费马定理与复数和复变函数
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4. 费马定理与复数和复变函数
在上节我们说，费马公式在n=2时有整数解，不是整数的特有的性质，而是把整数的逻辑界定与欧氏空间的逻辑前提合理地链接在一起的结果。也就是说，那不是数字或数学本身的属性，而是来自物理实在的外来的属性。这里就产生了一个问题，到底什么是物理实在？这是现在自然科学基础研究需要讨论和解决的主要问题之一，在人类认识大自然的过程中物理实在也被分离成了两个不同的层次：一个就是应用物理中的物理实在，爱因斯坦把它称为“感性材料”，它是人们对于大自然的直觉的感受，但是不能成为普遍理论的逻辑前提，因为它无法和数学链接起来。所谓的自然科学基础理论就是必须要和数学的定量的逻辑链接在一起的理论体系。所以还必须把来自人类实践的感性材料转化为能够和数学链接在一起的数学的逻辑前提。但是，从任何一个感性材料都不可能得到能够和数学的定量逻辑联系在一起的逻辑前提，这个数学的逻辑前提不是用来描述任何具体的物理实在的，而是用来分析普遍的物质运动规律的，只有在大量的同类的或类似的物理实在的感性材料的综合中，才能够抽象出数学所需要的逻辑前提，实际上所有的数学所需要的逻辑前提必须与“无限”条件下的物质运动规律相联系。这个逻辑前提来自大自然，而又不可能直接从一个具体的物质运动的观察中得到，它要的依然是从人类实践中抽象出来的概念。爱因斯坦早期的相对论中把这个问题搞错了，他直接把相对论的假定当作了他的用数学方程式表示的理论体系的逻辑前提，他的理论就没有数学演绎的逻辑自洽性。要得到明确的定量结果还必须不断地加入新的假定。晚年在《物理学的进化》中，他提出了这个问题，提出了必须要有正确的哲学引导，而正确的哲学反过来要不断加入来自大自然的新元素。但这些还是哲学讨论式的，人类思维的发展总是离不开哲学式的讨论；只有讨论多了，人类实践积累够了才能够探索出一条路来。现在需要讨论和搞清楚的一个最大的问题，就是到底什么是数学体系中的来自物理实在的逻辑前提？不久前我国有一些年轻的现代物理学家就认为我们那些“民科”连最基本的物理事实都不知道。他说，你们认为欧氏几何是与物理实在有合理关系的，黎曼空间是与物理实在没有合理关系的，真是这样吗？你们说说宇宙中有什么东西是符合平直空间形状的？对于他的质问，我只能回答，确实没有。除了两千多年以前的西方人和两百多年以前的中国人以外，大概很少有人相信有平直的宇宙存在。西方在古希腊文明的影响下，两千年前就接受了地球只是一个球的地心说，中国在两百年前的洋务运动和新文化运动以后也抛弃了“天圆地方”的盖天说，承认水平面实际上只是球面的一部分。但是，人还是不能在地球那个球面上去建立空间的理念，那些建立了地心说的希腊古贤们，建立的欧氏几何还是以点、线、面作为逻辑前提的平直的空间框架。古人的这个平直空间的理念依然是有道理的。这就是我们现在所强调的数学需要的“物理实在”是能够与数字体系相联接的抽象化的物理实在，不是与任何具体存在结合在一起的物理实在。欧氏空间所建立的平直空间不是一个用来描述任何一个具体物理实在的体系，而是一个半径为无限大的理想化的空间体系。这样的空间不能直接表示任何一个具体的物理实在，却具有可以描述具有任何半径的球体的能力。所以相对论提出的用非欧空间或黎曼空间作为描述空间存在的框架是逻辑悖论的。把不理解相对论的人比喻为压扁了的臭虫看来也是不对的。要站起来还得先在平面上站起来，直接在三维空间上站立的超人是不存在的。但是从数学的角度，从人类思维的角度，我们千万不能把欧氏空间看成是通向数字和数学，通向实数、有理数和正整数的唯一的途径。19世纪以来的非欧几何、黎曼空间和相对论的探索虽然还没有找到物理实在与数学或数字体系逻辑地结合在一起的道路，但是他们所指示的方向是正确的，没有找到合理的关系，不能怪任何人，因为人类实践还没有揭示出那些感性材料。感性材料还不存在，怎么可能找到的与它的合理关系呢？
复数就是建立物理实在与数字体系合理关系的另一条通道，但是与此对应的物理实在的内涵却还一直没有搞清楚。现在是寻找那个另一条从物理通向数学，最后通向正整数的通道的时候了，人类实践的呼唤在等待着它。写到这里使我想起我网上的朋友Thnker在十个月前在我网上的最后一次留言：
感谢数学家胥鸣伟介绍黎曼
黎曼：“要了解「量」必須先有一個關於「量」的普遍觀念和一些能體現它的特殊事例”
”利用標記或圈圍取出流形的某些部分，稱為「量」。對「量」的定量比較工作，在離散的情形可以用數的，在連續的情況下則需靠測量“
”多元延伸量”（包括空間量）的概念仍一無所知。因此我首先要從一般「量」（quantity）的概念中建立「多元延伸量」的概念。我將指出，「多元延伸量」是可以容納若干度量關係的。所以我們所處的空間也不過是三元延伸量的一種特例。“
相对于牛顿的“静离散”的“三维点原子”，黎曼认为他的“动连续的多维”“流形（在此基础上的内蕴几何等）”思维概念比牛顿的经验归纳更加可靠，但“流形”不能数，要靠测量，靠度规，度规要有场，于是希空间，几何场，..于是现代物理数学。
现代物理数学的度规场终究是要与经典物理的欧空间的物质场偶和的。
偶合能够发生以前，现代物理数学的度规场"看"上去就象是没有物理内容从而也没有形式体系主体的数学游戏了，例如霍金预报不了天气确能算出宇宙大爆炸等，可能是矫枉过正了，但似乎不是现代物理数学的主流。
在那个时候我还无法理解那些话的确切的含义，现在能够理解一些了。但是总是理解的还不确实，似是而非。看来真正的理解就必须寻找人类思维和实践的结合点，就是数学和物理学的在更好的逻辑框架下的结合。黎曼在这里已经说得很清楚：牛顿的逻辑框架的基点是“静离散的三维点原子”。这就是牛顿给我们的“逻辑基元“——质量的基本内容。黎曼的“动连续的多维流形”思维概念上比牛顿的经验归纳更加可靠。这句话也对，也不对。黎曼毕竟是19世纪中期的人，他还没有看到电磁波已经超越了牛顿的粒子和运动，成为20世纪人类观察大自然的最基本的工具。在描述电磁波那样的“物质”中，他的思维概念也不是比牛顿的经验归纳更可靠，但确实是更接近。可靠必须与逻辑的自洽性联系在一起。在黎曼的年代，还没有多少电磁波的感性材料，特别是没有与电磁波的以频率为基点的测量数据，和一整套的数据的分析方法。现在信息的数据体系的主体已经从牛顿时代的在空间点上的粒子的位置测量转向与时间相联系的频率点上的波的测量；牛顿框架下，作为形式参量的时间是与空间相分离的“实的时间”，测量的对象是“静离散的三维点原子（的位置）”，信息时代的要建立的逻辑框架是以“虚的时间”为形式参量的“波”的信息。这个“虚的时间”就是与空间既有独立性又有联系性的“频率”。波的信息，本质上是以能量为载体的，但是要的又不是能量的“值”而是“能量”在频率上的“信息”。这就象牛顿测量的信息不是质量一样，质量是实物信息的载体，牛顿信息的内涵是位置。我们现在也还把握不住作为频率的形式参量和作为电磁波信息的数据的定量的、确切的逻辑内涵，这就要数学。数学中的来自物理实在的前提，不是人类实践的直接结果。而必须把人类的有限论域下的实践转化为抽象的、与无限相联系的、因而还会有某种不确定性的数学的逻辑前提。只有这样才能进入数学体系。黎曼的“动连续的多维流形”从描述电磁波的物理实在来说，确实比牛顿的框架近了一步，但是黎曼的时代还没有信息时代从电磁波中通过频率提取信息的感性材料，所以从可靠来说，还是不可靠的。把黎曼的概念用于几何空间就更无可靠可言了。所有的非欧空间都是不可靠的，因为它无法得到欧氏空间那样的在平面上与数字的牢固的链接。非欧空间的最大问题就是它总是和一个球心上的“点”联系在一起。所以永远没有普遍性，如果把那个“点”的特殊性给去掉，把那个点推向无限远，非欧空间也就回到了欧氏空间下的球面坐标，球面坐标允许球心移动，建立不同球心间的在笛卡尔坐标下的联系，从而回到了笛卡尔的坐标系上来了。欧氏空间中的平面和距离，就是人类远古以来的实践的积累，它的普遍性造成了它的有限论域性。只有对于球心离我们无限远的无限大的球，平面才是真正存在的，直角三角形的方程式才存在。当那个球的半径是地球的半径，6千公里左右，而我们考虑的平面只是不到几十公里的古人的日常活动范围的时候，欧氏几何理念的准确程度远远超过了当时人类实践的能力；所以那个实际上只是近似的概念，成了人人能够感受的公理。人们就把这个物理实在，融进了平面几何的数字和运算体系中了。这个理论体系在古代的丈量土地和建筑房屋的实践中成了人人都能够感受的公理。但是随着人类的实践范围的扩大，那个体系需要发展，但是那个发展也只能靠补充新理念的方式来发展，而不能把它推翻去建立新理念。因为黎曼发现的“动连续的多维流形”并不能代替”牛顿的静态三维的点模型“，数学的发展不是像19世纪到20世纪初期的数学家所想的那样，一个把一个“吞”下去的方式。而是必须在外在的物理实在参与下，建立越来越复杂的逻辑框架的过程。“动连续的多维流形”并不能把”牛顿的静态三维的点模型“给“吞”下去。复平面不能取代或包含欧氏空间中的真实的平面，不能用一个“二元”数的数域或“空间”，把所有“二元数”都囊括进去了。
从费马定理的讨论来说，我们不能用一个“二元数”的数字空间把y=nrn-xn的数学体系都囊括进去了。n不同，函数的性质不同，就不可能用同样的数字体系来表达。现代数学把形参和函数囊括到一个“数字空间”中去是一条产生逻辑悖论的道路。有一些逻辑数学家提出了超(复)变函数的研究，所以我们可以设想欧氏空间上的二维的平面和复平面是两个“相交”于一个实数轴上的两个“平面”(当然相交的概念不是欧氏几何上平面相交的概念)。在这样的数字体系的模型下，就可以解释费马定理上的存在不存在整数解了：一维的轴可以看成只有整数和有理数，n=1时，函数值总是在一条直线上；n=2时，函数值总是在欧氏几何的平面上；所以它的函数的值域就是“实数空间”，它比数轴上的只是数多了一个开平方的无理数，而这个被称为“无理数”的数实际上又不是一个真正的数字，它只有数字的逻辑形式，而其数字形式依然是一个有理数；n>2时，函数的值域到了复平面，只有当解穿过数轴时，才有一个孤立的“无理数”解，那个“无理数”不是在欧式空间的序列上通向无限是的极限，而是复平面上的数字，“复数序列”在实轴上的极限。所有n等于和大于3的费马方程，都可以从复平面上来求出它在实轴上的极限，因为它的虚平面上的变化都与“圆”有整除性。而它的第一个解点就在实轴上，以后每隔一定的整数，又回到实轴，给出一个实数解。这是齐次方程的性质，如果把费马方程改为椭圆方程那样的非齐次方程，它们实数解的规律就为不一样。n=2时也可以在复平面上去求解，但是那里实轴上的解和复数解释分离的：要么有实数解，要么有复数解，没有同时存在实数和复数解的情况。这实际上是说，n=2的情况是“复数”域的一个特例：欧氏平面空间就是从复平面中分离出来的那里虚部为0面。当然，那种复平面和欧氏空间的实平面之间的关系现在还没有说得清楚的规律。所以这些高次方程中所出现的“无理数”的解，和H空间中的无理数的概念是不一样的：在H空间中所有的无理数都与平方运算的逆运算相联系，那里的“无理数”都不和开放相联系。那样的无理数不能通过对于方程式的扩比来把无理数化为整数。我们只能说在n>2时费马方程没有整数解，但是实际上的“无理数”解还是存在的。在物理实在的意义上，哪个无理数解和有理数和整数解并没有差别。如果我们把费马定理下的三维方程改写成：
y=3r3-x3 (6)
并给那个方程以一个物理实在的内容：r和x为两个正立方体边长，r是给定的，x是任意选取的小于r的实数。而y是待求的另一个立方体的边长。从初等数学的分析上是无解的，因为人们不会开立方；从希尔拜特的H空间的观念，也是无解的，因为在H空间中只容纳开立方的“范数”；但是在牛顿和魏尔斯忒劳斯的极限定义下仍是有解的。从物理和工程实际上，让一个人做一个体积为另外两个正立方体之差的正立方体容器，并不是一件难事。会与不会就是看你的设计能够达到当时社会实践能力所能达到的精度范围。设计得无限精确是没有意义的，既不能制造，也无法检验。
这里就有了我们和纯数学之间的一个分歧：我们要用“物理实在”来约束数学，而纯数学无限地扩大的数学的能力；我们主张要从物理实在中取得数学逻辑的前提，而不是从数学本身产生。数学的最早公里来自远古人类长期的实践，要从这个远古存在的公理每向前进一步，同样需要加入来自大自然的新约束。所以我们说要发展数学，当前来说最重要的是寻找已有的数学与无理实在的关系，黎曼的“动态多维流型”，还是超复变函数，最重要的是寻找物理实在。特别是寻找复指数和复数空间的物理实在。所以从单纯讨论费马定理来说，我总是觉得庄严等的证明比蒋春喧的实的指数函数方法和怀尔斯的把无限的两端连接起来的时钟算法等方法，要确实些。但是我们同样期望从蒋春暄和怀尔斯的工作中，得到对于复数和复变函数的逻辑结构的更多的启示。现在的复数和复变函数的概念是一个逻辑悖论，e和i根本不是一个数字，而只是一个具有数字性质的逻辑理念，它和“几何数”中的以平方的逆运算为基础的“无理数”也有完全不同的逻辑属性。
我很快就要从“数学”出来了，我已经没有足够的精力去讨论数学了。所以我的讨论总是民科式的，对于庄严的的初等数学的证明是否符合数学上的要求，我也说不清楚。对于蒋春喧、赫怀尔斯的证明，那个已经“天衣无缝”了，我也说不清。我对于他们的工作都抱着极大的敬意，这不是一句言不由衷的话，而是实实在在的，因为我确实感觉到他们的研究中会得到很多极为有用的东西。他们为了证明三次幂以上的费马公式整数解的不存在，都走到指数和复数的同一条路上去了。这说明只要尊重逻辑，数学家和物理学家会走到同一个理性和逻辑的道路上来，数学家会发现“自吞”是创造不了未来的，物理学家也会看到不断地假设不是了解大自然的正确道路。
数学一定会通过对于复数的再认识来开辟一条新路——回到真实的时间和空间的形式参量体系的多层逻辑结构的思维方向上来。函数要与物理实在联系起来。欧氏空间只能从正整数、链接到有理数、和以二次幂的逆运算相联系的“无理数”，到不了三次和三次幂的逆运算。从数学上建立一个超复变函数的体系看起来是有道理的，但是话说回来，有没有道理最后还是要由与物理实在的关系来检验。
从复指数的数学性质来看，它有比任意的n次幂更强的发散性，广义空间理论就是建立在复指数的这个性质上，但是从费马定理的讨论来看，复指数的两个部分：正弦和余弦函数又都属于欧氏空间，这是一个很大的问题。我们必须重新认识复变函数，我总觉得认识清楚复变函数和研究超复变函数会走上一条结合的道路。怀尔斯证明费马所用的把数轴的正、负无限大连接起来的算法，有严格的逻辑自洽的依据吗？但是从物理上来说，大自然所展示的物理实在确实是像怀尔斯所用的时钟算法那样，把时间的两端连接起来的。这就是时间的逻辑内涵的复杂性：对于实物的运动，时间是实的，它的周期变化的性质在数学抽象中被忽略了；对于波，它的周期性成了一个基本的属性。复指数对于我们今天的那些物理学来说，是由欧拉公式所定义的，而且在物理上只取实部。这就像老式建筑中的房屋与脚手架一样，脚手架只参与建筑的过程，而不是建筑物的一部分。复数中的“虚部”是数学演绎逻辑中不可缺少的，但是不属于物理实在。复数这样的数学性质是由波的本证问题所联系的方程式所决定的。只有那样的复指数才能够满足数学演绎的要求，即把时间和空间分离，而只取实部又是物理实在的要求。黎曼离开了物理实在来约定“动连续的多维流型”，与物理实在的联系能够合理到什么样的程度？牛顿的模型实际上不是他本人想出来的，也不是那个时代的一些人约定出来的，而是从古至今的人类思维的结晶。他没有破坏过前人所创造的所有的合理的观念，而且从他以后至今还有很多人在完善他的那些观念。到今天，牛顿的理论大概就要从作为整个物理学的约束体系，降为一个局部体系的公理。但是这一过程也只是开始而已，远远没有完成，牛顿的“质量”是物理学中的一个逻辑“基元”，物理学界不称逻辑几元，叫“基本量纲”，意思是一样的。
到今天的物理学，只有时间、空间和质量三个基本量纲。时间和空间是可以与数学的数字体系相链接的两个基本的逻辑基元，他们是物质运动的共同舞台，但是这个舞台实际上还是在于与数字和数学逻辑的联系上，在“结绳记事”的绳和结的逻辑界定和识别上，还没有真正联系到结上所记的事，现代科学中关于“事”的逻辑基元还只有牛顿的质量一个。现在已经很清楚，用一个基本量来描述物质是不够的：牛顿质量只能描述“实物”，不能直接描述“波”，波(或场或能量)是无法用时间、空间和质量三个量纲来精确描述的，从爱因斯坦的早年通过把原来有独立性的时间和空间之间，建立了“相对论四则运算”把他们联系起来，从而把质量和能量也连在一起。到晚年他明确指出了这样的思维的或逻辑的框架。不行！要建立实物和场并存的物理世界。现在看来，爱因斯坦的哲学方向是对的，还要有数学，没有数学，那样的“并存”，就没有一个确实的表达方式。
在一次关于超光速的讨论会上，我和郭光灿分别作了两个特邀报告，我讲得是宏观电磁场理论，他讲得是量子的理论。我们住在一个房间，讨论过光(电磁波)的描述问题。他也特别强调，现在最主要的问题就是量子理论的“宏观机制”没有搞清楚。所谓宏观机制，就是数字形式的明确表达。也就是数理逻辑的问题，没有合理的逻辑界定，就没有明确的数学表达。问题在哪里，实际上是谁也没有搞清楚。现在看来这个问题确实很复杂。怎样把动连续的能量(或信息)最后连接到像费马定理那样的数学的逻辑问题中去，和“数字”联结在一起，才能够有真正的明确性。这个数字的体系看起来只有一个，最后都要归结到那个数字的“根”——正整数。
我们现在就是要重新研究这个问题！为什么要“重新”呢？因为前人还没有看到过“数字世界”这样一个蔚为壮观的物理实在！它进入了每一个普通人的日常的生活，一个数字化的体系，从早到晚，从生到死，紧紧地包住了每一个人的一生。一出生就有一个数字要终身伴随着你，你的一举一动，一言一行都会通过那个数字与整个社会连接在一起。大到数字宇宙、数字地球、数字世界、数字货币、数字战争，网络就是由数字构造出来的。那些创造了现代物理学、现代数学的我们的先辈，包括爱因斯坦、希尔拜特和众多的从获得诺贝尔奖的现代物理和菲尔茨奖的现代数学家，在他们进入科学殿堂的时候，还没有这一切。有的人总喜欢说，是那些现代物理学家和现代数学家发明了现代社会的一切，这样说，从尊重他们的创造来说也没有不可，但是从人类实践和思维发展历史的角度来说，是不对的，甚至是危险的！因为那些现代科学家的团体是由人组成的，每一个人的思维都是有限的，最终会被否定的。在人类历史上电的发现和应用是近代社会中影响最大的一件事，谁对电进入人类世界作出了最大的贡献呢？我想无疑是爱迪生，现在美国很多发电厂还冠以爱迪生的名字，一些城镇也有用爱迪生名字命名的。但是他也不都是对的，他曾反对过交流电系统的应用，在这一点上他对电力工程的发展起过阻碍作用。这是一个正常不过的事。爱迪生的错误绝不会影响他的功绩。现在人类社会的发展念到了一个更大的十字路口了：由于数字不论对于每个人，还是对于整个人类的影响是以往其它任何事物都无法比拟的。有了一个无所不在、无所不包的数字世界，而没有合理的数字的逻辑，对于不论是每个人、每个家庭到国家，直到对整个人类的影响都是无法估量的。通过费马定理的讨论，我想有两点可以吸取的：一是物理实在和数字的合理的链接是当前科学发展，也是人类发展中的一件大事，二是，那种链接的含义是多方面的，不能单独地、孤立地强调把某一点。例如今天说到物理实在与数字的链接，本质的是与实数体系的链接，单独地寻找与物理实在相联系的正整数，看来并没有实在的意义的。很显然只要一涉及到任何“动连续的多维流型的数字模型，是很难链接到整数的。正整数本质上只是个思维的理念体系，任何一个来自大自然的数字体系都不会是整数，它通过极限的概念变成一个有理数。所以函数值的空间一定是既有有理数还有逻辑上的无理数，而实际上又必须近似地表示为有理数的，既有数字又有逻辑性质的理念存在。最后还要通过一个正整数的序列来和形式参量联系在一起。要寻找的最后是它与一个正整数的一一对应的逻辑关系，有了这样的逻辑关系就是链接到了最早公理的“根”上了。我们要不断寻找有物理实在参与的、不断扩大的逻辑前提下的新旧数学体系的逻辑链接；不要数学自身的僵化的链接，那样的联接必然就产生“自吞”。
[1] https://docs.google.com/document/d/1bmQ4RVTh8wQKxISpumNJ1cqox38RP_14MOqv52BEeSU/edit?hl=en#
[2] docs0.google.com/document/d/16GeaWYEzABzNjz7ijKNxxjtKT1RmEf6yEM2SBQBUpeE/edit?hl=en#
[3] http://zhidao.baidu.com/que
在上节我们说，费马公式在n=2时有整数解，不是整数的特有的性质，而是把整数的逻辑界定与欧氏空间的逻辑前提合理地链接在一起的结果。也就是说，那不是数字或数学本身的属性，而是来自物理实在的外来的属性。这里就产生了一个问题，到底什么是物理实在？这是现在自然科学基础研究需要讨论和解决的主要问题之一，在人类认识大自然的过程中物理实在也被分离成了两个不同的层次：一个就是应用物理中的物理实在，爱因斯坦把它称为“感性材料”，它是人们对于大自然的直觉的感受，但是不能成为普遍理论的逻辑前提，因为它无法和数学链接起来。所谓的自然科学基础理论就是必须要和数学的定量的逻辑链接在一起的理论体系。所以还必须把来自人类实践的感性材料转化为能够和数学链接在一起的数学的逻辑前提。但是，从任何一个感性材料都不可能得到能够和数学的定量逻辑联系在一起的逻辑前提，这个数学的逻辑前提不是用来描述任何具体的物理实在的，而是用来分析普遍的物质运动规律的，只有在大量的同类的或类似的物理实在的感性材料的综合中，才能够抽象出数学所需要的逻辑前提，实际上所有的数学所需要的逻辑前提必须与“无限”条件下的物质运动规律相联系。这个逻辑前提来自大自然，而又不可能直接从一个具体的物质运动的观察中得到，它要的依然是从人类实践中抽象出来的概念。爱因斯坦早期的相对论中把这个问题搞错了，他直接把相对论的假定当作了他的用数学方程式表示的理论体系的逻辑前提，他的理论就没有数学演绎的逻辑自洽性。要得到明确的定量结果还必须不断地加入新的假定。晚年在《物理学的进化》中，他提出了这个问题，提出了必须要有正确的哲学引导，而正确的哲学反过来要不断加入来自大自然的新元素。但这些还是哲学讨论式的，人类思维的发展总是离不开哲学式的讨论；只有讨论多了，人类实践积累够了才能够探索出一条路来。现在需要讨论和搞清楚的一个最大的问题，就是到底什么是数学体系中的来自物理实在的逻辑前提？不久前我国有一些年轻的现代物理学家就认为我们那些“民科”连最基本的物理事实都不知道。他说，你们认为欧氏几何是与物理实在有合理关系的，黎曼空间是与物理实在没有合理关系的，真是这样吗？你们说说宇宙中有什么东西是符合平直空间形状的？对于他的质问，我只能回答，确实没有。除了两千多年以前的西方人和两百多年以前的中国人以外，大概很少有人相信有平直的宇宙存在。西方在古希腊文明的影响下，两千年前就接受了地球只是一个球的地心说，中国在两百年前的洋务运动和新文化运动以后也抛弃了“天圆地方”的盖天说，承认水平面实际上只是球面的一部分。但是，人还是不能在地球那个球面上去建立空间的理念，那些建立了地心说的希腊古贤们，建立的欧氏几何还是以点、线、面作为逻辑前提的平直的空间框架。古人的这个平直空间的理念依然是有道理的。这就是我们现在所强调的数学需要的“物理实在”是能够与数字体系相联接的抽象化的物理实在，不是与任何具体存在结合在一起的物理实在。欧氏空间所建立的平直空间不是一个用来描述任何一个具体物理实在的体系，而是一个半径为无限大的理想化的空间体系。这样的空间不能直接表示任何一个具体的物理实在，却具有可以描述具有任何半径的球体的能力。所以相对论提出的用非欧空间或黎曼空间作为描述空间存在的框架是逻辑悖论的。把不理解相对论的人比喻为压扁了的臭虫看来也是不对的。要站起来还得先在平面上站起来，直接在三维空间上站立的超人是不存在的。但是从数学的角度，从人类思维的角度，我们千万不能把欧氏空间看成是通向数字和数学，通向实数、有理数和正整数的唯一的途径。19世纪以来的非欧几何、黎曼空间和相对论的探索虽然还没有找到物理实在与数学或数字体系逻辑地结合在一起的道路，但是他们所指示的方向是正确的，没有找到合理的关系，不能怪任何人，因为人类实践还没有揭示出那些感性材料。感性材料还不存在，怎么可能找到的与它的合理关系呢？
复数就是建立物理实在与数字体系合理关系的另一条通道，但是与此对应的物理实在的内涵却还一直没有搞清楚。现在是寻找那个另一条从物理通向数学，最后通向正整数的通道的时候了，人类实践的呼唤在等待着它。写到这里使我想起我网上的朋友Thnker在十个月前在我网上的最后一次留言：
感谢数学家胥鸣伟介绍黎曼
黎曼：“要了解「量」必須先有一個關於「量」的普遍觀念和一些能體現它的特殊事例”
”利用標記或圈圍取出流形的某些部分，稱為「量」。對「量」的定量比較工作，在離散的情形可以用數的，在連續的情況下則需靠測量“
”多元延伸量”（包括空間量）的概念仍一無所知。因此我首先要從一般「量」（quantity）的概念中建立「多元延伸量」的概念。我將指出，「多元延伸量」是可以容納若干度量關係的。所以我們所處的空間也不過是三元延伸量的一種特例。“
相对于牛顿的“静离散”的“三维点原子”，黎曼认为他的“动连续的多维”“流形（在此基础上的内蕴几何等）”思维概念比牛顿的经验归纳更加可靠，但“流形”不能数，要靠测量，靠度规，度规要有场，于是希空间，几何场，..于是现代物理数学。
现代物理数学的度规场终究是要与经典物理的欧空间的物质场偶和的。
偶合能够发生以前，现代物理数学的度规场"看"上去就象是没有物理内容从而也没有形式体系主体的数学游戏了，例如霍金预报不了天气确能算出宇宙大爆炸等，可能是矫枉过正了，但似乎不是现代物理数学的主流。
在那个时候我还无法理解那些话的确切的含义，现在能够理解一些了。但是总是理解的还不确实，似是而非。看来真正的理解就必须寻找人类思维和实践的结合点，就是数学和物理学的在更好的逻辑框架下的结合。黎曼在这里已经说得很清楚：牛顿的逻辑框架的基点是“静离散的三维点原子”。这就是牛顿给我们的“逻辑基元“——质量的基本内容。黎曼的“动连续的多维流形”思维概念上比牛顿的经验归纳更加可靠。这句话也对，也不对。黎曼毕竟是19世纪中期的人，他还没有看到电磁波已经超越了牛顿的粒子和运动，成为20世纪人类观察大自然的最基本的工具。在描述电磁波那样的“物质”中，他的思维概念也不是比牛顿的经验归纳更可靠，但确实是更接近。可靠必须与逻辑的自洽性联系在一起。在黎曼的年代，还没有多少电磁波的感性材料，特别是没有与电磁波的以频率为基点的测量数据，和一整套的数据的分析方法。现在信息的数据体系的主体已经从牛顿时代的在空间点上的粒子的位置测量转向与时间相联系的频率点上的波的测量；牛顿框架下，作为形式参量的时间是与空间相分离的“实的时间”，测量的对象是“静离散的三维点原子（的位置）”，信息时代的要建立的逻辑框架是以“虚的时间”为形式参量的“波”的信息。这个“虚的时间”就是与空间既有独立性又有联系性的“频率”。波的信息，本质上是以能量为载体的，但是要的又不是能量的“值”而是“能量”在频率上的“信息”。这就象牛顿测量的信息不是质量一样，质量是实物信息的载体，牛顿信息的内涵是位置。我们现在也还把握不住作为频率的形式参量和作为电磁波信息的数据的定量的、确切的逻辑内涵，这就要数学。数学中的来自物理实在的前提，不是人类实践的直接结果。而必须把人类的有限论域下的实践转化为抽象的、与无限相联系的、因而还会有某种不确定性的数学的逻辑前提。只有这样才能进入数学体系。黎曼的“动连续的多维流形”从描述电磁波的物理实在来说，确实比牛顿的框架近了一步，但是黎曼的时代还没有信息时代从电磁波中通过频率提取信息的感性材料，所以从可靠来说，还是不可靠的。把黎曼的概念用于几何空间就更无可靠可言了。所有的非欧空间都是不可靠的，因为它无法得到欧氏空间那样的在平面上与数字的牢固的链接。非欧空间的最大问题就是它总是和一个球心上的“点”联系在一起。所以永远没有普遍性，如果把那个“点”的特殊性给去掉，把那个点推向无限远，非欧空间也就回到了欧氏空间下的球面坐标，球面坐标允许球心移动，建立不同球心间的在笛卡尔坐标下的联系，从而回到了笛卡尔的坐标系上来了。欧氏空间中的平面和距离，就是人类远古以来的实践的积累，它的普遍性造成了它的有限论域性。只有对于球心离我们无限远的无限大的球，平面才是真正存在的，直角三角形的方程式才存在。当那个球的半径是地球的半径，6千公里左右，而我们考虑的平面只是不到几十公里的古人的日常活动范围的时候，欧氏几何理念的准确程度远远超过了当时人类实践的能力；所以那个实际上只是近似的概念，成了人人能够感受的公理。人们就把这个物理实在，融进了平面几何的数字和运算体系中了。这个理论体系在古代的丈量土地和建筑房屋的实践中成了人人都能够感受的公理。但是随着人类的实践范围的扩大，那个体系需要发展，但是那个发展也只能靠补充新理念的方式来发展，而不能把它推翻去建立新理念。因为黎曼发现的“动连续的多维流形”并不能代替”牛顿的静态三维的点模型“，数学的发展不是像19世纪到20世纪初期的数学家所想的那样，一个把一个“吞”下去的方式。而是必须在外在的物理实在参与下，建立越来越复杂的逻辑框架的过程。“动连续的多维流形”并不能把”牛顿的静态三维的点模型“给“吞”下去。复平面不能取代或包含欧氏空间中的真实的平面，不能用一个“二元”数的数域或“空间”，把所有“二元数”都囊括进去了。
从费马定理的讨论来说，我们不能用一个“二元数”的数字空间把y=nrn-xn的数学体系都囊括进去了。n不同，函数的性质不同，就不可能用同样的数字体系来表达。现代数学把形参和函数囊括到一个“数字空间”中去是一条产生逻辑悖论的道路。有一些逻辑数学家提出了超(复)变函数的研究，所以我们可以设想欧氏空间上的二维的平面和复平面是两个“相交”于一个实数轴上的两个“平面”(当然相交的概念不是欧氏几何上平面相交的概念)。在这样的数字体系的模型下，就可以解释费马定理上的存在不存在整数解了：一维的轴可以看成只有整数和有理数，n=1时，函数值总是在一条直线上；n=2时，函数值总是在欧氏几何的平面上；所以它的函数的值域就是“实数空间”，它比数轴上的只是数多了一个开平方的无理数，而这个被称为“无理数”的数实际上又不是一个真正的数字，它只有数字的逻辑形式，而其数字形式依然是一个有理数；n>2时，函数的值域到了复平面，只有当解穿过数轴时，才有一个孤立的“无理数”解，那个“无理数”不是在欧式空间的序列上通向无限是的极限，而是复平面上的数字，“复数序列”在实轴上的极限。所有n等于和大于3的费马方程，都可以从复平面上来求出它在实轴上的极限，因为它的虚平面上的变化都与“圆”有整除性。而它的第一个解点就在实轴上，以后每隔一定的整数，又回到实轴，给出一个实数解。这是齐次方程的性质，如果把费马方程改为椭圆方程那样的非齐次方程，它们实数解的规律就为不一样。n=2时也可以在复平面上去求解，但是那里实轴上的解和复数解释分离的：要么有实数解，要么有复数解，没有同时存在实数和复数解的情况。这实际上是说，n=2的情况是“复数”域的一个特例：欧氏平面空间就是从复平面中分离出来的那里虚部为0面。当然，那种复平面和欧氏空间的实平面之间的关系现在还没有说得清楚的规律。所以这些高次方程中所出现的“无理数”的解，和H空间中的无理数的概念是不一样的：在H空间中所有的无理数都与平方运算的逆运算相联系，那里的“无理数”都不和开放相联系。那样的无理数不能通过对于方程式的扩比来把无理数化为整数。我们只能说在n>2时费马方程没有整数解，但是实际上的“无理数”解还是存在的。在物理实在的意义上，哪个无理数解和有理数和整数解并没有差别。如果我们把费马定理下的三维方程改写成：
y=3r3-x3 (6)
并给那个方程以一个物理实在的内容：r和x为两个正立方体边长，r是给定的，x是任意选取的小于r的实数。而y是待求的另一个立方体的边长。从初等数学的分析上是无解的，因为人们不会开立方；从希尔拜特的H空间的观念，也是无解的，因为在H空间中只容纳开立方的“范数”；但是在牛顿和魏尔斯忒劳斯的极限定义下仍是有解的。从物理和工程实际上，让一个人做一个体积为另外两个正立方体之差的正立方体容器，并不是一件难事。会与不会就是看你的设计能够达到当时社会实践能力所能达到的精度范围。设计得无限精确是没有意义的，既不能制造，也无法检验。
这里就有了我们和纯数学之间的一个分歧：我们要用“物理实在”来约束数学，而纯数学无限地扩大的数学的能力；我们主张要从物理实在中取得数学逻辑的前提，而不是从数学本身产生。数学的最早公里来自远古人类长期的实践，要从这个远古存在的公理每向前进一步，同样需要加入来自大自然的新约束。所以我们说要发展数学，当前来说最重要的是寻找已有的数学与无理实在的关系，黎曼的“动态多维流型”，还是超复变函数，最重要的是寻找物理实在。特别是寻找复指数和复数空间的物理实在。所以从单纯讨论费马定理来说，我总是觉得庄严等的证明比蒋春喧的实的指数函数方法和怀尔斯的把无限的两端连接起来的时钟算法等方法，要确实些。但是我们同样期望从蒋春暄和怀尔斯的工作中，得到对于复数和复变函数的逻辑结构的更多的启示。现在的复数和复变函数的概念是一个逻辑悖论，e和i根本不是一个数字，而只是一个具有数字性质的逻辑理念，它和“几何数”中的以平方的逆运算为基础的“无理数”也有完全不同的逻辑属性。
我很快就要从“数学”出来了，我已经没有足够的精力去讨论数学了。所以我的讨论总是民科式的，对于庄严的的初等数学的证明是否符合数学上的要求，我也说不清楚。对于蒋春喧、赫怀尔斯的证明，那个已经“天衣无缝”了，我也说不清。我对于他们的工作都抱着极大的敬意，这不是一句言不由衷的话，而是实实在在的，因为我确实感觉到他们的研究中会得到很多极为有用的东西。他们为了证明三次幂以上的费马公式整数解的不存在，都走到指数和复数的同一条路上去了。这说明只要尊重逻辑，数学家和物理学家会走到同一个理性和逻辑的道路上来，数学家会发现“自吞”是创造不了未来的，物理学家也会看到不断地假设不是了解大自然的正确道路。
数学一定会通过对于复数的再认识来开辟一条新路——回到真实的时间和空间的形式参量体系的多层逻辑结构的思维方向上来。函数要与物理实在联系起来。欧氏空间只能从正整数、链接到有理数、和以二次幂的逆运算相联系的“无理数”，到不了三次和三次幂的逆运算。从数学上建立一个超复变函数的体系看起来是有道理的，但是话说回来，有没有道理最后还是要由与物理实在的关系来检验。
从复指数的数学性质来看，它有比任意的n次幂更强的发散性，广义空间理论就是建立在复指数的这个性质上，但是从费马定理的讨论来看，复指数的两个部分：正弦和余弦函数又都属于欧氏空间，这是一个很大的问题。我们必须重新认识复变函数，我总觉得认识清楚复变函数和研究超复变函数会走上一条结合的道路。怀尔斯证明费马所用的把数轴的正、负无限大连接起来的算法，有严格的逻辑自洽的依据吗？但是从物理上来说，大自然所展示的物理实在确实是像怀尔斯所用的时钟算法那样，把时间的两端连接起来的。这就是时间的逻辑内涵的复杂性：对于实物的运动，时间是实的，它的周期变化的性质在数学抽象中被忽略了；对于波，它的周期性成了一个基本的属性。复指数对于我们今天的那些物理学来说，是由欧拉公式所定义的，而且在物理上只取实部。这就像老式建筑中的房屋与脚手架一样，脚手架只参与建筑的过程，而不是建筑物的一部分。复数中的“虚部”是数学演绎逻辑中不可缺少的，但是不属于物理实在。复数这样的数学性质是由波的本证问题所联系的方程式所决定的。只有那样的复指数才能够满足数学演绎的要求，即把时间和空间分离，而只取实部又是物理实在的要求。黎曼离开了物理实在来约定“动连续的多维流型”，与物理实在的联系能够合理到什么样的程度？牛顿的模型实际上不是他本人想出来的，也不是那个时代的一些人约定出来的，而是从古至今的人类思维的结晶。他没有破坏过前人所创造的所有的合理的观念，而且从他以后至今还有很多人在完善他的那些观念。到今天，牛顿的理论大概就要从作为整个物理学的约束体系，降为一个局部体系的公理。但是这一过程也只是开始而已，远远没有完成，牛顿的“质量”是物理学中的一个逻辑“基元”，物理学界不称逻辑几元，叫“基本量纲”，意思是一样的。
到今天的物理学，只有时间、空间和质量三个基本量纲。时间和空间是可以与数学的数字体系相链接的两个基本的逻辑基元，他们是物质运动的共同舞台，但是这个舞台实际上还是在于与数字和数学逻辑的联系上，在“结绳记事”的绳和结的逻辑界定和识别上，还没有真正联系到结上所记的事，现代科学中关于“事”的逻辑基元还只有牛顿的质量一个。现在已经很清楚，用一个基本量来描述物质是不够的：牛顿质量只能描述“实物”，不能直接描述“波”，波(或场或能量)是无法用时间、空间和质量三个量纲来精确描述的，从爱因斯坦的早年通过把原来有独立性的时间和空间之间，建立了“相对论四则运算”把他们联系起来，从而把质量和能量也连在一起。到晚年他明确指出了这样的思维的或逻辑的框架。不行！要建立实物和场并存的物理世界。现在看来，爱因斯坦的哲学方向是对的，还要有数学，没有数学，那样的“并存”，就没有一个确实的表达方式。
在一次关于超光速的讨论会上，我和郭光灿分别作了两个特邀报告，我讲得是宏观电磁场理论，他讲得是量子的理论。我们住在一个房间，讨论过光(电磁波)的描述问题。他也特别强调，现在最主要的问题就是量子理论的“宏观机制”没有搞清楚。所谓宏观机制，就是数字形式的明确表达。也就是数理逻辑的问题，没有合理的逻辑界定，就没有明确的数学表达。问题在哪里，实际上是谁也没有搞清楚。现在看来这个问题确实很复杂。怎样把动连续的能量(或信息)最后连接到像费马定理那样的数学的逻辑问题中去，和“数字”联结在一起，才能够有真正的明确性。这个数字的体系看起来只有一个，最后都要归结到那个数字的“根”——正整数。
我们现在就是要重新研究这个问题！为什么要“重新”呢？因为前人还没有看到过“数字世界”这样一个蔚为壮观的物理实在！它进入了每一个普通人的日常的生活，一个数字化的体系，从早到晚，从生到死，紧紧地包住了每一个人的一生。一出生就有一个数字要终身伴随着你，你的一举一动，一言一行都会通过那个数字与整个社会连接在一起。大到数字宇宙、数字地球、数字世界、数字货币、数字战争，网络就是由数字构造出来的。那些创造了现代物理学、现代数学的我们的先辈，包括爱因斯坦、希尔拜特和众多的从获得诺贝尔奖的现代物理和菲尔茨奖的现代数学家，在他们进入科学殿堂的时候，还没有这一切。有的人总喜欢说，是那些现代物理学家和现代数学家发明了现代社会的一切，这样说，从尊重他们的创造来说也没有不可，但是从人类实践和思维发展历史的角度来说，是不对的，甚至是危险的！因为那些现代科学家的团体是由人组成的，每一个人的思维都是有限的，最终会被否定的。在人类历史上电的发现和应用是近代社会中影响最大的一件事，谁对电进入人类世界作出了最大的贡献呢？我想无疑是爱迪生，现在美国很多发电厂还冠以爱迪生的名字，一些城镇也有用爱迪生名字命名的。但是他也不都是对的，他曾反对过交流电系统的应用，在这一点上他对电力工程的发展起过阻碍作用。这是一个正常不过的事。爱迪生的错误绝不会影响他的功绩。现在人类社会的发展念到了一个更大的十字路口了：由于数字不论对于每个人，还是对于整个人类的影响是以往其它任何事物都无法比拟的。有了一个无所不在、无所不包的数字世界，而没有合理的数字的逻辑，对于不论是每个人、每个家庭到国家，直到对整个人类的影响都是无法估量的。通过费马定理的讨论，我想有两点可以吸取的：一是物理实在和数字的合理的链接是当前科学发展，也是人类发展中的一件大事，二是，那种链接的含义是多方面的，不能单独地、孤立地强调把某一点。例如今天说到物理实在与数字的链接，本质的是与实数体系的链接，单独地寻找与物理实在相联系的正整数，看来并没有实在的意义的。很显然只要一涉及到任何“动连续的多维流型的数字模型，是很难链接到整数的。正整数本质上只是个思维的理念体系，任何一个来自大自然的数字体系都不会是整数，它通过极限的概念变成一个有理数。所以函数值的空间一定是既有有理数还有逻辑上的无理数，而实际上又必须近似地表示为有理数的，既有数字又有逻辑性质的理念存在。最后还要通过一个正整数的序列来和形式参量联系在一起。要寻找的最后是它与一个正整数的一一对应的逻辑关系，有了这样的逻辑关系就是链接到了最早公理的“根”上了。我们要不断寻找有物理实在参与的、不断扩大的逻辑前提下的新旧数学体系的逻辑链接；不要数学自身的僵化的链接，那样的联接必然就产生“自吞”。
[1] https://docs.google.com/document/d/1bmQ4RVTh8wQKxISpumNJ1cqox38RP_14MOqv52BEeSU/edit?hl=en#
[2] docs0.google.com/document/d/16GeaWYEzABzNjz7ijKNxxjtKT1RmEf6yEM2SBQBUpeE/edit?hl=en#
[3] http://zhidao.baidu.com/que
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