矩阵的数值严格对角化方法

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矩阵的数值严格对角化方法（numerical exact diagonalization of matrix）
这种方法是对强关联电子系统的大型哈密顿矩阵，进行数值严格对角化，以求得系统的能量本征值和本征波函数。它又称为Lanczos方法。

在对一个实际的物理系统进行理论研究的过程中，经常会遇到要求一个大型或超大型埃尔米特（Hermit）矩阵的本征值和本征函数的问题。矩阵的维数往往会达到几十万甚至上百万。这样的矩阵在包含有大量微观自由度的宏观体系中是经常遇到的。Lanczos方法就是根据上述特点所发展起来的一种极为有效的哈密顿矩阵求解本征值和本征函数的数值方法。近年来，它已被广泛应用到强关联系统、无序系统等极为重要的物理系统之中，成为计算物理中一项至关重要的新方法。矩阵维数的增大使得求解本征值和本征函数变得非常困难，但是，我们看到，在绝大多数在物理上感到兴趣的问题中，哈密顿矩阵都有如下特点：

⑴哈密顿矩阵都是埃尔米特矩阵。

⑵尽管哈密顿矩阵异常庞大，但是其中绝大多数非对角矩阵元都是零，只有数量很少的非零矩阵元，也就是说，这种矩阵是极为稀疏的矩阵。

⑶所考虑的物理系统，一般都具有一定的对称性，满足一定的守恒律。这样，我们就可以根据对称性和守恒律的要求，采用一定的基函数，使哈密顿矩阵分解成为互不关联的子矩阵，从而可以对比较小的子矩阵分别求解。

我们设H是某一在N维Hilbert空间中的埃尔米特算符，而v1是该空间中的一个任意的归一化的向量，即：v1+v1=1。我们连续地用H去作用，来构造出一组正交归一的向量：

Hv1=α1v1+β1v2

Hv2=β1v1+α2v2+β2v3

Hv3=β2v2+α3v3+β3v4

我们注意到这些方程的结构是三对角型的，即每个方程的右边只出现本身和左右相邻的两个元素。这是由哈密顿矩阵的埃尔米特性所决定的。这一迭代序列将在正交归一向量走遍整个Hilbert空间后自动中止，也就是说，在做到第N步时，我们有：

HvN=βN-1vN-1+αNvN+βNvN+1

但由于在Hilbert空间中最多只能有N个相互正交归一的向量，因此新的向量vN+1必须为零。这样，这一方法具有一种十分有用的性质，即：即使我们一开始并不知道向量空间的维数，这一方法也会很好地自动中止。注意到我们这里处理的是一般的算符，而不是矩阵，因此空间的维数不需要明显地写出来。通过这个三对角矩阵，系统的最低能量本征值和本征波函数就可以方便地求解。