各种可能值的几率既与力学量的算符有关，也与状态的波函数有关

http://elearning.ccnu.edu.cn/jpkcnew/llwl/QuantumMechanics/kcnr/nr/2.2.1.htm

§2.2 厄米算符的本征值与本征函数（1）(下一节）



对于一个微观粒子系统，在给定的状态里，力学量以不同的几率取不同的值。因此，对力学量的完整描述，首先要知道它所能取的值的谱，其次要知道取每一种值的几率。

因此，在给定的状态里，测量微观粒子的力学量，通常不是得到唯一确定的值，而是按一定几率分布的一系列的值。

在上节我们已经知道，在量子力学中，力学量是用线性厄米算符表示，这是量子力学的基本假设。利用力学量的算符，我们可以求得在给定的状态里力学量的期望值——平均值。

在这一节里，我们将进一步讨论如何利用力学量的算符来求力学量所有可能的取值，以及如何求在一个给定的状态里力学量取各种可能值的几率。

力学量的可能的取值只与系统本身的性质和所处的外部条件有关，与运动状态无关。

而各种可能值的几率既与力学量的算符有关，也与状态的波函数有关。



㈠力学量的本征值方程

假设一体系（微观粒子）处于量子态 。当人们去测量力学量A时，一般地，可能出现各种不同地结果，每个结果有一定的几率。对于都 用来描述其状态的大量的完全相同的体系，如果进行多次测量，所得结果的平均将趋于一个确定值。而每一次测量的结果则围绕平均值有一个涨落。这个涨落定义为



由于 是厄米算符， 必为实数，因而（ － ）仍为厄米算符。于是上式可写为


（利用厄米共轭算符定义）

(2)

如果体系处于一种特殊的状态下：在一状态中，力学量A有确定值。此时，涨落 ，于是由(2)式可得


或


为了方便，常把此常数记为An，并将此特殊状态记为 ，于是

(3)

An称为 的本征值， 为相应的本征态，n＝1，2，3…..称为量子数。公式(3)就是算符 的本征方程。

求解时，还要满足一些定解条件：如波函数是单值、连续、有限的（称为标准条件），以及系统的边界条件。波函数必须至少有二阶导数存在。

于是得到量子力学中的一个基本假定：测量力学量A时，所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符 的本征值。



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