对称性可知：整个回路在绕O点旋转一个周期时，有一半时间能释放电能

[DOC] 高中物理中对称性问题研究
文件格式: Microsoft Word - HTML 版
2008年10月8日 ... 相吸而引导出同性磁极相斥、异性磁极相吸；从电学中的高斯方程引出磁学 .... 在求某处的场强时，电荷如对称分布，就能运用高斯定理，比较方便地求 ...
www.wms.edu/Article/UploadFiles/200810/20081008201034803.doc

对称性在高中物理教学中的初步研究
温岭中学物理组　江志云
温中实验初中　　黄丽贞

摘要：对称性是重要的科学思维方法之一。在中学物理教学中，经常出现一些运用对称性灵活解答的试题。因此作为一种方法，在平时的教学及辅导中应向学生介绍对称性的思想方法，利用对称性引导启发学生理解概念、掌握定律、开拓思路、启迪智慧、培养分析问题、解决问题的能力，从而更有效地激发学生学习中的灵感，树立学好物理学的信心。
对称性的依据，在于物理量在分布上具有对称性、研究对象在结构上具有对称性、运动过程在空间和时间上具有对称性等。
对称性的实质：我们把事物的一种情况变化到另一种情况叫做变换（操作）。如果一个变换使事物的情况没有变化，或者说事物的情况在此变换下保持不变，我们就说这个事物对于这一变换是对称的。这个变换称为事物的对称变换。
关键词：对称性　弹性碰撞 　镜面对称

Ι 、物理学中的对称性
物理学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称。为了理解这种更深层次的对称，首先需要引入一些基本概念。德国数学家魏尔(H.Weyl)关于对称性的定义如下:
 体系(系统) -- 讨论的对象。
 状态 -- 对体系（系统）的描述。系统可处在不同的状态；不同的状态可“等价”，也可“不等价”。
 操作(变换) -- 把系统从一个状态变到另一个状态。若变换前后系统状态相同，则称两状态“等价”或“不变”。
 对称操作 -- 如果一个操作能使某体系从一个状态变换到另一个与之等价的状态，即体系的状态在此操作下保持不变，则该体系对这一操作对称，这一操作称为该体系的一个对称操作。
 对称群 --体系的所有对称操作的集合。
最常见的对称操作是时空操作。空间操作有平移、转动、镜象反射、空间反演、标度变换（尺度放大或缩小）等；时间操作有平移、时间反演等。除时空操作外，物理学中还涉及许多其它的对称操作。
而研究对象结构形体上的对称性在物理学的研究中是最先也是被我们最常用到的。形体上的对称性常常使得我们可以不必精确地去求解就可以获得一些知识，使问题得以简化，甚至使得某些颇难解的问题迎刃而解。例如一个无阻力的单摆摆动起来，其左右是对称的，不必求解就可以知道，向左边摆动的高度与右边摆边的高度一定是相等的，从中间平衡位置向左摆到最高点的时间一定等于从中间平衡位置向右摆到最高点的时间，平衡位置两边等高位置处摆球的速度和加速度的大小必定是相等的，等等。再例如一张无限大平面方格子的导体网络，方格子每一边的电阻是r，在这张方格子网络的中间相邻格点连出两条导线，问这两条导线之间的等效电阻是多少？这个问题看上去似乎很难求解，它涉及到无穷多个回路和无穷多个节点，要用直流电路中普遍的基尔霍夫方程组将得到无穷多个方程，难以求解。然而这一无穷的方格子网络具有形体上的对称性，利用对称性分析，求解变得相当简单。设想用一根导线连接到一个格点，通以电I，电流从网络的边缘流出，由于从该格点向四边流过的电流具有对称性，因此流过与该可知点连接的每一边的电流必定是I/4。再设想电流I从网络的边缘流入，再从网络中心的一个格点上连接的一条导线从上流出，根据同样的对称性分析，流过与该格点连接的每一边的电流也必定是I/4。我们要求解的情形正是这两种情形的叠加，电流I从连接到一个格点的导线流入，从连到相邻格点的导线流出，而在网络边缘，两种情形流出和流入的电流相互抵消。结果在连接导线的两相邻格点之间的那条边上通过的电流是上述两种情形的叠加，即为I/2，这条边的电阻是r，这意味剩下的电流I/2通过其它边，它相应的电阻应是r，换句话说，从相邻格点来看，这一无穷方格子网络的等效电阻是两个阻值为r 的并联，其等效电阻为r/2。由此可以看出，对称性分析在物理学中非常有用，一旦明确了具有对称性，问题常常变得简单可解。
另外，从性质来分物理学研究的对称性有两类，一类是某个系统或某件具体事物的对称性，另一类就是物理规律的对称性。1905年，爱因斯坦发表了一篇具有划时代意义的论文，建立了狭义相对论，论文的题目是“论动体的电动力学”。论文中，爱因斯坦提出相对性原理和光速不变原理，在此基础上导出了洛伦兹变换，得到一系列不同于牛顿力学的重要结论；揭示了物理规律上的一种新的对称性。这一新的对称性就是物理定律的洛伦兹变换不变性，即物理定律必须具有洛伦兹变换下的不变性，也就是说从不同惯性系来看物理定律的形式保持不变。从内容上说，它无非就是相对性原理内容的重复表述，似乎一点也不起眼；然而从探索物理基本定律的高度来看，洛伦兹不变性实在是对物理定律的形式所加的一条强有力的限制，物理定律的形式必须受到洛伦兹变换不变性的制约。所以对称性是制约物理规律的利器，爱因斯坦把对称性推到物理基础研究的主角地位。比如，从力学中的独立性引出相依性，根据电与磁的对称有同号电荷相斥、异号电荷相吸而引导出同性磁极相斥、异性磁极相吸；从电学中的高斯方程引出磁学中高斯方程等；从光的反射定律引出折射定射；从时间均匀性引出空间均匀性；以及从核裂变到核聚变等等。根据对称性等价于守恒的概念，又可以从对称性出发导出有关的守恒定律，过去研究微观粒子的运动性质时，先求解薛定谔方程，得到波函数的具体形式，这样微观粒子的运动就己知了，但此项工作复杂艰难。现在可以从薛定谔方程式所包含的时空对称性出发，不必去解薛定谔方程式，就可以弄清微观粒子运动的许多特征，引出很多有用的知识，如量子体系的能量守恒、动量守恒、角动量守恒等等。在辅导或教学中，如果我们能抓住这些对称性及其特征，对于阐明物理概念与规律是不无好处的。
Ⅱ对称性在高中物理教学中的应用
本文将从三个方面来研究对称和对称性相关问题。一、具体事件的对称性；　　　　　二、物理规律的对称；三、一些非对称性问题转化成对称性问题来巧妙解决。下面我们结合具体实例来分析体会对称性思维火花的绚丽。
一、具体事件的对称性
例1．如图１.0所示，在水平面上，有一质量为m的物体，在水平拉力作用下，由静止开始移动一段距离后，到达一斜面底端，这时撤去外力物体冲上斜面，上滑的最大距离和在水平面上移动的距离相等。然后物体又沿斜面下滑，恰好停在水平面上的出发点。已知斜面倾角为30°，物体与斜面及水平面的动摩擦因数相同，求物体所受的水平拉力。
这是一个关于运动对称问题，物体m在运动中经历了四个不同的匀变速运动，①在F和f作用下由A→B，②在mgsinθ+mgμcosθ作用下由B→C。由于AB=BC，B点是对称位置，在这两段运动中，它们具有加速度对称，路程对称，时间对称，速度（图线）对称等；同理，③物体由C点滑到B点与④由B点滑到A点也具有对称关系。抓住这些对称关系不难得到图１.1的速度图线。
根据加速度对称关系有：


解得
例２．如图2.0,一汽车自车站A沿平直公路L以速度10m/s行驶。在距车站100m,距公路60m处的B点处的甲,当汽车从A点出发时向公路跑去试图追上汽车。求他追上汽车的最慢速度？
图2.0　
析与解：对于这种问题，直接求解并不容易。但是利用这一过程具有时间反演对称性,我们可以轻松解答。假设汽车与甲在D点相遇后,汽车以原速度开回车站,而甲同时跑回直线AB。分析甲如何跑所需速度最慢。
图2.1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 由于汽车速度一定,AD距离一定,因此汽车回到车站的时间一定,设为t,甲回到直线AB的时间也为t。于是,甲的最慢速度就是甲所跑路程最短时所需的速度。而甲所跑的最短路程为D到直线AB的距离DE（见图2.1）,可见,甲若需以最慢速度跑回B点,则甲所跑方向必为直线AB过B的垂线AF。由于ΔABF的面积S= 1/2 AF.BC =1/2 AB.BF,所以BF/AF=BC/AB=0.6。由于甲由F到B的时间与汽车由F到A的时间相等,故甲的速度=0.6×10m/s=6m/s。反过来,甲若需以最慢速度跑到公路追上汽车,则甲必须沿BF方向以速度6m/s跑。问题迎刃而解。
例3．如图3.0所示，系统不计一切摩擦，A点固定不动，OA长为h, B环质量不计且可自由滑动，小珠子质量为m，绳子长为L，小珠子可在绳上自由滑动，最大张力为 ，如果珠子在未到最低点时绳子已断，试求这一点的坐标？
析与解：此题所给条件极为简单，看似容易，但又难于下手。而我们在仔细分析后可发现对于B环的研究是本题的突破口，可是B环的运动是怎样的呢？对于质量可以忽略的B环，在珠子下落的过程中，环所受合力必定处处为0，时时为0，也就是说它必定同步跟上，且珠子所在点C到B环连线必定垂直于杆OB。
解：建立坐标系如图3.1,其中曲线是小珠的运动轨迹，

图3.1 图3.2
由几何关系可知有：

在 方向上有：
解到这儿又碰上了新的难题，对于这个曲率半径我们如何求呢？当然我们经分析后得出小珠的运动轨迹为抛物线，可用导数的方法求解这个曲率半径，不过对于求导还未掌握的考生那该怎么办呢？这时利用对称性我们就可以不需要经求导而得到曲率半径。解答如下：首先利用对称将小珠的轨迹还原完整见图3.2
由图3.2可得方程：

由以上方程联立就可以解答此点坐标。



例4．如图4.0所示，质量为M，半径为R的铁环，放在光滑平面上，另有质量为m的小铁球，以初速 从 出发，而 =R/2,则经过多少时间小球将与铁环发生第N次弹性碰撞？
分析：当小球与铁环相碰后，铁环也将以一定的速度运动，而且每一次相碰前、相碰后两者的对地速度都
不一样，这样的话，我们若是采用常规思路，所得过程和解答将会烦琐困难。但是我们考虑到弹性碰撞中， 有前后两物体相对速度大小不变、方向相反的结论。
证明如下：
设两物体的质量分别为 、 ，相碰前的速度为 、 ，相碰后的速度为 、 ；因为在碰撞过程中无机械能的损失，因而有：

此时 相对于 的度为：

利用这种镜面对称，我们再来解这道题，当小球与铁环在A点相撞时，因小球和铁环相互任用力在A点法线方向，即AO方向，而 不在AO方向，故属于弹性斜碰，此时的相对速度指沿作用力方向的相对速度，即沿AO方向相对速度大小不变。
解：由几何关系易知 ，将小球在A点速度分解：

便是两者在OA方向的相对速度，碰后相对速度大小 ，将反向沿AO方向，而 因不受力将不变。结果以圆环为参照，碰后小球的合速度沿AB方向，AB方向满足：

即小球与铁环弹性碰撞时，在碰撞点小球的反射角等于入射角，于是

这样一来，小球在B点和圆环碰后，仍满足反射角等于入射角，碰后将沿BC方向运动，在C点碰后情况相同，结果，小球以圆环为参照，将在一个等边三角形ABC的三边上以初速 运动，从出发开始，经过：

第一次相碰，式中 为三角形边长：

由此可得第1次、第2次、……、第N次碰撞时刻为：

解到这儿，我们发现铁环和小球的质量，并未在答案中出现，质量只影响两者碰撞后的各自速度，却不影响相对速度，这就是利用对称性解题的微妙之处所在，若是采用常规解法，还要考虑各自的质量大小，费时费力。还有请大家考虑一下，要是 ，答案又如何？（答案提示： ）
二、物理规律的对称；
1、图象图线的对称
在前面的研究中已知运用图象的对称性和物理量的对称，解决了一些其他方法难以解决的问题，在此再举几个图象例子。
例5． 两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停车时，后车以前车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，为保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时应保持的距离至少为
m。
两车的减速过程是对称的，不难得到如图5.0所示的速度图线，容易得到两车间因保持2 s以上的距离。

例6．将光滑细管弯成圆角的长方形，如图6.0所示，固定在竖直平面上，B角比C角低，从A角同时放进两个小球，一个沿AB，一个沿AC滑到D角，问哪个球先到达D角？
解：两小球经过的路程相同，根据小球在AB段和CD段及AC段和BD段加速度关系，可作出速度图象如图6.1所示，所以经B角的小球先到达D点。

2、图象的面积相等
例7．小球以初速v0上抛，经过时间t后回落到上抛点，已知小球运动过程中受到空气的阻力与其速率成正比，试求回落到上抛点时小球的速度v。
解：小球在整个上抛和下落过程中的速度-时间图象如图7（甲）所示。由于速度图线与t轴间的面积表示小球在对应时间内经过的路程，故由上抛与下落所经路程相同可知，图中区域A与区域B的面积相等。









小球所受的阻力f-t图象如图7（乙）所示。由于f与v成正比，设比例系数为k，即可表示为f=-kv，故图乙中区域Aˊ和区域Bˊ的面积一定分别是图甲中区域A和区域B面积的k倍，由此可知，区域Aˊ和区域Bˊ的面积也相等。在f-t图象中，图线与t轴间的面积表示对应时间内阻力f的冲量值。在小球上抛和下落两过程中阻力的冲量值相等。而两过程中阻力方向相反，故两冲量等值反向。由此可知，在小球整个运动过程中，阻力的冲量为零。故由质点动量定理，可得

在这个例子中具有图线包围面积的对称性，正是这些物理量的速度图象中位移的面积相等，阻力图象中阻力冲量的面积相等。简化问题的复杂性。对称性对理解和分析问题有很大的帮助。

例8．如图8.0所示，虚线两侧的磁感强度均为B，但方向相反。电阻为R的导线弯成顶角为90°、半径为r的两个扇形组成的回路，O为圆心，整个回路可绕O点转动。若由图示的位置开始沿顺时针方向以角速度ω转动，则在一个周期内电路释放的电能为 。










由图8.1的对称性可知：整个回路在绕O点旋转一个周期时，有一半时间能释放电能。回路在释放电能时，回路中的感应电动势E相当于半径为r的棒在垂直于匀强磁场方向，以过一端的O点为轴、以角速度ω绕轴旋转，产生的感应电动势的4倍，则有

图象对称还有很多，凡是周期性的运动均具有对称性，如简谐振动的图象；稳恒电路U-I图线中的输出功率的变化；磁滞回线；理想气体的P-V图线等。
图象对称关系不容易发现，它本质是物理量的对称问题，这些对称的讨论有利于学生发散性思维的培养。
三、非对称性问题可看成若干个对称问题的叠加
在求某处的场强时，电荷如对称分布，就能运用高斯定理，比较方便地求出该点的场强。如果分布不对称，有时可采用几个对称分布场强的叠加。
例9．如图9（甲）所示，在一实心大球体内挖去一个较小的球形孔，余下部分均匀带电，体电荷密度为ρ，试证明小球形孔内为匀强场区。
分析：挖去的小球形孔可视为电荷体密度分别为ρ和-ρ的两个小带电球的复合体。于是带电系统为带电ρ的大球与带电-ρ的小球的组合。利用均匀带电球的场强分布，结合场强叠加原理，即可计算小球孔内的场强。









根据高斯定理，在电荷体密度均匀分布的带电球的场强为：


为证明小球孔内任一点P的场强均匀，可先计算小球球心Oˊ点的场强，再证明小球孔内任一点P的场强与Oˊ点的场强相等即可。
如图（甲）所示，根据高斯定理，Oˊ点的场强为
式中a是O到Oˊ的矢量。小球孔-ρ在Oˊ点的场强为0。
在孔内任取另一点P，则带电ρ的大球和带电-ρ的小球在P点的场强EP1与EP2之和即为P点的场强，即

式中r和rˊ如图（乙）所示。
因任一点P的场强与小球Oˊ点的场强相同，故小球孔内为匀强场区。

例10． 如图10所示，电流从A点进入对称的、由上下电阻不同（R上>R下）的环形分路，汇集于B点，则中心O处的磁感强度方向指向何处？
由于上下半环的电阻不同，所以它们的电路不对称，
因为R上>R下，所以电流I下>I上，根据相同电流中心磁场为零，它等效于I下–I上下半环的电流，根据安培定则，中心O处磁场方向垂直纸面向外。
从以上几个例子得出，在有些非对称性问题中它的局部是对称的或它是由若干个对称问题的组合，都可以用对称性手法来解决，即不对称问题可以创造条件利用对称法求解。这样有助于学生了解整体和局部的关系，提高了分析能力。
Ⅲ.更好的运用对称性
经过以上实例后，我们可以发现在教学与辅导中存在着可以运用对称性或者只能运用对称性灵活解答的试题。但是介介绍了这么多后，我们怎么来，或者说怎样更好的运用对称性呢？就笔者认为要从以下几点下手。
1. 要从感性认识上升到理性认识
对对称性的认识我们不能只停留在感性认识上，更要注意认识其内部的对称性。从“理论”上深刻理解和运用。如电路的简化。如果未认识到由电阻的对称分布导致结点断开后并不影响原电流流向，我们就难以将电路简化，从而求出电阻。
2. 要充分发挥想象力，善于构造对称关系，以简化解题步骤。
如例2在未知速度大小和方向的前提下，我们就要做大胆的设想和细致的分析，充分挖掘题给信息，从而利用对称性既快又准确的解答。又如例3，我们就要构造对称关系，从而能避开导数求解利用我们学过的知识来求解曲率半径。虽然步骤稍多，但其中体现了思维的开阔性和想象力的丰富。
3. 要认清对称性是相对的、有条件的，要具体问题具体分析。
如例4就要结合实际考虑，只有在碰撞方向上才有相对速度大小不变、方向相反的结论。善于挖掘隐藏的对称性，找出解题的关键点

4. 善于挖掘隐藏的对称性，找出解题的关键点
如例4例7，我们就要很好的利用题给的信息，找出隐藏的对称性。而这种能力也是要靠平时的积累的，只有平时想想各个条件之间的联系，多尝试一题多解，才能找出最为简捷准确的解题方法。



参考文献：
［1］ 美A.热 著　熊昆 译　可怕的对称－现代物理学中的美的探索
湖南科学技术出版社发行　　1992.2
［2］ 陈熙谋、舒幼生、王稼军等　
物理教学 1999， 21（1）： 6－ 11
［3］ 罗蔚茵，赵凯华　守恒律与对称性［J］
大学物理 1997、16（8）：31
［4］ 王溢然　王秋明 对称－中学物理思维方法丛书
　　　 大象出版社1999　
［5］ 范小辉　新编奥林匹克物理竞赛指导
南京师范大学出版社　1999.10