高等数学难点总结

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高等数学难点总结及课后习题解读
作者 henuedu 来源 河南大学考研网 浏览 107 发布时间 09/11/19
前面的话：

这三篇总结文章，来自于我五一给学生的几堂总结课，当时没有做书面材料，后来才想到把它们整理成文。
考虑到现在大多数人都还在进行第一轮，也就是基础阶段的复习，所以先把自己对高数知识点的总结奉上，希望对大家能有帮助。
可能以后也会有关于线代和概率的总结。

上册除了空间解析几何基本都涉及了，这是数一数二数三数四的共通内容。
下册（一）是关于多元微积分和级数的，其中数二数四的就不用看级数了。
下册（二）是关于线面积分的，数一专题。

上册：

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）
极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势
由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系
连续：函数在某点的极限 等于 函数在该点的取值
连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近

导数的概念
本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算
什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确
什么样的函数有定积分

求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法

微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理，可从几何意义去加深理解

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这种近似的精确度就是足够好的。


下册（一）：

多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数

最典型的是二元函数

极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势

连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等

导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念

沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数

通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况

高阶偏导数若连续，则求导次序可交换

微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在

仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在

若偏导数存在，且连续，则微分一定存在

极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂

极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零

所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。

级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。若通项趋于零，看是否正项级数。若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛，考察一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数，只能通过最根本的方法判断，即看其前n项和是否有极限，具体问题具体分析。

比较判别法是充分必要条件，比值和根值法只是充分条件，不是必要条件。

函数项级数情况复杂，一般只研究幂级数。阿贝尔定理揭示了幂级数的重要性质：收敛区域存在一个收敛半径。所以对幂级数，关键在于求出收敛半径，而这可利用根值判别法解决。

逐项求导和逐项积分不改变幂级数除端点外的区域的敛散性，端点情况复杂，需具体分析。

一个函数能展开成幂级数的条件是：存在任意阶导数。展开后的幂级数能收敛于原来函数的条件是：余项（误差）要随着项数的增加趋于零。这与泰勒展开中的结论一致。

微分方程：不同种类的方程有不同的常见解法，但理解上并无难处。


下册（二）

定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分都可以概率为一种类型的积分，从物理意义上来理解是某个空间区域（直线段、平面区域、立体区域、曲线段、曲面区域）的质量，其中被积元可看作区域的微小单元，被积函数则是该微小单元的密度

这些积分最终都是转化成定积分来计算

第二类曲线积分的物理意义是变力做功（或速度环量），第二类曲面积分的物理意义是流量

在研究上述七类积分的过程中，发现其实被积函数都是空间位置点的函数，于是把这种以空间位置作为自变量的函数称为场函数

场函数有标量场和向量场，一个向量场相当于三个标量场

场函数在一点的变化情况由方向导数给出，而方向导数最大的方向，称为梯度方向。梯度是一个向量，任何方向的方向导数，都是梯度在这个方向上的投影，所以梯度的模是方向导数的最大值

梯度方向是函数变化最快的方向，等位面方向是函数无变化的方向，这两者垂直

梯度实际上一个场函数不均匀性的量度

梯度运算把一个标量场变成向量场

一条空间曲线在某点的切向量，便是该点处的曲线微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系

一张空间曲面在某点的法向量，便是该点处的曲面微元向量，有三个分量，它建立了第一类曲面积分和第二类曲面积分的联系

物体在一点处的相对体积变化率由该点处的速度场决定，其值为速度场的散度

散度运算把向量场变成标量场

散度为零的场称为无源场

高斯定理的物理意义：对散度在空间区域进行体积分，结果应该是这个空间区域的体积变化率，同时这种体积变化也可看成是在边界上的流量造成的，故两者应该相等。即高斯定理把一个速度场在边界上的积分与速度场的散度在该边界所围的闭区域上的体积分联系起来

无源场的体积变化为零，这是容易理解的，相当于既无损失又无补充

物体在一点处的旋转情况由该点处的速度场决定，其值为速度场的旋度

旋度运算把向量场变成向量场

旋度为零的场称为无旋场

斯托克斯定理的物理意义：对旋度在空间曲面进行第二类曲面积分，结果应该表示的是这个曲面的旋转快慢程度，同时这种旋转也可看成是边界上的速度环量造成的，故两者应该相等。即斯托克斯定理把一个速度场在边界上形成的环量与该边界所围的曲面的第二类曲面积分联系起来。该解释是从速度环量的角度出发得到的，比高斯定理要难，不强求掌握。

无旋场的速度环量为零，这相当于一个区域没有旋转效应，这是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

进一步考察无旋场的性质

旋度为零，相当于对旋度作的第二类曲面积分为零——即等号后边的第二类曲线积分为零，相当于该力场围绕一闭合空间曲线作做的功为零——即从该闭合曲线上任选一点出发，积分与路径无关——相当于所得到的曲线积分结果只于终点的选择有关，与路径无关，可看成终点的函数，这是一个场函数（空间位置的函数），称为势函数——所得的势函数的梯度正好就是原来的力场——因为力场函数是连续的，所以势函数有全微分

简单的概括起来就是：无旋场——积分与路径无关——梯度场——有势场——全微分

要注意以上这些说法之间的等价性

三定理（Gauss Stokes Green）的向量形式和分量形式都要熟悉

所有跟帖： 

• 极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般） -marketreflections- ♂ (1034 bytes) () 03/21/2010 postreply 09:49:25

• 二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势 -marketreflections- ♂ (343 bytes) () 03/21/2010 postreply 09:52:05

• 沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数 -marketreflections- ♂ (238 bytes) () 03/21/2010 postreply 09:53:21

• 以空间位置作为自变量的函数称为场函数 梯度实际上一个场函数不均匀性的量度 -marketreflections- ♂ (2837 bytes) () 03/21/2010 postreply 10:40:59

• 微分的概念：函数增量的线性主要部分 -marketreflections- ♂ (983 bytes) () 03/21/2010 postreply 12:46:39

• 系列】：矢量分析：哈密顿算子，散度和旋度 -marketreflections- ♂ (37 bytes) () 03/21/2010 postreply 17:08:36

• 系列】：矢量分析：哈密顿算子，散度和旋度 picture (图) -marketreflections- ♂ (423 bytes) () 03/21/2010 postreply 17:19:43

• 有旋电场是无源有旋场，不存在源头和尾闾，它的电力线是闭合的，无法引入相应的标量势函数 -marketreflections- ♂ (940 bytes) () 03/21/2010 postreply 18:20:28

• 在这个区域里的每一场量都不是单独存在的，而且仅仅研究单个点上的物理量没有实在意义，所以常常要研究一点的场量和周围其它点的场量之间 -marketreflections- ♂ (11249 bytes) () 03/21/2010 postreply 18:32:53

• 若某一矢量场 在某空间区域内既无源又无旋，则称该矢量场为谐和场 -marketreflections- ♂ (215 bytes) () 03/21/2010 postreply 18:35:28

• 推迟势 在那个体积元中增生（或湮灭掉）带电粒子，远处的电场强度的增大或减小要比电荷变化时刻落后一段一时间 -marketreflections- ♂ (4231 bytes) () 03/21/2010 postreply 18:44:07

• 势由电荷、电流产生。某一点 t 时刻的势由源点在 t - r/c 时刻产生并传到此处的叠加，由于场点到源的距离不同，即 r1≠ -marketreflections- ♂ (317 bytes) () 03/21/2010 postreply 18:51:29

• 麦克斯韦方程和洛伦兹力公式为基础的电磁理论;难点及解决办法 -marketreflections- ♂ (2819 bytes) () 03/21/2010 postreply 18:53:43

• 麦克斯韦方程和洛伦兹力公式为基础的电磁理论;难点及解决办法 -marketreflections- ♂ (2897 bytes) () 03/21/2010 postreply 19:32:08

• 电磁波的激发源往往以一定的频率作正弦振荡，因此会辐射出以该频率作正弦振荡的波，称为时谐电磁波，对应的场称为时谐电磁场 -marketreflections- ♂ (8128 bytes) () 03/22/2010 postreply 08:32:42

• ：“在量子力学中基本的物理实体是势，而场仅是由势通过微分运算而导出的。”[[ -marketreflections- ♂ (19132 bytes) () 03/22/2010 postreply 08:50:03

• 量子力学基础的思考 量子力学研究的是非位势系统，经常有突变，波函数考虑对系统有影响的外场影响 -marketreflections- ♂ (35 bytes) () 03/22/2010 postreply 09:01:37

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• 李学生 量子力学基础的思考 -marketreflections- ♂ (34 bytes) () 03/22/2010 postreply 09:35:52

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• “速度场”本质上是磁场其强度与电子的速度成正比，其能量（磁场能）与速度的平方成正比 -marketreflections- ♂ (183 bytes) () 03/23/2010 postreply 10:49:54

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• 下行时没有交易的缺口，主要是量的缺口，空方再卖很可能是超低卖空了 -marketreflections- ♂ (225 bytes) () 03/23/2010 postreply 12:18:23

• Financial markets and institutions By Jeff Madura -marketreflections- ♂ (49 bytes) () 03/23/2010 postreply 12:33:50

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• 在极短的时间内，阿尔法粒子会突然从旁边（也可以说是不知从什么地方）“借”来一点能量，穿过了原子核的势垒（势垒，也就是被我们刚才比 -marketreflections- ♂ (15752 bytes) () 03/24/2010 postreply 10:05:38

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• 无限深势阱就是说这种假想的场在两壁处，场强无穷大，场力指向阱中；而在其它所有地方场强都为0 -marketreflections- ♂ (463 bytes) () 03/24/2010 postreply 10:24:12

• google.cn "一维无限深势阱零点运动"” -marketreflections- ♂ (3220 bytes) () 03/24/2010 postreply 10:27:14

• 量子世界，势垒本身的定性定量9是不确定的，一定成度上 -marketreflections- ♂ (2057 bytes) () 03/24/2010 postreply 10:46:52

• 随机性并不是量子力学的本质属性，非定域性才是量子力学的本质属性。 -marketreflections- ♂ (233 bytes) () 03/24/2010 postreply 10:52:14

• 牛顿是加法，量子力学是乘法，相干波，群论就是乘法，相互作用，breakout 是乘法，平时是加法 -marketreflections- ♂ (521 bytes) () 03/24/2010 postreply 11:09:18

• 能量和力的本质是相互作用，有相互作用才有运动，速度,才有场 -marketreflections- ♂ (134 bytes) () 03/24/2010 postreply 12:17:52

• 平衡态、非平衡态、统计力学 与周围没有相互作用的系统称为孤立系统 -marketreflections- ♂ (2677 bytes) () 03/24/2010 postreply 12:28:33

• 玻爱凝聚 当温度足够低时，原子的德布洛意波长与原子之间的距离在同一量级上，此时，物质波之间通过相互作用而达到完全相同的状态，其性 -marketreflections- ♂ (11137 bytes) () 03/24/2010 postreply 12:35:43

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• 宏观物体的德布罗意波长非常小，因此宏观物体仅表现出粒子性 -marketreflections- ♂ (336 bytes) () 03/24/2010 postreply 12:55:19

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• 相位波的波长是，是普朗克常数， 是相对论动量，这就是著名的德布罗意波长与动量的关系 -marketreflections- ♂ (10811 bytes) () 03/24/2010 postreply 13:11:16

• "德布罗意相位波本质", 自旋，内部对立统一运动， -marketreflections- ♂ (51 bytes) () 03/24/2010 postreply 13:17:20

• 实物(空间上局域分布的)和场与波(频域上局域分布) -marketreflections- ♂ (148 bytes) () 03/25/2010 postreply 05:54:09

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• 量子场论登场，把波函数变成对产生、湮灭算符（这俩算符的意义就是说这里有粒子或没粒子，多个粒子或少个粒子）的积分（这里积分相当于分 -marketreflections- ♂ (180 bytes) () 03/25/2010 postreply 09:43:03

• 等概率原理,同一系统运动元同质假定，经典物理, only @同一系统 level -marketreflections- ♂ (16397 bytes) () 03/25/2010 postreply 09:50:00

• 有心场收敛 -marketreflections- ♂ (1010 bytes) () 03/25/2010 postreply 11:29:37

• 李炳铁 能量并不是简单的标量量子性，更重要的是其向量性，物质也只不过是向量平衡而已 -marketreflections- ♂ (62432 bytes) () 03/25/2010 postreply 11:49:42

• 空间本身的势场性，也决定了空间不可能是无限的 -marketreflections- ♂ (376 bytes) () 03/25/2010 postreply 11:54:31

• 尽管哈密顿矩阵异常庞大，但是其中绝大多数非对角矩阵元都是零，只有数量很少的非零矩阵元，也就是说，这种矩阵是极为稀疏的矩阵 -marketreflections- ♂ (2028 bytes) () 03/25/2010 postreply 12:09:31

• 哈密顿量的对角化就是解一个本征值问题(在线性代数中就是特征值和特征向量 -marketreflections- ♂ (1470 bytes) () 03/25/2010 postreply 12:14:16

• 重整化群变换:剪除无穷大．由于物理量是客观的，应该与剪除点的具体选择无关 -marketreflections- ♂ (811 bytes) () 04/06/2010 postreply 07:54:03

• 一个系统的物理行为可以由它的哈密顿量完全确定 -marketreflections- ♂ (6068 bytes) () 04/06/2010 postreply 07:56:40

• 爱因斯坦 量子电动力学重整化理论提出后3 年 保留了经典电动力学的精髓, 又能逻辑地 -marketreflections- ♂ (9630 bytes) () 04/06/2010 postreply 08:02:33

• 爱因斯坦“有界无边” -marketreflections- ♂ (10321 bytes) () 04/06/2010 postreply 15:05:11

• henryharry2 量子力学中的对称性 -marketreflections- ♂ (42 bytes) () 03/25/2010 postreply 12:41:38

• 一个两端固定的绳子上的驻波可以视为特征向量的一个例子，更精确的讲，它是一个相对于时间流逝的变换的特征函数。随着时间流逝，驻波被缩 -marketreflections- ♂ (19782 bytes) () 03/25/2010 postreply 12:55:07

• 矩阵的数值严格对角化方法 -marketreflections- ♂ (2028 bytes) () 03/25/2010 postreply 13:02:27

• 牛顿均匀场的均匀是一种抽象，类似质点及质点系，这种抽象是线性数学的要求，也是相对于“不均匀”的一种参考系 -marketreflections- ♂ (104 bytes) () 03/25/2010 postreply 13:33:54

• 矩阵本身存在的对称性，这样能把计算量减少将近一半，因为变量i对变量j的作用，与变量j对变量i的作用往往是相等的 -marketreflections- ♂ (13893 bytes) () 03/25/2010 postreply 13:45:08

• 向对角线收敛,绝大多数非对角矩阵元都是零，只有数量很少的非零矩阵元 -marketreflections- ♂ (185 bytes) () 03/25/2010 postreply 14:09:04

• 绝大多数非对角矩阵元都是零，retails;只有数量很少的非零矩阵元, MMs -marketreflections- ♂ (34 bytes) () 03/25/2010 postreply 14:10:23

• 规范场:电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电压升高相同的电压时，电路的行为完全不变；因为电路中的电压差不变。 -marketreflections- ♂ (3297 bytes) () 03/25/2010 postreply 17:04:40

• 它双脚站在“等电位”上，没有电压差，就没有电流通过它身体 -marketreflections- ♂ (477 bytes) () 03/25/2010 postreply 17:07:27

• 一个人站在高压线上，他身上就会带上和高压电一样的高电位 -marketreflections- ♂ (1301 bytes) () 03/25/2010 postreply 17:11:07

• 势的选取有无穷多种形式，物理观测量不依赖于这些不同的选取方式，我们称之为规范不变性 -marketreflections- ♂ (19184 bytes) () 03/26/2010 postreply 08:38:36

• 规范场:物理系统往往用在某种变换下不变的拉格朗日量表述，电路中接地的定义是规范对称性的一个例子；当线路所有点的电压升高相同的电压 -marketreflections- ♂ (439 bytes) () 05/26/2010 postreply 15:39:30

• 太阳中心是热核反应区。太阳中心区占整个太阳半径的1／4，约为整个太阳质量的一半以上 -marketreflections- ♂ (1761 bytes) () 03/25/2010 postreply 16:57:33

• 相位波类似人的意识，身体是粒子 -marketreflections- ♂ (28 bytes) () 03/24/2010 postreply 13:20:18

• cnam 032310 premkt -marketreflections- ♂ (794 bytes) () 03/24/2010 postreply 09:58:51

• 高斯公式 -marketreflections- ♂ (304 bytes) () 03/26/2010 postreply 09:02:50

• 对称性可知：整个回路在绕O点旋转一个周期时，有一半时间能释放电能 -marketreflections- ♂ (15023 bytes) () 03/26/2010 postreply 09:31:12

• 由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场 -marketreflections- ♂ (1949 bytes) () 03/26/2010 postreply 09:43:14

• 真空中的静电场 ,空间各向同行,即对应空间球对称性,动电场有“方向”， -marketreflections- ♂ (290 bytes) () 03/26/2010 postreply 09:56:13

• 静电场的基本特征：(1)电力线垂直于等势面，(2)沿电力线方向电势减小。在数学上，这两个基本特征可表示为： （为电势函数）。 三 -marketreflections- ♂ (371 bytes) () 03/26/2010 postreply 10:12:17

• 矢量线是这样一些曲线：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上（如图1-4所示），像静电场的电力线、磁场的磁力线 -marketreflections- ♂ (550 bytes) () 03/26/2010 postreply 10:39:33

• 每时期平均价格交易量类似等势位面或线，高低等势位线周期性与均等势位线背离 -marketreflections- ♂ (228 bytes) () 03/26/2010 postreply 11:36:04

• 描述场的几何方法是引入所谓的场线 -marketreflections- ♂ (355 bytes) () 03/26/2010 postreply 11:37:57

• 沿等位面移動，則dV=0. •等位面移動一粒子不需作功 -marketreflections- ♂ (381 bytes) () 03/26/2010 postreply 11:43:45

• 静电场 在同一点P上 恒矢量 -marketreflections- ♂ (55 bytes) () 03/26/2010 postreply 14:02:33

• 恒流电场中有两个电极，相当于正负电荷，两电极间有电势差，会产生一个场，场上各点电势确定相当于静电场，电流只不过顺电势而流动 -marketreflections- ♂ (258 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:40:29

• 考虑空间中的一个电荷它所产生的电势 E=kQ/r^2如果把该电荷放在一个想象中的球的球心那么电荷到球表面的距离相等故球面上的电势 -marketreflections- ♂ (139 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:44:16

• 某电荷在的位置的电势能既是该电荷所具有的，也是该带电系统所具有的。 -marketreflections- ♂ (432 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:45:29

• 静电场，就是电场确定后电场强度不发生变化，电荷分布也不变的场 -marketreflections- ♂ (60 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:48:37

• 涡旋电场和静电场之比较 -marketreflections- ♂ (2770 bytes) () 03/26/2010 postreply 19:57:50

• “瞬论”简介 单个的“线元”可以组成电场线、磁场线和电磁场，电场线的缩聚出现“面元”，面元之间的相互吸引出现“体元”，体元也就涵 -marketreflections- ♂ (267 bytes) () 03/26/2010 postreply 20:02:32