生成子概念 因为算符的作用，物理系统的物理态 (physical state)，会变换为另外一个物理态。通过这个变换，我们时常会

Wiki: 算符 (物理學)
在物理学里，算符，又称算子，表示施作于物理态的某种作用。因为算符的作用，物理系统的物理态 (physical state)，会变换为另外一个物理态。通过这个变换，我们时常会得到一些关于这两个物理态的数据。

目录:
1. 在经典力学里的角色
2. 在量子力学里的角色
3. 参阅
4. 参考文献


1. 在经典力学里的角色
思考一个经典力学的物理系统，哈密顿量 是一个广义坐标 与其共轭动量 的函数。假若，在某种群 的变换运算下，哈密顿量是个不变量；也就是说，假若， ，则 的元素是物理算符。在物理算符将一个物理态映射到另外一个物理态的时候，哈密顿量保持恒定。

再举一个简单例子。假若，一个的物理系统对称于平移运动。设定 为一个平移算符，则在 变换下，哈密顿量保持不变。另外一个对称性算符是执行旋转的旋转算符。

1. 1. 生成子概念
思考一个无穷小的变换，假设其算符的形式为 ；其中， 是单位算符，算符的群的单位元， 是无穷小值参数， 称为群的生成元，专门用来表示这个变换的功能。让我们导引出一维平移运动的生成元。将平移算符 施于函数 ，则

。
假设 为无穷小值，那么，

。
所以，

；
其中， 是平移群的生成元，凑巧也是导引算符。所以，平移群的生成元是导引算符。

1. 2. 指数映射
在正常情况下，应用指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移这案例，重复地施行 次无穷小平移变换 ，来代替一个有限值为 的平移变换 ：

；
现在，让 变的无穷大，则每一个因子可以被认为无穷小的：

。
这极限可以重写为一个指数函数：

。
为了要进一步信服这表达式的正确性，将指数展开为一个幂级数：

。
右手边可以重写为

。
这正是 的泰勒级数，也是原本表达式 的值。

2. 在量子力学里的角色
在量子力学里，算符充分地发挥了它奇妙的功能。量子力学的数学描述完全地建立于算符的概念。

在量子力学里，一个量子系统的量子态可以用态矢量来抽象地表达；而这态矢量是某种矢量空间（一个希尔伯特空间）的单位范数矢量。在这矢量空间内，时间演化算符促使了量子态谁著时间的演化。因为物体的量子态的范数应该保持不变，时间演化算符必须是么正算符。任何其他的对称性运算，从一个物理态映射至另外一个物理态，应该遵守此限制。

称一个在物理实验中可以观测到的物理量为可观测量。对应于每一个可观测量，都有一个厄米算符。实验观测到的数值是算符的本征值。每个本征值的或然率，跟量子态在那本征值子空间的投影有关系。

2. 1. 量子算符
一个量子系统的量子态，受到量子算符 的作用，会变换为另外一个量子态。用方程表达，

；
其中， 是代表原本量子态的态矢量，而 则是代表新量子态的态矢量；我们也可以等价地标记 为 。

量子算符的概念比较抽象。它能够更加简易的描述量子系统。每一个量子算符，都有一个对应的函数算符 。函数算符的操作对向是态矢量的波函数。函数算符是对于波函数的一些运算指示。用方程表达，

；
其中， 是原本态矢量的波函数，而 则是新的波函数。

例如，在位置空间里，计算位置的位置算符 ，其对应的函数算符 就是乘以 ：

。
计算动量的动量算符 ，其对应的函数算符 是取随着 的偏微分，然后再乘以 ：

。
计算能量的哈密顿算符 ，其对应的函数算符 是

。
一般而言，量子算符与函数算符都会用在量子力学里。当我们将算符的这两种概念融会贯通后，两者的区分并不是那么的重要。

2. 2. 期望值
2. 2. 1. 位置的期望值
思考位置的期望值，

。
对于任意波函数 ，这相等式都成立。所以，位置算符 ，所对应的函数算符 ，的确可以用来计算位置的期望值。

2. 2. 2. 动量的期望值
思考位置的期望值随时间的导数，用积分方程来表达，

。
取微分于积分号下，

。
由于 只是一个位置的统计参数，不相依于时间，

。(1)
含时薛定谔方程为

；
其中， 是位势。

其共轭复数为

。
代入方程 (1)：

。
使用分部积分法，

，(2)
。(3)
方程 (2) 与 (3) 的减差是

。
所以，

。
模仿动量的经典定义，我们定义动量的期望值为质量 乘以位置的期望值 随时间 的全导数：

。
则

。
对于任意波函数 ，这方程都成立。所以，动量算符 ，所对应的函数算符 ，的确可以用来计算动量的期望值。

3. 参阅
•消灭算符
•创生算符
•阶梯算符
4. 参考文献
•费曼, 理查（2010年4月12日）．費曼物理學講義 III (3) 薛丁格方程式．台湾：天下文化书，pp. 205-237．ISBN 986-417-672-2．

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• 在完全的市场中，事件空间远大于价格空间，仅凭价格无法获知商品的全部信息 -marketreflections- ♂ (682 bytes) () 12/06/2010 postreply 10:56:55

• 当资产可以在两个以上的时刻进行交易时，信息是资产价格动态决定的关键推动力 -marketreflections- ♂ (5124 bytes) () 12/06/2010 postreply 11:00:18

• 师树兴：冯纽曼 预期效用理论认为金融资产为投资者所带来的效用由该资产的各种可能的未来结果的概率加权效用所决定,主体如何获得关于自 -marketreflections- ♂ (5128 bytes) () 12/06/2010 postreply 11:04:03

• 证明Klein-Gordon方程的相对论不变性,线性方程+对称性=>平面波解及其叠加得到一般解,所以可能的解形成相空间 -marketreflections- ♂ (201 bytes) () 12/06/2010 postreply 12:22:03

• 金融好图： 若处于本征态，则测量值等于本征值，等于平均值，因此 即本征态是统计偏差等于零，既无涨落的 -marketreflections- ♂ (853 bytes) () 12/06/2010 postreply 16:26:42

• 物理好图 泰勒级数就是利用直尺，把连续（连续隐含有序）的函数曲线，变换到了离散的独立维度编码上来。 泰勒级数的本质就是在用方向信 -marketreflections- ♂ (21236 bytes) () 12/06/2010 postreply 12:39:21

• 傅里叶级数就不一样，面积是有可能重叠的，一重叠，就不是独立维度信息了，因此特别强调正交。 -marketreflections- ♂ (206 bytes) () 12/06/2010 postreply 12:42:52

• 不动点定理：物理好图 hilbert空间中的基底，之所以可以那样搞是因为有泛函分析中的谱定理：一个离散维度的hilbert空间怎 -marketreflections- ♂ (300 bytes) () 12/06/2010 postreply 12:50:21

• 如果物质的运动规律具有某一连续变换群的对称性，同时它的能量最低的状态（基态或真空态）是对称的，那么与这个群的每一个生成元对应的物 -marketreflections- ♂ (3505 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:02:55

• 对一个与周围物质切断了相互作用的孤立的系统，时空坐标原点的选取和坐标轴方向的选取都不会影响这一系统的运动规律。时空表现为均匀和各 -marketreflections- ♂ (3146 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:05:36

• 场量和连续介质的状态参量一般有多个分量，组成一个矢量空间，叫做场量空间。场量作为时空点的函数，可以看作时空流形到场量空间的映像。 -marketreflections- ♂ (3163 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:10:38

• 场论和凝聚态物理中，有很多有限大小的孤立子结构，例如磁涡线（见第二类超导体）、磁单极子等等，它们有不平凡的拓扑性质。拓扑数的守恒 -marketreflections- ♂ (1316 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:12:28

• 周光召：系统动力学的拉格朗日量具有对称群□的对称性，但是能量最低的真空态或基态不只一个，而是一组互相不能穿透的退化的状态,形成群 -marketreflections- ♂ (2738 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:17:14

• 物理好图 学习无期限 伽利略和爱因斯坦都认为时空的结构不管从什么标度下看都是光滑的,诺塔尔则认为每当分辨率发生变化，时空就会表现 -marketreflections- ♂ (5468 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:43:52

• 这样一些离散的，瞬间的粒子怎么会出现在一个连续的时空（不管这个时空是不是非交换的）中呢？答案应该不会简单吧。“最关键的一点就是， -marketreflections- ♂ (654 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:46:43

• 在低能区的现象中，作用较强的力常常具有更高的对称性，这种对称性遭到比较弱的作用力的破坏。例如核子的结合力具有同位旋的对称性,这就 -marketreflections- ♂ (490 bytes) () 12/06/2010 postreply 13:07:40

• 江恩理论的优点，是阐述了时间与价位的关系 -marketreflections- ♂ (4325 bytes) () 12/06/2010 postreply 14:03:27