我们把空间之间的映射称为算子, 所谓泛函不过是值域落在实直线R 上或复平面C 内的一个算子

第10 卷第1 期　　　　　　　　　广西工学院学报　　　　　　　　　　　　　Vo l110 No11
1999 年3 月　　　　JOU RNAL O F GUAN GX I IN ST ITU TE O F TECHNOLO GY　　　　　M ar11999
本文于1998 年11 月11 日收到
H ilber t 空间在量子力学中的应用
何卫中
(广西工学院基础部　柳州　545005)
摘　　要
　　本文讨论了量子力学与H ilbert 空间的关系, 以及H ilbert 空间在量子力学中的应用。
　　关键词　H ilbert 空间; 态函数; 算符;
　　分类号　O 413
0　引　言
　　量子力学是一种微观领域的动力学理论, 如果一个物理系统的动力学变量具有与普朗克
常数h 相比的数值时, 该系统的行为就必须用量子力学来描述。H ilbert 空间是一个抽象的函
数空间, 它是量子力学用来解决问题的主要数学工具。
1　量子力学对微观状态的描述
　　量子力学是用态函数U来描述微观粒子的运动状态, U是发现粒子的几率幅, ûUû 2d v 表示
粒子在体积元为d v 的空间出现的几率。必须强调, 量子力学的态函数U, 同经典物理学描写系
统的状态方程有着根本的区别。在经典物理学里, 总是通过系统的一些不同物理量之间所满足
的确定关系, 来描述物理系统的状态, 而量子力学里的态函数U本身不是力学变量, 它不具有
任何经典物理学中物理量的意义。这一点也是量子理论最惊人的特征。系统的状态并不由物理
量之间的关系直接确定, 态函数的演化也不直接描写物理量随时间的变化。一个微观粒子系统
在同一时刻的可能态函数的全体构成一个抽象的函数空间, 量子力学是在几率幅的空间[ 1 ] 里
描写物理世界。
2　量子力学的函数空间
　　态函数U是描述微观物理系统的运动状态的, U所遵从的规律将决定我们应该用什么样的
函数空间来描写微观物理系统。态函数的叠加原理[ 2 ] 说明U满足线性叠加原理, 这样我们可以
用一个线性空间来描述它。也就是说一个系统在一定时刻的一切可以实现的纯态的态函数, 构
成复数域上的一个线性空间, 每一个纯态对应于线性空间的一个基矢U
i, 每一个混合态对应于
一个态矢量, 混合态可表为纯态的线性叠加, 即U= Σai
Ui
。量子力学所掌握的微观系统的
运动规律, 是一种统计规律, 它告诉我们的不是在某一时刻微观系统的各个物理量分别可以
取哪些确切的数值, 而是取各值的几率, 某一可观察的物理量对应的是在其状态下的平均值:
〈A 〉= 〈UûA
d
ûU〉
〈UûU〉; 即平均值〈A 〉是U与A
d
U的内积〈UûA
d
ûU〉同U与自身的内积〈UûU〉的商。也就
是说U满足内积的运算规律, 所以U空间应是一个定义了内积的空间。
由于量子力学描述的是一种统计规律, 其态函数必然满足归一化条件: ∫
+ ∞
- ∞
U3 Ud v = 1; U的
展开序列U
j 必须是收敛的柯西序列。所以U空间是一个完备的空间[ 2 ]。
由上述可见, 量子力学的态空间是一个完备的线性内积空间, 这一个空间就是人们所熟
知的H ilbert 空间。即在量子力学中, 微观物理系统的状态可用H ilbert 空间的矢量描写。
3　H ilber t 空间在量子力学中的应用
从数学的角度来看, 量子力学是研究如何从一个线性空间得到数的问题, 即线性空间
泛函
数, 其数学方法是以泛函分析为主。我们把空间之间的映射称为算子, 所谓泛函不过是值域
落在实直线R 上或复平面C 内的一个算子, 量子力学中考虑的是线性泛函问题, 线性泛函f
d
是一个定义域D (f
d
) 落在矢量空间X 中, 而值域落在X 的标量域K 中的线性算子, 即f
d
:D (f
d
)
→ K。在量子力学中, 每个力学变量对应于一个Herm it 算符, 所要计算的力学量通过对应的
Herm it 算符, 将其态函数构成的H ilbert 空间, 映射到实数域而得到的。与量子力学对应的
H ilbert 空间是平方可积函数的空间。
3. 1　函数空间的基
　　在线性空间中, 用最少数量的元素去表示一切其它元素的基本元素称为基。根据Zo rn
[ 3 ], 引理可证明, 任何非空的H ilbert 空间具有正交归一基的正交性的最大优越性是对给定
的矢量X, 通过内积, 便很容易的定出未知系数, 即X = Σaiei; ai = 〈X , ei〉。常用来研究
实际问题的完全标准正交基有三种:
3. 1. 1　空间L 2 [ - 1, 1 ] 的一种完全标准正交基　将线性无关的幂函数序列: x 0 ( t) = 1, x 1 ( t) =
t, ⋯, x j ( t) = tj , ⋯　　t ∈ [ - 1, 1 ] 实施Gran- Schm idt 标准正交化过程[3 ], 可得基的表达
式为: en =
2n + 1
2 P n ( t) 　　　n = 0, 1, 2, ⋯ , 其中: P n =
1
2nn!
d n
d tn [ ( t2 - 1) n ], 叫做n 阶
的勒让德多项式。球面对称场中的电子的态函数中, 角度部分的函数f (H) [3 ] 可视为该基构
成空间的矢量。
3. 1. 2　空间L 2 (- ∞, + ∞) 的一种完全标准正交基　对函数序列: W ( t) = e- t2
2 , tW ( t) , t2W ( t) , ⋯
实施Gran- Schm idt 标准正交化过程而得到:
en ( t) =
1
2nn! 2P)
12
e- t2
2H n ( t)
其中: H 0 ( t) = 1, H n ( t) = (- 1) net2 d n
d tn (e- t2) ; n = 1, 2, 3 ⋯
　　H n ( t) 叫做n 阶厄米多项式。谐振子的态函数可以看成是以该基构成的空间的态矢量。
3. 1. 3　空间L 2 [0, + ∞) 的一种完全标准正交基　对序列: e- ( tö2) , te- (1ö2) , t2e- ( tö2) ⋯ 实施Gran-
Schm idt 标准正交化过程得到: en ( t) e- ( tö2)L n ( t) , n = 0, 1, 2, ⋯ , 其中L n ( t) 为n 阶的拉盖尔
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多项式: L 0 ( t) = 1,L n ( t) =
et
n!
d n
d tn ( tne- t) ; n = 1, 2 , 3　⋯
3. 2　量子力学中常见算子
　　在泛函分析中, 不同的算子决定了空间之间的不同的代数运算, 在量子力学中, 不同的
算子代表不同的物理量, 算子的不同的代数运算, 意味着不同的物理规律。量子力学的可测
量力学量都是实数, 所以其对应算子都是Herm it 算子。其中乘法算子、微分算子和换位算子[ 3 ]
有着非常重要的应用。量子力学中的基本算子, 位置算子C
d
= C
o
是乘法算子, 而动量算子P
d
= -
h
2P
ý 是微分算子, 角动量算子L
d
= C
o
× P
d
、哈密顿算子H
d
=
- h2
2Pm
ý 2 + U (C
o
) 是由乘
法算子和微分算子共同组成的。其中ý 为拉普拉斯算符。量子力学中, 换位算子C
d
= S
d
T
d
- S
d
T
d
若为零, 则说明S
d
、T
d
算子可以对易, 两者拥有共同的本征态。对于一个简并的算符S
d
, 可用一
组与S
d
对易的算符的共同本征矢来构造一套正交归一的完备基。而在量子力学中一套正交归
一的完备基是必不可少的。若C
d
不为零算子, 则说明两者不对易, 也说明两算符对应的力学
量不能同时测量[ 4 ]。若换位算子C
d
= S
d
T
d
- S
d
T
d
= i (hö2 P) , 则说明两算子的均方根偏差的乘
积满足关系: $S õ $T ≥ (hö4P) ; 这即是我们所熟知的测不准关系。
3. 3　算子方程与定态薛定鄂方程
　　薛定鄂方程是量子力学中的一个基本假设, 它给出了在给定外界条件下微观系统的状态
随时间演化的规律, 只要能解出薛定鄂方程, 求出态函数, 即可知道微观系统在任意时刻的
状态, 也就知道各种力学量在任意时刻的平均值。所以量子力学中最关键的问题是如何列出
和求解薛定鄂方程。对于与时间无关的薛定鄂方程H
d
ûU〉= KûU〉实际上是哈密顿算子的本征
值方程, 求解定态薛定鄂方程也就是求解一个算子方程的问题。
求解算子本征值方程的基本步骤[ 5 ]是, 对于已知的线性算子A
d
, 我们可以选定一套正交
归一的完备基{ûu i〉}, 将A
d
的本征值方程A
d
ûU〉= KûU〉投影到各个基右矢上ûu i〉得:〈u i
ûA
d
ûU〉
= K ûU〉; 在A
d
与ûU〉之间插入封闭性关系Σj
ûu j〉〈u j
û 得:Σj
〈u i
ûA
d
ûu j〉〈u j
ûU〉= K u i
ûU〉; 令ci = 〈u i
ûU〉; A ij = 〈u i
ûA ûu j〉
可得: 　　　　　　Σj
[A ij - KD
ij ]cj = 0 (1)
方程组(1) 有非平凡解的条件是:
D et [A - KI ] = 0　或　
A 11 - K A 12 A 13 ⋯ ⋯ A 1n
A 21 A 22 - K A 23 ⋯ ⋯ A 2n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
   
   
A n1 A n2 A nn - K
= 0 (2)
　　(2) 式叫做特征方程(或久期方程) , 只要能解出该方程, 就可以求出K和ûU〉。在实际
计算中, 由于H
d
算子很复杂, 往往很难精确求解薛定鄂方程, 从而发展出许多近似求法[ 6 ]。
4　结束语
　　从以上的讨论可以看到, 量子力学之所以选择H ilbert 空间作为描述微观系统状态的函
数空间, 是由态函数U的性质决定的, 量子力学使用的数学工具主要是泛函分析。算子理论
对于量子力学是非常重要的, 反之, 量子力学也给泛函分析提供了一个坚实的物理基础。
第1 期　　　　　　　　　何卫中: H ilbert 空间在量子力学中的应用　　7
参　考　文　献
[1 ] 关洪著1 量子力学的基本概念1 北京: 高等教育出版社, 1990, 62～ 154
[2 ] 杨泽森编著1 高等量子力学1 北京: 北京大学出版社, 1991, 1～ 33
[ 3 ] Erw in Kreyszig 著1 蒋正新, 吕善伟, 张式淇译1 泛函分析导论1 北京: 北京航空学院出版社, 1987, 81
～ 128
[4 ] 李梧龄著1 量子力学概念1 上海: 同济大学出版社11990, 164～ 219
[5 ] C1Cohen- Tannoudji, B1D iu　F1L alo 著1 刘家汉, 陈星奎译1 量子力学1 北京: 高等教育出版社, 1964,
67～ 121
[6 ] 季达人, 曹培林, 杨清建等编著1 微观物理的科学计算1 郑州: 河南科技出版社11995, 219～ 308
Quan tum M echan ics and Hilbert Space
HeW eizhong
(D ep a rtm en t of B asic S cience , Guang x i Institu te of T echnology 　L iuz hou 545005)
Abstract
　　In th is paper, the relat ion betw een quan tum m echan ics and H ilbert space are discu ssed,
and the app licat ion of H ilbert space in quan tum m echan ics are in t roduce1
　　Key words　H ilbert space ; State funct ion ; Operato r
新型电动机保护器
　　长期以来, 电动机保护设备一直是利用双金属导片热涨冷缩的原理制造的热继电器保护
器, 由于该装置是靠导体通过电流时产生的热效应引起双金属片机械变形, 进而通过连动装
置切断电动机电源, 因而动作迟缓、滞后, 当电动机出现缺相、进载等不正常工作条件时, 常
需10～ 20 分钟才能切断电源。不能迅捷地对电动机进行保护。而BDK 型系列电动机保护器
利用电磁感应原理进行信号取样, 使电动机保护器的灵敏度大大提高, 它能够在电动机电源
缺相, 失电或电流超过保护电流1 安培时, 在018 秒内切断电源; 迅捷有效地保护电动机, 已
广泛的适用于100kV 以下的各种型号电动机、潜水泵的配套作业。
摘自《中国专利报》
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