生成子概念 因为算符的作用，物理系统的物理态 (physical state)，会变换为另外一个物理态。通过这个变换，我们时常会

Wiki: 算符 (物理學)
在物理学里，算符，又称算子，表示施作于物理态的某种作用。因为算符的作用，物理系统的物理态 (physical state)，会变换为另外一个物理态。通过这个变换，我们时常会得到一些关于这两个物理态的数据。

目录:
1. 在经典力学里的角色
2. 在量子力学里的角色
3. 参阅
4. 参考文献


1. 在经典力学里的角色
思考一个经典力学的物理系统，哈密顿量 是一个广义坐标 与其共轭动量 的函数。假若，在某种群 的变换运算下，哈密顿量是个不变量；也就是说，假若， ，则 的元素是物理算符。在物理算符将一个物理态映射到另外一个物理态的时候，哈密顿量保持恒定。

再举一个简单例子。假若，一个的物理系统对称于平移运动。设定 为一个平移算符，则在 变换下，哈密顿量保持不变。另外一个对称性算符是执行旋转的旋转算符。

1. 1. 生成子概念
思考一个无穷小的变换，假设其算符的形式为 ；其中， 是单位算符，算符的群的单位元， 是无穷小值参数， 称为群的生成元，专门用来表示这个变换的功能。让我们导引出一维平移运动的生成元。将平移算符 施于函数 ，则

。
假设 为无穷小值，那么，

。
所以，

；
其中， 是平移群的生成元，凑巧也是导引算符。所以，平移群的生成元是导引算符。

1. 2. 指数映射
在正常情况下，应用指数映射，可以从生成元得到整个群。对于平移这案例，重复地施行 次无穷小平移变换 ，来代替一个有限值为 的平移变换 ：

；
现在，让 变的无穷大，则每一个因子可以被认为无穷小的：

。
这极限可以重写为一个指数函数：

。
为了要进一步信服这表达式的正确性，将指数展开为一个幂级数：

。
右手边可以重写为

。
这正是 的泰勒级数，也是原本表达式 的值。

2. 在量子力学里的角色
在量子力学里，算符充分地发挥了它奇妙的功能。量子力学的数学描述完全地建立于算符的概念。

在量子力学里，一个量子系统的量子态可以用态矢量来抽象地表达；而这态矢量是某种矢量空间（一个希尔伯特空间）的单位范数矢量。在这矢量空间内，时间演化算符促使了量子态谁著时间的演化。因为物体的量子态的范数应该保持不变，时间演化算符必须是么正算符。任何其他的对称性运算，从一个物理态映射至另外一个物理态，应该遵守此限制。

称一个在物理实验中可以观测到的物理量为可观测量。对应于每一个可观测量，都有一个厄米算符。实验观测到的数值是算符的本征值。每个本征值的或然率，跟量子态在那本征值子空间的投影有关系。

2. 1. 量子算符
一个量子系统的量子态，受到量子算符 的作用，会变换为另外一个量子态。用方程表达，

；
其中， 是代表原本量子态的态矢量，而 则是代表新量子态的态矢量；我们也可以等价地标记 为 。

量子算符的概念比较抽象。它能够更加简易的描述量子系统。每一个量子算符，都有一个对应的函数算符 。函数算符的操作对向是态矢量的波函数。函数算符是对于波函数的一些运算指示。用方程表达，

；
其中， 是原本态矢量的波函数，而 则是新的波函数。

例如，在位置空间里，计算位置的位置算符 ，其对应的函数算符 就是乘以 ：

。
计算动量的动量算符 ，其对应的函数算符 是取随着 的偏微分，然后再乘以 ：

。
计算能量的哈密顿算符 ，其对应的函数算符 是

。
一般而言，量子算符与函数算符都会用在量子力学里。当我们将算符的这两种概念融会贯通后，两者的区分并不是那么的重要。

2. 2. 期望值
2. 2. 1. 位置的期望值
思考位置的期望值，

。
对于任意波函数 ，这相等式都成立。所以，位置算符 ，所对应的函数算符 ，的确可以用来计算位置的期望值。

2. 2. 2. 动量的期望值
思考位置的期望值随时间的导数，用积分方程来表达，

。
取微分于积分号下，

。
由于 只是一个位置的统计参数，不相依于时间，

。(1)
含时薛定谔方程为

；
其中， 是位势。

其共轭复数为

。
代入方程 (1)：

。
使用分部积分法，

，(2)
。(3)
方程 (2) 与 (3) 的减差是

。
所以，

。
模仿动量的经典定义，我们定义动量的期望值为质量 乘以位置的期望值 随时间 的全导数：

。
则

。
对于任意波函数 ，这方程都成立。所以，动量算符 ，所对应的函数算符 ，的确可以用来计算动量的期望值。

3. 参阅
•消灭算符
•创生算符
•阶梯算符
4. 参考文献
•费曼, 理查（2010年4月12日）．費曼物理學講義 III (3) 薛丁格方程式．台湾：天下文化书，pp. 205-237．ISBN 986-417-672-2．