在经典场论中，矢量场的通量和环流描述的是场在一定空域范围内的整体行为，而散度和旋度则着眼于考察场在空间任意点及其邻域的变化规律

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第15卷，第4期 重庆邮电学院学报 2003年12月
Vo1．15 No．4 Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications Dec．2003
R3中矢量场散度和旋度运算关系的建立方法。
蒋泽，赵为粮
(重庆邮电学院光电工程学院，重庆，400065)
摘要：矢量微积分在经典场论中占有十分重要的地位。R 中的散度和旋度运算是经典矢量场函数的两种
基本微分运算，并将其结果和场的源函数联系起来，从而基于亥姆霍兹定理可以唯一地确定空间场分布。
关于散度和旋度运算关系的建立，一般均基于其定义关系的直接计算的基础上，其数学上的完整性并没有
得到充分的体现。为此，通过对有关问题的初步分析，对矢量微分运算规则的建立给出了若干简洁明了的
方法，从而有助于研究工作者对其本质的进一步认识。
关键词：散度；旋度；玄姆霍兹定理；外微分运算
中图分类号：0451 文献标识码：A 文章编号：1004-5694(2003)04-0068—04
Building of the operation rules of curl and 。
divergence for vector field in R。space
JIANG Ze，ZHAO W ei-liang
(College of Optical Electronic Engineering，Chongqing University of
Posts and Telecommunication s，Chongqing 400065，P．R．China)
Abstract：Vector calculus plays an im portant role in classic field theories． The operation of curl and
divergence in R are the two fundamental operations of differential， which reveals the relation
between the source and the field，determines the field distribution in space uniquely on the basis of
Helm holtz’S theorem if both of them are specified everywhere． The operation rules’ building is
usually based on the direct computing for the definition formula，which is by nO means complete
m athem atically． For this reason，the authors in this paper gave a series of m ethods with which the
rules of the vector differential operations were built up，thus contributed tO a better understanding to
the essence of the operation of the curl and the divergence．
Key words：divergence；curl；Helmholtz’S theorem ；~rmal differential operations
0 引 言
经典场的动力学规律通常可以用一组微分方程
表示。以经典宏观电磁理论为例，这一组微分方程就
是描述场及其与物质相互作用的麦克斯韦方程组。
在麦氏方程中，电(磁)场强度矢量的空间微分一散
度和旋度，作为两个相互独立的运算，具有丰富的物
理内涵，描述了场及其源(物质或时变的场)之间的
相互关系，亥姆霍兹定理则说明，无界空间的情形，
任何矢量场可由它的散度和旋度惟一确定。在经典
场论的研究中，人们根据场的散度和旋度的取值，进
一步将其分为四种基本类型[1]，从而使得在求解场
的有关问题时，能根据该类场的特征，决定相应采用
的分析求解方法。
散度和旋度运算尽管具有物理上的重要性，然
而其数学意义上的完整性并未得到充分的体现。这
- 收稿日期：2002—06—14
作者简介：蒋泽(1964一)，男，四川岳池人，博士研究生，副教授．研究方向为智能天线理论与技术。
·68 ·
蒋泽．等：R。中矢量场散度和旋度运算关系的建立方法
是因为，关于场的散度和旋度运算关系的建立，一般
均在其定义关系的直接计算的基础之上，且这一计
算通常在三维欧氏空间(尺。)的笛卡尔坐标系中完
成。由于场的有关问题(如边值问题等)的解析求解
一般需在与空间几何结构相匹配的正交曲线坐标系
中完成，因而需要建立相应坐标系中的散度和旋度
运算关系。为此，一方面，从对场的散度和旋度的教
学的角度出发，我们对其运算规则的建立给出了若
干简洁的方法；另一方面，有关的分析推导过程也有
助于我们对其本质的进一步认识。
1 积分关系确定的散度和旋度运算
在经典场论中，矢量场的散度翱旋度是与其穿
过空间任意闭合曲面的通量及沿空间任意闭合曲线
的环流相联系的。不同之处在于通量和环流描述的
是场在一定空域范围内的整体行为，而散度和旋度
则着眼于考察场在空间任意点及其邻域的变化规
律。散度和旋度的定义如下。
A ·dS
divA 一
0
—
．△r—· ‘ ‘
一 (1)
A ·dl
(curiA) 一
式(1)中，Ar为闭合面 包围的体积，△ 为闭合路
径C包围的面积，n为面元△ 的法向分量，与回路C
存在右螺旋关系。由式(1)，容易得到矢量场的散度
定理(divergence theorem)和斯托克斯定理(Stokes
theorem)，即
f divAdr一
s (2)
urIA)·dS 一 dt
通常的处理方法是基于特定的坐标系中对式
(1)积分的直接计算，我们认为这一处理方式繁杂，
且缺乏数学意义上的普遍性。事实上，根据微积分学
中熟悉的高斯公式知
C~Xdydz+Ydxdz+Zdxdy一
c + + r ㈤
式(3)中，函效X (z，Y， )，y(z，Y， )，Z(z， ， )及其
偏导数a X
， ay， 在闭域r上连续， 是闭域r的边
界曲面的外测。令
A — Xe + Ye,+ Ze
dS — dydze + dxdze + dxdye
( ，e，， )为笛卡尔坐标系的基矢量，则式(3)左边
即为A·dS。将式(3)与式(2)比较，即可得到矢量场
A的散度为
divA一警dZ + d～ +警晚 (4)
式(4)中，( ，A ，A )为矢量场A 的坐标分量。同
理，若函数X(x，Y， )，Y(x， ， )，Z(x， ， )在包含
曲面S的某个空间区域内有一阶连续的偏导数，则
由斯托克斯定理有
Xdx+yd +zd 一Ⅱ(考一 d + S
Ⅱ(警一-~---)dzdz+( 一d (5)
由微分长度矢量关系，
df— dz + d + 如
则式(5)左端可表示为 A·df，而其右端可表示为
Ⅱ[(考一 ) +( ax一 az) +
( 一 ) J]‘． dS
比较式(5)与式(2)，即可得到矢量场A的旋度为
curlA 一( 一 ) 十( aX
d 一 ) +
V d d d
( 一 (6)
利用不同正交坐标系中基矢量、矢量及偏微分算子
之间的变换关系，即可得到各种正交曲线坐标系中
散度和旋度运算关系的相廊形式。
2 外微分运算的散度和旋度关系瞳
在R。的矢量分析中人们通常引入一个形式上
的矢量算子 ，其定义为
一窑丕 ㈣
它对数量场／的作用是 ／一Σf,e ，称为f的梯
·69·
2003年第4期 重庆邮电学院学报 CUPT
度，记作gradf。这样式(4)和式(6)可看成是“形式上
的”数量积和矢量积，即
· ，一答+差+篆一Σ
× ， 一( 一 ) + ( 一 ) +
( 一 ) (8)
在任意的正交曲线坐标系中，散度和旋度并没
有上式那样简单的形式，因此人们一般地认为矢量
算子 并不能看作普通的算符，式(8)右端也仅能作
为div，curl的一种表示的记号而已。然而，当把 和
它的表示统一起来作为一个在微分形式的理论上可
以认识的实体时，不但使算子 具有实际意义，而且
大大简化矢量分析中的许多计算和讨论。
在R 形式空间，以。，以 ，以 ，以 的维数分别为1，
3，3，1。且以 ，以 的维数都等于外围空间R 的维数，
这是R 特有的，由此有可能将以 和以 统一起来。设
所有矢量场的空间为 ，其基为 ， ， ；其标准元
素为，一 ，厂为数(标)量场。这样在R 中就
有可能把一个矢量场解释为一个一次形式或者二次
形式，由于一次形式的外乘积是一个二次形式，并且
矢量场的矢量积是一个矢量场，因此可以在以 ，以
和 之间作出对应关系使得外乘积和矢量积之间
互相对应。文献E2-]经过进一步的分析得到其对应关
系见表1。
裹1 A ，A0和W 之问的对应关系
Tab．1 Relationship between A‘。A0and W
裹2 A。，A。和S之问的对应关系
Tab．2 Relationship between Ao，A。and S
表2中5为所有数量场的集合，为一具有数量
场系数的一维矢量场空间，其基为数量1。利用表1、
表2我们可以把 算子作如下解释。
梯度：由表2知，数量场厂是一个0次形式；一次
形式df一Σfax。，由表1知矢量场vf一Σ 。
这就是数量场厂的梯度。
． 散度：由表1知，一个矢量场， 是一个二次形式
，一f dx2Adx3一尸d lAdx3-4-f3dxlAdx2；三次形式
·70 ·
d，一( fi)dx Adx Adx 由表2知是数量场 ·
，，此即矢量场，的散度。
旋度：由表1知，一个矢量场，是一个一次形式
一’ _、
，一Σ dz ；二次形式d，一 ( 一 )dx。以dzj。
由表1知是矢量场 ×，，即为， 的旋度。
以上三种运算都是外微分运算，并按照把，看
作是一个一次形式或一个二次形式而得出一对
divf，curlf。同样的有
f， ×g—lag， ，和g在以 内 ，、
【， ·g— lag， ，在以 内，g在以 内
因此外微分包含着三种 运算，而外汞积则表示数
(标)量积和向(矢)量积。利用以上关系，可以通过对
，和g的适当解释，并应用对形式的Leibniz法则，在
向量分析中许多与具体的正交曲线坐标系无关的公
式均可得到非常简洁完美的证明，因而这一处理方
法在向量分析与经典场论中具有十分重要的意义。
有关这一问题的详细分析及其典型应用，可参阅文
献L2-J。
3 任意正交曲线坐标系中散度和旋度
的一种表示形式 3]
在正交曲线坐标系中，基矢量可以表示为
— hfW q (1O)
式(1o)中，Wq 是q ( 一1，2，3)的梯度，^产I ar I通
常称为度规系数，r为空间点的位置矢量，q 为正交
曲线坐标系中的坐标变量。根据式(1O)得
· (Pe1)一 ·(Pe2× 3)一
· (^2h3尸Wq2× Wq3)一
hzh3fl ·(Wq2× Wq3)+
(Wq2× Wq3)· (^2h3尸) (11)
式(11)中， ·(Wq2×Wq3)一Wq3·( × Wq2)一
W q2。( × W q3)一o；(Vq2× W q3)一 2Xe3一
，
并考虑到 厂· = sf
^
1 8
向
f ~
，则有
· (De )一 ‘ (^z^。尸)一
1
h l h 2 h 3 向l
蒋泽．等： 中矢量场散度和旋度运算关系的建立方法
同理，
一
一
1 (15)
由此可得散度的表达式为
· ，一 ·(Σ 厂 )一Σ ·( 1
Fa(hzhaf1) ．8(h h．尸) ．8(h．h2 )]
L 向 。 向z 。 勾a J
(16)
值得注意的是，在式(16)的推导过程中，我们实际上
是利用了文中第3部分的知识，即将形式算子 的
运算关系及数量积和向量积同外微分和外乘积联系
起来了，这样就不会出现逻辑上的混乱。此外，
× (fte1)一 × (^l尸 q1)一
hi尸( × q1)一 q1× (^1尸)一
一 ql× (^l尸) (17)
由式(1o)及梯度关系 一一"~-2
^
1
却
af 得
：
× 一一老×[Σ击 ]一
h
上
lha h
上
l
一 2一一hz 3。 (18)
同理，可写出 ×(／ e2)及 ×(Pe。)的表达式，并
最后得到旋度的表达式为
×，一 ×(Σf'e )一Σ ×(fie )一
^ [ 一 +
2^3 向2 向3 。
h c 一 -J~2+
l^3 由3 却l 。
h h[ 一 1 ~3 ㈣
l 2 向l 向2
4 结束语
本文对矢量场的散度和旋度关系给出了两种简
洁的推导方法，同时基于具体物理问题求解过程中
空间几何结构的特殊性，对有关文献中给出的任意
正交曲线坐标系中的散度和旋度关系的理解进行了
简要的说明。有关内容丰富了我们对经典宏观矢量
场散度和旋度关系的物理意义的理解及其本质特征
的进一步认识，在实际的教学、研究工作中，通过对
相应物理问题的分析求解[4]，必将加深我们对有关
问题的进一步理解。
参考文献：
[1] CHENG D K．Field and Wave
Electromagnetics [M ]． Addison—Wesley
Publishing Company．Inc． 1 983．
[zl SCHREIBER M．形式微分导论[M]． 白正国
译． 北京：人民教育出版社，1980．
[3] 雷银照．时谐电磁场解析方法[M]．北京：科
学出版社，2000．
[4] 蒋泽，赵为粮．基于导体槽内电位计算的求解
技术分析[J]．重庆邮电学院学报(自然科学
版)，2001，13(3)：74—77．
(编辑：何先刚)
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• 实物(空间上局域分布的)和场与波(频域上局域分布) -marketreflections- ♂ (148 bytes) () 03/25/2010 postreply 05:54:09

• 量子力学，描写单个粒子的波函数 -marketreflections- ♂ (16657 bytes) () 03/25/2010 postreply 09:42:01

• 量子场论登场，把波函数变成对产生、湮灭算符（这俩算符的意义就是说这里有粒子或没粒子，多个粒子或少个粒子）的积分（这里积分相当于分 -marketreflections- ♂ (180 bytes) () 03/25/2010 postreply 09:43:03

• 等概率原理,同一系统运动元同质假定，经典物理, only @同一系统 level -marketreflections- ♂ (16397 bytes) () 03/25/2010 postreply 09:50:00

• 有心场收敛 -marketreflections- ♂ (1010 bytes) () 03/25/2010 postreply 11:29:37

• 李炳铁 能量并不是简单的标量量子性，更重要的是其向量性，物质也只不过是向量平衡而已 -marketreflections- ♂ (62432 bytes) () 03/25/2010 postreply 11:49:42

• 空间本身的势场性，也决定了空间不可能是无限的 -marketreflections- ♂ (376 bytes) () 03/25/2010 postreply 11:54:31

• 尽管哈密顿矩阵异常庞大，但是其中绝大多数非对角矩阵元都是零，只有数量很少的非零矩阵元，也就是说，这种矩阵是极为稀疏的矩阵 -marketreflections- ♂ (2028 bytes) () 03/25/2010 postreply 12:09:31

• 哈密顿量的对角化就是解一个本征值问题(在线性代数中就是特征值和特征向量 -marketreflections- ♂ (1470 bytes) () 03/25/2010 postreply 12:14:16

• 重整化群变换:剪除无穷大．由于物理量是客观的，应该与剪除点的具体选择无关 -marketreflections- ♂ (811 bytes) () 04/06/2010 postreply 07:54:03

• 一个系统的物理行为可以由它的哈密顿量完全确定 -marketreflections- ♂ (6068 bytes) () 04/06/2010 postreply 07:56:40

• 爱因斯坦 量子电动力学重整化理论提出后3 年 保留了经典电动力学的精髓, 又能逻辑地 -marketreflections- ♂ (9630 bytes) () 04/06/2010 postreply 08:02:33

• 爱因斯坦“有界无边” -marketreflections- ♂ (10321 bytes) () 04/06/2010 postreply 15:05:11

• henryharry2 量子力学中的对称性 -marketreflections- ♂ (42 bytes) () 03/25/2010 postreply 12:41:38

• 一个两端固定的绳子上的驻波可以视为特征向量的一个例子，更精确的讲，它是一个相对于时间流逝的变换的特征函数。随着时间流逝，驻波被缩 -marketreflections- ♂ (19782 bytes) () 03/25/2010 postreply 12:55:07

• 矩阵的数值严格对角化方法 -marketreflections- ♂ (2028 bytes) () 03/25/2010 postreply 13:02:27

• 牛顿均匀场的均匀是一种抽象，类似质点及质点系，这种抽象是线性数学的要求，也是相对于“不均匀”的一种参考系 -marketreflections- ♂ (104 bytes) () 03/25/2010 postreply 13:33:54

• 矩阵本身存在的对称性，这样能把计算量减少将近一半，因为变量i对变量j的作用，与变量j对变量i的作用往往是相等的 -marketreflections- ♂ (13893 bytes) () 03/25/2010 postreply 13:45:08

• 向对角线收敛,绝大多数非对角矩阵元都是零，只有数量很少的非零矩阵元 -marketreflections- ♂ (185 bytes) () 03/25/2010 postreply 14:09:04

• 绝大多数非对角矩阵元都是零，retails;只有数量很少的非零矩阵元, MMs -marketreflections- ♂ (34 bytes) () 03/25/2010 postreply 14:10:23

• 规范场:电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电压升高相同的电压时，电路的行为完全不变；因为电路中的电压差不变。 -marketreflections- ♂ (3297 bytes) () 03/25/2010 postreply 17:04:40

• 它双脚站在“等电位”上，没有电压差，就没有电流通过它身体 -marketreflections- ♂ (477 bytes) () 03/25/2010 postreply 17:07:27

• 一个人站在高压线上，他身上就会带上和高压电一样的高电位 -marketreflections- ♂ (1301 bytes) () 03/25/2010 postreply 17:11:07

• 势的选取有无穷多种形式，物理观测量不依赖于这些不同的选取方式，我们称之为规范不变性 -marketreflections- ♂ (19184 bytes) () 03/26/2010 postreply 08:38:36

• 规范场:物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电压升高相同的电压 -marketreflections- ♂ (439 bytes) () 05/26/2010 postreply 15:39:30

• 太阳中心是热核反应区。太阳中心区占整个太阳半径的1／4，约为整个太阳质量的一半以上 -marketreflections- ♂ (1761 bytes) () 03/25/2010 postreply 16:57:33

• 相位波类似人的意识，身体是粒子 -marketreflections- ♂ (28 bytes) () 03/24/2010 postreply 13:20:18

• cnam 032310 premkt -marketreflections- ♂ (794 bytes) () 03/24/2010 postreply 09:58:51

• 高斯公式 -marketreflections- ♂ (304 bytes) () 03/26/2010 postreply 09:02:50

• 对称性可知：整个回路在绕O点旋转一个周期时，有一半时间能释放电能 -marketreflections- ♂ (15023 bytes) () 03/26/2010 postreply 09:31:12

• 由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场 -marketreflections- ♂ (1949 bytes) () 03/26/2010 postreply 09:43:14

• 真空中的静电场 ,空间各向同行,即对应空间球对称性,动电场有“方向”， -marketreflections- ♂ (290 bytes) () 03/26/2010 postreply 09:56:13

• 静电场的基本特征：(1)电力线垂直于等势面，(2)沿电力线方向电势减小。在数学上，这两个基本特征可表示为： （为电势函数）。 三 -marketreflections- ♂ (371 bytes) () 03/26/2010 postreply 10:12:17

• 矢量线是这样一些曲线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图1-4所示），像静电场的电力线、磁场的磁力线 -marketreflections- ♂ (550 bytes) () 03/26/2010 postreply 10:39:33

• 每时期平均价格交易量类似等势位面或线，高低等势位线周期性与均等势位线背离 -marketreflections- ♂ (228 bytes) () 03/26/2010 postreply 11:36:04

• 描述场的几何方法是引入所谓的场线 -marketreflections- ♂ (355 bytes) () 03/26/2010 postreply 11:37:57

• 沿等位面移動，則dV=0. •等位面移動一粒子不需作功 -marketreflections- ♂ (381 bytes) () 03/26/2010 postreply 11:43:45

• 静电场 在同一点P上 恒矢量 -marketreflections- ♂ (55 bytes) () 03/26/2010 postreply 14:02:33

• 恒流电场中有两个电极，相当于正负电荷，两电极间有电势差，会产生一个场，场上各点电势确定相当于静电场，电流只不过顺电势而流动 -marketreflections- ♂ (258 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:40:29

• 考虑空间中的一个电荷它所产生的电势 E=kQ/r^2如果把该电荷放在一个想象中的球的球心那么电荷到球表面的距离相等故球面上的电势 -marketreflections- ♂ (139 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:44:16

• 某电荷在的位置的电势能既是该电荷所具有的，也是该带电系统所具有的。 -marketreflections- ♂ (432 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:45:29

• 静电场，就是电场确定后电场强度不发生变化，电荷分布也不变的场 -marketreflections- ♂ (60 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:48:37

• 涡旋电场和静电场之比较 -marketreflections- ♂ (2770 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:57:50

• “瞬论”简介 单个的“线元”可以组成电场线、磁场线和电磁场，电场线的缩聚出现“面元”，面元之间的相互吸引出现“体元”，体元也就涵 -marketreflections- ♂ (267 bytes) () 03/26/2010 postreply 20:02:32

• google.cn "矢量场散度旋度benzhi" -marketreflections- ♂ (284 bytes) () 03/21/2010 postreply 09:54:33

• 散度和旋度则着眼于考察场在空间任意点及其邻域的变化规律 -marketreflections- ♂ (1165 bytes) () 04/08/2010 postreply 14:22:55