对称之美——“数学与人文”系列演讲之四
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对称空间 在上面的各节中，我们讨论了欧氏空间、双曲平面（即庞卡莱圆盘）中的对称物体和对称模式。 虽然前面没有提，可是直觉告诉我们，这些空间一定是对称的，至少具有丰富的对称性质。事实上，这个条件是必要的。 我们发现，他们是一类非常重要，被称为对称空间的黎曼流形的两个实例。对称空间的定义比对称物体的定义要复杂得多。我们只作简要讨论。 在IRn中，任意两个都没有区别，因为我们总可以用一个等距平移把一个点变到另一个点。具有这种性质的空间称为齐性空间。在IRn中，一个更强的性质是，任意两点处的任意两个方向都是一样的，也就是说可以用一个等距，把一个方向变到另一个方向。这些性质双曲平面也同样具有，可是这还不是对称空间的正确定义。 对称空间的正确定义是说，在每一个点处，相对于它的反射都是空间的整体等距。我们很容易验证欧氏空间和双曲平面是对称空间。 对称空间的另一个重要例子是复平面C2，但它不满足上面两个条件。 对称空间定义以后，一个自然的问题是，是否它们与李群相关，我们已经强调过李群是对称概念的严格数学基础。回答当然是肯定的，对称空间与李群的关系仍然是数学中的一个活跃的研究领域。比如，朗兰兹纲领的几何背景就由对称空间及其商空间构成。 对称在许多场合中出现。完美的上帝创造完美的宇宙，对称是其中的重要一环。完美的理想化总是通过对称表现出来。 作者感谢他的夫人王岚在准备这篇讲稿过程中所给予的帮助。徐浩翻译了本文，周诚放帮助整理了文中的图片，一并表示感谢。 |
