一个系统的物理行为可以由它的哈密顿量完全确定

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我们已经知道，一个系统的物理行为可以由它
的哈密顿量完全确定．对于具有标度不变性的系
统，我们有理由要求它在粗粒化前后的哈密顿量具
有相同的形式

重整化群与临界现象。
纪 青
(河北工业大学物理系，天津300130)
摘 要：介绍了用重整化群方法描述临界现象的基本思路和做法．指出重整化群方法确实抓住了临
界现象的最重要的物理特征—— 自相似性，并在此基础之上建立了一套切实可行的求解方案．
关键词：重整化群；自相似性；临界现象
中图分类号：0152；0414．3 文献标识码：A
1 引言
重整化群的概念起源于量子场论．为了处理量
子场论中的发散问题，人们发展了重整化的方法来
剪除无穷大．由于物理量是客观的，应该与剪除点
的具体选择无关，所以当剪除点变化时，有关的物
理量应当保持不变．表示剪除点变化的变换就叫做
重整化群变换．尽管重整化群并不是严格意义下的
群[1]，但是这种在变换下的不变性的思想，即对称
性的思想，确实是2O世纪后半叶物理学中最为重
要的思想L2]．
卡丹诺夫和维尔森等人将重整化群的方法用于
临界现象(连续相变)，发现在临界点附近系统在不
同尺度上所表现出的自相似性恰好能用重整化群的
方法来描述。这一发现不仅为连续相变找到了一种
更为合理和有效的理论表述，而且为重整化群方法
找到了更为直接的物理基础嘲．本文以二维Ising
模型为例，简述用重整化群方法描述临界现象的主
要步骤和方法特点．
2 临界现象与自相似性
临界现象是自然界中广泛存在的一类相变现
象，通常也叫第二类相变或连续相变．这种相变总
是发生在某一个临界点附近，此时系统的某些量如
比热容Cv、磁化率 等表现出奇异性，如下式所
示：
个
Cv cx：l 1一 r ， (1)
；(cx：l 1一 l ， (2)
』c
其中T为绝对温度，丁c为临界温度，a和卢叫做临
界指数．系统在临界点附近的行为主要由这些临界
指数具体地刻画出来．
在临界现象中，系统所表现出的最重要的特征
是自相似性．从数学上讲，自相似性意味着集合的
一部分可以和整体建立起严格的一一对应关系．物
理上的自相似性指的是系统的局部与整体具有相似
的行为．以二维Ising模型为例．
二维Ising模型由放在二维格点上的自旋1／2
粒子系统组成，如图1所示．将系统放在外磁场中，
图1 二维Ising模型
当温度达到临界温度时，系统会发生相变．如果用
黑点表示自旋向上，用白点表示自旋向下，则当温
度降低到临界温度时，系统看上去就会是一种颜
色，比如黑色(决定于外磁场的方向)；当温度接近
临界点时，系统看上去是黑白相间的图样．此时，
收稿日期：2004一O1—18；修改日期：2004—03—15
· 基金项目：河北省教委博士基金资助项目(535001)；河北省自然科学基金资助项目(103010)
作者简介： 纪青(1958一)。男(汉族)。吉林长春人。博士，教授，从事理论物理和生物物理研究．
第2期 纪青：重整化群与临界现象
系统中的任意一个局部放大适当倍数后，看上去与 表现出的这种局部与整体在物理行为上的自相似性
整体无法区别，如图2所示．系统在临界点附近所 是对其进行理论描述的物理基础．
放火，倍
图2 临界点附近系统的行为，其中的局部放大z倍后看上去与整体不可区分
3 标度不变与重整化群
对于具有自相似性的系统，我们在不同的标度
(即不同的标尺刻度)下对其进行观察时，会发现这
种系统具有所谓的标度不变性．从图3可以看到，
右图所采用的标度比左图大了z倍，因而左图中的
一些细节在右图中被平均掉了，但两幅图像的基本
特征是完全相同的．这意味着在不同的标度下，系
粗粒化
图3 标度不变与粗粒化
统表现出的物理行为本质上相同．这一性质就叫做
标度不变性．图3从左到右的过程叫做粗粒化．
我们已经知道，一个系统的物理行为可以由它
的哈密顿量完全确定．对于具有标度不变性的系
统，我们有理由要求它在粗粒化前后的哈密顿量具
有相同的形式．二维Ising模型的自旋112粒子系
统在粗粒化前的哈密顿量具有下述形式：
H 一一h->『： S —J>：s s ， (3)
其中，S 为第i个格点的自旋，h代表外磁场，J为
自旋-自旋耦合常数，代表对最临近的自旋求
和．粗粒化后，系统的哈密顿量具有同样的形式，
且Ⅱ
H 一一h Σs，一J Σs，s，， (4)
J (J·』)
其中，z代表粗粒化后的量，J和J代表粗粒化后的
格点位置．两个哈密顿量描述的是同一个物理系
统，所以其中相应的量之间能够建立起与标度因子
z有关的变换关系，而这种变换就叫做重整化群变
换．例如，关于耦合常数的重整化群变换可以写成
如下的一般形式：
J — R (J)， (5)
式中尺 代表与参数z有关的重整化群变换．变换的
具体形式决定于粗粒化的具体作法．
原子核物理评论 第21卷
能够用来对临界现象进行定量描述的最重要的
可观测量是那些临界指数．为了求出临界指数，我
们考虑热力学极限，即令粒子数趋于无穷，体积趋
于无穷．对于无穷大的体积可以进行无穷多次重整
化群变换．由于重整化群变换通常是非线性变换，
所以无穷多次重整化群变换通常会达到某种不动
点．不动点可以是稳定不动点，也可以是非稳定不
动点．相变现象对应的是非稳定不动点． 由不动点
所满足的方程就可以求出临界指数．
从上面的介绍可以看到，在用重整化群方法处
理临界现象的整个过程中，每一个关键的步骤都以
参 考 文 献
系统表现出的主要物理特征为基础，而不是把系统
牵强地放进某个我们所熟悉的框架内，再通过调参
数的方法去凑数据． 那种做法即不能增加新的理
解，更不敢对任何新的实验现象作定量的预言．而
重整化群方法由于忠实地反映了系统本身的物理特
征，它对临界指数的计算结果更接近实验值，与朗
道理论的计算结果相比，其精度提高了将近一个数
量级[3]．这种根据物理系统本身的特性来建立其理
论描述体系的方法实在值得今天的物理学家，特别
是理论物理学家深思．
[1] Weinberg S．The Quantum Theory of Fields．Cambridge： [33 Goldenfeld N．Lectures on Phase Transitions and the Renor—
Cambridge University Press，1995，2：111． malization Group．USA：Addison—Wesley Publishing Compa一
[z] 杨振宁．对称与z0世纪物理学．杨振宁演讲集，天津：南开大 ny，199g，16—19，111．
学出版社。1989。411—429．
Renormalization Group and Critical Phenomena。
’ 儿Qing
(Physics Department．of Hebei University of Technology，Tianjin 300130，China)
Abstract：The basic clue and the main steps of renormalization group method used for the deion of
critical phenomena is introduced．It is pointed out that this method really reflects the most important phys—
ical features of critical phenomena，i．e．self-similarity，and set up a practical solving method from it．This
way of setting up a theory according to the features of the physical system is really a good lesson for
today’S physicists．
Key words：renormalization group；self—similarity；critical phenomena