任何一个力学量，不管是矢量还是N维张量，必须它的所有分量能够同时存在特征值，换言之，所有分量算符都对易。比如\vec{X}, \vec{P}。角动量矢量(不管是L还是S)的三个分量，根据定义，都是两两不对易的。所以角动量矢量不是力学量。
关于量子力学中总角动量L的定义问题
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今天写了一篇《对不起，我练的是拳击》，不正面的回应了一位网友向我提出的挑战：“用不超过10个字说出柯西极限定义的本质，看看我的基础知识如何。”
刚才这位网友在我博客留言，公布了他的答案：柯西极限定义解决的是，"存在如何被感知的问题"。
与此同时他还要求我先闭上口，回家问我哥去再说！
我必需得承认这个答案非常牛逼，它超出了我的认知范围。我没哥，没法问，不过我觉得这个问题可能上帝他哥会多少懂点，所以建议这位朋友找数学专业的曹广福老师聊聊，听听他的想法。
下面公布我之前那个问题的答案：
其实关于量子力学中L的定义问题，科学网的一些博主前年讨论过。见刘全慧老师发的这个帖子：
为什么量子力学一般不定义标量总角动量L?
关于这个问题，我的答案是：
1、量子力学中所说的“物理量”、“力学量”、“可观测量”，讲的是同一个东西，只是叫法不同而已。
其中可观测量是量子力学最基础的概念，因为，顾名思义，只有这个东西是实验上能够测量的，因而也只有这个东西才是真正有物理意义的。
如果要讨论一个量是不是力学量，或者说是不是可观测量，先要明白什么叫可观测量。关于可观测量的定义，比较权威的解释来自于Dirac的《量子力学原理》。好像是第一章的第几小节里面有一段话提到过，具体位置我记不太清楚，谁手头有这本书可以自己翻一下，大意是：
可观测量必定满足两个条件：（1）本征值是一个实数。（2）本征值构成完备组。
在数学上这要求这个量对应的算符是厄米的，物理上要求对这个量进行测量后得出的结果与这个量的本征值一一对应。
2、根据可观测量的定义，我们知道可观测量，或者说力学量，必定是一个标量，对应的算符必定是一个标量算符。因为矢量算符对应的本征值是一组数，比如矢量算符X（X1，X2，X3）对应的本征值是（x1,x2,x3），这是一个三维数组，不是“一个实数”。
3、对于某些矢量，我们可以通过构造度规来定义这个矢量算符对应的标量力学量，比如，还举X的例子，我们可以根据日常所用的度规定义矢量算符X对应的标量：
x=Sqrt（X1^2+X2^2+X3^2），相应的本征值是Sqrt（x1^2+x2^2+x3^2）。
由于[Xi，Xj]=0，i，j=1,2,3，也就是说X1，X2，X3互易，所以Sqrt（x1^2+x2^2+x3^2）是一个实数，再考虑到它的本征值构成完备组，所以这完全符合量子力学关于可观测量的定义。
4、但是，对于矢量算符L，无论采用何种度规，无论构造何种的数学形式，我们都没办法通过相同的方法来定义与之相对应的标量力学量l。
为什么？因为Lx，Ly，Lz不对易，尽管它们有共同的本征值0，但是除0之外再没有任何确定的实数作为其共同本征值了。
换句话说，如果我们按照相同的方式来定义l=Sqrt（Lx^2+Ly^2+Lz^2），那么它对应的本征值只有0，除了0之外，它找不到任何一个“确定的实数”来做自己的本征值。
这不满足可观测量的定义，所以l不可能是一个可观测量，或者说不可能是一个力学量。
什么，你没听懂？通俗的理解，我们知道任何物理系统的角动量，如果存在，都不可能只是一个普适的常数0，必定还存在其它数值，可是现在我们定义的l只有实数0这一个本征值，这也就意味着l的本征值不构成完备组，所以它不满足可观测量的定义。
5、一个量不是可观测量，意味着这个量在实验上是不可测量的，也是无法检验的，它的定义也就失去了必要性。
注：这句话有且只有1个特例，那就是时间t，在非相对论性量子力学里时间t只是一个参数，但是它的定义和引入却是十分必要的。
6、不过，话不能说死，科学总是发展的，尽管不可观测的量对于今天的物理学而言没有意义，但也许将来会有哪个天才发现某些不可观测量的真正用途，这都是未知之数，还是让我们怀着一颗敬畏的心拭目以待吧。
注：不许说你就是那个天才，谁号称天才我打谁PP。
这篇就扯到这里。
最后公开点名表扬soifaint同学，我不知道你年纪多大，什么身份，但是你的物理底子不错，祝好好学习天天向上，早日成婚早得贵子。是吧，你懂的。
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发表评论 评论 (32 个评论)
- [2]qhliu
- 我要说明自己的观点，但是我不能保证我是正确的。
历史追踪很不容易啊，有些热闹的评论如下：
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[11]ningyuana 2011-6-11 21:12
力学量必须是线性算符，这是由态叠加原理决定的.L×L=ihL（这个h要加横的，你懂得。）.L显然不是线性算符，故不是力学量。
[10]IP: 70.112.211.* [10] 匿名 2011-6-11 21:00
PS, 手头没有教材，所以不好说教材里讲没讲，但是曾老上课讲角动量算符应该是提到过，也许他的习题集卷一里有？
[9]IP: 70.112.211.* [9] 匿名 2011-6-11 20:45
（致谢: soifaint童鞋一系列追问澄清了问题。）任何一个力学量，不管是矢量还是N维张量，必须它的所有分量能够同时存在特征值，换言之，所有分量算符都对易。比如\vec{X}, \vec{P}。角动量矢量(不管是L还是S)的三个分量，根据定义，都是两两不对易的。所以角动量矢量不是力学量。
[8]IP: 58.198.85.* [8] 匿名 2011-6-11 18:20
呃，总角动量算符不是厄米算符，所以不是力学量。。
[7]soifaint 2011-6-11 18:17
我真的不明白你说的“总角动量”是个什么玩意，莫非你说的是“角动量矢量”？如果说是这个的话，这玩意的问题是任何力学量的谱值都是“实数”而不是“序列”或者“数组”。换句话说量子力学数学形式里面讲的“力学变量”就根本不许有组合量，问题是好像从来没有哪个老师说过在数学形式的角度，力学变量可以是矢量或者张量这种事情吧？（除非中科院的教学比较特殊）。或者莫非你说的是L+S那类东西？
[6]soifaint 2011-6-11 18:08
你这个明显是基本概念有问题，不明白你看得什么书。总角动量从技术上说是角动量的长度，从经典力学一开始定义就很清楚，就是Sqrt[L^2]。量子力学只是继续了这个定义而已。
你告诉我你认为什么是“总角动量”？
[5]soifaint 2011-6-11 17:59
这有啥可翻的。。总角动量说的就是Sqrt[L^2]，当然更简单的说法是L^2。你从哪里听说的总角动量不是力学量？就算你说的是“角动量矢量”，这东西也不存在是不是力学量的问题，只存在谱值的问题。
[4]soifaint 2011-6-11 17:51
经典场论的中文版出了有20年了吧。我记得郎道的书基本都有翻译本，只是有些本不太好找。除非你说的是新翻译的版本，据说那个版本很烂。
[3]soifaint 2011-6-11 17:48
总角动量是力学量啊，就是Sqrt{L^2},怎么可能不是力学量呢。
郎道的书没必要看英文的，80年代的中文翻译版就不错，除非你觉得那个版本太老了（经典场论后来加了一些东西，比如批判奇点定理之类）
————
结论是：总的来说，我同意soifaint。
- [1]tdcao
- “根据可观测量的定义，我们知道可观测量，或者说力学量，必定是一个标量”--不是这样的。物理量、力学量、可观测量，讲的也不完全是同一个东西。你们自己想去，科网一些博友老是在基本问题上犯错，我老是纠错，到头来，我孤立了。但是，大家认真地去讨论一下这些。要读出书外的东西，这些在书上是不太细讲的。
- 博主回复(2011-6-12 10:56)：噢？
