在经典场论中，矢量场的通量和环流描述的是场在一定空域范围内的整体行为，而散度和旋度则着眼于考察场在空间任意点及其邻域的变化规律

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第15卷，第4期 重庆邮电学院学报 2003年12月
Vo1．15 No．4 Journal of Chongqing University of Posts and Telecommunications Dec．2003
R3中矢量场散度和旋度运算关系的建立方法。
蒋泽，赵为粮
(重庆邮电学院光电工程学院，重庆，400065)
摘要：矢量微积分在经典场论中占有十分重要的地位。R 中的散度和旋度运算是经典矢量场函数的两种
基本微分运算，并将其结果和场的源函数联系起来，从而基于亥姆霍兹定理可以唯一地确定空间场分布。
关于散度和旋度运算关系的建立，一般均基于其定义关系的直接计算的基础上，其数学上的完整性并没有
得到充分的体现。为此，通过对有关问题的初步分析，对矢量微分运算规则的建立给出了若干简洁明了的
方法，从而有助于研究工作者对其本质的进一步认识。
关键词：散度；旋度；玄姆霍兹定理；外微分运算
中图分类号：0451 文献标识码：A 文章编号：1004-5694(2003)04-0068—04
Building of the operation rules of curl and 。
divergence for vector field in R。space
JIANG Ze，ZHAO W ei-liang
(College of Optical Electronic Engineering，Chongqing University of
Posts and Telecommunication s，Chongqing 400065，P．R．China)
Abstract：Vector calculus plays an im portant role in classic field theories． The operation of curl and
divergence in R are the two fundamental operations of differential， which reveals the relation
between the source and the field，determines the field distribution in space uniquely on the basis of
Helm holtz’S theorem if both of them are specified everywhere． The operation rules’ building is
usually based on the direct computing for the definition formula，which is by nO means complete
m athem atically． For this reason，the authors in this paper gave a series of m ethods with which the
rules of the vector differential operations were built up，thus contributed tO a better understanding to
the essence of the operation of the curl and the divergence．
Key words：divergence；curl；Helmholtz’S theorem ；~rmal differential operations
0 引 言
经典场的动力学规律通常可以用一组微分方程
表示。以经典宏观电磁理论为例，这一组微分方程就
是描述场及其与物质相互作用的麦克斯韦方程组。
在麦氏方程中，电(磁)场强度矢量的空间微分一散
度和旋度，作为两个相互独立的运算，具有丰富的物
理内涵，描述了场及其源(物质或时变的场)之间的
相互关系，亥姆霍兹定理则说明，无界空间的情形，
任何矢量场可由它的散度和旋度惟一确定。在经典
场论的研究中，人们根据场的散度和旋度的取值，进
一步将其分为四种基本类型[1]，从而使得在求解场
的有关问题时，能根据该类场的特征，决定相应采用
的分析求解方法。
散度和旋度运算尽管具有物理上的重要性，然
而其数学意义上的完整性并未得到充分的体现。这
- 收稿日期：2002—06—14
作者简介：蒋泽(1964一)，男，四川岳池人，博士研究生，副教授．研究方向为智能天线理论与技术。
·68 ·
蒋泽．等：R。中矢量场散度和旋度运算关系的建立方法
是因为，关于场的散度和旋度运算关系的建立，一般
均在其定义关系的直接计算的基础之上，且这一计
算通常在三维欧氏空间(尺。)的笛卡尔坐标系中完
成。由于场的有关问题(如边值问题等)的解析求解
一般需在与空间几何结构相匹配的正交曲线坐标系
中完成，因而需要建立相应坐标系中的散度和旋度
运算关系。为此，一方面，从对场的散度和旋度的教
学的角度出发，我们对其运算规则的建立给出了若
干简洁的方法；另一方面，有关的分析推导过程也有
助于我们对其本质的进一步认识。
1 积分关系确定的散度和旋度运算
在经典场论中，矢量场的散度翱旋度是与其穿
过空间任意闭合曲面的通量及沿空间任意闭合曲线
的环流相联系的。不同之处在于通量和环流描述的
是场在一定空域范围内的整体行为，而散度和旋度
则着眼于考察场在空间任意点及其邻域的变化规
律。散度和旋度的定义如下。
A ·dS
divA 一
0
—
．△r—· ‘ ‘
一 (1)
A ·dl
(curiA) 一
式(1)中，Ar为闭合面 包围的体积，△ 为闭合路
径C包围的面积，n为面元△ 的法向分量，与回路C
存在右螺旋关系。由式(1)，容易得到矢量场的散度
定理(divergence theorem)和斯托克斯定理(Stokes
theorem)，即
f divAdr一
s (2)
urIA)·dS 一 dt
通常的处理方法是基于特定的坐标系中对式
(1)积分的直接计算，我们认为这一处理方式繁杂，
且缺乏数学意义上的普遍性。事实上，根据微积分学
中熟悉的高斯公式知
C~Xdydz+Ydxdz+Zdxdy一
c + + r ㈤
式(3)中，函效X (z，Y， )，y(z，Y， )，Z(z， ， )及其
偏导数a X
， ay， 在闭域r上连续， 是闭域r的边
界曲面的外测。令
A — Xe + Ye,+ Ze
dS — dydze + dxdze + dxdye
( ，e，， )为笛卡尔坐标系的基矢量，则式(3)左边
即为A·dS。将式(3)与式(2)比较，即可得到矢量场
A的散度为
divA一警dZ + d～ +警晚 (4)
式(4)中，( ，A ，A )为矢量场A 的坐标分量。同
理，若函数X(x，Y， )，Y(x， ， )，Z(x， ， )在包含
曲面S的某个空间区域内有一阶连续的偏导数，则
由斯托克斯定理有
Xdx+yd +zd 一Ⅱ(考一 d + S
Ⅱ(警一-~---)dzdz+( 一d (5)
由微分长度矢量关系，
df— dz + d + 如
则式(5)左端可表示为 A·df，而其右端可表示为
Ⅱ[(考一 ) +( ax一 az) +
( 一 ) J]‘． dS
比较式(5)与式(2)，即可得到矢量场A的旋度为
curlA 一( 一 ) 十( aX
d 一 ) +
V d d d
( 一 (6)
利用不同正交坐标系中基矢量、矢量及偏微分算子
之间的变换关系，即可得到各种正交曲线坐标系中
散度和旋度运算关系的相廊形式。
2 外微分运算的散度和旋度关系瞳
在R。的矢量分析中人们通常引入一个形式上
的矢量算子 ，其定义为
一窑丕 ㈣
它对数量场／的作用是 ／一Σf,e ，称为f的梯
·69·
2003年第4期 重庆邮电学院学报 CUPT
度，记作gradf。这样式(4)和式(6)可看成是“形式上
的”数量积和矢量积，即
· ，一答+差+篆一Σ
× ， 一( 一 ) + ( 一 ) +
( 一 ) (8)
在任意的正交曲线坐标系中，散度和旋度并没
有上式那样简单的形式，因此人们一般地认为矢量
算子 并不能看作普通的算符，式(8)右端也仅能作
为div，curl的一种表示的记号而已。然而，当把 和
它的表示统一起来作为一个在微分形式的理论上可
以认识的实体时，不但使算子 具有实际意义，而且
大大简化矢量分析中的许多计算和讨论。
在R 形式空间，以。，以 ，以 ，以 的维数分别为1，
3，3，1。且以 ，以 的维数都等于外围空间R 的维数，
这是R 特有的，由此有可能将以 和以 统一起来。设
所有矢量场的空间为 ，其基为 ， ， ；其标准元
素为，一 ，厂为数(标)量场。这样在R 中就
有可能把一个矢量场解释为一个一次形式或者二次
形式，由于一次形式的外乘积是一个二次形式，并且
矢量场的矢量积是一个矢量场，因此可以在以 ，以
和 之间作出对应关系使得外乘积和矢量积之间
互相对应。文献E2-]经过进一步的分析得到其对应关
系见表1。
裹1 A ，A0和W 之问的对应关系
Tab．1 Relationship between A‘。A0and W
裹2 A。，A。和S之问的对应关系
Tab．2 Relationship between Ao，A。and S
表2中5为所有数量场的集合，为一具有数量
场系数的一维矢量场空间，其基为数量1。利用表1、
表2我们可以把 算子作如下解释。
梯度：由表2知，数量场厂是一个0次形式；一次
形式df一Σfax。，由表1知矢量场vf一Σ 。
这就是数量场厂的梯度。
． 散度：由表1知，一个矢量场， 是一个二次形式
，一f dx2Adx3一尸d lAdx3-4-f3dxlAdx2；三次形式
·70 ·
d，一( fi)dx Adx Adx 由表2知是数量场 ·
，，此即矢量场，的散度。
旋度：由表1知，一个矢量场，是一个一次形式
一’ _、
，一Σ dz ；二次形式d，一 ( 一 )dx。以dzj。
由表1知是矢量场 ×，，即为， 的旋度。
以上三种运算都是外微分运算，并按照把，看
作是一个一次形式或一个二次形式而得出一对
divf，curlf。同样的有
f， ×g—lag， ，和g在以 内 ，、
【， ·g— lag， ，在以 内，g在以 内
因此外微分包含着三种 运算，而外汞积则表示数
(标)量积和向(矢)量积。利用以上关系，可以通过对
，和g的适当解释，并应用对形式的Leibniz法则，在
向量分析中许多与具体的正交曲线坐标系无关的公
式均可得到非常简洁完美的证明，因而这一处理方
法在向量分析与经典场论中具有十分重要的意义。
有关这一问题的详细分析及其典型应用，可参阅文
献L2-J。
3 任意正交曲线坐标系中散度和旋度
的一种表示形式 3]
在正交曲线坐标系中，基矢量可以表示为
— hfW q (1O)
式(1o)中，Wq 是q ( 一1，2，3)的梯度，^产I ar I通
常称为度规系数，r为空间点的位置矢量，q 为正交
曲线坐标系中的坐标变量。根据式(1O)得
· (Pe1)一 ·(Pe2× 3)一
· (^2h3尸Wq2× Wq3)一
hzh3fl ·(Wq2× Wq3)+
(Wq2× Wq3)· (^2h3尸) (11)
式(11)中， ·(Wq2×Wq3)一Wq3·( × Wq2)一
W q2。( × W q3)一o；(Vq2× W q3)一 2Xe3一
，
并考虑到 厂· = sf
^
1 8
向
f ~
，则有
· (De )一 ‘ (^z^。尸)一
1
h l h 2 h 3 向l
蒋泽．等： 中矢量场散度和旋度运算关系的建立方法
同理，
一
一
1 (15)
由此可得散度的表达式为
· ，一 ·(Σ 厂 )一Σ ·( 1
Fa(hzhaf1) ．8(h h．尸) ．8(h．h2 )]
L 向 。 向z 。 勾a J
(16)
值得注意的是，在式(16)的推导过程中，我们实际上
是利用了文中第3部分的知识，即将形式算子 的
运算关系及数量积和向量积同外微分和外乘积联系
起来了，这样就不会出现逻辑上的混乱。此外，
× (fte1)一 × (^l尸 q1)一
hi尸( × q1)一 q1× (^1尸)一
一 ql× (^l尸) (17)
由式(1o)及梯度关系 一一"~-2
^
1
却
af 得
：
× 一一老×[Σ击 ]一
h
上
lha h
上
l
一 2一一hz 3。 (18)
同理，可写出 ×(／ e2)及 ×(Pe。)的表达式，并
最后得到旋度的表达式为
×，一 ×(Σf'e )一Σ ×(fie )一
^ [ 一 +
2^3 向2 向3 。
h c 一 -J~2+
l^3 由3 却l 。
h h[ 一 1 ~3 ㈣
l 2 向l 向2
4 结束语
本文对矢量场的散度和旋度关系给出了两种简
洁的推导方法，同时基于具体物理问题求解过程中
空间几何结构的特殊性，对有关文献中给出的任意
正交曲线坐标系中的散度和旋度关系的理解进行了
简要的说明。有关内容丰富了我们对经典宏观矢量
场散度和旋度关系的物理意义的理解及其本质特征
的进一步认识，在实际的教学、研究工作中，通过对
相应物理问题的分析求解[4]，必将加深我们对有关
问题的进一步理解。
参考文献：
[1] CHENG D K．Field and Wave
Electromagnetics [M ]． Addison—Wesley
Publishing Company．Inc． 1 983．
[zl SCHREIBER M．形式微分导论[M]． 白正国
译． 北京：人民教育出版社，1980．
[3] 雷银照．时谐电磁场解析方法[M]．北京：科
学出版社，2000．
[4] 蒋泽，赵为粮．基于导体槽内电位计算的求解
技术分析[J]．重庆邮电学院学报(自然科学
版)，2001，13(3)：74—77．
(编辑：何先刚)
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