狄拉克标记 薛定谔绘景或海森堡绘景

量子态
新国学大百科分类 新国学主论 | 新国学辅论 | 新国学典藏 | 民族宗教 | 网文素材 | 国故学赏析 | 词条 | 文章 作者：佚名 来源：本站原创 发表时间：2009-3-3149在量子力学里，量子态抽象地设定了一个量子系统的物理状态。当我们描述一个量子系统时，我们希望能够既简易、又明确地描述这个量子系统的各种物理状态，怎样从一个物理状态变换到另外一个物理状态。量子态的概念可以帮助我们达到这目标。量子态是一个抽象的术语。我们用量子态来表明，一个量子系统的物理状态。

每一个量子态都可以用存在于希尔伯特空间的态矢量来表示。有时候，因为物理作用，一个量子态会变换到另外一个量子态。这过程可以用态矢量的数学来表达。物理学家常用狄拉克标记来标记量子态或态矢量。量子态或态矢量的线性组合可以描述量子态的干涉现象

概念

　

物理状态
让我们先从经典力学的一个例子，来探索一个物理系统的状态与相关概念。试想一个物理系统，里面有一个质量为 的粒子，自由地移动于一维空间。假设，在时间 ，粒子的位置 是 ，动量 是 。这些初始条件设定了系统的状态 ，标记为 。

过一段时间，在 ，我们试着测量这粒子的运动参数。在这个简单的物理系统里，我们能够测量的物理量，基本上是它的位置 与动量 。其它物理量的都是这两个物理量的函数。这里，我们称可以被测量的物理量为可观察量。

知道系统在 状态 ，应用牛顿运动定律，我们可以计算出可观察量在任何时间 的量值。这量值应该完全符合我们测量的结果。标记这些计算的量值为 与 。 在我们这个简单的例子里，粒子以等速移动。因此

，
。
现在，假设粒子的位置的初始条件是概率密度函数 ，动量的初始条件是概率分布函数 。这两个概率分布函数完全地描述这物理系统的状态 。可观察量 与 变成随机变量。任何测量的结果都是随机的，无法准确地预测。可是，假若，给予一个系综的同样的物理系统，对于每一个物理系统做同样的测量，得到的结果会呈概率分布。我们可以预测可观察量在 状态的期望值。标记 的期望值为 。

　

量子态
一个量子态的某些性质，可以经过测量而得知其物理量。这些可以得知的物理量，称为可观察量。所有可观察量的概率分布设定了量子系统的量子态。

　

本征态
假若，对于许多同样的量子态的某一个可观察量做测量，结果都一样。那么，这量子态是这个可观察量的本征态，又称确定态。量子态可以是几个本征态的叠加。一个可观察量的本征态可能不是另外一个可观察量的本征态。既然，实际上，我们只能得知一个量子系统的每一个可观察量。

假若，一个量子态不是一个可观察量的本征态，对于这量子态的这个可观察量的测量，答案是概率性的；也就是说，给予一个系综许多相同的量子系统，每一个量子系统的量子态都一样，都是某个可观察量的很多不同的本征态的叠加，对于这可观察量做同样的测量，获得的答案可以表达为概率分布。这是量子力学与经典力学之间，大不相同的一点。在经典力学里，测量的结果本质上是决定性的，而不是概率性的。

对于任何可观察量 ，我们通常可以制备一个本征态 。对于这本征态 的可观察量 所做的一个测量，获得的结果是明确的。给予一系综这样的系统，对于每一个本征态 的可观察量 所做的测量，答案都是一样的。本征态 又称为 的本征态。

假设一个量子系统的量子态 原本不是 的本征态。那么，对于这量子态的可观察量 所做的一个测量，会将量子态塌缩为 的一个本征态 ，测量的结果是这本征态的本征值 。假若我们立刻再测量可观察量 ，由于量子态仍旧是同样的本征态 ，所得到的测量值也是同样的本征值 。

思考两个不相容可观察量 与 。假设一个量子系统原本处于 的本征态 。假若我们只测量 ，我们不会发现到任何统计行为。可是假若我们先测量 ，量子系统会塌缩成 的本征态 。假若，我们立刻再测量 ，我们会得到统计性的答案。

　

薛定谔绘景或海森堡绘景
在前面的讲述，可观察量 ， 可以相依于时间，而量子态 则不相依于时间。这方法称为海森堡绘景。我们可以等价地使可观察量不相依于时间，又使量子态相依于时间。这方法是薛定谔绘景。概念上，这两种绘景是等价地。两种绘景都常常用在量子力学。非相对论性量子力学通常表述于薛定谔绘景，而在相对论性状况，像是量子场论，则海森堡绘景是比较喜好的方法。

　

量子力学形式论
　

量子态是希尔伯特空间的射线
量子力学通常表述于线性代数。在一个量子系统里，每一个量子态都对应于希尔伯特空间的一个矢量，称为态矢量。假若，一个矢量是另外一个矢量的标量倍数，则这两个矢量都对应于同样的量子态。（换句话说，每一个量子态都是希尔伯特空间的一个射线）。

或者，我们只准许归一化的矢量代表量子态。这样，所有量子态的集合对应于希尔伯特空间的单位球。假若，两个归一化态矢量，唯一的不同处是它们的相位因子。那么，这两个态矢量仍旧对应于同样的量子态。

　

狄拉克标记
在量子力学里，数学运算时常用到线性算符，内积，对偶空间，与厄米共轭。为了让运算更加简易，避免更深入研读线性代数的需要，保罗·狄拉克发明了一种标记法，狄拉克标记。这标记法能够精确地表达量子态。简略表述如下：

矢量标记形式为 ；其中 可以用任何符号，字母，数字，或单字。这与通常的数学标记显然地不同。通常，矢量以粗体字母，或者在上方加了一支矢号的字母来标记。
称矢量为右括矢量。
每一个右括矢量 ，都独特地伴随一个左括矢量 ，这两个矢量都对应于同样的量子态。
两个矢量的内积，可以写为 。
　

单粒子系统的基底量子态
与任何矢量空间一样，设定一个希尔伯特空间的正交归一的基底量子态， 。那么，任何右括矢量 可以展开为这基底量子态的线性组合。

；
其中，系数 是复值系数。

用物理术语来描述， 是量子态 的叠加。由于这基底满足正交归一性，

，
。
在量子力学的测量问题里，这种展开式占有很重要的角色。特别是，假若 是一个可观察量 的本征值为 的本征态。那么，对于量子态 的可观察量 的一个测量，得到的结果为 的概率是 。

一个常见的例子是位置基底。这个基底是由位置这可观察量的本征态构成的。假若这些本征态是不兼并的，那么，每一个右括矢量 都对应于一个三维空间的复值函数：

。
这函数称为对应于 的波函数。

　

态叠加原理
设定 and 为两个不同的量子态。它们的线性叠加 是另外一个量子态（尚未归一化）。思考 为实值的量子态 ，虽然与 对应于同样的量子态，他们并无法互相替换。可是， 和 肯定地对应于同样的量子态。我们可以这样说，整体的相位因子并无物理性质，但相对的相位因子的物理性质很重要。



双缝实验草图，从光源 散发出来的单色光，照射在一座有两条狭缝 与 的不透明挡墙 。在挡墙的后面，设立了一个照相底片或某种探测屏障 ，用来纪录到达 的任何位置 的光波数据。最右边黑白相间的条纹，显示出光波在探测屏障 的干涉图案例如，在双缝实验里，光子的量子态是两个不同的量子态的叠加。其中一个是通过狭缝 的量子态。另外一个是通过狭缝 的量子态。光子抵达探测屏障的位置 ，这位置离开两条狭缝的距离之差值 ，与两个量子态的相对的相位有关。而这相对的相位，在探测屏障的某些位置，又造成了建设性干涉，或摧毁性干涉。

另外一个例子，拉比振动，可以显示出相对相位在量子态叠加中的重要性。这是一个双态系统。假若系统的两个本征态的本征能级不一样，那么，因为态叠加的相对相位随着时间而改变，叠加后的量子态会反来复去的震动于两个本征态的线性组合。

　

纯态与混态
前面所讲述的量子态都是纯态，可以用一个右括矢量来代表。一个混态是一个系综的纯态。混态是用一个密度矩阵，或密度算符，来描述。密度矩阵可以描述纯态和混态。用方程来定义，

；
其中， 是密度矩阵， 是纯态 在系综里所占的比例。

我们可以用一个很简单的公式，来判断一个密度矩阵，到底是描述纯态还是混态。首先，必须将量子态归一化。假若，矩阵的迹值 ，则所描述的是纯态；否则，假若 ，则所描述的是纯态。另外一个等价的判断式用冯诺伊曼熵来决定量子态的种类：纯态的冯诺伊曼熵是 0 ;而混态的冯诺伊曼熵则大于 0 。

在量子力学里，测量的规则可以特别简单的用密度矩阵来表达。举例而言，对应于一个可观察量 的一个测量的期望值是

；
其中， 是 的本征态， 是本征值。

特别注意，在这里，一共发生了两种不同的平均运算。一种是纯态的基底右括矢量 的量子平均。另外一种是个统计平均，每一个量子态 的概率是 。

我们也可以用这些不同的平均运算，来判断纯态或混态：纯态是量子态相干的叠加；而混态是量子态不相干的叠加。