物理好图 冯·诺伊曼关于希尔伯特空间上对称算子谱理论

现代数学的基础课程
现代数学的基础课程正在更新。50年代数学系的教学计划，以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体。时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛涵分析。现代数学理论是由这三根支柱撑着的。现在，我们来追寻它们形成和发展的历史足迹，并从这一侧面窥视20世纪数学的特征。
一、抽象代数抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反向。“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”。直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856~1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。20世纪初给出了群的抽象公里系统。
群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。例如，找出给定阶的有限群的全体。群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。伯恩赛德（Burnside，1852~1927年）曾提出过许多问题和猜想。如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。前者至今尚未解决，后者于1963年解决。
舒尔（Schur，1875~1941）于1901年提出有限群表示的问题。群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说：“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。”这当然是过分夸大了。
抽象代数的另一部分是域论。1910年施泰尼茨（Steinitz，1871~1928）发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得。
环论是抽象代数中较晚成熟的。尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物。韦德伯恩（Wedderburn，1882~1948）《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环。环和理想的系统理论由诺特给出。她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论。诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础。诺特对环和理想作了十分深刻的研究。人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年。范德瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，（1955年第四版时改名为《代数学》），其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构。这就发生了质变。由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支。范德瓦尔登的《代数学》至今仍是学习代数的好书。人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展。


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现代数学的基础课程
现代数学的基础课程正在更新。50年代数学系的教学计划，以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体。时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛涵分析。现代数学理论是由这三根支柱撑着的。现在，我们来追寻它们形成和发展的历史足迹，并从这一侧面窥视20世纪数学的特征。
一、抽象代数抽象代数在上一个世纪已经有了良好的开端，伽罗瓦在方程求根中就蕴蓄了群的概念。后来凯利对群作了抽象定义(Cayley，1821~1895)。他在1849年的一项工作里提出抽象群的概念，可惜没有引起反向。“过早的抽象落到了聋子的耳朵里”。直到1878年，凯利又写了抽象群的四篇文章才引起注意。1874年，挪威数学家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国的冯·戴克（von Dyck,1856~1934）把群论的三个主要来源—方程式论，数论和无限变换群—纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。20世纪初给出了群的抽象公里系统。
群论的研究在20世纪沿着各个不同方向展开。例如，找出给定阶的有限群的全体。群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。伯恩赛德（Burnside，1852~1927年）曾提出过许多问题和猜想。如1902年问道一个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。前者至今尚未解决，后者于1963年解决。
舒尔（Schur，1875~1941）于1901年提出有限群表示的问题。群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说：“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。”这当然是过分夸大了。
抽象代数的另一部分是域论。1910年施泰尼茨（Steinitz，1871~1928）发表《域的代数理论》，成为抽象代数的重要里程碑。他提出素域的概念，定义了特征数为P的域，证明了每个域可由其素域经添加而得。
环论是抽象代数中较晚成熟的。尽管环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物。韦德伯恩（Wedderburn，1882~1948）《论超复数》一文中，研究了线形结合代数，这种代数实际上就是环。环和理想的系统理论由诺特给出。她开始工作时，环和理想的许多结果都已经有了，但当她将这些结果给予适当的确切表述时，就得到了抽象理论。诺特把多项式环的理想论包括在一般理想论之中，为代数整数的理想论和代数整函数的理想论建立了共同的基础。诺特对环和理想作了十分深刻的研究。人们认为这一总结性的工作在1926年臻于完成，因此，可以认为抽象代数形成的时间为1926年。范德瓦尔登根据诺特和阿廷的讲稿，写成《近世代数学》一书，（1955年第四版时改名为《代数学》），其研究对象从研究代数方程根的计算与分布进到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构。这就发生了质变。由于抽象代数的一般性，它的方法和结果带有基本的性质，因而渗入到各个不同的数学分支。范德瓦尔登的《代数学》至今仍是学习代数的好书。人们从抽象代数奠基人——诺特、阿廷等人灿烂的成果中吸取到了营养，从那以后，代数研究有了长足进展。


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三、泛函分析泛函分析也是在20世纪初发端，于20~30年代完成的。产生泛函分析的背景是变分法、集合论、积分方程的发展。1906年弗雷歇的博士论文，用抽象形式表达了函数空间。空间中每一点是函数，函数的极限可看作空间中点列的极限。这是一个深刻的思想。1907年，施密特（Schmidt,1876~1959）把希尔伯特研究积分方程时使函数等同于傅氏系数集的思想，抽象为一般的 screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0> （screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>的数列screen.width-333)this.width=screen.width-333" border=0>全体按
通常的线性运算所构成的线性空间）,并寻出正交系。希尔伯特空间的名称由此产生。
匈牙利的里兹在1910年，从研究积分方程寻出Lp空间，它不是希尔伯特空间，但可以有范数。在此基础上，波兰数学家巴拿赫提出完整的赋范空间概念（1923），影响很大，后人称之为巴那赫空间。
泛函分析的另一重点是研究函数空间上的线形算子理论。巴拿赫提出了一系列重要的定理，并用于解决积分方程、三角级数等问题，居高临下，使分析学达到新阶段。但是算子理论更光辉的成就属于冯·诺伊曼关于希尔伯特空间上对称算子的研究，并且很幸运地发现，量子力学合用的数学工具，恰恰是这种算子的谱理论。
至此，泛函分析也基本上得到确立。这门学科的特点是：分析的课题、代数的方法、几何的观点，再加上广泛的应用，堪称20世纪一门最具综合性的基础学科。
“新三高”的历史回顾告诉我们，现代数学的基础部分，溯源于19世纪末，奠基于20世纪初，形成于两次世界大战之间。在此基础上，许多新学科相互交织而生长发展。如代数与拓扑结合而有拓扑群，泛函与代数结合而有算子环，拓扑与泛函结合而有线形拓扑空间。非线形分析用代数拓扑作基础，李群和李代数又用泛函为工具，拓扑中发展出同调代数，代数几何又刺激了微分拓扑。“新三高”是现代数学研究前沿的基础。

所有跟帖： 

• “"希尔伯特生成元"”生成元和生成元之间关系 -marketreflections- ♂ (2751 bytes) () 10/01/2010 postreply 20:17:58

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• 稠密集：如果 X 中的任一點 x 可以被A中的點很好的逼近，則稱 A 在 X 中稠密;在度量空間(E,d)中，也可以定義稠密集為 -marketreflections- ♂ (709 bytes) () 10/02/2010 postreply 07:49:26

• 实数或复数,长度概念。就是范数称为赋范向量空间,加上长度和角度的概念，称为 内积空间 -marketreflections- ♂ (274 bytes) () 10/02/2010 postreply 08:01:07

• 最左边的为平均脸，其他地为对应 7 个最大特征值的特征向量 (图) -marketreflections- ♂ (6623 bytes) () 10/02/2010 postreply 08:09:19

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• 狄拉克标记 薛定谔绘景或海森堡绘景 -marketreflections- ♂ (7236 bytes) () 10/02/2010 postreply 10:49:36

• 金观涛:用算符｛ …｝集合表示宏观物体对的作用，用力学量，， …等表示我们获得的宏观输出。 -marketreflections- ♂ (16522 bytes) () 10/02/2010 postreply 11:04:28

• 一维谐振子的本征波函数 一般用分离变数法可以求出，坐标部分的解是实函数，时间部分 是e指数复函数，因此波函数是两部分乘起来，是复 -marketreflections- ♂ (5560 bytes) () 10/02/2010 postreply 11:11:02

• 在希尔伯特空间里，波函数就是本征右矢量的叠加，也是矢量，既有大小，又有方向，实数是不足以表示这两个特征的，复的才行 -marketreflections- ♂ (118 bytes) () 10/02/2010 postreply 11:12:24

• "矢量叠加波函数复函数" -marketreflections- ♂ (24 bytes) () 10/02/2010 postreply 11:17:24

• Google算符变换，我们时常会得到一些关于这两个物理态的数据 -marketreflections- ♂ (4175 bytes) () 10/02/2010 postreply 11:21:08

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• 强等效原理是指在时空区域的一点内的引力场可用相应的局域惯性参考系去描述，而狭义相对论在其局域惯性参考系中完全成立 -marketreflections- ♂ (12036 bytes) () 10/03/2010 postreply 08:23:26

• 强等效原理 用一个局域的加速参考系去抵消(抽述)各相应的时空点上的引力，然后将各个局域惯性参考系的关系统合起来（即是曲率和能动张 -marketreflections- ♂ (160 bytes) () 10/03/2010 postreply 08:26:24

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• 点光源发出的光波，在均匀的各向同性媒质中传播时，就是一种球面波,平面"模型" -marketreflections- ♂ (281 bytes) () 10/03/2010 postreply 12:05:40

• 平面波是球面波的局部平直（有限性质，维度），分型连续可积不可微 -marketreflections- ♂ (2011 bytes) () 10/03/2010 postreply 12:42:47

• 物理好图 在量子力学中，一个物理体系的状态由态函数表示，态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个 -marketreflections- ♂ (7947 bytes) () 10/04/2010 postreply 10:23:30

• 在狭义相对论中，空间和时间并不相互独立，而是一个统一的四维时空整体 -marketreflections- ♂ (117 bytes) () 10/04/2010 postreply 10:51:45

• 各种可能值的几率既与力学量的算符有关，也与状态的波函数有关 -marketreflections- ♂ (1916 bytes) () 10/04/2010 postreply 11:36:38

• "状态的波函数" ,波函数的复振幅 i Et 则反映波函数随时间的变化。 "e" -marketreflections- ♂ (5563 bytes) () 10/04/2010 postreply 11:56:08

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• 商与儒 从数和量的角度看，形式逻辑就是数字量，辩证逻辑就是模拟量 -marketreflections- ♂ (398616 bytes) () 10/05/2010 postreply 10:53:31

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• http://www.econbrowser.com/ economist must read -marketreflections- ♂ (27 bytes) () 10/05/2010 postreply 09:01:12

• www.econbrowser.com capital goods import -marketreflections- ♂ (70 bytes) () 10/05/2010 postreply 09:28:09

• our goods deficit is 10 times larger than our services surplus -marketreflections- ♂ (2064 bytes) () 10/05/2010 postreply 09:42:07

• jobs, 2.3 million export, 2.7 million non-manufacturing service -marketreflections- ♂ (789 bytes) () 10/06/2010 postreply 08:29:01

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• $8.6 trillion in outstanding bonds, roughly half are owned by fo -marketreflections- ♂ (4274 bytes) () 10/06/2010 postreply 14:23:07

• http://globalmacrotrading.wordpress.com/ -marketreflections- ♂ (40 bytes) () 10/06/2010 postreply 13:58:54

• calculatedriskblog.com -marketreflections- ♂ (62 bytes) () 10/05/2010 postreply 09:53:21

• nowandfutures.com/key_stats.html must read US M3 (图) -marketreflections- ♂ (197 bytes) () 10/23/2010 postreply 18:31:39

• economist SIMON JOHNSON funding model Bank capital can be best -marketreflections- ♂ (5691 bytes) () 11/11/2010 postreply 09:59:52

• Today only 9 percent of Americans work in the manufacturing indu -marketreflections- ♂ (616 bytes) () 11/11/2010 postreply 12:07:05

• economist http://www.spiegel.de/international/ (图) -marketreflections- ♂ (577 bytes) () 11/11/2010 postreply 12:28:33

• economist 刘煜辉 调整金融要素价格 -marketreflections- ♂ (4556 bytes) () 11/22/2010 postreply 20:02:06

• 周其仁：通货膨胀为什么会引起萧条？票子发多了为什么会导致紧缩？缘于预期会反方向运行，导致资产价格大起大落。我定义资产市场为一个交 -marketreflections- ♂ (16176 bytes) () 11/23/2010 postreply 10:48:44

• economist 李稻葵 这场金融危机并不是产能过剩，就整个西方国家可能是需求过旺，是在经济过热时期他金融部门发行了大量的信用 -marketreflections- ♂ (2665 bytes) () 11/23/2010 postreply 12:04:13

• 李稻葵：economist 大量资金涌入，流动性过剩。突然间不看好，资金流出 (图) -marketreflections- ♂ (6692 bytes) () 11/23/2010 postreply 12:29:34

• FED QE: can indeed generate some extra inflation in the price of -marketreflections- ♂ (37500 bytes) () 11/11/2010 postreply 10:07:33

• 金观涛:用算符｛ …｝集合表示宏观物体对的作用，用力学量，， …等表示我们获得的宏观输出。 -marketreflections- ♂ (42 bytes) () 12/05/2010 postreply 19:59:30

• 算符的本征值与矢量算符-钱伯初 -marketreflections- ♂ (84 bytes) () 12/05/2010 postreply 20:54:26

• 算符的物理意义虽然代表受控实验对微观状态的作用，但它的表达式则和我们前面用的数学语言有关。如动量算符，它代表了在测量微观状态动量 -marketreflections- ♂ (390 bytes) () 12/05/2010 postreply 21:07:24

• 互相正交的（即它们的内积为零）。简而言之，这个定理的意义是：如果对于某一线性变换，矢量空间中存在着一些矢量，作用的结果不改变各矢 -marketreflections- ♂ (198 bytes) () 12/05/2010 postreply 21:04:12

• 生成子概念 面对不确定性（风险，效用空间），从两个商品或证，两中态开时，最小自由度，对立统一，阴阳生三，三生万物，有此充满全空间 -marketreflections- ♂ (1938 bytes) () 12/06/2010 postreply 08:35:31

• 旋转群的生成元是角动量算符，而不是动量算符 -marketreflections- ♂ (612 bytes) () 12/06/2010 postreply 08:48:08

• 角动量= 半径×动量，当半径固定为常数的时候，角动量和动量正比 -marketreflections- ♂ (1167 bytes) () 12/06/2010 postreply 08:54:20

• 洛伦兹变换包括两种基本变换操作：旋转（rotation）和直线 ... 洛伦兹变换彼此间是非对易的，这意味着洛伦兹群是一个非阿贝 -marketreflections- ♂ (193 bytes) () 12/06/2010 postreply 09:37:21

• 我们说标量、矢量、张量，其概念都是定义在一点，运算法则最初也是定义在一点，不同点的量要进行运算时首先就是要完备的去加以定义（如何 -marketreflections- ♂ (1116 bytes) () 12/06/2010 postreply 09:40:09

• Feynman的直观解释 ：[运动学假定 1] 物理对象存在的状态由一个Hilbert空间中的一条射线表出; 数学上, Hilb -marketreflections- ♂ (22338 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:15:37

• 4维闵氏空间：抽出能-动量4-矢量 (运动学概念）. 能-动量4-矢量的守恒律 (动力学概念, 经验规则, 对动力学的约束）,质 -marketreflections- ♂ (464 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:18:51

• 0质量粒子 (光子） 波动图象 质壳: 相对论色散关系 + 正频条件,能量正定性是很深刻的一个物理约束, 和时间的单向性联系,不 -marketreflections- ♂ (163 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:21:40

• 物理好图:两体到两体反应的运动学 Mandelstam不变量s, t, u ,s: 质心系总能量的平方 , 两体到两体反应的运 -marketreflections- ♂ (365 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:30:08

• 对偶空间：傅立叶變換亦內蘊对偶空間的概念,泛函,設V為 在域F上的向量空間，定義其对偶空間V* 為由V到F的所有線性函數的集合。 -marketreflections- ♂ (3833 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:38:31

• 希尔伯特空间&#8226; 对偶空间反线性同构：对偶作用，或者用反线性同构共轭以后的对偶作用 -marketreflections- ♂ (1983 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:42:54

• 物理好图 hilbert空间中的基底，之所以可以那样搞是因为有泛函分析中的谱定理：一个离散维度的hilbert空间怎么能用一个连 -marketreflections- ♂ (11046 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:52:06

• 在完全的市场中，事件空间远大于价格空间，仅凭价格无法获知商品的全部信息 -marketreflections- ♂ (682 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:56:55

• 当资产可以在两个以上的时刻进行交易时，信息是资产价格动态决定的关键推动力 -marketreflections- ♂ (5124 bytes) () 12/06/2010 postreply 11:00:18

• 师树兴：冯纽曼 预期效用理论认为金融资产为投资者所带来的效用由该资产的各种可能的未来结果的概率加权效用所决定,主体如何获得关于自 -marketreflections- ♂ (5128 bytes) () 12/06/2010 postreply 11:04:03

• 证明Klein-Gordon方程的相对论不变性,线性方程+对称性=>平面波解及其叠加得到一般解,所以可能的解形成相空间 -marketreflections- ♂ (201 bytes) () 12/06/2010 postreply 12:22:03

• 金融好图： 若处于本征态，则测量值等于本征值，等于平均值，因此 即本征态是统计偏差等于零，既无涨落的 -marketreflections- ♂ (853 bytes) () 12/06/2010 postreply 16:26:42

• 物理好图 泰勒级数就是利用直尺，把连续（连续隐含有序）的函数曲线，变换到了离散的独立维度编码上来。 泰勒级数的本质就是在用方向信 -marketreflections- ♂ (21236 bytes) () 12/06/2010 postreply 12:39:21

• 傅里叶级数就不一样，面积是有可能重叠的，一重叠，就不是独立维度信息了，因此特别强调正交。 -marketreflections- ♂ (206 bytes) () 12/06/2010 postreply 12:42:52

• 不动点定理：物理好图 hilbert空间中的基底，之所以可以那样搞是因为有泛函分析中的谱定理：一个离散维度的hilbert空间怎 -marketreflections- ♂ (300 bytes) () 12/06/2010 postreply 12:50:21

• 如果物质的运动规律具有某一连续变换群的对称性，同时它的能量最低的状态（基态或真空态）是对称的，那么与这个群的每一个生成元对应的物 -marketreflections- ♂ (3505 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:02:55

• 对一个与周围物质切断了相互作用的孤立的系统，时空坐标原点的选取和坐标轴方向的选取都不会影响这一系统的运动规律。时空表现为均匀和各 -marketreflections- ♂ (3146 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:05:36

• 场量和连续介质的状态参量一般有多个分量，组成一个矢量空间，叫做场量空间。场量作为时空点的函数，可以看作时空流形到场量空间的映像。 -marketreflections- ♂ (3163 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:10:38

• 场论和凝聚态物理中，有很多有限大小的孤立子结构，例如磁涡线（见第二类超导体）、磁单极子等等，它们有不平凡的拓扑性质。拓扑数的守恒 -marketreflections- ♂ (1316 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:12:28

• 周光召：系统动力学的拉格朗日量具有对称群□的对称性，但是能量最低的真空态或基态不只一个，而是一组互相不能穿透的退化的状态,形成群 -marketreflections- ♂ (2738 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:17:14

• 物理好图 学习无期限 伽利略和爱因斯坦都认为时空的结构不管从什么标度下看都是光滑的,诺塔尔则认为每当分辨率发生变化，时空就会表现 -marketreflections- ♂ (5468 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:43:52

• 这样一些离散的，瞬间的粒子怎么会出现在一个连续的时空（不管这个时空是不是非交换的）中呢？答案应该不会简单吧。“最关键的一点就是， -marketreflections- ♂ (654 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:46:43

• 在低能区的现象中，作用较强的力常常具有更高的对称性，这种对称性遭到比较弱的作用力的破坏。例如核子的结合力具有同位旋的对称性,这就 -marketreflections- ♂ (490 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:07:40

• 江恩理论的优点，是阐述了时间与价位的关系 -marketreflections- ♂ (4325 bytes) () 12/06/2010 postreply 14:03:27