电磁波的激发源往往以一定的频率作正弦振荡，因此会辐射出以该频率作正弦振荡的波，称为时谐电磁波，对应的场称为时谐电磁场

[DOC] 电磁场方程的物理解法
文件格式: Microsoft Word - HTML 版
作者：刘广东 - 相关文章
关键词： 静电场；静磁场；电磁场；标势；矢势. 中图分类号：O44 文献标识码：A. 1 引言. 电磁场是物质世界的重要组成部分之一，在生产实践和科学技术领域内，存在着 ...
www.fync.edu.cn:8080/2006jxms/nzx/msword/jg01.doc

电磁场方程的物理解法
刘广东 倪致祥
（阜阳师范学院物理系，阜阳 236032）
摘要：本文利用已知的物理知识，结合半定量的物理分析，采用适当的科学方法，直接得出了无界的各向同性线性均匀介质中静电场、静磁场和电磁场的标势和矢势。
关键词： 静电场；静磁场；电磁场；标势；矢势
中图分类号：O44 文献标识码：A

1 引言
电磁场是物质世界的重要组成部分之一，在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。而电磁场方程的求解问题又是其中十分常见且非常重要的问题。一些相关的教材或者题解中处理该问题往往涉及一些繁杂的数学推导，给教学带来一定的困难。笔者从独特的视角，利用已知的物理知识，结合半定量的物理分析，采用适当的科学方法，直接得出了无界的各向同性线性均匀介质中静电场标势方程、静磁场矢势方程以及一般电磁场标势和矢势方程的物理解。
2 静电场标势方程的物理解
我们知道，在各向同性线性均匀介质中，麦克斯韦（Maxwell）方程组为
（1）
其中 和 分别代表介质中的磁导率和电容率， 和 分别代表自由电荷密度和自由电流密度。
在方程组（1）中，令其中对时间的偏导数项为零，即可得到静场的方程。
由此可知，对于静电场，满足 0，即静电场为无旋场，故可以引入一标势（这里相当于通常所说的电势）来描述静电场，它与电场强度之间的关系为
（2）
因此，在无界的各向同性线性介质中，标势所满足的定解问题为
（3）
其中 = 2为拉普拉斯算符。方程组（3）中前者称为泊松（Poisson）方程。该问题的解是存在的，而且满足唯一性定理和叠加原理。
为了得到上面方程的解，先考虑一个位于 处带单位电量的点电荷，其电势为
（4）
因此，一个位于 处带电量q的点电荷，其电势为

再考虑一个位于 处电荷密度为的体积元d'，它可以看成电量为dq =  d'的点电荷元，其电势为
（5）
而一般的电荷分布可以看成点电荷的集合，相应的电势为上式的叠加，即
（6）
可以验证解（6）式恰好满足方程组（3）式。
3 静磁场矢势方程的物理解
由方程组（1）知，对于静磁场，满足 ，静磁场为无源场，故可以引入一矢势 来描述静磁场，它与磁感应强度之间的关系为
（7）
由于上式只确定了矢势 的旋度，故其散度 可以自由选择，为了使计算简便，这里取
（8）
上式称为库仑规范。利用此规范，在无界的各向同性线性均匀介质中，矢势 所满足的定解问题为
（9）
可见，矢势 的每个直角分量也满足泊松（Poisson）方程。与方程组（3）相比，我们发现只要取  = 1/，并把自由电流密度比作自由电荷密度，则矢势 与标势满足同样的定解问题，因此也具有同样形式的解，即
（10）
4 一般电磁场标势和矢势方程的物理解
由方程组（1）知，在一般的变化情况下，电场是有源和有旋的场，磁场和电场是相互作用着的。
方程组（1）中第四式说明磁场为无源场，因此它可以表示为一个矢量场的旋度，我们把这个矢量场称为矢势，记为 ，即
（11）
将上式代入（1）的第一式，我们得到
（12）
这说明 为无旋场，因此它可以表示为一个标量场的梯度，我们把这个标量场记为，即
或 （13）
由此可知，把矢势 与标势作为一个整体来共同描述电磁场完全确定了电磁场的性质，但是电磁场并没有完全确定矢势与标势。
此时，为了使矢势和标势的方程具有对称性，通常取洛仑兹规范，即
（14）
利用此规范，在无界的各向同性线性均匀介质中，矢势和标势所满足的微分方程分别为
（15）
（16）
以上两式称为达朗贝尔（d’Alembert）方程。
一般来说，矢势和标势应该通过达朗贝尔方程来求解。但是在无界的各向同性线性均匀介质中，我们可以用物理分析的方法得到矢势和标势。
先考虑方程（16）式，当自由电荷和电流分布不随时间变化时，标势也不随时间变化，所以其结果与（6）式相同。
当电磁场的传播速度v为无穷大时，则方程（16）式中对时间的导数项消失，此时方程变为静电势所满足的方程，相应的解也应该具有（6）式的形式，只是自变量中多了一个时间t。由于方程（16）式中已经失去了对时间的导数项，因此t可以看成一个参数，而不是实质性变量。即
（17）
上式说明假如电磁场的传播不需要时间，那么标势应该随着电荷分布的变化而同步变化，其形式与静电势相同。现在电磁场的传播速度v为有限值，因此标势的变化应该比电荷分布的变化推迟一个传播时间R/v，即在t时刻的场量取决于t'时刻的电荷分布。由于
（18）
于是（17）式应该修改为
（19）
上式称为推迟势。可以严格地证明，推迟势（19）式恰好满足达朗贝尔方程方程（16）式。
类似地，达朗贝尔方程（15）的推迟势为
（20）
5 时谐电磁场标势和矢势方程的物理解
在迅变情况下，电磁场以波动形式存在，变化着的电场和磁场互相激发，形成在空间传播的电磁波。在很多实际情况下，电磁波的激发源往往以一定的频率作正弦振荡，因此会辐射出以该频率作正弦振荡的波，称为时谐电磁波，对应的场称为时谐电磁场。此时电荷和电流的分布随时间作简谐变化时，即
（21）
上式称为时谐条件。相应地，在时谐条件下，标势和矢势分别具有的形式为
（22）
令 ，在无界的各向同性线性均匀介质中，达朗贝尔方程方程（15）和（16）式分别相应地转化为
（23）
（24）
上两式称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。
先考虑标势方程（24）式，综合（16）、（18）和（19）式，有
（25）
所以标势方程（24）式的解为
（26）
类似地，可以求得矢势方程（23）式的解为
（27）
6 结论和展望
在电动力学的学习过程中，电磁场方程的求解问题是一大难点。正确求解电磁场方程是学好电动力学的基础和关键。通过上面典型的几类问题的求解，我们看到了解题方法和技巧的重要性。利用已知的物理知识，结合半定量的物理分析，采用适当的科学方法不仅可以避开繁杂的数学推导，简化计算过程，降低学习难度，而且能灵活运用基础知识，形成正确、清晰的物理思路，深化对物理意义的理解，收到事半功倍的效果。
本文讨论的几类问题都基于无界的各向同性的线性均匀介质，对于真空中的情况，只需将介质中的磁导率 和电容率 替换为真空中的磁导率 和电容率 即可。对于非各向同性、非均匀和非线性介质中的电磁场以及有界空间中相应的物理解，我们将另文研究。

参考文献
[1] 虞福春、郑春开编著，电动力学（修订版）[M]，北京：北京大学出版社，2003
[2] 郭硕鸿著，电动力学（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，2003
[3] 曹昌祺著，电动力学（第二版）[M]，北京：人民教育出版社，1962
[4] [美]J.D.杰克逊珠，朱培豫译，经典电动力学（下册）[M]，北京：高等教育出版社，1980
[5] 林璇英、张之翔编著，电动力学题解（第一版）[M]，北京：科学出版社，2003
[6] 谢树艺著，矢量分析与场论（第二版）[M]，北京：高等教育出版社，1994

Physical Solution of Electromagnetic Field Equation
Liu Guangdong Ni Zhixiang
（Physics Department, Fuyang Normal College, Fuyang 236032）
Abstract: In this paper, we obtain vector potential and scalar potential of static electric field、static magnetic field and electromagnetic field in the no boundary isotropy linear symmetrical medium directly by utilizing foregone physical knowledge, combining quasi-quantitative physical analysis and adopting appropriate scientific methods .
Key words: static electric field; static magnetic field; electromagnetic field; scalar potential; vector potential