可微性的要求上又作出了一些重要的工作（不过有好事者说 Moser 在这方面的工作有错），殊途同归，John Nash 在他证明有关黎曼嵌入的论文中，也用到了类似的迭代方法（当然是独立完成，甚至可能早于Moser）， 于是，后人又把他们的证明方法叫做 Nash-Moser 迭代。 Q：为什么说 KAM 一出，遍历性假设不攻自破？ A：曾经的遍历性假设是猜测：通有的哈密顿系统，相流是遍历的。由于可积系统不是通有的系统（一般的系统都是不可积的），因此由相流不遍历的可积系统并不能否定遍历性假设，但是我们知道近可积系统却是通有的。如果我们考虑 4 维的相空间，其等能面是三维的，如果该近可积的系统有不变二维环面存在，则此环面必将能量面的其余部分分割为不连通的两块，相流不可能从环面一边跑道另一边，所以也就不会有何遍历性可言。不知道当年 Fermi 是怎么证明了遍历性假设的。不过据说他开密码锁也是一把好手。 Q：共振环面破裂后到底会怎样？ A：这个问题仍没有完全解决。目前大家都比较清楚的是：一般会有较低维数的环面存在（分椭圆环面，双曲环面等），也就是说仍然还有比较规则的相曲线；同时还会有一些很不规则的轨线，有人称之为 Mather 集；甚至还有所谓的“马蹄”。总之，所谓的 KAM 理论，不仅是 Kolmogorov 定理本身，还包括为证明该定理所发展的一系列方法，该理论诞生至今虽已近半个世纪，但仍在不断的发展和完善中。它所应用的范围也不仅限于哈密顿系统，对于可逆系统，保体积映射，以及无穷维哈密顿系统（包括一些特殊的偏微分方程）都发展出了相应的 KAM 理论。甚至可以说，凡是有小分母出现的地方，就是 KAM 大显身手之处。 特别值得一提的是，南京大学数学系动力系统方向近年来在 KAM 理论上也作出了一些重要工作，现任系主任尤建功老师在退化哈密顿系统不变环面的存在性，椭圆低维环面的保存性，无穷维近可积哈密顿系统低维环面存在性等方面作出过重要结果；前任系主任程崇庆老师在研究保体积微分同胚不变环面存在性，和共振环面破碎后低维环面的存在性问题上也作出过独到的工作。 伟大的Grothendieck！ 拥有Riemann的直觉，Poincare的洞察力，Grothendieck的抽象思维，我就将成为伟大的神！
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星空浩淼
发表文章数: 1743 |
“一个矢量场是可积的是说，存在一个子流行，使得这个矢量场限制在任意点上是属于那个子流行的切空间。” thanxmm的回答，对学数学的可以，但是对于学物理的，可能就不够了，呵呵。因为对物理学生，他们还想知道为什么，即为什么说“如果存在一个子流行，使得这个矢量场限制在任意点上是属于那个子流行的切空间，那么这个矢量场是可积的”，你可别说这是定义，下定义的人如此做，有他的理由，学物理的就是想知道为什么要这样定义。事实上，同样一个命题，在有的教材上是以定义或者公理的形式出现，而在另外一本教材上可能以定理或者推论的方式出现。好的教材，应该尽可能选择那些一目了然、不言而喻的命题作为公理或者定义。 不过，学过微分几何同时又知道“可积系统”的物理含义的人，应该能够直接看懂thanxmm的回答。 唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
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Alex
(作者已离开客栈) |
我从哲学上理解一下，可积的一定是指N维封闭的空间，这个可不可以算是定义的理由？ 出丑了呵呵~~ 某种意义上交流就是存在
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小追 
发表文章数: 133 |
my feeling：可积系统意味着这个系统可以完全退耦成N个独立的体系，参量之间不再互相依赖，所以也就有N个守恒量。物理地来说，如果一个N自由度体系运动可以分解为N个独立体系运动的叠加，就可以说它是可积的。这当然该和froubieus定理也有莫大的关联。 不知这次feeling对了没有。 追魂小混子，小混子横扫天下，嘿~！哗~！
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sage
发表文章数: 1125 |
>my feeling：可积系统意味着这个系统可以完全退耦成N个独立的体系，参量之间不再互 >相依赖，所以也就有N个守恒量。物理地来说，如果一个N自由度体系运动可以分解为 >N个独立体系运动的叠加，就可以说它是可积的 this is y feeling as well. :-) it is probably correct in most applications.
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萍踪浪迹 
发表文章数: 1983 |
微分几何中的可积理论直接关系到Frobinius理论 Arithmetic说了很多关于KAM理论的精彩事实,事实上这也是近可积系统的辉煌篇章,Arnold据说是从不看西方文献的.而且还说"从Newton到Poincare的两百年间充满了计算的荒漠". 1954年的数学家大会可谓大师云集,Kolmogorov作最后演讲时出乎人们意料地宣布自己用Newton快速迭代法解决了小分母问题,直到60年代中期Moser和Arnold补上严格证明. 但是充分小的扰动到底小到什么程度,至今无法回答.这令我想起一则笑话: 军官:去侦察一下前面那条河的深度 侦察兵:报告,一直深到河底 实际上,扰动的大小也是这种情况,一直大到破坏了不变环面. 破坏后的低维环面还是可以存在的.但是混沌运动就不可避免了. 在N大于2时,所谓的Arnold扩散就起作用了. 可积系统在所有动力系统中的测度为零,少得可怜,但是近可积系统可以通过可积系统的扰动来研究 这正是可积系统的价值所在. 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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Alex
(作者已离开客栈) |
今天在想歌德巴赫猜想时得着一灵感，因为素数的生成本质上也是分形的，也就是说为了给素数分类必须解决素数的混沌问题，而解决这个问题的关键应该是给N维封闭的空间一个特定的量以作为分类的参考，这个量可以是类似物理学上的常数的形式，根据这个量应该可以直接推出各种群分类的原则而不是象现在群的分类的所采取的列举的方式，对于群的分类我不了解，请这里的高人不吝指教！ 某种意义上交流就是存在
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Alex
(作者已离开客栈) |
(弦论简评----强耦合)"二十世纪九十年代的一个重大进展是发现如何将诸如 e2/4πhc=eφ 那样的参数外推到大数值上，前提是超对称破缺可以忽略 请问一下萍踪老师：spin network 的位形是否和群的分类有关? 某种意义上交流就是存在
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983 |
单群的分类虽然很艰辛，有所谓的“三十年攻坚战”之说而且事实上确实有列举之嫌 但我们现在还是无法应用更好的方法进行分类 至于Godbach猜想，如何与群分类以及混沌、分形联系在一起，我一直未有所闻 至于spin network方面，我是外行，当然不敢妄评了，抱歉 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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轩轩 
发表文章数: 1352 |
spin network无非是李群G上的平方可积函数空间的基。 关心这个的人非常少，显然只有关心loop量子引力的人才注意这个事情 我无知到了只懂相对论了。http://zhangxuanzhong.blog.edu.cn/ 《相对论通俗演义》 i will love you till the null infinity.
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983 |
loop量子引力我没有什么兴趣。 漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵 痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
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Alex
(作者已离开客栈) |
前提是超对称破缺可以忽略 为什么没有人说说为什么 “前提是超对称破缺可以忽略” 的呢？ 轩兄能给予解释吗？ 某 种 意 义 上 交 流 就 是 存 在： |
phymath01 如果一个函数，（可以对这个函数添加一些乘积因子）可以表达成另外一个函数的全微分，就可以说，这个函数是可积的
回答: 共变导数 在弯曲空间中，例如地球表面（作为一个球面），平移没有严谨的定义，而和它相似的概念，平行移动，依赖于向量被平移的路径。例
由 marketreflections
于 2011-09-17 07:15:22
Re: 什么叫可积系统？？WENXUECITY.COM does not represent or guarantee the truthfulness, accuracy, or reliability of any of communications posted by other users.
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